Capítulo 4

Convecção Natural

Leitura e Exercícios (Incropera & DeWitt)

6ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 –6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 91, 94, 105, 110 5ª Edição Seções: 9.1 a 9.9 Exercícios: Cap. 9 – 6, 9, 13, 18, 25, 27, 30, 36, 45, 58, 75, 88, 92, 94, 105, 110

4.1. Definições

Convecção natural ou livre:

Modo de transferência de calor por convecção em que o movimento do fluido é resultante da própria transferência de calor

Em um fluido submetido a um gradiente de temperatura, existirão gradientes de massa específica resultantes que, na presença de uma força de

campo (ex. gravitacional), poderão resultar em um movimento macroscópico do fluido

thermal plume

Diferença de temperatura (Ts – T∝)

Convecção de calor Força de corpo

(empuxo) (ρs – ρ∝)

Movimento do fluido (camada-limite)

Mecanismo básico

4.1. Definições

0T<

∂

ρ∂(fluidos)

instabilidade?

Importância da convecção natural

1. Valores de h são mais baixos (menores velocidades): Em associações de resistências em série, pode ser a resistência térmica dominante. 2. Como não há custo em se bombear o fluido, a convecção natural é sempre uma alternativa barata de transferência de calor (ex. condensador arame-tubo)

4.1. Definições

q”

x

T

T∝

T1

T2 T3

T∝ T1 T2 T3

q”

R1 R2 R3

Condição de Estabilidade

4.2. Considerações Físicas

Caso (a) ∇ρ negativo no mesmo sentido da aceleração da

gravidade (pode gerar instabilidade e convecção)

Caso (b) ∇ρ negativo no sentido oposto ao da aceleração da

gravidade (estável: condução apenas)

Tipos de escoamentos: não-confinados

4.2. Considerações Físicas

Pluma térmica Jato livre

Tipos de escoamentos: camada-limite

4.2. Considerações Físicas

Tipos de escoamentos: confinados

4.2. Considerações Físicas

Cavidade fechada Canal

Considere o escoamento na camada-limite:

4.3. Equações da Convecção Natural

Hipóteses: •  escoamento laminar •  regime permanente •  geometria bidimensional •  força de corpo devida à gravidade •  propriedades físicas constantes (a menos da variação de ρ no termo de empuxo)

forças atuando num elemento de fluido

Equações de camada-limite

4.3. Equações da Convecção Natural

Equação do movimento (dir. x): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ν+−

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

yu

xug

xp1

yuv

xuu

2

2

yu

∂

∂<<

Equação do movimento (dir. y): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

yv

xv

yp1

yvv

xvu

(c.l.)

yu∂

∂<< uv <<

2

2

yu

∂

∂<< 2

2

yu

∂

∂<<

Equação da continuidade: 0yv

xu

=∂

∂+

∂

∂

Equações de camada-limite

4.3. Equações da Convecção Natural

Assim:

A eq. do movimento (dir. x) fica:

Como: 0~yp∂

∂∴ g

dxdp

xp

∞ρ−==∂

∂ (só componente hidrostático: região externa está em repouso)

( )ρ

ρ−ρ=−

ρ

ρ=−

∂

∂

ρ− ∞∞ gggg

xp1

ρ

ρΔ= g

2

2

yug

yuv

xuu

∂

∂ν+

ρ

ρΔ=

∂

∂+

∂

∂

inércia empuxo

(motriz)

viscosa

(dissipativa)

O coeficiente de expansão volumétrica térmica

4.3. Equações da Convecção Natural

Se o Δρ for devido a uma variação de temperatura (convecção natural), podemos expressá-lo em função de uma propriedade termodinâmica:

pp T1

TV

V1

∂

ρ∂

ρ−=

∂

∂≡β [K-1]

Aproximação de Boussinesq

4.3. Equações da Convecção Natural

É uma linearização da dependência de ρ em função de T

TT1

−

ρ−ρ

ρ−≈β

∞

∞

)TT( ∞∞ −ρβ≈ρ−ρ

Valores de β [K-1] (líquidos a ~ 25oC e 1 atm) mercúrio: 1,81 x 10-4 água: 2,47 x 10-4

metanol: 12,0 x 10-4

óleo de máquina: 7,0 x 10-4

Gases ideais:

T1

=β

Equações da camada-limite laminar

4.3. Equações da Convecção Natural

( ) 2

2

yuTTg

yuv

xuu

∂

∂ν+−β=

∂

∂+

∂

∂∞

2

2

yT

yTv

xTu

∂

∂α=

∂

∂+

∂

∂

0yv

xu

=∂

∂+

∂

∂

A equação da quantidade de movimento e da energia são acopladas pelo termo de empuxo

inércia empuxo

(motriz)

viscosa

(dissipativa)

4.4. Análise de Ordens de Grandeza Na região da camada-limite

BVI F~F~F

LuF2ref

I∞ρ∝ 2

refV

uFδ

µ∝

( )gF sB ρ−ρ∝ ∞

Objetivo: calcular uref (velocidade característica na camada-limite)

**F’s : forças por unidade de volume

4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:

IB F~F

( )Lu~g2ref

S∞

∞

ρρ−ρ

tem-se

( ) 21

gL~u sref ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ

ρ−ρ

∞

∞

4.4. Análise de Ordens de Grandeza Fazendo:

VI F~F

2ref

2ref u~Lu

δ

ν

temos

21

Lu~

L ref⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ νδ

"Re"1

L (mesmo resultado da convecção forçada)

4.4. Análise de Ordens de Grandeza Combinando os dois resultados:

Introduzindo a hipótese de Boussinesq:

( )

41

3s

2

gL1~

L ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρρ−

νδ

∞

)TT( −ρβ≈ρ−ρ ∞∞

( )

41

3s

2

gLTTg~

L ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−β

νδ

∞

41

LGr~L

−δ

(crescimento da camada-limite laminar)

4.5. Forma Adimensional e Similaridade

Número de Grashof

GrL =gβ Ts −T∞( )L3

ν2

Forças de empuxo Forças viscosas

4.5. Forma Adimensional e Similaridade

Lxx* =

Considere a adimensionalização pelas seguintes escalas:

Lyy* =

∞

∞

−

−=

TTTTT

s

*

ref

*

uuu =

ref

*

uvv =

( ) ( )[ ]2121

LTTggLu sS

ref ∞∞

∞ −β=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ

ρ−ρ=

4.5. Análise de Ordens de Grandeza Substituindo uref na equação do movimento:

2*

*2

2/1L

**

**

*

**

yu

Gr1T

yuv

xuu

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂

E a equação da energia fica:

2*

*2

2/1L

*

**

*

**

yT

PrGr1

yTv

xTu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

( ) ( )[ ]2121

LTTggLu sS

ref ∞∞

∞ −β=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ

ρ−ρ=

Temos:

GrL desempenha na convecção natural o mesmo papel que ReL desemepnha

na convecção forçada

Na presença de corrente livre com u∞ não-nulo

∞

=uuu*

∞

=uvv*

2*

*2

L

*2L

L*

**

*

**

yu

Re1T

ReGr

yuv

xuu

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂

2*

*2

L*

**

*

**

yT

PrRe1

yTv

xTu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

( )2

3s

LLTTgGr

ν

−β= ∞

ν= ∞LuReL

4.6. Convecção Mista

4.6. Convecção Mista

A análise funcional da solução do sistema de EDPs fornece:

( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL == para uma dada

geometria

Regimes de convecção

Efeitos de inércia prevalecem e a convecção natural pode ser desprezada

1ReGr

2L

L <<Se

( )Pr,RefkLhNu LL ==

Efeitos de empuxo prevalecem e os efeitos de convecção forçada são pequenos

1ReGr

2L

L >>Se

( )Pr,GrfkLhNu LL ==

Convecção mista 1ReGr

2L

L ≈Se

( )Pr,Gr,RefkLhNu LLL ==

4.6. Convecção Mista

4.7. Solução da Camada-Limite Laminar A solução por similaridade foi proposta por Ostrach (1953)

(para meio em repouso)

onde, da análise de escalas, temos:

( )ηφ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛δ

φ= 21ref

yuu

41

xGrx)x( ∝δ

(perfis similares)

Combinando com o conceito de função corrente, Ostrach transformou o sistema de EDP’s em EDO’s, que podem ser integradas

numericamente para determinar os perfis de u e T

4.7. Solução da Camada-Limite Laminar Perfis de velocidade e de temperatura

Note que o campo de velocidades também é influenciado por Pr

4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Derivando o perfil de temperaturas na parede

0yyTkq

=∂

∂−=ʹ′ʹ′onde:

Substituindo o perfil de temperaturas:

(Pr)g4Gr

ddT

4Gr

khxNu

41

41

x

0

*x

x ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=η

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−===η

( ) 4/12/1

2/1

Pr238,1Pr221,1609,0Pr75,0(Pr)g++

=onde ∞≤≤ Pr0

)TT(q

kx

kxhNu

s

xx

∞−

ʹ′ʹ′==

4.8. Coeficiente de Transferência de Calor Coeficiente de transferência de calor médio

∫∫ ==L

0 x

L

0dxNu

xk

L1hdx

L1h

Substituindo:

(Pr)g4Gr

Lk

34h

41

L ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

os resultados dessa seção são para escoamentos laminares com Ts maior ou menor que T∝

ou:

LL Nu34Nu =

4.9. Efeitos da Turbulência na C. Natural Instabilidade térmica origina o escoamento

Instabilidade hidrodinâmica origina a turbulência no escoamento

Transição laminar-turbulento:

9c,x 10Ra ≈

onde Rax,c é o número de Rayleigh crítico

( )να

−β=≈ ∞

3s

c,xc,xxTTgPrGrRa

Forma geral:

nLL CRaNu =

4.10. Placa Vertical Isotérmica

Churchill e Chu (1975)

Propriedades avaliadas na Tfilme

Válida para toda a faixa de RaL

2

27/816/9

6/1L

L]Pr)492,0(1[

Ra387,0825,0Nu⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++=

4.11. Placa Vertical com fluxo constante

Para q” constante, Ts - T∝ aumenta em função de x. Se:

4/1xx RaNu ∝

4/34/1 xTTkxq

Δ∝Δ

ʹ′ʹ′

Assim:

5/1xT∝Δ

4.11. Placa Vertical com fluxo constante

Para q” constante, as correlações para Ts constante podem ser usadas desde que:

LNu LRae

sejam definidos com base em:

∞−=Δ T)2/L(TT s2/L

o coeficiente de convecção médio é, então:

2/LTqh

Δ

ʹ′ʹ′=

e o cálculo é iterativo.

4.12. Placas Inclinadas

Redução da componente da força de empuxo na direção paralela à placa

Redução da velocidade do fluido ao longo da placa (fato)

Não necessariamente significa uma redução na transferência de calor

(por quê?)

4.12. Placas Inclinadas

Influência da orientação

Superior: aumento Inferior: redução

Superior: redução Inferior: aumento

Redução: componente de g em x é reduzida a gcosθ Aumento: empuxo facilita o deslocamento de fluido para longe da superfície

(3D, plumas)

4.13. Placas Inclinadas

Recomendação

Para convecção a partir de superfícies onde há redução

da transferência de calor, recomenda-se substituir

g por gcosθ

na correlação para placa

vertical se

0 < θ < 60o

4.13. Placas Horizontais

(a) e (d): 4/1LL Ra27,0Nu =

(b) e (c): 4/1LL Ra54,0Nu =

3/1LL Ra15,0Nu =

(105 < RaL < 1010)

(104 < RaL < 107)

(107 < RaL < 1011)

PAL s= área placa

perímetro

Fluido a T∝>Ts

Fluido a T∝>Ts

Fluido a T∝<Ts

Fluido a T∝<Ts

4.14. Cilindro Vertical

Pode ser tratado como uma placa vertical quando:

4/1LGr35

LD≥

correção de Cebeci

4.15. Cilindro Horizontal Longo

Variação do número de Nusselt local

0=θ

π=θ

Nuθ

0 π/2 π

(comportamento no regime laminar)

(no cilindro resfriado a curva é invertida) D é o comprimento característico

Churchill e Chu (1975)

Propriedades avaliadas na Tfilme

Válida para RaD < 1012

2

27/816/9

6/1D

D]Pr)559,0(1[

Ra387,060,0Nu⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++=

4.15. Cilindro Horizontal Longo

Churchill

Propriedades avaliadas na Tfilme

Válida para RaD < 1011

9/416/9

4/1D

D]Pr)469,0(1[

Ra589,02Nu+

+=

4.16. Esfera

4.17. Canais de Placas Paralelas

A princípio, condições de contorno diferentes podem ser aplicadas em (1) e (2), ou seja, T constante ou q” constante Pequenos L/S: desenvolvimento da c.l. é independente para cada placa Grandes L/S: encontro das c.l.’s forma uma condição desenvolvida Se θ ≠ 0: Escoamento é 3D

4.17. Canais de Placas Paralelas

Placas verticais aquecidas simetricamente e isotérmicas (Elenbaas)

( )

4/3

S

sS

L/SRa35exp1

LS

24RaNu

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

(Ar atmosférico, 10-1 < (S/L)RaS < 105)

onde: kS

TTA/qNu

s

S ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

∞

( )αν

−β= ∞

3s

SSTTgRa

(A é a área de uma placa)

Note que para S/L→0:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→LS

24RaNu s

S

(limite plenamente desenvolvido)

4.17. Canais de Placas Paralelas

Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)

( ) ( )

2/1

2/1s

22

s

1S

L/SRaC

L/SRaCNu

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

Temperatura constante

kS

TTA/qNu

s

S ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

∞

( )αν

−β= ∞

3s

SSTTgRa

(A é a área de uma placa)

(qualquer S/L)

(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)

4.17. Canais de Placas Paralelas

Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)

( )

2/1

5/2*s

2*s

1L,S

L/SRaC

L/SRaCNu

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

Fluxo de calor constante

kS

TTqNuL,s

L,S ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

ʹ′ʹ′=

∞ αν

ʹ′ʹ′β=kSqgRa4

*S

(o sub-índice L se refere a condições em x = L, onde a temperatura da placa assume o valor máximo)

(qualquer S/L)

(C1 e C2 são constantes que dependem da condição de contorno nas placas adjacentes)

4.17. Canais de Placas Paralelas

Placas verticais aquecidas (Bar-Cohen e Rohsenow)

Constantes para as duas situações

Soti é o espaçamento que maximiza a transferência de calor no conjunto, fornecendo o máximo para o produto entre o h médio e a área superficial das placas

Smax é o espaçamento que maximiza a transferência de calor em cada placa individualmente, o qual deve ser alto para evitar interferência entre as c.l.’s

4.18. Cavidades Retangulares

τ = 0o: Cavidade horizontal com aquecimento inferior (instável). τ = 90o: Cavidade vertical com aquecimento lateral (instável). τ = 180o: Cavidade horizontal com aquecimento superior (estável).

( )21 TThq −=ʹ′ʹ′

4.18. Cavidades Retangulares

Limite de estabilidade dado por:

( ) 1708LTTgRa3

21L >

αν

−β=

Horizontal com aquecimento inferior

empuxo vence a resistência viscosa

074,03/1LL PrRa069,0

kLhNu ==

(3 x 105 < RaL < 7 x 109)

propriedades avaliadas na temperatura média

O-R mixture

4.18. Cavidades Retangulares

Horizontal com aquecimento superior

1kLhNuL ==

(condução de calor somente)

4.18. Cavidades Retangulares

Vertical com aquecimento lateral

3,0012,04/1

LLLHPrRa42,0

kLhNu

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

3/1LL Ra46,0

kLhNu ==

4.18. Cavidades Retangulares

Condutividade térmica efetiva

( ) ( )LTTANukTTAhq 21

L21−

=−=

Leff Nukk =

4.19. Outras Geometrias ex. coletores solares

Correlações disponíveis em Incropera et al. (2007)

4.20. Convecção Mista

1ReGr

2L

L ≈

nL

nF

n NuNuNu ±= (n~3)

(+: escoamentos paralelos e transversais) (-: escoamentos opostos)