Centro Educacional Leonardo da Vinci

Matemática II

a

g

g

b

eixo

a 90º Base

Base

O *

O * R

h

A Fig. mostra um Cilindro

Oblíquo.

R é raio da base

h é altura

g é geratriz

Cilindro Circular Reto

O *

g g h

1) o eixo é perpendicular

aos planos das bases.

R D C

ou Cilindro de Revolução

R

B A

O’ *

2) g = h

A B

D C

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um

retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.

2R

Seção

Meridiana A

B

C

D O *

O’ * h Se ABCD

é um quadrado

cilindro eqüilátero

Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que

h = 2R

Seção Meridiana

Planificação :

R x

h

Planificação :

R x

h

Planificação :

R x

h

Planificação :

R x

h

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

R

R

2pR

Áreas e Volume

AL = 2p Rh

At = AL+ 2 Ab

At = 2p Rh + 2p R2

At = 2p R(R + h)

V = p R2. h

Área Lateral

( AL )

Área Total

( At )

Volume

( V )

Ab = p R2 Área Base

( Ab )

Ex.1:

(FUVEST-SP)

A base de um cilindro de revolução é equivalente a secção meridiana. Se o raio

da base é unitário, então a altura do cilindro é:

a) p

c) p

b) 1

2

d) p

2

p

2

e)

Resolução:

A seção = 2.R.h Ab = π.R2

Aseção = Ab => 2.R.h = π.R2

2.h = π.R => 2.h = π.1

Então:

h = π/2

Alternativa correta: letra d

Ex.2:

(UnB - DF)

Um recipiente cilíndrico com diâmetro interno de 6dm e altura h está

cheio de líquido, o qual deverá ser totalmente distribuído em outros

recipientes cilíndricos, todos com altura h e diâmetro interno de 1 dm

de modo a enchê-los. Calcule o número de recipientes que serão

preenchidos.

Resolução:

Recipiente 1

6 dm

V1 = πR2.h = π.32.h

V1 = 9.π.h

Recipiente 2

1 dm

V2 = πR2.h = π.0,52.h

V1 = 0,25.π.h

h

h

36..25,0

..9Re

2

1 h

h

V

Vcipientes

p

p

Resposta: 36 recipientes

C D U

0 3 6

Diversão

Livro: página 459 (2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 15)

página 460 (16, 18, 19, 22, 24, 25)

página 461 (28)