Post on 01-Dec-2018
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Cinemática dos Corpos Rígidos Neste capítulo serão considerados apenas movimentos planos dos corpos ou conjuntos de corpos
rígidos. Os movimentos classificam-se em: translação, rotação e movimento plano geral.
Translação O movimento de translação de um corpo rígido assemelha-se ao movimento da partícula. A cada
instante, todos os pontos do corpo (todas as partículas que o constituem) têm os vectores de
deslocamento, velocidade e aceleração exactamente iguais. A recta que une dois pontos
arbitrários A e B (duas partículas A e B que pertencem ao conjunto de partículas que constituem
esse corpo) do corpo rígido mantem-se paralela em cada instante durante o movimento e por isso
as trajectórias de todos os pontos mantêm-se também paralelas. A trajectória percorrida pelo
corpo pode ser recta ou curva, ou seja, a translação denomina-se rectilínea (figura abaixo à
esquerda: as trajectórias são rectas) ou curvilínea (figura abaixo à direita: as trajectórias são
curvas).
Qualquer ponto do corpo pode caracterizar o movimento de translação de maneira inequívoca e
igual. Seja /B A B Ar r r o vector que liga dois pontos arbitrários A e B do corpo rígido. Sendo este
vector constante ao logo do tempo, todas as derivadas segundo o tempo são nulas e por isso:
/B A B A A Br r r v v
/B A B A A Br r r a a
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
O vector do deslocamento que é o vector que liga a posição inicial de um ponto com a sua posição
final num dado instante de tempo, pode escrever-se como:
A A Au r r
Neste caso Ar designou o vector de posição do ponto A na sua nova posição, ou seja, A’. Das
relações acima vê-se que:
/ /B A B A B A B A A A B Br r r r r r r r r r
ou seja, os vectores de deslocamento são iguais
A Bu u
As deduções apresentadas comprovam as definições ditas acima.
Rotação Durante o movimento de rotação, cada partícula A que constitui o corpo faz o movimento
circular, ou seja, a trajectória da partícula A é uma circunferência com o raio definido pela
distância desta partícula ao centro de rotação C. Neste caso usam-se tal como na cinemática da
partícula, grandezas angulares, ou seja: o ângulo percorrido rad , a velocidade angular
rad/s e a aceleração angular 2rad/s . Se a distância entre A e C for r o
caminho percorrido coincide com o arco s r , a intensidade da velocidade linear é
v r r e a direcção do vector correspondente é tangente à trajectória no sentido de
progressão do movimento. A intensidade da aceleração tangencial é ta r r r e a
direcção do vector correspondente é tangente à trajectória no sentido de progressão do
movimento quando acelera e no sentido oposto quando desacelera. Existe ainda a componente
normal da aceleração cuja intensidade é, 2
2
n
va r
r e a direcção do vector correspondente é
normal à trajectória (perpendicular à tangente) com o sentido direccionado para o centro da
rotação, independente do sentido do vector ta .
Para distinguir claramente as duas velocidades, usa-se às vezes o adjectivo “linear”, ou seja, a
velocidade v com a unidade [m/s] pode ser chamada, velocidade linear. Neste contexto a palavra
linear não tem nada a ver com alguma função linear, apenas representa o “recto”, tal como por
exemplo o termo, “mola linear”. O recto neste sentido não limita o movimento para o rectilíneo.
A
C
r
v
A
C
2r
ta
acelerado desacelerado
A
C
2r ta
r
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Movimento plano geral O movimento plano geral pode a cada instante separar-se em translação e rotação. Esta
separação pode aplicar-se ao movimento finito ou infinitesimal e aplica-se aos deslocamentos,
velocidades e acelerações. Para definir esta separação utiliza-se a definição do movimento
relativo, ou seja:
/A B A Bu u u
/A B A Bv v v
/A B A Ba a a
Estas equações podem ser utilizadas apenas estritamente no seu sentido vectorial. As equações
são fáceis de decorar, imaginando que a equação aplica-se aos índices e que “/” representa a
substração, depois os índices dizem: A=B+A-B. O significado físico diz que o deslocamento (a
velocidade, a aceleração) do ponto A pode ser obtida usando o deslocamento (a velocidade, a
aceleração) do ponto B mais o deslocamento (a velocidade, a aceleração) relativo de A
relativamente ao B. No movimento plano geral quando os dois pontos pertencem ao mesmo
corpo (ou representam o mesmo movimento plano geral) o movimento relativo é representado
pela rotação, o que facilita a utilização das equações acima. Ou seja, o termo do movimento
relativo representa a rotação do ponto A em torno do ponto B, ou seja, o movimento em que o
ponto A está a circular e o ponto B permanece fixo e representa o centro de rotação. O ponto B
pode ser designado o ponto de referência, e o ponto A, cujas componentes as equações acima
determinam, pode ser chamado o ponto “de interesse”. Como já deduzido para os deslocamentos
no capítulo PTV, aos pontos de referência diferentes está associada a componente de translação
diferente, mas a componente de rotação será sempre igual. Visto a velocidade ser tangente à
trajectória, o CIR determinado para a definição dos deslocamentos elementares servirá também
para a definição de velocidades, porque as velocidades induzem em tempo infinitesimal os
deslocamentos infinitesimais nas mesmas direcções e sentidos. Por isso o CIR pode-se definir
como o ponto de velocidade nula e esta definição vai designar o mesmo CIR que foi utilizado no
capítulo PTV.
Nas figuras abaixo representam-se vários casos de separações dos movimentos.
A figura acima representa o movimento da barra encostada às duas superfícies. A sua posição
inicial é azul, e a final é verde. Escolhendo o CIR como o ponto de referência, o movimento pode
ser representado apenas como uma rotação em torno do CIR. Nota-se que o CIR muda a sua
posição a cada instante, e por isso o movimento finito tem que ser construído como a soma dos
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
movimentos infinitesimais. No entanto arbitrando qualquer outro ponto como de referência, o
movimento separa-se novamente em translação e rotação. A seta que corresponde ao
deslocamento de translação é diferente para pontos de referência diferentes, mas a contribuição
da rotação permanece igual. O movimento representado não precisa de ser infinitesimal, mas
pode ser finito.
O mesmo verifica-se para as esferas, rodas ou discos em movimento de rolamento sem
escorregamento.
O movimento representado na figura acima pode-se separar em translação e rotação, o ponto de
referência que se costuma usar mais frequentemente é o ponto A.
Translação Rotação
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Dois pontos de velocidades conhecidas Da teoria apresentada no capítulo PTV, torna-se óbvio que
sabendo as velocidades de dois pontos que pertencem ao mesmo
corpo, é possível determinar a posição do CIR tal como se visualiza
na figura ao lado. No entanto verifica-se que neste caso as
intensidades de velocidades são dependentes, porque tem que
verificar:
A Bv v
ACIR BCIR
Ou seja, no plano é possível saber por exemplo a velocidade do ponto A e depois apenas a
direcção da velocidade do ponto B.
Usando o conceito das projecções, pode ainda concluir-se que
, ,, , A y B yA x B x
y y x x
v vv v
B A A B
Quando os vectores de velocidades são paralelos, o corpo sofre uma translação e os vectores têm
que ter a mesma intensidade, porque o CIR correspondente está no infinito, na direcção
perpendicular às direcções das velocidades (figura abaixo, à esquerda). Apenas quando se verifica
que os pontos A e B estão colocados na mesma recta perpendicular aos vectores de velocidades,
as intensidades de velocidades podem ser diferentes (figura abaixo, à direita) e a velocidade
angular verifica:
A Bv v
ACIR BCIR
ou A Bv v
AB
Na equação acima as velocidades entram com
a sua intensidade. A subtracção (ou a soma) faz
se de acordo com a actuação real que também
define o sentido de velocidade angular.
É ainda possível considerar alguma projecção arbitrária, por
exemplo pelo ângulo , tal como na figura à direita. Assim, pode
concluir-se:
, ,cos cos
cos
A p B pA Bv vv v
dAB
Ou no caso das velocidades não paralelas, assumindo
que o ângulo é delimitado por A, CIR e B
,cos
cos
A B pA Bv vv v
dCIRA CIRB
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Ou seja, para determinar a velocidade angular é suficiente conhecer 2 componentes paralelas de
velocidades de 2 pontos do mesmo corpo. Depois a diferença escalar destas componentes (ou a
soma no caso da actuação oposta) divide-se pela distância das rectas que identificam as direcções
destas componentes e passam pelos pontos considerados.
Para completar, pode dizer-se que sabendo a velocidade no ponto A e a
velocidade angular, o CIR pode ser facilmente encontrado na recta
perpendicular à velocidade, à distância d ACIR que satisfaz
AvACIR
Dois pontos de acelerações conhecidas
Ao contrário dos deslocamentos infinitesimais e das velocidades, as
acelerações em 2 pontos do mesmo corpo podem ter sentidos e
intensidades quase arbitrárias. Existe apenas uma condição que será
definida em seguida.
Para resolver a aceleração angular e a velocidade angular, torna-se
mais vantajoso usar o referencial especificado na figura ao lado.
Usando a propagação de acelerações e arbitrando no sentido anti-
horário:
2, ,
/
, ,
B x A x
B A B A
B y A y
a a ABa a a
a a AB
ou seja
, ,B y A ya a
AB
e , ,2 A x B xa a
AB
Por outras palavras, basta projectar as acelerações na direcção
perpendicular à recta que une os dois pontos e retirar a aceleração
angular como o ângulo infinitesimal. Realça-se, no entanto, que isso
não significa que estas componentes projectadas são as
componentes tangenciais, ou seja, as trajectórias destes dois pontos
não são na direcção perpendicular à recta que une os dois pontos.
Para a determinação da velocidade angular, a projecção faz-se na
recta que une os dois pontos. Visto que a equação define o quadrado
da velocidade angular, a subtracção tem que ser positiva, o que em
termos geométricos significa que as componentes não podem
“alargar” a recta que une esses dois pontos. Ou seja, imaginando
que as projecções representam os “deslocamentos” dos pontos, o
“comprimento” novo não pode ser maior. Este conceito é o mais
simples e não é possível fazer a generalização como no caso das
velocidades.
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Problemas que envolvam apenas as velocidades Barras As barras ou os conjuntos de barras em princípio formam as estruturas reticuladas. Como
justificado acima, os problemas que envolvam apenas as velocidades resolvem-se da maneira
explicada no capítulo PTV. A diferença baseia-se em dois pontos: (i) a estrutura do enunciado será
já um mecanismo, ou seja, não se vai introduzir nenhuma libertação como no capítulo PTV; (ii) o
objectivo do cálculo será o campo de velocidades, e por isso 1 valor será dado e com a sua
implementação os restantes valores serão calculados. Isso é válido para mecanismos com 1 GDL,
porque, em analogia, o campo de deslocamentos infinitesimais de um mecanismo com 1 GDL é
definido via 1 parâmetro. Se a estrutura analisada fosse um mecanismo com mais GDL, mais dados
tem que ser definidos para se poder resolver o problema em causa.
Para descobrir o campo de velocidades, pode traçar-se o campo de deslocamentos infinitesimais
e substituir os deslocamentos pelas velocidades lineares e os ângulos de rotação pelas
velocidades angulares.
Problema
Sabendo que a barra AB tem a velocidade
angular 3rad/sAB no sentido anti-horário,
determine as velocidades angulares das barras
BD e DE.
Resolução:
1. Separação em corpos e a determinação dos CIRs
Corpo I: barra AB
Corpo II: barra BD
Corpo III: barra DE
Os apoios fixos correspondem aos CIRs absolutos
o que define 1CIR e
3CIR
Rótulas internas correspondem aos CIRs relativos
o que define 12CIR e
23CIR
O primeiro teorema permite traçar 2 rectas
(vermelhas tracejadas) que determinam a posição
do 2CIR . O
2CIR está posicionado na intersecção
destas rectas. Visto as rectas serem paralelas, o
2CIR está posicionado no infinito na direcção das
rectas.
2. O campo de velocidades
Basta estabelecer as relações entre as velocidades angulares em
semelhança com os deslocamentos virtuais, onde o objectivo
era estabelecer as relações entre os ângulos de rotação.
150
1CIR
3CIR
12CIR
23CIR
2CIR 2CIR
2,CIR
150
DE
Bv
Dv
150
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
O campo de velocidades pode ser representado na figura ou em projecção. No entanto este
problema é tão simples que a visualização de campo de velocidades poderá ser feita directamente
na figura. Pode deduzir-se que:
150 300B AB D DEv v
11,5rad/s
2DE AB (horário)
0BD (corpo em translação)
Nota-se que o cálculo é feito na forma escalar e sem sinais. O sentido das velocidades
determina-se de acordo com o esboço. É importante realçar que o cálculo se refere apenas a um
dado instante de tempo, em que as barras se encontram na posição mostrada. Avançando o
movimento, a posição das barras (que teria de ser determinada pelas regras do movimento finito
e não infinitesimal) será diferente e certamente o CIR da barra BD não vai continuar no infinito, e
por isso a barra terá alguma velocidade angular. A determinação desta velocidade já não seria tão
fácil como no cálculo anterior. Nota-se, no entanto, que os CIRs das outras barras, AB e DE
permanecerão inalterados. Neste contexto faz sentido distinguir os CIRs absolutos fixos e móveis.
O CIR absoluto fixo é habitualmente aquele que foi determinado na posição de apoio fixo, não
muda a sua posição ao longo do movimento finito e por isso além de ter as propriedades do CIR,
coincide também com o centro do movimento de rotação do corpo a que pertence. O CIR
absoluto móvel é habitualmente determinado na intersecção de algumas rectas e por isso muda a
sua posição a cada instante.
No problema anterior determinaram-se as velocidades angulares das barras. Se forem solicitadas
algumas velocidades lineares, estas determinavam-se do mesmo modo como os deslocamentos na
parte de PTV. No problema anterior isso foi aplicado no cálculo das velocidades Bv e
Dv .
Rodas (Discos, Esferas) Os principais movimentos das rodas são o movimento de rotação e o movimento de rolamento.
Quando o rolamento ocorre sem o escorregamento, isso significa que as superfícies cujos pontos
entram em contacto avançam de tal modo que o comprimento percorrido, s, é igual. Isso significa
que não há movimento relativo entre esses pontos e por isso a velocidade do ponto de contacto
tem que ser igual. Se a roda rolar sobre uma superfície em repouso, a velocidade do ponto de
contacto é nula e para os efeitos de análise de movimento, este ponto coincidirá com o CIR
(absoluto). Se a roda rolar sobre uma superfície em movimento, ou sobre outra roda em
movimento, a velocidade do ponto de contacto é diferente de zero e para os efeitos de análise de
movimento, este ponto coincidirá com o CIR relativo.
É necessário distinguir o ponto de contacto, do ponto comum. O ponto comum, por exemplo uma
rótula interna, habitualmente pertence a dois corpos e por isso verifica as regras do movimento de
cada um dos corpos e os seus vectores de deslocamento, velocidade e aceleração são únicos. O
ponto de contacto em princípio representa 2 pontos distintos, e cada um pertence a um corpo
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
diferente. Quando não há escorregamento no lugar de contacto, as componentes tangenciais do
deslocamento infinitesimal, da velocidade e da aceleração são iguais. No caso do deslocamento
infinitesimal e da velocidade, não existem outras componentes do que as tangenciais, e por isso
pode-se dizer que o deslocamento infinitesimal e a velocidade no ponto de contacto são iguais.
Para as acelerações isso já não é verdade, a componente normal de aceleração dos dois pontos
que entram em contacto, em geral, será sempre diferente. Este facto é bastante importante e será
ainda referido na parte das acelerações.
Problema
O braço AB gira com uma velocidade angular de AB no sentido
horário. As rodas A e B, de raios Ar e
Br rolam sem escorregar
sobre si. Determine a velocidade angular da roda A para a qual:
a) a velocidade angular da roda B é de B no sentido anti-
horário;
b) o movimento da roda B é uma translação curvilínea.
Resolução
O mecanismo da figura é composto por 3 corpos, duas rodas e
uma barra. A roda A está apoiada, e por isso faz o movimento de
rotação em torno do apoio, que coincide com o seu CIR
absoluto. Este ponto coincide também com o ponto em torno do
qual roda a barra, é por isso também o CIR da barra. O centro da
roda B, onde há ligação entre a roda B e a barra, é o ponto
comum a dois corpos, ou seja, o CIR relativo, e por isso a
velocidade neste ponto pode ser relacionada quer à roda B, quer
à barra AB. Finalmente o ponto de contacto é o CIR relativo das
duas rodas.
O esboço dos movimentos foi afastado da figura das rodas para não se confundir. Neste caso não
foi projectado para alguma recta particular, porque sabendo os raios das rodas, não é vantajoso
visualizar o esboço em projecção com comprimentos projectados. Por isso, também as
velocidades se visualizam nos seus valores reais e não projectados.
A posição deformada da roda A está representada pela recta vermelha. Esta recta de facto
corresponde à posição deformada do raio da roda assumindo um movimento infinitesimal iniciado
quando este raio estava alinhado com a barra. Igualmente a roda B, representada pela recta
verde, corresponde à posição deformada do raio da roda B. A barra está representada pela recta
azul. O esboço verifica as mesmas velocidades no ponto B, entre a roda B e a barra AB (rectas
verde e azul), e no ponto C, entre a roda A e a roda B (rectas vermelha e verde). Prolongando a
recta verde, encontra-se o ponto da velocidade nula da roda B. Ou seja, o CIR da roda B foi
encontrado da maneira explicada anteriormente e refere-se a dois pontos de velocidades
conhecidas. Os declives das rectas representam as velocidades angulares. Para se relacionar a
velocidade angular B mais facilmente, foi introduzida uma recta paralela à base do esboço.
,B ABCIR
,B ACIR
AB ACIR CIRAB
Bv
CvA
B
B
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Nota-se que a velocidade angular B introduzida, roda no sentido anti-horário, tal como exige a
alínea a). Por esta razão é possível relacionar os valores apenas da forma escalar. Do esboço lê-se
directamente:
A A C B B Br v v r
AB A B Br r v
ou seja
AB A B B B
A
A
r r r
r
Este resultado corresponde à alínea a).
b) Uma translação curvilínea significa que a roda B não sofre de rotação, ou seja 0B e por isso
AB A B
A
A
r r
r
Problema
O braço ABC gira em torno do ponto C com velocidade angular de
40rad/s no sentido anti-horário. Dois discos de atrito A e B estão
pinados em seus centros ao braço ABC do modo mostrado na figura.
Sabendo que os discos rolam sem escorregar nas superfícies de
contacto, determine a velocidade angular:
a) do disco A;
b) do disco B.
Resolução
Seja D o ponto de contacto entre os
dois discos, E o ponto de contacto do
disco B com a cavidade, e F a outra
extremidade do disco A. Na figura ao
lado visualiza-se a forma deformada
do conjunto. A resolução começa por
representar a barra cuja velocidade
angular é dada. Faz-se a sua rotação
em torno do C no sentido anti-horário
(recta azul). O Ponto C corresponde
ao CIR da barra. Esta deformada
define as velocidades dos centros dos
dois discos.
Visto que o ponto E tem a velocidade nula, coincide com o CIR do disco B cuja velocidade angular é
40 1824rad/s
30
ABCBB
B B
CBv
r r
(horário)
mm48
mm30
ABC
Bv
Av BABCA BCD
EF
Dv
BCIRbarraCIR
ACIR
A
A
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
A velocidade angular do disco B permite determinar a velocidade do ponto do contacto D com o
disco A. Visto que a velocidade do centro do disco A é definida pela rotação da barra, o disco A
possui dois pontos de velocidades conhecidas. Tal como explicado anteriormente, o CIR do disco A
está posicionado na intersecção da recta vermelha com a horizontal. O declive corresponde à
velocidade angular. Para facilitar o cálculo, é possível imaginar as rectas vermelhas tracejadas e
calcular
24 60 40 24200rad/s
12
B ABCD AA
A A
DE ACv v
r r
(anti-horário)
Problemas que envolvam as velocidades e as acelerações Em primeiro lugar é necessário realçar, que em geral é sempre necessário resolver o campo de
velocidades antes de começar a lidar com o campo de acelerações, porque as velocidades definem
as componentes normais de aceleração. Apenas se o movimento de todos os corpos se iniciasse
do repouso, o campo de velocidades seria nulo e consequentemente poder-se-ia começar com as
acelerações.
Barras Depois de determinar os CIRs das barras na parte de velocidades, é possível separar os CIRs em
fixos e móveis. Os CIRs fixos definem os centros de rotação. As barras com CIRs fixos que não são
posicionados no infinito (por exemplo na forma do apoio fixo) fazem o movimento de rotação
(cada partícula que constitui a barra faz movimento circular) e por isso as componentes normal e
tangencial das suas acelerações são bem definidas (conhecem-se numericamente, ou é possível
exprimi-las usando grandezas incógnitas). Quando o CIR fixo está posicionado no infinito, como
por exemplo quando a barra tem o apoio externo na forma de encastramento deslizante, a
aceleração angular da barra é nula, a barra está em translação e todas as partículas que
constituem a barra têm a mesma aceleração linear.
Quando existe um apoio móvel externo, ou as condições de movimento implicam a translação de
uma das extremidades da barra, o cálculo pode ser ajudado pelo facto de que neste lugar é
conhecida a direcção da aceleração total.
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Rodas (Discos, Esferas) Movimento de rotação
Durante o movimento de rotação o centro da rotação está fixo. As trajectórias de todos os pontos
são conhecidas e formadas pelas circunferências. O ponto fixo não tem a velocidade nem a
aceleração e corresponde ao CIR fixo. As acelerações e as velocidades determinam-se tal como
explicado anteriormente.
Rolamento sem o escorregamento sobre uma superfície recta
Durante o rolamento sem o escorregamento sobre uma superfície recta, o centro da roda é o
único ponto da roda que se move sobre uma trajectória recta. Esta trajectória é paralela à
superfície. Por isso o vector da velocidade é também paralelo à superfície e o vector da aceleração
tem apenas a componente tangencial, também paralela à superfície. Neste caso costuma-se
interpretar o movimento da roda como o movimento do centro da roda, ou seja, quando se diz
que a roda move-se com uma certa velocidade (aceleração), assume-se que o centro da roda se
move com esta velocidade (aceleração). Naturalmente outros pontos têm velocidades
(acelerações) diferentes e dependentes da posição da roda num dado instante do tempo.
O ponto de contacto com a superfície (somente nesse instante) tem que verificar as condições de
contacto sem o escorregamento, ou seja as condições de movimento relativo nulo, ou seja os
pontos de contacto da roda e da superfície têm que ter as componentes de velocidades iguais e as
componentes de aceleração tangenciais iguais. Mas como os pontos pertencem aos diferentes
corpos, podem ter acelerações normais diferentes. Realça-se que se pode designar a componente
da aceleração como tangencial ou normal, apenas quando a trajectória é conhecida.
Superfície horizontal em repouso
O ponto de contacto A tem a velocidade nula e por isso corresponde ao CIR. As velocidades
determinam-se definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento
como na determinação dos deslocamentos infinitesimais.
B
Cr
v
A
a
B
C
Bv
A CIR
Bv AB
B
C
v
A CIR
v
r
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Realça-se que o vector de velocidade Bv é perpendicular à recta AB e por isso não é
perpendicular à superfície da roda, porque a superfície da roda não representa a trajectória do
ponto B . (A superfície da roda corresponde à trajectória dos pontos de superfície apenas durante
o movimento de rotação em que o centro da roda coincide com o centro de rotação).
Usando o conceito das projecções, é possível determinar a velocidade do ponto B directamente
em componentes, horizontal e vertical. Para a componente horizontal basta imaginar a velocidade
do ponto posicionado na recta horizontal que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do A .
Por outras palavras, todos os pontos posicionados na recta horizontal que passa pelo ponto B
têm a mesma componente horizontal de velocidade. Para a componente vertical basta imaginar a
velocidade do ponto na recta vertical que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do A . Por
outras palavras todos os pontos posicionados na recta vertical que passa pelo ponto B têm a
mesma componente vertical da velocidade.
ou seja
1 cos
sinB
rv
r
e
22 2 2 2 21 cos sin
2 1 cos
Bv r r
r AB
Sublinha-se que o conceito de projecção podia ser
generalizado, ou seja, todos os pontos
posicionados sobre uma recta têm a componente
de velocidade na direcção desta recta igual. Este
valor equivale à multiplicação de com a
distância desta recta ao CIR. Este conceito já foi
utilizado no capítulo PTV.
Ainda é possível usar o cálculo vectorial
1 cos 1 cos
0 0 sin sin
sin 1 cos 0 0 0
B
i j k r v
v AB r v
r r
B
C
Bv
A CIR
, 1 cosB xv r
B
C
Bv
A CIR
, sinB yv r
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Nota-se que foi introduzido como negativo, porque a atribuição do vector usa a regra de mão
direita. O cálculo poderia ser efectuado directamente usando a simplificação que reduz o
resultado para 2D e em que a primeira multiplicação com a velocidade angular (cujo sinal foi
introduzido de acordo com a regra de mão direita) usa a segunda componente do vector AB
com o sinal inverso e a segunda multiplicação a primeira componente.
1 cossin 1 cos 1 cos
1 cos sin sinsinB
rr r vv AB
r r vr
O cálculo anterior na realidade corresponde à propagação de velocidades com o ponto de
referência A
/ /B A B A B Av v v v
Mas para a propagação de velocidades o mais vantajoso ponto de referência é o centro da roda
C, assim:
/
cossin 1 cos,0
sin0 cos 0 sinB C B C
rv r v vv v v v CB
rr v
Aceleração do ponto do contacto
Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração nula. Usando a
propagação de acelerações:
/ 2,
0
0A C A C
A n
a ra a a
a r
Neste caso simples usaram-se directamente as componentes de aceleração normal e tangencial
nas posições das componentes, vertical e horizontal.
Na primeira figura visualizam-se as acelerações conhecidas, ou seja, sabe-se a aceleração do
centro e a aceleração tangencial do ponto de contacto. Pode haver aceleração normal no ponto
A , mas o seu valor ,A na ainda é desconhecido. O movimento separa-se em translação com C e a
rotação em torno do C . A translação visualiza-se na segunda figura, todos os pontos inclusive A
e C têm a mesma aceleração do C , ou seja a . A rotação visualiza-se na terceira figura. O ponto
C está fixo e o ponto A faz o movimento de rotação. Como o movimento é de rotação, sabe-se a
trajectória e podem-se usar as componentes da aceleração na forma tangencial e normal tal como
definidos para o movimento circular. Para isso é necessário saber a velocidade angular , que
teve que ser determinada na parte de velocidades. Falta ainda a aceleração angular , e por isso
introduz-se como um valor desconhecido e arbitra-se o seu sentido. Verifica-se que as
C a
A
,A na
C a
A
a
,C fixo
r A
2r
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
componentes no ponto A são representadas na equação acima. A equação é vectorial e tem duas
incógnitas, resolvendo vem: /a r e 2
,A na r .
Verifica-se que poderia ser utilizado o conceito explicado anteriormente: sabendo as
componentes de aceleração em 2 pontos distintos que pertencem ao mesmo corpo (fazem o
mesmo movimento), na direcção perpendicular à recta que une estes dois pontos, pode se
determinar a aceleração angular como o ângulo infinitesimal, do modo semelhante como se
costuma determinar a velocidade angular.
Aceleração do ponto B
Determinação gráfica via propagação de acelerações: A separação em translação com C e a
rotação em torno do C , costuma ser a separação mais vantajosa, porque o movimento de
rotação depois coincide com o movimento de rotação em torno do centro da roda, em que as
componentes de aceleração são bem conhecidas.
2 2
/ 2 2
cos sin 1 cos sin
0 sin cos sin cosB C B C
a r r a ra a a
r r a r
O cálculo vectorial segue o mesmo raciocínio
2 2
/
2 2
2 2
sin sin
0 0 cos cos
cos sin 1 cos sin
0 sin cos sin cos
B C B C
a a r ra a a CB CB
r r
a r r a r
r r a r
Superfície horizontal em movimento Admite-se que uma roda role sem escorregar sobre uma
superfície que também está em movimento. A roda move-
se com a velocidade v para a direita e acelera pelo a .
A superfície move-se na mesma direcção com a velocidade / 2v e desacelera pelo / 2a .
Pretende-se determinar a velocidade e a aceleração no ponto B da roda.
Velocidades
O ponto de contacto A não tem a velocidade nula, por isso é necessário determinar o CIR usando
o procedimento definido para 2 pontos de velocidades conhecidas. As velocidades determinam-se
B
Cr
v
A
a
/ 2v / 2a
B
C a
A
aB
,C fixo
r
A
2r
C a
A
B
?Ba
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento como na
determinação dos deslocamentos infinitesimais.
A posição do CIR foi determinada usando a semelhança dos triângulos. Realça-se novamente que
o vector de velocidade Bv é perpendicular à recta CIRB e por isso não é perpendicular à
superfície da roda porque esta não representa a trajectória do ponto B .
Usando o conceito das projecções, é possível determinar a velocidade do ponto B directamente
em componentes, horizontal e vertical. Para a componente horizontal basta imaginar a velocidade
do ponto posicionado na recta horizontal que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do CIR .
Para a componente vertical basta imaginar a velocidade do ponto na recta vertical que passa pelo
ponto B , que é o mais próximo do CIR . Ou seja
2 cos
sinB
rv
r
e
22 2 2 2 22 cos sin 5 4cosBv r r r CIRB
Ainda é possível usar o cálculo vectorial, que neste caso corresponde a propagação de velocidades
com o ponto de referência igual ao CIR (já com a simplificação implementada):
sin 2 cos
2 cos sinB
r rv CIR B
r r
usando
sin
2 cos
rCIR B
r
É ainda possível usar a propagação de velocidade com o ponto de referência coincidente com o
centro da roda:
/
2 sin 2 cos
0 0 cos sinB C B C
v r r rv v v CB
r r
Também pode ser utilizado outro ponto de referência, por exemplo o ponto A :
/
sin/ 2 2 cos
1 cos0 0 sinB A B A
rv r rv v v AB
r r
B
Cv
A
2
v
r
/ 2v
CIR
r
B
C
Bv
A
Bv CIRB
CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Aceleração do ponto do contacto
Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração definida. Usando
a propagação de acelerações:
/ 2,
/ 2
0A C A C
A n
a a ra a a
a r
Na primeira figura visualizam-se as acelerações conhecidas, ou seja, sabe-se a aceleração do
centro e a aceleração tangencial do ponto de contacto. Pode haver aceleração normal no ponto
A , mas o seu valor ,A na ainda é desconhecido. O movimento separa-se em translação com C e a
rotação em torno do C . A translação visualiza-se na segunda figura, todos os pontos, inclusive A
e C têm a mesma aceleração do C , ou seja a . A rotação visualiza-se na terceira figura. O ponto
C está fixo e o ponto A faz movimento de rotação. Como o movimento é de rotação, sabe-se a
trajectória e podem usar-se as componentes da aceleração na forma tangencial e normal, tal
como definidos para o movimento circular. Para isso tem que saber-se a velocidade angular ,
que teve que ser determinada na parte de velocidades. Falta ainda a aceleração angular , e por
isso introduz-se como valor desconhecido e arbitra-se o seu sentido. Verifica-se que as
componentes no ponto A são representadas na equação acima.
A equação é vectorial e tem duas incógnitas, resolvendo vem:
1,5 /a r e 2
,A na r . Ou seja, a aceleração angular
determinou-se usando duas componentes de aceleração
conhecidas, que actuam na direcção perpendicular à recta que une
os pontos A e C , tal como se visualiza na figura ao lado. A
componente normal é igual como no caso anterior e pode-se assim
concluir que tem a validade geral.
Aceleração do ponto B
Determinação gráfica via propagação de acelerações usando o centro da roda C:
C a
A
a
,C fixo
r A
2r
B
C a
A
aB
,C fixo
r
A
2r
C a
A
B
?Ba
C a
A
,A na
/ 2a
C a
A
2r
/ 2a
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
2
22
/ 2 22
52,5 cos sincos sincos sin 4
30 sin cos
sin cos1,5 sin cos4
B C B C
va
a r rr r ra a a
r r vr ra
r
Foi utilizado que 2v r e 1,5 /a r .
O cálculo vectorial em princípio segue o mesmo raciocínio
2
2 2
/ 2
2
2
cossin sin sin
sin0 0 cos cos 0 cos
2,5 cocos sin
0 sin cos
B C B C
ra a r r a ra a a CB CB
rr r r
aa r r
r r
2
2
22
5s sincos sin4
3
sin cos1,5 sin cos4
v
r rr
vr ra
r
Superfície inclinada em movimento Admite-se que uma roda role sem escorregar sobre uma
superfície inclinada que também está em movimento. A
roda move-se com a velocidade v para baixo e acelera
pelo / 2a . A superfície move-se na direcção oposta com
a velocidade / 2v e desacelera pelo a . Determine a
velocidade e a aceleração no ponto B da roda.
Resolução
Velocidades
O ponto de contacto A não tem a velocidade nula e por isso é necessário determinar o CIR
usando o procedimento definido para 2 pontos de velocidades conhecidas. As velocidades
determinam-se definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento
como na determinação dos deslocamentos infinitesimais.
Usando o conceito das projecções, é possível determinar a velocidade do ponto B directamente
em componentes; neste caso será mais vantajoso determinar as componentes na direcção
paralela e perpendicular à superfície. Para a componente paralela à superfície basta imaginar a
recta paralela que passa pelo ponto B e retirar a sua distância do CIR . Para a componente
B
C r
v
A
a
/ 2v
/ 2a
3
2
v
r CIR
B
Cv
A
/ 2v
Bv CIRBB
v
A
/ 2vCIR
referencial
usado
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
perpendicular à superfície basta imaginar a recta perpendicular à superfície que passa pelo ponto
B e retirar a sua distância do CIR . Ou seja
2 / 3 cos
sinB
rv
r
e
2
2 2 2 2 22 13 4cos sin cos
3 9 3Bv r r r CIR B
Ainda é possível usar o cálculo vectorial:
sin 2 / 3 cos
2 / 3 cos sinB
r rv CIR B
r r
É ainda possível usar a propagação de velocidades, por exemplo, com o ponto de referência
coincidente com o centro da roda:
/
sin cos 2 / 3 cos
0 0 cos 0 sin sinB C B C
v v r v r rv v v CB
r r r
Na relação anterior foi substituído 2 / 3v r . Pode ser utilizado qualquer outro ponto de
referência, por exemplo o ponto A :
/
sin/ 2 / 2 2 / 3 cos
1 cos0 0 sinB A B A
rv v rv v v AB
r r
Aceleração do ponto do contacto
Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração definida. Usando
a propagação de acelerações:
/ 2,
/ 2
0A C A C
A n
a a ra a a
a r
No entanto, podia determinar-se a aceleração angular diretamente, usando os conceitos já
explicados, / 2a r , e sobre a componente normal também já se sabe que o seu valor tem
a validade geral, 2
,A na r .
A
,C fixo
r
2r
C
Aa
/ 2a
C
A
a
/ 2a ,A na
C
A
/ 2a
/ 2a
C
A
a
/ 2a2r
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Aceleração do ponto B
Determinação gráfica via propagação de acelerações: a separação em translação com C e a
rotação em torno do C . Agora torna-se mais vantajoso usar as componentes, horizontal e
vertical.
/ 2 2
2
1cos 1 cos
1 cos2 2
1 9sinsin sin
2 2 4
B C B C
aa
r ra a a
r ar ra v
r
Foi utilizado que 2
3v r e 2a r .
O cálculo vectorial em princípio segue o mesmo raciocínio
2 2
/
2 2
1 1cos cos
0 02 2
1 1sin sin
2 2
1cos 1
0 1 cos2 2
1 0 sinsin
2
B C B C
a a
a a a CB CBr r
a a
aa
r r
r r ra
2
cos
9sin
2 4
av
r
Pode concluir-se que em todos os casos a componente de aceleração perpendicular à superfície
no ponto de contacto foi de 2r .
Para determinação dos valores angulares e , foi utilizado um conceito explicado no
capítulo PTV.
B
A
,C fixo
r2r
B
C
A
/ 2a
/ 2aB
C
A
/ 2a
?Ba
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Barras com velocidades e acelerações dadas Vários problemas que consideram as estruturas reticuladas começam por definir a velocidade
angular e a aceleração angular de uma das barras. Os valores angulares são os mais fáceis de
implementar porque a sua definição é completamente arbitrária e não pode entrar em
contradição. Mas poder-se-ia definir uma velocidade de 1 ponto e uma aceleração de 1 ponto
(diferente ou igual). Estes valores já não são arbitrários e têm que obedecer às leis de
cinemática.
Considera-se uma barra com apoio fixo e outra com encastramento deslizante. Recorda-se que
estes apoios retiram 2GDL e por isso definem plenamente a posição do CIR da respectiva barra
(não dão apenas uma indicação da posição do CIR, como por exemplo o apoio móvel). Por isso
estas barras podem ser consideradas como um mecanismo único ou como uma parte de
mecanismo. De qualquer maneira a discussão que se mostra em seguida é valida para ambos os
casos.
Velocidade
(1) Único movimento que a barra ao lado pode fazer é
rotação em torno do apoio. A velocidade tem que ser
paralela à recta que une o ponto em que a velocidade actua
e o CIR (sentido foi arbitrado, podia ser oposto).
(2) Único movimento que a barra ao lado pode fazer é
translação na direcção da libertação no apoio, por isso o
vector de velocidade tem que actuar na mesma direcção,
porque é a direcção de trajectória de cada ponto da barra
(sentido foi arbitrado, podia ser oposto).
Aceleração
(1) Único movimento que a barra ao lado pode fazer é
rotação em torno do apoio. O CIR é fixo e por isso
representa o centro de rotação. O vector da aceleração
(vermelho) tem que estar desviado para o centro de
rotação, porque depois de o decompor na sua componente
tangencial (azul) e normal (verde), o sentido da
componente normal tem que ser direccionado para o
centro. A intensidade depende da velocidade e no limite
pode ser nula.
(2) Único movimento que a barra ao lado pode fazer é
translação na direcção da libertação no apoio, por isso o
vector de aceleração tem que actuar na mesma direcção. A
aceleração angular é nula.
,C A
BB
,C
A
a a
A C A C
B B
a a
,CIR A
BB
,CIR
A
v v
A CIR A CIR
B Bv v
ta
na
ta
na ta
AB
v
AB
0
0
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
O conceito das projecções (revisão do conceito explicado no capítulo anterior) O conceito das projecções simplifica todos os cálculos desta parte da matéria. Em vez de fazer
cálculos vectoriais, permite fazer um cálculo baseado em esboços na forma escalar, em que a
maior parte dos sinais é deduzida dos esboços.
O conceito pode ser explicado directamente através das figuras ou do cálculo vectorial
Assumindo O como o centro de rotação, foi definido que y
A
x
dv OA
d
, onde
x
y
dOA
d
, ou seja, ,A x yv d e
,A y xv d
Isso significa que para definir a componente
horizontal de velocidade, traça-se uma recta
horizontal pelo ponto onde a velocidade actua e
detecta-se a distância desta recta ao ponto em
torno do que se efectua a rotação, e o sentido
determina-se no esboço. Da figura vê-se que:
, sin siny
A x A y
dv v OA OA d
OA
Analogamente, para a componente de velocidade
vertical traça-se uma recta vertical pelo ponto
onde a velocidade actua e detecta-se a distância
desta recta ao ponto em torno do que se efectua a
rotação, e o sentido determina-se no esboço. Da
figura vê-se que:
, cos cos xA y A x
dv v OA OA d
OA
Em resumo, todos os pontos posicionados numa recta têm a componente de velocidade na
direcção desta recta igual.
Para completar, recorda-se como se projectam as
componentes normais de aceleração. Aqui usa-se
directamente a componente do vector OA na direcção da
componente
2 2 2
, cos cos xnA x nA x
da a OA OA d
OA
2 2 2
, sin siny
nA y nA y
da a OA OA d
OA
O produto interno confirma que os vectores das acelerações são ortogonais:
2
2 2
20
T
yx
nA tA x y x y
xy
dda a d d d d
dd
A
O x
y
ydxd
Av
,A yv
,A xv
A
O x
y
yd
Av
,A xv
B CD
,B xv
Bv
,C xv
Cv
Dv
,D xv
A
O x
y
yd
xd
nAa
,nA xa,nA ya
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Problema
Sabendo que a barra AB tem a velocidade
angular 3rad/sAB no sentido anti-horário,
e aceleração angular 22rad/sAB no sentido
horário, determine as acelerações angulares
das barras BD e DE.
Resolução:
1. O campo de velocidades já foi determinado num problema
anterior. Para as acelerações é importante resumir as
velocidades angulares (sentidos são agora indiferentes)
1,5rad/sDE , 0BD
2. Para as acelerações, é importante definir primeiro os
corpos com movimentos bem definidos, que são
habitualmente os corpos com apoios externos que indicam o
tipo de movimento. As barras AB e DE têm um apoio fixo, ou
seja CIR fixo, ou seja, o centro de rotação, e é possível
determinar as componentes normais e tangenciais de
aceleração nas rótulas que ligam estas barras à barra BD.
Em seguida procede-se com a propagação de acelerações,
por exemplo:
/D B D Ba a a , onde /D Ba equivale às componentes de
rotação do ponto D em torno do ponto B, como se visualiza
ao lado.
No total há 2 incógnitas, BD e
DE . Para estas incógnitas é
possível escrever uma equação vectorial que corresponde a
duas equações escalares.
A equação pode ser representada assim:
É mais vantajoso usar directamente as projecções
Substituindo os valores numéricos e comparando as componentes verticais
150
DE
Bv
Dv
150
BD
,B fixo
BD BD2 0BD BD
AB
DEAB AB
DE DE
2
DE DE
2
AB AB
AB AB
DE DE
2
DE DE2
AB AB BD BD
AB AB
DE DE
2
DE DE2
AB AB240BD
320BD
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
29300 9 150 320 675 1350 320 6,33rad/s
4BD BD BD
e horizontais 2300 2 150 240 6,06rad/sDE BD DE
Concluiu-se que 0BD apesar de 0BD . Isso porque a translação da barra BD só se verifica
naquele mesmo instante.
A propagação de acelerações também pode ser interpretada da maneira seguinte: a estrutura
separa-se no ponto D e chega-se aos valores de aceleração dos dois lados. Em seguida comparam-
se as componentes horizontais e verticais, porque a aceleração do ponto D é única.
Usando novamente o conceito das projecções para a componente inclinada, obtêm-se as
equações acima. Ainda existe a possibilidade de efectuar cálculos vectoriais, mas neste caso
simples não se justifica.
Problema
Na posição mostrada, a barra AB tem uma
velocidade angular de 4rad/s no sentido
horário e a aceleração angular nula. Determine
as velocidades angulares e as acelerações
angulares das barras BD e DE.
Resolução
1. Velocidades
A resolução pode ser auxiliada pelos CIRs.
Da semelhança dos triângulos:
500
400 400
h
x
e
800
400 400
h
x
Resolvendo: 615,38mmh , 92,31mmx
As velocidades angulares resolvem-se das projecções, para a vertical ou para a horizontal.
AB AB
DE DE
2
DE DE
2
AB AB
AB AB2
AB AB
BD BD
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Assim:
800 500AB BD DEh
ou analogamente:
400 400AB BD x e 400 400DE BD x
Resolvendo:
5,2rad/sBD , 6,4rad/sDE
2. Acelerações
Tal como no problema anterior a estrutura separa-se no ponto D.
Ou seja:
Em componentes
I
III
II
1CIR
3CIR
2CIR
x
h
I
III
II
1CIR
3CIR
2CIR
x
h
, ,B x D xv v
AB
BD
DE
,B yv
ABBD
DE,D yv
2
AB AB2
AB AB
BD
2
BD BD
BD BD2
DE DE
DE
DE DE
2
AB AB2
BD BD
BD BD
DE DE
2
DE DE
2 400AB
2
BD BD
BD BD
500DE
2 500DE2 800AB 400DE
2 400DE
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Comparando as componentes horizontais 2 2 216 400 5,2 800 500 6,4 400 2,304rad/sDE DE (anti-horário)
e verticais 2 216 800 800 2,304 400 6,4 500 10,752rad/sBD BD (anti-horário)
Resolução usando o cálculo vectorial (para o referencial 0xy na posição habitual, onde a posição
da origem é indiferente)
400
800AB
,
800
0BD
, 400
500ED
Recorda-se que as acelerações angulares foram arbitradas nos sentidos positivos e por isso para o
cálculo vectorial simplificado basta trocar as componentes do respectivo vector e mudar o sinal da
componente que está depois na primeira posição.
2800 400
0400 800
B ABa
, 2500 400
400 500D DE DEa
2 2
/
400 0 800
800 800 0D B D B AB BD BDa a a
ou seja
2 2 2400 0 800 500 400
800 800 0 400 500AB BD BD DE DE
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Casos em que a aceleração angular de um corpo é nula A aceleração angular é nula quando o corpo efectua translação rectilínea ou curvilínea. A indicação
deste movimento não se pode definir analisando apenas um dado instante, mas o movimento
completo. Ou seja, quando o CIR de algum corpo que pertence ao conjunto de corpos estiver
posicionado no infinito num dado instante, isso não assegura a aceleração angular nula, porque o
CIR daquele corpo tem que estar no infinito ao longo do movimento.
O CIR posicionado no infinito na mesma direcção verifica-se por exemplo no caso da barra com
encastramento deslizante. Neste caso a translação é rectilínea.
Quando ao longo do movimento o CIR estiver posicionado no infinito, mas mudar a sua direcção,
a translação é curvilínea. Isso verifica-se por exemplo no caso do corpo ligado a duas barras
rotuladas de mesmo comprimento, tal como se comprova na figura abaixo.
De qualquer maneira não é indispensável decorar os casos mencionados, porque o cálculo das
acelerações, usando as regras explicadas anteriormente, permite rapidamente obter a mesma
conclusão.
,CIR A
BB
,CIR
A
v v
,C A
BB
,C
A
a a
2h
1h
2h
1h 2L
2h
3h
1 3
2 0
1 3
hinstantedado
,CIR
L
h2 0
I
II
III
I
II
III
1 3
2 0 h
L
h
,CIR
outro instante2h
1h
2h
1h 2L
2h
3h
1 3
2 0
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Propagação de acelerações nas estruturas reticuladas com encastramento deslizante.
O procedimento de determinação das acelerações nas estruturas reticuladas com rotulas
internas, usa diretamente o facto que as componentes da aceleração linear na rótula são iguais,
considerando a rótula como a parte integrante do primeiro ou do segundo corpo que liga. Isso é
óbvio, tratando se do mesmo ponto. No caso do encastramento deslizante, a situação não é tão
óbvia. Na realidade a componente da aceleração na direcção perpendicular ao movimento tem
que ser igual, porque nesta direcção a aceleração relativa tem que ser nula (não se pode “abrir” o
encastramento deslizante). Mas na direcção do movimento os valores são diferentes. Parece que
está se assim introduzir mais uma incógnita, mas isso não é verdade, porque a aceleração angular
do segundo corpo tem que ser igual como do primeiro. Trata-se por isso apenas da troca de
incógnitas, quando comparado com o caso da rótula interna.
Problema
Sabendo a velocidade 1 e a aceleração
1 angulares da barra AB (actuantes no sentido horário),
determine a velocidade e a aceleração angulares da barra BC e a velocidade e a aceleração linear
do apoio B.
Resolução:
1. velocidades
12 1
2
d
d anti-horário, 1 2
, 1 1
2 1
C x
d dv h h
d d
2 1 horário, , 1C xv h
(compare os resultados obtidos com o conceito das projecções)
1CIR
2CIR
12
1CIR
2CIR
12
1d 2d
h
1d 2d
h
A
B
C
A
B
C
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
2. acelerações
resolvendo o sistema
212 1 1
2 2
d h
d d anti-horário , 1 2B da d
2 1, 1 1 1
2
1C x
da h d
d
2
, 1 1 1 2C xa h d d
2
CaCa
2 2d
2
2 2d
1 1d
2
1 h
1h2
1 1d
1 1d
2
1 h
1h2
1 1d
,B da
1h
2
1 1d
outro lado
do encastramento
deslizante
1CaCa
1 2d
2
1 2d