1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Filtros Passivos

2

Introdução

• A variação de frequência de uma fonte senoidal altera a

impedância de capacitores e indutores;

• Realizando a conexão de resistores, indutores e capacitores é possível construir circuitos cuja saída apresenta componentes dos sinais de entrada para uma determinada faixa de frequência. Tais circuitos são conhecidos como circuitos de seleção de frequência ou filtros.

3

Aplicações de Filtros Elétricos

• Sistemas de áudio (equalizador, cross-over)

• Sistemas de comunicação: rádio, TV, satélites

• Sistemas biomédicos

• Sistemas de distribuição de energia

(filtro de harmônicas)

4

Objetivos

• Conhecer as configurações de elementos RLC que

funcionam como filtros passivos

• Entender as características dos filtros: frequência de corte, largura de faixa e fator de qualidade

• Estudar circuitos com amplificadores operacionais que funcionam como filtros ativos

5

Função de Transferência e Resposta em Frequência

)(

)()(

sV

sVsH

i

o

Função de transferência

Resposta em frequência sjω

( ) ( ) ( )H j M M(ω) - Curva de Módulo

(Magnitude ou Amplitude)

(ω) - Curva de Defasagem

6

Resposta em Frequência

Circuito em Regime Permanente Senoidal

e s=

+e

vi(t) vo(t)

( ) ( )M ( ) ( )e eM ( ) ( )s sM

Entrada Saída

Para cada :

7

Resposta em Frequência

• 𝑀 𝜔 ∠𝜃 𝜔 é a resposta em frequência

• A saída senoidal em regime permanente é:

𝑀𝑠 𝜔 ∠𝜃𝑠 𝜔 = 𝑀𝑒 𝜔 𝑀 𝜔 ∠ 𝜃𝑒 𝜔 + 𝜃 𝜔

M(ω) - Curva de Módulo

𝜽(ω) - Curva de Defasagem

𝑀 𝜔 =𝑀𝑠(𝜔)

𝑀𝑒(𝜔)

𝜔 = 𝜃𝑠 𝜔 − 𝜃𝑒 𝜔

8

Resposta em Frequência

M(ω)

(ω)

dB

graus

9

Resposta em Frequência

fc = 100Hz

f =318 Hz

10

Filtros Ideais

Passa-Baixas Passa-Altas

Símbolos

Banda de

passagem

Banda de

passagem

Banda de

rejeição Banda de

rejeição

ωc- frequência

de corte superior

ωc- frequência

de corte inferior

11

Filtros Ideais

Passa-Faixa Rejeita-Faixa

Símbolos

Banda

de

passa-

gem

Banda de

passagem

Banda de

passagem Banda de

rejeição Banda de

rejeição

Banda

de

rejei-

ção

ωc1- frequência

de corte inferior ωc2- frequência de corte superior

12

Filtro Passa-Baixas

Circuito RL em Série 𝐻 𝑠 =

𝑅

𝑅 + 𝐿𝑠

𝐻 𝑠 =𝑅𝐿

𝑅𝐿 + 𝑠

𝐻 𝑗𝜔 =𝑅𝐿

𝑅𝐿 + 𝑗𝜔

22 /

/)(

LR

LRjH

( )L

j arctgR

Para avaliar a resposta em

frequência 𝒔 = 𝒋𝝎

Módulo

Fase

13

Filtro Passa-Baixas

Circuito RL em Série Para 𝜔 = 0 as tensões de

entrada e saída são iguais em módulo e fase.

𝜔 = 0; 𝐻 𝜔 = 1; = 0

Para 𝜔 a amplitude da tensão de saída é zero e seu ângulo de fase com relação à entrada é -900.

𝜔 → ∞; 𝐻 𝜔 = 0;𝜃 𝜔 = −900

14

Filtro Passa-Baixas

Circuito RL em Série

Filtro Ideal

ωc = frequência

de corte superior

ou frequência de

meia potência

max

1( )

2cH H

max

1( )

2cP P

L

Rc

Hmax

1

2Hmax .1

2

(𝟎,𝟕𝟎𝟕.𝑯𝒎𝒂𝒙)

15

Filtro Passa-Baixas

c

1

Tempo X

Frequência

Relação entre frequências de corte e constantes de tempo

c

c

ssH

)(Forma geral das funções de transferência dos

Filtros Passa-Baixas

16

Filtro Passa-Altas

Circuito RC em Série 𝐻 𝑠 =

𝑅

𝑅 + 1 𝑠𝐶 =

𝑅𝐶𝑠

𝑅𝐶𝑠 + 1

𝐻 𝑠 =𝑠

1𝑅𝐶

+ 𝑠

( ) 90j arctg RC

22 /1)(

RCjH

𝐻 𝑗𝜔 =𝑗𝜔

1𝑅𝐶

+ 𝑗

Para avaliar a resposta em

frequência 𝒔 = 𝒋𝝎

17

Filtro Passa-Altas

Circuito RC em Série Para 𝜔 = 0 o circuito está aberto

e não há tensão no resistor. Neste caso a defasagem é 900.

𝜔 = 0; 𝐻 𝜔 = 0; 𝜃 𝜔 = 900

Para 𝜔 → , o capacitor é um curto e a tensão está toda no resistor. Neste caso a defasagem é nula.

𝜔 → ∞; 𝐻 𝜔 = 1;𝜃 𝜔 = 00

18

Filtro Passa-Altas

Filtro Ideal:

Circuito RC em Série

RCc

1

ωc = frequência de

corte inferior ou frequência de meia potência Hmax

max

1( )

2cH H max

1( )

2cP P

1

2

19

Filtro Passa-Altas

Os circuitos RC e RL possuem a mesma frequência de corte, independente do tipo de filtro (PB ou PA).

c

1

Tempo X

Frequência

Relação entre frequências de corte e constantes de tempo

20

Filtro Passa-Altas

A única diferença entre as funções de transferência são os termos que especificam a frequência de corte.

Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Altas cs

ssH

)(

21

Filtro Passa-Faixa

Circuito RLC em Série

)/1()/(

)/()(

2 LCsLRs

sLRsH

222 )]/([])/1[(

)/()(

LRLC

LRjH

2

( / )( ) 90

(1/ )

R Lj arctg

LC

𝐻 𝑠 =𝑅

𝑅 + 1 𝑠𝐶 + 𝑠𝐿 x𝑠

𝐿

x𝑠

𝐿

𝑠 = 𝑗𝜔 →

22

Filtro Passa-Faixa

Circuito RLC em Série

0 < 𝝎 <

𝝎 = 0 𝝎 →

23

Filtro Passa-Faixa

Circuito RLC em Série

Filtro Ideal

ωc1- frequência de corte inferior

ωc2- frequência de corte superior

01

0

0 Cj

Lj

LC

10

Na frequência central ou de ressonância, 𝜔0: |XL|= |XC| e a tensão de saída é máxima.

222)]/([])/1[(

)/(

2

1

LRLC

LR

cc

c

Hmax

max

1( )

2cH H

24

Filtro Passa-Faixa

Frequências de corte c1 e c2

Para |H(c)| = 0,707. Hmax

max 0( ) 1H H 222

)]/([])/1[(

)/(

2

1

LRLC

LR

cc

c

LCL

R

L

Rc

1

22

2

1

LCL

R

L

Rc

1

22

2

2

0 1 2c c

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

Largura de faixa ():

diferença entre as frequências de corte

12 cc L

R

freq. de ressonância

25

Filtro Passa-Faixa

Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa.

0Q

Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados.

2CR

LQ

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

26

Filtro Passa-Faixa

𝑄3 > 𝑄2 > 𝑄1

𝑄 = 2𝜋

𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜

27

Filtro Passa-Faixa

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

Cálculo das frequências de corte em termos de e 𝜔0

2

0

2

122

c

2

0

2

222

c

Cálculo das frequências de corte em termos de Q e 𝜔0

2

012

11

2

1

QQc

2

022

11

2

1

QQc

28

Filtro Passa-Faixa

Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Faixa

2 2

0

( )s

H ss s

)/1()/(

)/()(

2 LCsLRs

sLRsH

0 1/ /LC R L

29

Filtro Rejeita-Faixa (ou notch)

Circuito RLC em Série

22

2

2

1

1

)(

L

R

LC

LCjH

2

( )1

R

Lj arctg

LC

LCs

L

Rs

LCs

sCsLR

sCsL

sH1

1

1

1

)(2

2

30

Filtro Rejeita-Faixa

Circuito RLC em Série

𝝎 = 0

𝝎 →

0 < 𝝎 <

A tensão de saída é definida no par Indutor-Capacitor

São caracterizados pelos mesmos parâmetros dos filtros PF

31

Filtro Rejeita-Faixa

Circuito RLC em Série

Filtro Ideal

min 0( ) 0H H

LC

10

)()0(max jHjHH

max

1( )

2cH H

ωc1- frequência de corte

inferior

ωc2- frequência de corte

superior

32

Filtro Rejeita-Faixa

LCL

R

L

Rc

1

22

2

1

LCL

R

L

Rc

1

22

2

2

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

Frequências de corte 𝝎c1 e 𝝎c2 Para |H(s)| = 0,707 Hmax

Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte

12 cc L

R

33

Filtro Rejeita-Faixa

Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa

0Q2CR

LQ

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados.

34

Filtro Rejeita-Faixa

Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros

Cálculo das frequências de corte em termos de e 𝜔0

Cálculo das frequências de corte em termos de Q e 𝜔0

2

0

2

122

c

2

0

2

222

c

2

012

11

2

1

QQc

2

022

11

2

1

QQc

35

Filtro Rejeita-Faixa

Forma geral das funções de transferência dos Filtros Rejeita-Faixa

2 2

0

2 2

0

( )s

H ss s

36

Efeito da carga

Filtro com Carga

Adicionar uma carga à saída de um filtro passivo altera as suas propriedades de filtragem.

Exemplo: Filtro passa-altas

)/(

.)(

LRKs

sKsH

L

L

RR

RK

37

Efeito da carga

Resposta do Filtro com Carga

frequência

sem carga

com carga

Hmax2

Hmax2 0.5

38

Efeito da Resistência do Gerador

Gerador com Resistência Interna

Substituir uma fonte ideal por uma fonte com resistência interna não nula altera as propriedades de filtragem do filtro passivo.

Exemplo: Filtro passa-faixa

RiR

RK

2 2

0

( )K s

H ss s

39

Efeito da Resistência do Gerador

Gerador com Resistência Interna

1

2

40

Referências

1. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,

Pearson, 2008.

2. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

3. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.