Universidade de Brasılia

Departamento de Matematica

Matematica 1

O perımetro do cırculo

(solucao da tarefa)

Para a solucao da tarefa vamos usar as figuras abaixo e proceder como no texto.

αn

ln

2

rhn

A

B

C

αn

ln

2

hn

r

Usando o triangulo retangulo do lado direito vemos que

sen(αn) =ln/2

r, cos(αn) =

hn

r,

de modo que ln/2 = r sen(αn) e hn = r cos(αn). A area de um triangulo e metade do produto

do comprimento da sua altura pela sua base. Assim, como αn = π/n, a area do triangulo

ABC acima e dada por1

2lnhn = r2 sen

(π

n

)

cos(π

n

)

.

Como o polıgono e formado por n triangulo deste tipo, temos que a sua area e

an = πr2 ×sen(π/n)

π/n× cos

(π

n

)

.

Vamos estudar o comportamento do termo que envolve o cosseno. Uma vez que π/n se

aproxima de zero quando n cresce, este termo deve se aproximar de cos(0) = 1. Deste modo

limn→+∞

cos(π

n

)

= 1.

Por outro lado, vimos no texto que

limn→+∞

sen(π/n)

π/n= 1.

Logo, a area A do cırculo e igual a

A = limn→+∞

an = πr2 × limn→+∞

sen(π/n)

π/n× lim

n→+∞

cos(π

n

)

= πr2.

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