Como Polígonos são figuras planas compostos por lados que são sempre segmentos de reta, o perímetro dessas figuras é representado apenas pela soma desses lados!Veja alguns exemplos:I) Quadrilátero:

3,1 m

2,6 m 2,6

m

2,3 m

P = 3,1 + 2,6 + 2,6 + 2,3P = 10,6 m

II) Hexágono Regular: L =

5 m

P = 6 x 5 P = 30 m

Há mais de 2000 anos o ser humano descobriu uma relação entre a medida do comprimento de uma circunferência (C) e a mediada de seu diâmetro (d), veja como: Cd =3,14C

dEsse valor foi mais tarde chamado de π (pi), dando assim origem a uma fórmula para medir o comprimento de qualquer circunferência:

C = 2.π.R

Quando tiramos uma fatia de pizza, estamos tomando uma figura chamada de setor circular, observe como representar seu perímetro, no exemplo abaixo:

R = 4 m

120º

I) Perceba que duas partes já são os raios de circunferência:R

RII) Perceba também que o restante do contorno do setor (x) é uma parte da circunferência, logo:

x

120°360° 2. .R

x

120° =360° 2 3,14 4

x x = 8,73 m

P = x + 2.RP = 16,73 m

Como já vimos, a área de uma região quadrado ou retangular é calculada pelo produto entre o comprimento(base) e a largura(altura)! Veja alguns exemplos:I) Quadrado:

3 cm

3 cmA =

3 . 3A = 9 cm2

II) Retângulo:

Obs: Como o comprimento e a largura em um quadrado sempre têm o mesmo valor (L), podemos representar a área por meio da fórmula A = L2:

3 cm

5 cmA =

5 . 3A = 15 cm2

a

Semelhante ao retângulos, o cálculo da área de um paralelogramo também é o produto entre sua base(b) e sua altura(a), atentando para observação de quem é a altura, veja abaixo:

bA = b.a

Obs: Perceba que a altura é a distância entre as duas bases e não simplesmente o outro segmento!Obs: Perceba também que ao retirar a altura de dentro da figura encontramos um triângulo retângulo, muito útil em algumas questões!

ab

Nesse momento perceberemos que não existe apenas uma forma de calcular a área de um triângulo, dependendo dos dados que cada situação podemos empregar diferentes fórmulas para esse cálculo, vejamos: I) Conhecendo-se a base e a altura, temos:

A= 2ba

Obs: Perceba que o triângulo sempre será a metade de um paralelogramo, logo:

II) Conhecendo-se os três lados, temos:

abc

Primeiramente calculamos o semi-perímetro p(metade do perímetro): + += 2a b cp

Para determinar,então, a área da região triangular utilizamos a fórmula de Heron, que consiste em: =A pp- a p- b p- c

III) Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado por eles, temos:a

b

Obs: Atente que é necessário que o ângulo utilizado seja o formado pelos lados que serão utilizados: = 2A absen

Essa fórmula é chamada de fórmula trigonométrica da área!

Vejamos alguns exemplos:I) Usando Heron:

II) Usando fórmula trigonométrica:6 m

7 m

5 m

6+7+5= 2p =9mp

= 9 9- 6 9- 7 9- 5A = 9 3 2 4A =6 6mA

9 m

12 m

50°

12 9 50°= 2A sen

12 9 0,76= 2A 41mA

Veja como podemos demonstrar a área de um trapézio: Traçando uma das diagonais podemos dividir o trapézio em dois triângulos, ambos de altura a:

ab

B

a

BA= +2 2a ba B +A= 2

a ba

B +A= 2

ba

Veja como podemos demonstrar a área de um losango: Traçando as duas diagonais do losango podemos dividi-lo em quatro triângulos retângulos:D

d

2D

d

Calculando a área do retângulo obtido demos:

A=2 dD A= 2dD

Todo polígono regular pode ser dividido em triângulos congruentes, assim podemos determinar a área de um desses triângulos para servir como base para a área do polígono como um todo, veja alguns exemplos: Perceba que a altura do triângulo é exatamente o apótema do polígonio inicial:

hexágono triânguloA =6 A

Veja como podemos demonstrar a área de um circulo: R

Perceba que a altura do triângulo formado é exatamente o raio(R) da circunferência:

2.∏.R

Calculando a área do triângulo, temos:2. .R.RA= 2 2A= .R