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MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOFevereiro de 2009
Computação Gráfica
COMPUTAÇÃO GRÁFICATransformações geométricas
MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOFevereiro de 2009
Computação Gráfica
Objetivos
•• Entender os princípios daEntender os princípios datransformações geométricas do tipotransformações geométricas do tipotranslação, rotação e escalamento.translação, rotação e escalamento.
•• Efetuar transformações geométricasEfetuar transformações geométricasutilizando coordenadas homogêneas.utilizando coordenadas homogêneas.
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Computação Gráfica
Fundamentos
•• Transformações geométricas envolvem Transformações geométricas envolvemoperações com vetores e matrizes, do tipooperações com vetores e matrizes, do tiposoma e multiplicação, além desoma e multiplicação, além deconhecimentos básicos de álgebra econhecimentos básicos de álgebra egeometria.geometria.
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Computação Gráfica
Transformações básicas - OpenGL
•• Transla Translaçãoção
glTranslatefglTranslatef((dxdx, , dydy, , dzdz););
•• Escalamento Escalamento
glScalefglScalef((sxsx, , sysy, , szsz););
•• Rota Rotaçãoção
glRotatefglRotatef((angang, x, y, z);, x, y, z);
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Translação
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
posição inicialposição final
x
y
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Translação
P1 = (1,1) P2 = (6,1)
P3
P4
P5
2
4
0
6
2 4 6 8 10
Nova posição da figura para dx = 6 e dy = 2
P1’ P2’
P3’
P4’
P5’
12 14
8
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
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Translação•• É uma operação que desloca pontos em umaÉ uma operação que desloca pontos em umadeterminada direção. Define-se através da equação:determinada direção. Define-se através da equação:
tal que, para o caso 2Dtal que, para o caso 2D
Onde x, y são os pontos originais; xOnde x, y são os pontos originais; x’’, y , y ’’ são os pontos são os pontosdeslocados; e deslocados; e dxdx, , dy dy correspondem ao deslocamentocorrespondem ao deslocamentonas direções x e y, respectivamente.nas direções x e y, respectivamente.
PP’’ = P + T = P + T
xy
x'y ’
dxdy
P = P’ = T =
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Escala
situação inicial
situação final
x
y
x
y
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
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Computação Gráfica
Escala
P1 = (2,1) P2 = (6,1)
P3P42
4
02 4 6 8
P1’= (4,2) P2’ = (12,2)
P3’P4’
Novo objeto para sx = 2e sy = 2
3
6
03 6 9 12
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
Situação inicial
Situação final
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Computação Gráfica
Escala
xy
PP’’ = S · P = S · P
x'y ’
sx 00 sy
P = P’ = S =
•• Escalamento pode tornar um objeto maior Escalamento pode tornar um objeto maiorou menor. A equação abaixo define essaou menor. A equação abaixo define essaoperação.operação.
tal que, para o caso 2Dtal que, para o caso 2D
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Rotação
situação inicial situação final
x
y
x
y
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
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Computação Gráfica
Rotação
P1 = (2,1) P2 = (4,1)
P3P4
2
4
02 4 6 8
Novo objeto para θ =45º
2
02 4 6
P3’
P4’
P1’
P2’
Situação inicial
Situação final
EXEMPLO 2DEXEMPLO 2D
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Computação Gráfica
Rotação
PP’’ = R · P = R · P
•• Rotaciona Rotaciona (gira) um objeto de um(gira) um objeto de umdeterminado ângulo determinado ângulo θθ. É dada pela equação:. É dada pela equação:
xy
x'y ’
cosθ -sinθsinθ cosθP = P’ = R =
tal que, para o caso 2Dtal que, para o caso 2D
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Rotação / Escala
•• Como pode ser visto nos desenhos Como pode ser visto nos desenhosanteriores, as operações de escalamento eanteriores, as operações de escalamento erotação também deslocam o objeto, poisrotação também deslocam o objeto, poisforam definidas a partir de um ponto naforam definidas a partir de um ponto naorigem.origem.
•• Portanto, para que não ocorra translação Portanto, para que não ocorra translaçãodesnecessária no objeto é preciso realizar asdesnecessária no objeto é preciso realizar asseguintes etapas:seguintes etapas:
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Rotação / Escala
1. Transladar o objeto para a origem1. Transladar o objeto para a origem
2. 2. Rotacionar Rotacionar (ou efetuar o escalamento)(ou efetuar o escalamento)
3. Transladar o objeto para a posição original3. Transladar o objeto para a posição original
Objeto que se deseja modificarObjeto que se deseja modificar
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Coordenadas homogêneas
PP’’ = R · P = R · P
•• As operações matriciais diferem entreAs operações matriciais diferem entreadição (translação) e multiplicação (rotação-adição (translação) e multiplicação (rotação-escala).escala).
PP’’ = S · P = S · P
PP’’ = P + T = P + T
•• Uma forma de tratar as transformaçõesUma forma de tratar as transformaçõesatravés da mesma operação é expressar osatravés da mesma operação é expressar ospontos em pontos em COORDENADAS HOMOGÊNEASCOORDENADAS HOMOGÊNEAS..
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Coordenadas homogêneas
PP’’ = (R ou S ou T) · P = (R ou S ou T) · P
•• Todas as transformações são tratadasTodas as transformações são tratadasatravés de multiplicações. Portanto, podemosatravés de multiplicações. Portanto, podemosusar a expressão:usar a expressão:
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Coordenadas homogêneas
•• Em coordenadas homogêneas, uma terceiraEm coordenadas homogêneas, uma terceiracoordenada é adicionada (caso 2D)coordenada é adicionada (caso 2D)
1 0 dx0 1 dy0 0 1
sx 0 00 sy 00 0 1
cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1
R = S =T =
xy1
P =
E as transformaE as transformações são escritas na forma:ções são escritas na forma:
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Transformações 3D
•• Matrizes de transformações para o caso 3DMatrizes de transformações para o caso 3D
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1
S =T =
TranslaçãoTranslação EscalaEscala
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Transformações 3D
•• Matrizes de transformações para o caso 3DMatrizes de transformações para o caso 3D
RotaçãoRotação
x
y
z Atenção!!! As rotações foramAtenção!!! As rotações foramdefinidas no sentido anti-horário.definidas no sentido anti-horário.
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Transformações 3D
•• Matrizes de transformações para o caso 3DMatrizes de transformações para o caso 3D
RotaçãoRotaçãocosθ -sinθ 0 0sinθ cosθ 0 00 0 1 00 0 0 1
Rz (θ) =
cosθ 0 sinθ 00 1 0 0-sinθ 0 cosθ 00 0 0 1
Ry (θ) =
1 0 0 00 cosθ -sinθ 00 sinθ cosθ 00 0 0 1
Rx (θ) =
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Transformações 3D
•• Outras transformaçõesOutras transformações
CisalhamentoCisalhamento ReflexãoReflexão
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Transformações - OpenGL•• O O OpenGL OpenGL trabalha comtrabalha com m matrizes deatrizes detransformaçõestransformações•• As opera As operações sãoções são efetuadas viaefetuadas viamultiplicação de matrizes, de acordo com omultiplicação de matrizes, de acordo com oestado existenteestado existente•• Portanto, é necessárioPortanto, é necessário ““carregarcarregar”” a matriz a matrizidentidadeidentidade
glLoadIdentityglLoadIdentity();();
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Transformações - OpenGL•• O OpenGL trabalha com matrizes de O OpenGL trabalha com matrizes detransformações...transformações...
Utiliza-se o comando Utiliza-se o comando glMatrixModeglMatrixMode
Parâmetro GL_PROJECTION antes dosParâmetro GL_PROJECTION antes doscomandos que especificam o tipo decomandos que especificam o tipo deprojeção (glOrtho, por exemplo).projeção (glOrtho, por exemplo).
Parâmetro GL_MODELVIEW antes deParâmetro GL_MODELVIEW antes detransformações geométricas.transformações geométricas.
glMatrixMode(GL_PROJECTION);glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
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Transformações - OpenGL
•• Uma transformação pode alterar todos osUma transformação pode alterar todos osobjetos na objetos na sequênciasequência: não desejado,: não desejado,dependendo da aplicaçãodependendo da aplicação•• OpenGLOpenGL: escopo das transformações...: escopo das transformações...
São utilizados comando São utilizados comando glPushMatrixglPushMatrix() e() eglPopMatrixglPopMatrix() para definir início e fim do bloco() para definir início e fim do blocode objetos onde será(de objetos onde será(ãoão) efetuada(s) a(s)) efetuada(s) a(s)transformação(transformação(õesões).).
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Transformações - OpenGL
•• OpenGL: escopo das transformações... OpenGL: escopo das transformações...
Objeto1Objeto1glPushMatrix ();glPushMatrix ();
glPopMatrix ();glPopMatrix ();
glRotatef(...);glRotatef(...);
Objeto1Objeto1
glPushMatrix ();glPushMatrix ();
glPopMatrix ();glPopMatrix ();
glRotatef(...);glRotatef(...);Objeto2Objeto2
Objeto2Objeto2
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Transformações - OpenGLvoid display(void){ glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); glPushMatrix();
/* Cubo 1 */ glPushMatrix(); glTranslatef (-2.0, 0.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 2 */ glPushMatrix(); glRotatef (25.0, 0.0, 0.0, 1.0); glTranslatef (2.0, 0.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 3 */ glPushMatrix(); glTranslatef (0.0, 2.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();/* Cubo 4 */ glPushMatrix(); glTranslatef (0.0, -2.0, 0.0); glScalef (2.0, 1.0, 4.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix();
glPopMatrix(); glutSwapBuffers();}
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Para saber mais:
[MANSSOUR06] Capítulo 9
[ANGEL97] Capítulo 4
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