Conceitos básicos e fundamentais para solucionar cálculos matemáticos usando ou não lápis e...

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 1 de 11

Conceitos básicos e fundamentais para solucionar cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel (“de cabeça” somente)

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Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 2 de 11 Antes de começar, dê uma olhada nesses conceitos básicos: c = centenas d = dezenas u = unidades

Exemplo: 2 1 2 5 4 8 3 Dois milhões, cento e vinte e cinco mil, quatrocentos e oitenta e três ou: 2 unidades de milhão. 1 centena de milhar. 2 dezenas de milhar. 5 unidades de milhar. 4 centenas de unidades simples. 8 dezenas de unidades simples. 3 unidades de unidades simples. 45 (Primeira parcela) + 23 (Segunda parcela) 68 (Soma) 56 (Minuendo) - 42 (Subtraendo) 14 (Resto)

13 (Primeiro fator) x 2 (Segundo fator) 26 (Produto) dividendo divisor resto quociente

+ Soma + Técnica para realizar cálculos de soma usando lápis e papel: 1 1 1 1 5 0, 3 5 3 + 1 4 5, 9 6 8 2 9 6, 3 2 1 Entendendo passo-a-passo como o cálculo acima foi realizado:

• 3 + 8 é igual a 11. Como 11 não cabe no resultado da soma, mantemos o 1 (das unidades) no resultado e colocamos o 1 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 5).

• 1 + 5 + 6 é igual a 12. Como 12 não cabe no resultado da soma, mantemos o 2 (das unidades) no resultado e colocamos o 1 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 3).

• 1 + 3 + 9 é igual a 13. Como 13 não cabe no resultado da soma, mantemos o 3 (das unidades) e colocamos o 1 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 0).

• 1 + 0 + 5 é igual a 6. • 5 + 4 é igual a 9. • 1 + 1 é igual a 2. • Colocando vírgula debaixo de vírgula (respeitando o alinhamento das vírgulas), o resultado é 296,321

Técnica para realizar cálculos de soma sem usar lápis e papel (“de cabeça” somente): 1º) 68 + 16 2º) 60 + 10 = 70 3º) 8 + 6 = 14 4º) 70 + 14 = 84

Fundamento: Um cálculo realizado com números múltiplos (múltiplo = divisível) de 10 (10, 20, 30, 40...) é mais fácil do que com outros que não são múltiplos de 10 (11, 23, 32, 45...).

x Multiplicação x Técnica para realizar cálculos de multiplicação usando lápis e papel: 1 2 1 4 8 x 1 3 1 4 4 4 + 1 4 8 1 9 2 4

• 3 x 8 é igual a 24. Como 24 não cabe no resultado da multiplicação (produto), mantemos o 4 (das unidades) no resultado e colocamos o 2 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 4).

1 2 2 1

• 3 x 4 é igual a 12. 12 + 2 é igual a 14. Como 14 não cabe no resultado da multiplicação (produto), mantemos o 4 (das unidades) no resultado e colocamos o 1 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 1).

• 3 x 1 é igual a 3. 3 + 1 é igual a 4. • O resultado parcial é 444. • 1 x 148 é igual a 148, que é colocado abaixo de 444 e deslocado para esquerda em um algarismo. • 4 + nada é igual 4. • 4 + 8 é igual a 12. Como 12 não cabe no resultado da soma, mantemos o 2 (das unidades) no resultado e

colocamos o1 (das dezenas) acima do número da coluna da esquerda (nesse caso, o número 4). • 4 + 4 é igual 8. 8 + 1 é igual a 9. • Nada + 1 é igual a 1. • O resultado final é 1924.

Cuidados a se tomar ao realizar cálculos de multiplicação em casos especiais: Em cálculos como 1,25 x 420, veja o que o descuido pode fazer: 1 1,25 x 420 2 500 +4 80 7 5,00 Cálculo Errado.

1 1,25 x 420 2 500 +48 0 525,00 Cálculo Correto (Observe o alinhamento dos números. À esquerda, o alinhamento incorreto gerou o erro exibido).

Técnica para realizar cálculos de multiplicação sem usar lápis e papel (“de cabeça” somente): 1º) 148 x 13 2º) 148 x 10 = 1480 3º) 148 x 3 = (100 x 3) + (40 x 3) + (3 x 8) = 444 4º) 1480 + 444 = (1000) + (400 + 400) + (80 + 44) = 1924

Fundamento: Um cálculo realizado com números múltiplos (múltiplo = divisível) de 10 (10, 20, 30, 40...) é mais fácil do que com outros que não são múltiplos de 10 (11, 23, 32, 45...). E se ao invés de 148 x 13 fosse 148 x 23, como seria feito o segundo passo ao lado? Resposta: 148 x 20 = ((148 x 10) x 2) = 1480 x 2 = (1000 x 2) + (400 x 2) + (80 x 2) = 2960

- Subtração -

O primeiro fator é que deve ser tomado como referência para o alinhamento dos números.

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 5 de 11 Técnica para realizar cálculos de subtração usando lápis e papel: 9 9 9 4 10 10 10 10 1 5 0, 0 0 0 - 1 4 5, 9 6 8 0 0 4, 0 3 2 Entendendo passo-a-passo como o cálculo acima foi realizado:

• 0 – 8 não é possível, então, cortamos o 0 e acrescentamos 10 unidades ao mesmo. Agora, é 10 – 8, que é igual 2.

• 0 – 6 não é possível, então, cortamos o 0 e acrescentamos 10 unidades ao mesmo. Porém, como o número da direita recebeu 10 unidades, cortamos o 10 de agora e retiramos 1 unidade dele, e ele passa a ser 9. Agora é 9 – 6, que é igual a 3.

• 0 – 9 não é possível, então, cortamos o 0 e acrescentamos 10 unidades ao mesmo. Porém, como o número da direita recebeu 10 unidades, cortamos o 10 de agora e retiramos 1 unidade dele, e ele passa a ser 9. Agora é 9 – 9, que é igual 0.

• 5 – 4 é possível, porém, como o número da direita recebeu 10 unidades, cortamos o 5 e retiramos 1 unidade dele, e ele passa a ser 4. Agora é 4 – 4, que é igual a 0.

• 1 – 1 é possível, que é igual 0. • Colocando vírgula debaixo de vírgula (respeitando o alinhamento das vírgulas), o resultado é 004,032

13 11 13 9 0 14 12 14 10 10 1 4 2 4, 0 0 - 0 5 3 7, 6 3 0 8 8 6, 3 7

Entendendo passo-a-passo como o cálculo acima foi realizado:

• 0 – 3 não é possível, cortamos o 0 e acrescentamos 10 unidades ao mesmo. Agora, é 10 – 3, que é igual a 7.

• 4 – 7 não é possível, então, cortamos o 4 e acrescentamos 10 unidades ao mesmo, que passa a ser 14. Porém, como o número da direita recebeu 10 unidades, cortamos o 14 de agora e retiramos 1 unidade dele, e ele passa a ser 13. Agora é 13 – 7, que é igual a 6.

• 1 – 0 é possível, porém, como o número da direita recebeu 10 unidades, cortamos o 1 e retiramos 1 unidade dele, e ele passa a ser 0. Agora é 0 – 0, que é igual a 0.

• Colocando vírgula debaixo de vírgula (respeitando o alinhamento das vírgulas), o resultado é 0886,37

Como 56 não pode ser dividido por 644, representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente.

Acrescenta-se zero no dividendo e uma vírgula no quociente.

Como 560 não pode ser dividido por 644, representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente.

Acrescenta-se zero no dividendo.

5600 pode ser dividido por 644. A divisão prossegue normalmente.

Técnica pra realizar cálculos de subtração sem usar lápis e papel (“de cabeça” somente): 1º) 63 - 17 2º) 17 para 20 = 3 3º) 20 para 63 = 43 4º) 43 + 3 = 46 5º) 63 – 17 = 46

Fundamento: Um cálculo realizado com números múltiplos (múltiplo = divisível) de 10 (10, 20, 30, 40...) é mais fácil do que com outros que não são múltiplos de 10 (11, 23, 32, 45...). Quando se tem faixas de números imediatamente próximas uma da outra como, por exemplo, 9 e 15 (9 está na faixa de 0 a 10, e 15 está na faixa de 10 a 20) ou 16 e 27 (16 está na faixa de 10 a 20, e 27 está na faixa de 20 a 30), fica mais fácil realizar cálculos mentais, como 15-9 ou 27-16. Entretanto, deve-se aumentar a atenção quando lidamos com faixas de números distantes uma da outra, com 17 e 42. Por exemplo, 42-17. Use o raciocínio ao lado para resolver esse cálculo.

: Divisão : Análise geral do mecanismo do acréscimo de zeros em divisões: Conceito geral: Quando se acrescenta zero no dividendo ou no resto e estes, ainda assim, continuam não divisíveis pelo divisor em questão, deve-se representar esse fato colocando-se outro zero no quociente. Isso é um padrão para todas as divisões. Exemplo 1 – Situação observada por etapas: 1) 56 644 Missão: resolver esta divisão. 2) 56 644 0 3) 560 644

0, 4) 560 644

0,0 5) 5600 644 0,0 6) 5600 644 4480 0,086 616

Até aqui, tudo normal.

Como 3 (do resto) não pode ser dividido por 40, acrescenta-se zero no resto e uma vírgula no quociente.

Como 30 não pode ser dividido por 40, representa-se esse fato colocando-se zero no quociente.

Acrescenta-se zero no resto. Agora, sim, pode-se dividir 300 por 40

Cálculo completo

Veja que, no primeiro momento, não é possível dividir 1 por 200

Representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente.

Acrescenta-se zero no dividendo e uma vírgula no quociente.

Como não é possível dividir 10 por 200, representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente.

Acrescenta-se zero no quociente.

Como 100 não é divisível por 200, representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente.

Acrescenta-se zero no dividendo.

Exemplo 2 – Situação observada por etapas: 1) 83:40 2) 83 40 3 2 3) 83 40 30 2, 4) 83 40 30 2,0 5) 83 40 300 2,0 6) 83 40 300 2,075 200 0 Exemplo 3 – Situação observada por etapas: 1) 1 200 2) 1 200 0 3) 10 200 0, 4) 10 200 0,0 5) 100 200 0,0 6) 100 200

0,00 7) 1000 200 0,00 8) 1000 200 Cálculo completo. 0 0,005

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 8 de 11 Conceitos interessantes: * Dividir X por Y é saber quantas vezes Y cabe dentro de X ou * Dividir X por Y é saber quantas unidades que compõe X existem para cada unidade que compõe Y, assim: X = 8 unidades = 8 :4 = 2 Y 4 unidades 4 :4 1 Situação 1 84 40 4 2 84 40 40 2, Vamos parar a divisão por aqui.

Situação 2 20’4 5 0 4 204 5 04 4 204 5 04 40 (4 não é divisível por 5, logo, acrescenta-se zero no quociente). 204 5 040 40, (Para a divisão prosseguir, acrescenta-se zero no resto e uma vírgula no quociente).

Por que, na situação 1, bastou acrescentar zero no resto e uma vírgula no quociente para prosseguir com a divisão? Por que, na situação 2, foi preciso primeiro acrescentar zero no quociente para, depois, colocar outro zero no resto e uma vírgula no quociente para então prosseguir com a divisão? O que há de diferente entre as duas situações? Quais são suas peculiaridades? O que definiu o comportamento dessas divisões foi como se formou o número que está logo abaixo do dividendo. No caso da situação 1, o algarismo 4 foi resultante da subtração de 80 de 84. Já na situação 2, o número 04 foi obtido da subtração de 20 de 20, ligado à “DESCIDA” do algarismo 4 ao lado direito do resultado da subtração de 20 de 20. Eis um ponto decisivo: quando um algarismo for “DESCIDO” do dividendo para formar o resto e este não for divisível pelo divisor em questão, deve-se, primeiro, acrescentar o algarismo zero ao quociente. Depois, acrescenta-se outro zero no resto, mais uma vírgula ao quociente (se já não houver uma), dando prosseguimento normal à divisão. Veja a situação 2 observada por etapas até o fim: 1) 20’4 5 0 4 2) 204 5 04 40 3) 204 5 040 40,8

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 9 de 11 4) 204 5 0 40 40,8 0 Quando ocorrer um caso da situação 1, ou seja, quando o resto for EXCLUSIVAMENTE obtido através de uma subtração e ele não for divisível pelo divisor em questão, deve-se acrescentar o algarismo zero no resto e uma vírgula no quociente (se já não houver uma), dando prosseguimento normal à divisão: 84 16 40 5,25 80 0 Considerações para efetuar divisões: 1) Se o resto foi obtido EXCLUSIVAMENTE através de subtração e o resultado não for divisível pelo divisor em questão, coloca-se zero no resto e uma vírgula no quociente (se já não houver uma). Se já houver uma vírgula, simplesmente efetua-se a divisão, se ela for possível. Se após colocar o zero no resto, a divisão ainda não for possível, representa-se esse fato através do acréscimo de zero no quociente. Exemplos: 84 16 83 40 8 32 (8:32) 40 5, 30 2,0 160 0,25 0 2) Se o resto for obtido através de subtração MAIS A “DESCIDA” de outro número do dividendo e, ainda assim, esse resto formado não for divisível pelo divisor em questão, representa-se esse fato através da inclusão de zero no quociente. Exemplo: 403 40 03 10 3) Sempre que o primeiro zero for colocado no resto ou no dividendo, uma vírgula será colocada no quociente. Exemplos: 403 40 84 16 2 20 (2:20) 030 10, 40 5, 0 0,1

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 10 de 11 Bônus: O conjunto dos números naturais: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...} Conjunto dos números naturais não-nulos: IN * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...} O conjunto dos números inteiros: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...} Conjunto dos números inteiros não-nulos Z * = {..., -5, -4, -3, -2, -1, +1, +2, +3, +4, +5, ...} Conjunto dos números inteiros não-negativos: Z + = {0, +1, +2, +3, +4, +5, ...} Conjunto dos números inteiros não-positivos: Z - = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Conjunto dos números inteiros positivos: Z *+ = {+1, +2, +3, +4, +5, ...} Conjunto dos números inteiros negativos: Z *- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} O conjunto dos números racionais: Q = {x | x = a, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0} b Q = {... , -2, ..., -5, ..., -1, ..., -2, ..., 0, ..., + 1, ..., +1, ..., +7, ...} 4 3 2 5 Pela definição, podemos concluir que os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q, ou seja, N ⊂ Q e Z ⊂ Q:

Resolvendo cálculos matemáticos usando ou não lápis e papel pág. 11 de 11 Além desses dois conjuntos N e Z, devemos considerar os seguintes subconjuntos de Q: * Retirando o número zero do conjunto Q, obteremos: Q* = Q – {0} = conjunto dos números racionais relativos não-nulos. * Retirando de Q os números racionais negativos, obtemos: Q+ = conjunto dos números racionais não negativos. * Retirando de Q os números racionais positivos, obtemos:

Q- = conjunto dos números racionais não-positivos. * Retirando de Q+ o número zero, obtemos: Q *+ = conjunto dos números racionais exclusivamente positivos. * Retirando de Q+ o número zero, obtemos:

Q *- = conjunto dos números racionais exclusivamente negativos.

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