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Conceitos de Probabilidade

AULA VII

Conceitos de Probabilidade

Probabilidade

Apresentaremos aqui os conceitosbásicos da teoria da probabilidade quejulgamos necessários para que vocêcompreenda as técnicas de estimação devalores, tópico que será abordado emoutra aula.

Probabilidade

Definição - As probabilidades são medidasestatísticas que medem o grau de incerteza daocorrência de um de determinado fenômeno.

Exemplos: ao jogarmos uma moeda para o ar, nãosabemos se cairá cara ou coroa. O que se pode fazeré calcular a probabilidade de sair cara ou coroa. Damesma forma, ao se lançar um produto novo nomercado, não se tem certeza do grau de suaaceitabilidade. Pode-se, entretanto, baseado empesquisas, calcular a probabilidade do produto seraceito.

Probabilidade

Alguns conceitos

Fenômeno aleatório - Na teoria das probabilidades,qualquer acontecimento cujo resultado é incertodenomina-se fenômeno aleatório, ou seja, dependedo acaso.

Probabilidade

Espaço amostral - Trata-se do conjunto de todos osresultados possíveis de um fenômeno aleatório.Pode ser representado pela letra S. Por exemplo: nolançamento de um dado, o espaço amostral éformado pelos números 1, 2, 3, 4, 5, e 6, assimcaracterizado:

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Probabilidade

No lançamento de uma moeda, o espaço amostral éS = (cara, coroa).

Ao se fazer uma pesquisa de mercado, a quantidadede pessoas ouvidas para opinar sobre a aceitaçãode um novo produto seria o espaço amostral.

Probabilidade

Eventos - Um conjunto qualquer de resultados deum fenômeno aleatório.

Por exemplo, no lançamento de um dado, um eventopoderia ser a saída de um número par. Se o espaçoamostral é representado por S, o evento pode serrepresentado por A.

Então: espaço amostral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Evento = sair um número par = A = (2, 4, 6).

Probabilidade

Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E= S )

E: a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12E = S ; n(E)=36

Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio (E = ∅. )

E : o número do primeiro dado é igual a seteE = ∅ ; n(E)=0

Evento Simples: evento que possui um único elemento

E : a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.E =(6,6) ; n(E)=1

Cálculo de Probabilidades

Chamamos de probabilidade de um evento A:

P(A) =

n(A) = ocorrência de certo número de resultadosfavoráveis;

N(S) = número total de resultados que podemocorrer em um determinado experimento.

Exemplo: a partir do lançamento de um dado,calcula-se a probabilidade de sair um número par. Ototal de possibilidades é formado pelos seis números(1, 2, 3, 4, 5, 6) e os resultados que são favoráveissão os números pares (2, 4, 6). Então, aprobabilidade de sair um número par é:

P(A) =

= 0,5 = 50%

E se o evento for a saída do número quatro, aprobabilidade é de:

P(A) =

= 0,166666... ≅ 16,7%

Pois só existe um evento favorável dentro de seispossibilidades.

Probabilidade

Nessa definição de probabilidade, está implícito oenfoque clássico, ou seja, há a pressuposição deque todos os resultados são igualmente possíveis.

Probabilidade

No exemplo do lançamento de um novo produto, oenfoque é diferente, pois nesse caso o cálculo deprobabilidade está baseado no conceito defrequência relativa, ou seja, se das cem pessoasouvidas, trinta disseram aceitar o novo produto, aprobabilidade de aceitação é de 30 sobre 100 – (30 /100) = 30%.

Probabilidade

Outro exemplo baseado em frequência relativa:

Em uma pequena loja de calçados, dos cem paresvendidos no último mês, quinze foram compradospor consumidores que calçavam números superioresa 43.

Quanto se espera vender de sapatos de tamanhosuperior a 43 no próximo mês, ou seja, qual é aprobabilidade de vendas de pares de sapatos detamanho superior a 43 no próximo mês?

Probabilidade

A solução é baseada no conceito de frequênciarelativa.

Se de cem pares vendidos, quinze eram de númerossuperiores a 43, 15% do total era dessa numeração.No próximo mês, há a probabilidade de que, dototal a ser vendido, 15% sejam de calçados comnumeração superior a 43.

Exercícios

Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ounão. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe semprea relação:

p + q = 1 → q = 1 - p

Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é

, a probabilidade de que ele não ocorra é: q = 1

– p → 1 -

O evento complementar de A é formado peloselementos de S que não pertencem a A (escreve-seĀ).

Exemplo: Se S = (1, 2, 3, 4, 5, 6 e A = 1, 3, 5então Ā = 2, 4, 6.

Ā = x ∈ S|x ∉ A

Só para exemplificar, ao se lançar um dado, aprobabilidade de sair qualquer número é 100% e ade sair o número sete é zero.

A probabilidade de não ocorrência de um evento,P(A’), é 1,00 menos a probabilidade de suaocorrência.

1,00 – P(A) = P(A’), que é o evento complementar

Eventos Independentes

Dizemos que dois eventos são independentesquando a realização ou a não realização de um doseventos não afeta a probabilidade da realização dooutro e vice-versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, oresultado obtido em um deles independe doresultado obtido no outro.

Se dois eventos são independentes, aprobabilidade de que eles se realizemsimultaneamente é igual ao produto dasprobabilidades de realização dos dois eventos.

P(A) = P(A1 ) . P(A2 )

Exemplo: lançamento de dois dados. Aprobabilidade de obtermos um no primeiro dado é:

P(A1) =

. A probabilidade de obtermos cinco no

segundo dado é: P (A2 ) =

P(A) = P(A1) . P(A2) =

Eventos mutuamente exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivosquando a realização de um exclui a realização dosoutros. Assim, no lançamento de uma moeda, oevento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” sãomutuamente exclusivos, já que, ao realizar umdeles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, aprobabilidade de que um ou outro se realize é iguala soma das probabilidades de que cada um deles serealize:

P(A) = P(A1) + P(A2)

Exemplo – No lançamento de um dado, aprobabilidade de se tirar o três ou o cinco é:

P(A) = P(A1 ) . P(A2 ) =

= 0,3333... ≅ 33,3%

pois, como vimos, os dois eventos são mutuamenteexclusivos.

Exercícios

Evento União

Evento União: Ocorrer o evento A ou o evento B. Aprobabilidade de ocorrer um evento A ou umevento B (ou ambos) numa prova é igual à somadas probabilidades dos eventos ocorreremseparadamente, menos a probabilidades deocorrerem simultaneamente.

)()()(

)()()()()(

BPAPBAPentãoBAse

BAPBPAPBouAPBAP

+=∪=∩

∩−+==∪

φA ∪ B = x ∈ S | x ∈ A ou x ∈ B

Evento União

Exemplos:

1) Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado.

%33,333

1)(6;5

===+=∪⇒=∩

BPAPsairBsairA

Evento União

2. Qual a probabilidade de sair um número par ouum número menor que 3 quando se joga um dado.

%67,663

1)(1)(2

2)(2)(2,13

3)(3)(6,4,2

===−+=−+=∪

=∩⇒=∩=∩

==⇒==

BAPBAnBA

BPBnquemenornúmeroB

APAnparnúmeroA

Evento Intersecção

Evento Intersecção: Ocorrer o evento A e o eventoB. A probabilidade de dois eventos A e B ocorreremsimultaneamente numa prova é igual àprobabilidade de um, multiplicada pelaprobabilidade condicional do outro em relação aoprimeiro.

)/()()()/()()( BAPBPBAPouABPAPBAP •=∩•=∩

A ∩ B = x ∈ Ω | x ∈ A e x ∈ B

Evento Intersecção

Quando os eventos A e B forem independentes“Quando a ocorrência de um não influencia aocorrência do outro”, então:

)()()( BPAPBAP •=∩

AULA VI

Probabilidade Condicional

Exemplo 1:

Ao jogarmos um dado não viciado e observarmos a facede cima, consideremos o evento B = o resultado é ímpar.Temos que P(B)=3/6=0,5. Essa é a probabilidade antes que aexperiência se realize.

Suponhamos agora que, realizada a experiência,alguém nos informe que o resultado não foi o número 6, isto é,que A=o resultado é diferente de 6 ocorreu.

Observemos agora que passamos a ter apenas 5 casospossíveis, dos quais 3 são favoráveis à ocorrência de B.Passamos a ter uma probabilidade de B na certeza de A,

P(B|A)=3/5=0,6.

Exemplo 2:

A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de umaturma, por sexo e por disciplina que está cursando.

Disciplina Homens(H) Mulheres(F) Total

Cálculo I (C) 15 4 19

Estatística (E) 16 15 31

Física (F) 6 0 6

Outros (O) 4 2 6

Total 41 21 62

Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Defina os eventos:H: o aluno selecionado é do sexo masculinoC: o aluno selecionado é do cálculo.

Exemplo 2:

Note que P(H) = 41/62, P(C)=19/62, mas, dentre os

alunos do cálculo, temos que a probabilidade de ele ser

do sexo masculino é:

15/19. Isto é,

P(H|C)=15/19

Dados dois eventos A e B, com P(A) ≠ 0, a probabilidade

condicional de B, na certeza de A é o número

Definição

( ) ( )( )

0. B)|P(A decretamos 0, P(B) Se

∩=AP

BAPABP

É muito comum o uso dessa fórmula para o cálculo de

P(A∩B). Pois, P(A∩B)=P(A).P(B|A)

Exemplo 3:

Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,

retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas

dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem

vermelhas.

Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a

segunda bola é vermelha, temos:

( ) ( ) ( )15

4| =⋅=⋅=∩ ABPAPBAP

Exemplo 4:

Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,

retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas

dessas, urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser

vermelha, sabendo que a segunda bola é vermelha.

Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a

segunda bola é vermelha, temos:

( ) ( )( ) .|BP

BAPBAP

Exemplo 4: (continuação)

Sabemos que P(A∩B) = 2/15 (exemplo anterior) e que

P(C) = a primeira bola é branca. Então, basta calcular P(B).

Logo, ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

CBPCP15

BCPBAP

BCBAPBP

=⋅+=⇒

⋅+=⇒

∩+∩=⇒

∩∪∩=

Então, ( ) ( )( ) .|

BAPBAP =÷=∩=

Exemplo 4: (continuação) Outra abordagem que podemos dar a problemas com váriosestágios é o uso das árvores de probabilidade.

P(A∩B) = 4/10 . 3/9 = 2/15

P(B) = 4/10 . 3/9 + 6/10 . 4/9 = 2/5

Então,

( ) ( )( ) .|

BAPBAP =÷=∩=

Exemplo 5:

Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas

moedas são não viciadas e a outra tem duas

caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida

uma cara. Qual é a probabilidade de ter sido

selecionada a moeda de duas caras?

)(Ccara3

)(Ccara

)(Ccoroa

( ) ( )( )

=⋅+⋅=

=⋅=∩

Então

CVPCVP

Exercícios

AULA VIII

Probabilidade Total

Considere-se um espaço amostra S e A1, A2, ..., Anuma partição deste espaço amostral. Seja B umevento de S. Então B, pode ser escrito como

B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)

É claro que, alguns destes conjuntos B ∩ Aj, poderão servazios, mas isto não representa nenhum problema nadecomposição de B. O importante é que todos os conjuntosB ∩ A1, B ∩ A2, ..., B ∩ An são dois a dois mutuamenteexcludentes. E por isto, pode se aplicar a propriedade daadição de eventos mutuamente excludentes e escrever.

Probabilidade Total

P(B) = P[(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)

Mas cada um dos termos P(B ∩ Aj) pode ser escrito naforma: P(B ∩ Aj) = P(Aj).P(B/Aj), pela definição deprobabilidade condicionada, obtém-se então odenominado teorema da probabilidade total:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... +P(An).P(B/An)

Probabilidade Total

Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas:A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças queB e que B e C produzem o mesmo número de peças.Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A epor B são defeituosas, enquanto que 4% dasproduzidas por C são defeituosas. Todas as peçasproduzidas são misturadas e colocadas em umdepósito. Se do depósito for retirada uma peça aoacaso, qual a probabilidade de que ela sejadefeituosa?

Exemplo 6:

Probabilidade Total

Solução:

Considerem-se os seguintes eventos:D = A peça é defeituosa , A = A peça provém da fábrica A,B = A peça provém da máquina B e C = A peça provém damáquina C .Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vezque só existem as 3 fábricas e que A produz o dobro de B eesta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-setambém que P(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.

Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02+ 0,25.0,04 = 2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaçoamostra S.

Teorema de Bayes

Em teoria da probabilidade, o Teorema de Bayesmostra a relação entre uma probabilidade condicionale a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de umahipótese dada pela observação de uma evidência e aprobabilidade da evidência dada pela hipótese. Esseteorema representa uma das primeiras tentativas demodelar, de forma matemática, a inferênciaestatística, feita por Thomas Bayes.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é um corolário (consequênciaimediata de um teorema) do teorema da probabilidadetotal. E com ele é capaz o cálculo da seguinteprobabilidade:

( ) ( ) ( )( )BP

APABPBAP

⋅= ||

Onde,- P(A) e P(B) são as probabilidades a priori de A e B.- P(B|A) e P(A|B) são as probabilidades posteriores de B

condicional a A e de A condicional a B, respectivamente.

Teorema de Bayes

Exemplo 7:

Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 sãonormais, um deles apresenta números paresem 75% das jogadas, e o último tem somentenúmeros pares. Escolhendo aleatoriamenteum dos dados e jogando-o 2 vezes obtém-se2 números pares. Qual é a chance de ter sidoescolhido um dado normal?”

Teorema de Bayes

311311311

P(A) é a probabilidade de se escolher 1 dado normal e éigual a ½, pois existem 2 dados normais em 4 possíveis.P(B|A) é a probabilidade de saírem 2 números pares,considerando que foi escolhido 1 dado normal. Osresultados dos dados – condicionalmente ao dado quefoi retirado – são independentes. Assim, podemosaplicar a regra do produto, o que nos dá, então:

Teorema de Bayes

312312312

P(B) é a probabilidade de saírem 2 números pares,independentemente de qual dado tenha sidoescolhido. Pela Probabilidade Total, sendo E =“escolher o dado com 75% de chance de sair númeropar” e F = “escolher o dado somente com númerospares”:

Teorema de Bayes

Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:

Exercícios

01. Joga-se um dado não viciado duas vezes. Determinea probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogadasabendo que a soma dos resultados foi 7.

02. Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas.A comunidade em que ele vive, interessadíssimanesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foiaveriguado que ele acerta 80% das vezes em que dizque os tomates não vão germinar e 90% das vezesem que diz que os tomates vão germinar.Os tomates não germinam em 10% das colheitas. SeAlberto anunciar a perda da colheita, qual é aprobabilidade real de que eles não germinem?

03. Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,registrou que 650 deles trabalham com cartões decrédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalhamcom cartões de crédito da bandeira VISA e que 200trabalham com cartões de crédito de ambas asbandeiras. Qual a probabilidade de, ao escolhermos,desse grupo, uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,ser também um dos consumidores que utilizamcartões de crédito da bandeira MasterCard?

Exercícios

04. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos derefeições: salada completa ou um prato à base de carne.Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferema salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dosfregueses são homens. Para um freguês sorteado ao acasodesse restaurante, obtenha a probabilidade de:

Consideram-se os seguintes eventos:

H: freguês é homem A: freguês prefere saladaM: freguês é mulher B: freguês prefere carne.

a) preferir salada;

b) preferir carne dado que é um homem;

c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada

Exercícios

05. Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ouelétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas setiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance deesse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance domesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houveproblema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problemamecânico precedente. Agora, calcule:a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinadodia?b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenhahavido defeito mecânico?c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânicoem determinado dia se o veículo não parou nesse dia?

AULA IX

Distribuição Binomial

Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial

Fatorial

Seja n ∈ IN , o fatorial de n é definido e representado por: n! = n ⋅( n −1 ) ( n − 2 )⋅...⋅3⋅ 2⋅1.

Além disso, define-se:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 .1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

1) Simplifique as expressões:

!=.. !

!= 7.6 = 42

!=!. .!

!= 3.2.1.6.5 = 180

Número Binomial

Definimos como um número binomial o número:

Leitura “binomial de n sobre p”, em que n é o numeradore p o denominador, em que n ∈ N, p ∈ N e n ≥ p.

Consequência da Definição:

Para construir o modelo binomial vamos introduzir umasequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definidapor meio das seguintes condições:- Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominadosucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).- Os ensaios são independentes.- A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é amesma para cada ensaio. A probabilidade de falha serádenotada por 1-p.

Para um experimento que consiste na realização de n

ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostralpode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em quecada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).A probabilidade de um ponto amostral com x sucessos nosprimeiros ensaios e falhas nos n – x ensaios seguintes é

px(1 – p)n - x

Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com x

sucessos e n – x falhas. O número de pontos do espaçoamostral que satisfaz essa condição é igual ao número demaneiras com que podemos escolher x ensaios para aocorrência de sucesso dentre o total de n ensaios, pois nos n– x restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual aonúmero de combinações de elementos tomados a , ou seja,

Definição: Seja o número de sucessos obtidos na realizaçãode ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que temdistribuição binomial com parâmetros e , em que é aprobabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função deprobabilidade for dada por

Exemplo 1: Suponha que numa linha de produção aprobabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p

= 0,1.

Toma-se uma amostra de 10 peças para sereminspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:

1. Uma peça defeituosa?2. Nenhuma peça defeituosa?3. Duas peças defeituosas?4. No mínimo duas peças defeituosas?5. No máximo duas peças defeituosas?

Solução:

Exemplo 2: Suponha que um aluno pretende fazer um testede múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativaspor questão respondendo cada uma das questões de formaaleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3questões?

Solução: Como cada questão apresenta cinco alternativas eo aluno pretende respondê-las ao acaso temos que aprobabilidade de sucesso em cada questão, ou seja,probabilidade dele escolher a alternativa correta é de 1/5.Desta forma, podemos definir as seguintes variáveisaleatórias com distribuição de Bernoulli

Temos que, para todo i, a probabilidade de sucesso é p = 0,2

(já que temos 5 alternativas disponíveis). Desta forma, P(Xi =1) = 0,2. Se definirmos X como sendo a variável aleatóriaque assume o número total de acertos na prova, temos umadistribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,2.Como queremos saber a probabilidade do aluno acertar nomáximo 3 questões, queremos encontrar o valor de P(X ≤ 3).Assim

Logo, a probabilidade de que o aluno acerte no máximo 3questões é de aproximadamente 0,879.

Exemplo 3: Uma moeda não viciada é lançada várias vezes.Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes deobtermos 3 coroas?

Solução: Vamos considerar como sucesso a obtenção decara em cada lançamento da moeda. Desta formaqueremos obter 5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos.Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5vezes e no máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadasnão é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, játemos que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamoster obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.

Considere as variáveis aleatórias definidas como sendo onúmero de sucessos obtidos em i lançamentos da moedacom i = 5, 6, 7. Sendo assim precisamos calcular P(X = 5)para cada.

Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3coroas é:

Exercícios

AULA X

Distribuição Normal

Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal

Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoasadultas selecionadas ao acaso em uma população.

O histograma por densidade é o seguinte:

A análise do histograma indica que:

- a distribuição dos valores é aproximadamentesimétrica em torno de 70kg;

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo(55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

Vamos definir a variável aleatória

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

A distribuição normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:

• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima aessa distribuição. Exemplos:

1.altura;2.pressão sanguínea;3.peso.

• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuições como, por exemplo, para adistribuição binomial.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.

Exemplo:

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica-grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporçãode valores acima de1500 horas.

Uma variável aleatória contínua tem uma distribuiçãonormal se sua distribuição é:

simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino

Quando uma distribuição é contínua, o gráfico dedistribuição é uma linha contínua.

Não se visualiza as barras de um histograma, masfrequências de ocorrências de cada valor de x emintervalos infinitesimais.

Forma uma Curva de Densidade de Probabilidade(função pdf – Probability Density Function).

Note que a distribuição normal é especificada por

dois parâmetros: μ (mi) representa a média

populacional, e σ (sigma) representa o desvio-

padrão populacional

Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuiçãonormal distinta! A figura mostra as curvas de densidade para alturas de

mulheres e homens adultos nos EUA

A distribuição normal padronizada tem média e desviopadrão iguais a:

A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de

probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando

qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)

Se x é uma observação de uma distribuição que tem médiaμ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x é

Note que o valor padronizado representa o número dedesvios-padrão pelo qual um valor x dista da média (para

mais ou para menos)

Ou seja, como a distribuição normal padronizadaé aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ouseja N(0, 1).

Se uma variável aleatória x tem distribuiçãonormal qualquer N(μ, σ), então a variávelpadronizada

tem distribuição normal

Exemplo: Seja Z~ N (0; 1), calcular

a) P(Z 0,32)

P(Z 0,32) = 0,6255 = 62,55%.

Encontrando o valor na Tabela N(0;1):

b) P(0 < Z 1,71)

P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) – P(Z < 0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564.

Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.

c) P(1,32 < Z 1,79)

P(1,32 < Z 1,79) = P(Z 1,79) –P(Z < 1,32) =

0,9633 -0,9066 = 0,0567.

d) P(Z 1,5)

P(Z 1,5) = 1 – P(Z < 1,5)

= 1 – 0,9332 = 0,0668.

e) P(Z –1,3)

P(Z –1,3) = P(Z 1,3) = 1 – P(Z 1,3) = 1 – 0,9032 = 0,0968.

Obs.: Pela simetria, P(Z –1,3) = P(Z 1,3).

f) P(-1,5 Z 1,5)

P(–1,5 Z 1,5) = P(Z 1,5) – P(Z –1,5) = P(Z 1,5) – P(Z 1,5) = P(Z 1,5) – [1 – P(Z 1,5)]= 2 x P(Z 1,5) – 1 = 2 x 0,9332 – 1 = 0,8664.

g) P(–1,32 < Z < 0)

P(–1,32 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,32)= P(Z 1,32) – P(Z 0) = 0,9066 – 0,5 = 0,4066.

h) P( -2,3 < Z -1,49)

P( -2,3 < Z -1,49) = P(1,49 Z < 2,3)= 0,9893 -0,9319 = 0,0574.

i) P(-1 Z 2)

P(–1 Z 2) = P(Z 2) –P(Z –1) = = A(2) –P(Z1)= A(2) – [1 –P(Z 1)] = A(2) – (1 –A(1))= 0,9772 – (1 –0,8413) = 0,9772 – 0,1587 = 0,8185.

A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida.

Portanto,

Dada a v.a. Z ~N(0; 1) podemos obter a v.a. X ~ N(μ; σ2) através datransformação inversa

Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) (μ = 10, σ2 = 64 e σ = 8 ) Calcular: (a) P(6 X 12)

= 0,5987- (1- 0,6915 ) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902

(b) P(X 8 ou X > 14)

= 1 - 0,5987 + 1 - 0,6915

= 0,7098

Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição normal, com média 120min e desvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é aprobabilidade que ele termine o exame antes de 100minutos?

X: tempo gasto no exame vestibular => X ~ N(120; 152)

= 1 - 0,9082 = 0,0918

b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?

z = ? tal que = 0,95.

Pela tabela z = 1,64.

Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidadescalculadas com a notação seguinte:

Exercícios

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MATEMÁTICA PROBABILIDADE

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