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Conceitos de Probabilidade

Tema

2

258

AULA VII

Conceitos de Probabilidade

259

Probabilidade

Apresentaremos aqui os conceitosbásicos da teoria da probabilidade quejulgamos necessários para que vocêcompreenda as técnicas de estimação devalores, tópico que será abordado emoutra aula.

260

Probabilidade

Definição - As probabilidades são medidasestatísticas que medem o grau de incerteza daocorrência de um de determinado fenômeno.

Exemplos: ao jogarmos uma moeda para o ar, nãosabemos se cairá cara ou coroa. O que se pode fazeré calcular a probabilidade de sair cara ou coroa. Damesma forma, ao se lançar um produto novo nomercado, não se tem certeza do grau de suaaceitabilidade. Pode-se, entretanto, baseado empesquisas, calcular a probabilidade do produto seraceito.

261

Probabilidade

Alguns conceitos

Fenômeno aleatório - Na teoria das probabilidades,qualquer acontecimento cujo resultado é incertodenomina-se fenômeno aleatório, ou seja, dependedo acaso.

262

Probabilidade

Espaço amostral - Trata-se do conjunto de todos osresultados possíveis de um fenômeno aleatório.Pode ser representado pela letra S. Por exemplo: nolançamento de um dado, o espaço amostral éformado pelos números 1, 2, 3, 4, 5, e 6, assimcaracterizado:

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

263

Probabilidade

No lançamento de uma moeda, o espaço amostral éS = (cara, coroa).

Ao se fazer uma pesquisa de mercado, a quantidadede pessoas ouvidas para opinar sobre a aceitaçãode um novo produto seria o espaço amostral.

264

Probabilidade

Eventos - Um conjunto qualquer de resultados deum fenômeno aleatório.

Por exemplo, no lançamento de um dado, um eventopoderia ser a saída de um número par. Se o espaçoamostral é representado por S, o evento pode serrepresentado por A.

Então: espaço amostral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Evento = sair um número par = A = (2, 4, 6).

265

Probabilidade

Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E= S )

E: a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12E = S ; n(E)=36

Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio (E = ∅. )

E : o número do primeiro dado é igual a seteE = ∅ ; n(E)=0

Evento Simples: evento que possui um único elemento

E : a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.E =(6,6) ; n(E)=1

266

Cálculo de Probabilidades

Chamamos de probabilidade de um evento A:

P(A) =

n(A) = ocorrência de certo número de resultadosfavoráveis;

N(S) = número total de resultados que podemocorrer em um determinado experimento.

267


Exemplo: a partir do lançamento de um dado,calcula-se a probabilidade de sair um número par. Ototal de possibilidades é formado pelos seis números(1, 2, 3, 4, 5, 6) e os resultados que são favoráveissão os números pares (2, 4, 6). Então, aprobabilidade de sair um número par é:

P(A) =

=

= 0,5 = 50%

268


E se o evento for a saída do número quatro, aprobabilidade é de:

P(A) =

= 0,166666... ≅ 16,7%

Pois só existe um evento favorável dentro de seispossibilidades.

269

Probabilidade

Nessa definição de probabilidade, está implícito oenfoque clássico, ou seja, há a pressuposição deque todos os resultados são igualmente possíveis.

270

Probabilidade

No exemplo do lançamento de um novo produto, oenfoque é diferente, pois nesse caso o cálculo deprobabilidade está baseado no conceito defrequência relativa, ou seja, se das cem pessoasouvidas, trinta disseram aceitar o novo produto, aprobabilidade de aceitação é de 30 sobre 100 – (30 /100) = 30%.

271

Probabilidade

Outro exemplo baseado em frequência relativa:

Em uma pequena loja de calçados, dos cem paresvendidos no último mês, quinze foram compradospor consumidores que calçavam números superioresa 43.

Quanto se espera vender de sapatos de tamanhosuperior a 43 no próximo mês, ou seja, qual é aprobabilidade de vendas de pares de sapatos detamanho superior a 43 no próximo mês?

272

Probabilidade

A solução é baseada no conceito de frequênciarelativa.

Se de cem pares vendidos, quinze eram de númerossuperiores a 43, 15% do total era dessa numeração.No próximo mês, há a probabilidade de que, dototal a ser vendido, 15% sejam de calçados comnumeração superior a 43.

273

Exercícios

274

Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ounão. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe semprea relação:

p + q = 1 → q = 1 - p

Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é

p =

, a probabilidade de que ele não ocorra é: q = 1

– p → 1 -

=

275


O evento complementar de A é formado peloselementos de S que não pertencem a A (escreve-seĀ).

Exemplo: Se S = (1, 2, 3, 4, 5, 6 e A = 1, 3, 5então Ā = 2, 4, 6.

A A

Ā = x ∈ S|x ∉ A

276


Só para exemplificar, ao se lançar um dado, aprobabilidade de sair qualquer número é 100% e ade sair o número sete é zero.

A probabilidade de não ocorrência de um evento,P(A’), é 1,00 menos a probabilidade de suaocorrência.

1,00 – P(A) = P(A’), que é o evento complementar

277

Eventos Independentes

Dizemos que dois eventos são independentesquando a realização ou a não realização de um doseventos não afeta a probabilidade da realização dooutro e vice-versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, oresultado obtido em um deles independe doresultado obtido no outro.

278


Se dois eventos são independentes, aprobabilidade de que eles se realizemsimultaneamente é igual ao produto dasprobabilidades de realização dos dois eventos.

P(A) = P(A1 ) . P(A2 )

279


Exemplo: lançamento de dois dados. Aprobabilidade de obtermos um no primeiro dado é:

P(A1) =

. A probabilidade de obtermos cinco no

segundo dado é: P (A2 ) =

.

P(A) = P(A1) . P(A2) =

x

=

280

Eventos mutuamente exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivosquando a realização de um exclui a realização dosoutros. Assim, no lançamento de uma moeda, oevento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” sãomutuamente exclusivos, já que, ao realizar umdeles, o outro não se realiza.

281


Se dois eventos são mutuamente exclusivos, aprobabilidade de que um ou outro se realize é iguala soma das probabilidades de que cada um deles serealize:

P(A) = P(A1) + P(A2)

282


Exemplo – No lançamento de um dado, aprobabilidade de se tirar o três ou o cinco é:

P(A) = P(A1 ) . P(A2 ) =

+

=

=

= 0,3333... ≅ 33,3%

pois, como vimos, os dois eventos são mutuamenteexclusivos.

283

Exercícios

284

Evento União

Evento União: Ocorrer o evento A ou o evento B. Aprobabilidade de ocorrer um evento A ou umevento B (ou ambos) numa prova é igual à somadas probabilidades dos eventos ocorreremseparadamente, menos a probabilidades deocorrerem simultaneamente.

)()()(

)()()()()(

BPAPBAPentãoBAse

BAPBPAPBouAPBAP

+=∪=∩

∩−+==∪

φA ∪ B = x ∈ S | x ∈ A ou x ∈ B

285

Evento União

Exemplos:

1) Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado.

%33,333

1

6

2

6

1

6

1)(

6

1)(

6

1)(6;5

===+=∪⇒=∩

==

=

=

BAPBA

BPAPsairBsairA

φ

286

Evento União

2. Qual a probabilidade de sair um número par ouum número menor que 3 quando se joga um dado.

%67,663

2

6

4

6

123

6

1

3

1

2

1)(

6

1)(1)(2

3

1

6

2)(2)(2,13

2

1

6

3)(3)(6,4,2

===−+=−+=∪

=∩⇒=∩=∩

==⇒==

=

==⇒==

=

BAP

BAPBAnBA

BPBnquemenornúmeroB

APAnparnúmeroA

287

Evento Intersecção

Evento Intersecção: Ocorrer o evento A e o eventoB. A probabilidade de dois eventos A e B ocorreremsimultaneamente numa prova é igual àprobabilidade de um, multiplicada pelaprobabilidade condicional do outro em relação aoprimeiro.

)/()()()/()()( BAPBPBAPouABPAPBAP •=∩•=∩

A ∩ B = x ∈ Ω | x ∈ A e x ∈ B

288

Evento Intersecção

Quando os eventos A e B forem independentes“Quando a ocorrência de um não influencia aocorrência do outro”, então:

)()()( BPAPBAP •=∩

289

AULA VI

Probabilidade Condicional

290


Exemplo 1:

Ao jogarmos um dado não viciado e observarmos a facede cima, consideremos o evento B = o resultado é ímpar.Temos que P(B)=3/6=0,5. Essa é a probabilidade antes que aexperiência se realize.

Suponhamos agora que, realizada a experiência,alguém nos informe que o resultado não foi o número 6, isto é,que A=o resultado é diferente de 6 ocorreu.

Observemos agora que passamos a ter apenas 5 casospossíveis, dos quais 3 são favoráveis à ocorrência de B.Passamos a ter uma probabilidade de B na certeza de A,

P(B|A)=3/5=0,6.

291


Exemplo 2:

A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de umaturma, por sexo e por disciplina que está cursando.

Disciplina Homens(H) Mulheres(F) Total

Cálculo I (C) 15 4 19

Estatística (E) 16 15 31

Física (F) 6 0 6

Outros (O) 4 2 6

Total 41 21 62

Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Defina os eventos:H: o aluno selecionado é do sexo masculinoC: o aluno selecionado é do cálculo.

292


Exemplo 2:

Note que P(H) = 41/62, P(C)=19/62, mas, dentre os

alunos do cálculo, temos que a probabilidade de ele ser

do sexo masculino é:

15/19. Isto é,

P(H|C)=15/19

293


Dados dois eventos A e B, com P(A) ≠ 0, a probabilidade

condicional de B, na certeza de A é o número

Definição

( ) ( )( )

0. B)|P(A decretamos 0, P(B) Se

.|

==

∩=AP

BAPABP

É muito comum o uso dessa fórmula para o cálculo de

P(A∩B). Pois, P(A∩B)=P(A).P(B|A)

294


Exemplo 3:

Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,

retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas

dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem

vermelhas.

Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a

segunda bola é vermelha, temos:

( ) ( ) ( )15

2

9

3

10

4| =⋅=⋅=∩ ABPAPBAP

295


Exemplo 4:

Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,

retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas

dessas, urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser

vermelha, sabendo que a segunda bola é vermelha.

Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a

segunda bola é vermelha, temos:

( ) ( )( ) .|BP

BAPBAP

∩=

296


Exemplo 4: (continuação)

Sabemos que P(A∩B) = 2/15 (exemplo anterior) e que

P(C) = a primeira bola é branca. Então, basta calcular P(B).

Logo, ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

5

2

9

4

10

6

15

2

CBPCP15

2

BCPBAP

BCBAPBP

=⋅+=⇒

⋅+=⇒

∩+∩=⇒

∩∪∩=

|

Então, ( ) ( )( ) .|

3

1

5

2

15

2

BP

BAPBAP =÷=∩=

297


Exemplo 4: (continuação) Outra abordagem que podemos dar a problemas com váriosestágios é o uso das árvores de probabilidade.

A

B

A

B

A

B

10

4

10

6

9

3

9

6

9

4

9

5

298



P(A∩B) = 4/10 . 3/9 = 2/15

P(B) = 4/10 . 3/9 + 6/10 . 4/9 = 2/5

Então,

( ) ( )( ) .|

3

1

5

2

15

2

BP

BAPBAP =÷=∩=

299


Exemplo 5:

Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas

moedas são não viciadas e a outra tem duas

caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida

uma cara. Qual é a probabilidade de ter sido

selecionada a moeda de duas caras?

300



V

V

)(Ccara3

1

3

2

1

2

1

2

1

)(Ccara

)(Ccoroa

301



( ) ( )( )

( )

( )

( )2

1

3

2

3

1|

,3

2

2

1

3

21

3

13

11

3

1

|

=÷=

=⋅+⋅=

=⋅=∩

∩=

CVP

Então

CP

CVP

CP

CVPCVP

302

Exercícios

303

AULA VIII

Probabilidade Total

304

Probabilidade Total

Considere-se um espaço amostra S e A1, A2, ..., Anuma partição deste espaço amostral. Seja B umevento de S. Então B, pode ser escrito como

B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)

É claro que, alguns destes conjuntos B ∩ Aj, poderão servazios, mas isto não representa nenhum problema nadecomposição de B. O importante é que todos os conjuntosB ∩ A1, B ∩ A2, ..., B ∩ An são dois a dois mutuamenteexcludentes. E por isto, pode se aplicar a propriedade daadição de eventos mutuamente excludentes e escrever.

305

Probabilidade Total

P(B) = P[(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)

Mas cada um dos termos P(B ∩ Aj) pode ser escrito naforma: P(B ∩ Aj) = P(Aj).P(B/Aj), pela definição deprobabilidade condicionada, obtém-se então odenominado teorema da probabilidade total:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... +P(An).P(B/An)

306

Probabilidade Total

Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas:A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças queB e que B e C produzem o mesmo número de peças.Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A epor B são defeituosas, enquanto que 4% dasproduzidas por C são defeituosas. Todas as peçasproduzidas são misturadas e colocadas em umdepósito. Se do depósito for retirada uma peça aoacaso, qual a probabilidade de que ela sejadefeituosa?

Exemplo 6:

307

Probabilidade Total

Solução:

Considerem-se os seguintes eventos:D = A peça é defeituosa , A = A peça provém da fábrica A,B = A peça provém da máquina B e C = A peça provém damáquina C .Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vezque só existem as 3 fábricas e que A produz o dobro de B eesta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-setambém que P(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.

Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02+ 0,25.0,04 = 2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaçoamostra S.

308

Teorema de Bayes

Em teoria da probabilidade, o Teorema de Bayesmostra a relação entre uma probabilidade condicionale a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de umahipótese dada pela observação de uma evidência e aprobabilidade da evidência dada pela hipótese. Esseteorema representa uma das primeiras tentativas demodelar, de forma matemática, a inferênciaestatística, feita por Thomas Bayes.

309

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é um corolário (consequênciaimediata de um teorema) do teorema da probabilidadetotal. E com ele é capaz o cálculo da seguinteprobabilidade:

( ) ( ) ( )( )BP

APABPBAP

⋅= ||

Onde,- P(A) e P(B) são as probabilidades a priori de A e B.- P(B|A) e P(A|B) são as probabilidades posteriores de B

condicional a A e de A condicional a B, respectivamente.

310

Teorema de Bayes

Exemplo 7:

Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 sãonormais, um deles apresenta números paresem 75% das jogadas, e o último tem somentenúmeros pares. Escolhendo aleatoriamenteum dos dados e jogando-o 2 vezes obtém-se2 números pares. Qual é a chance de ter sidoescolhido um dado normal?”

311

Teorema de Bayes


311311311

P(A) é a probabilidade de se escolher 1 dado normal e éigual a ½, pois existem 2 dados normais em 4 possíveis.P(B|A) é a probabilidade de saírem 2 números pares,considerando que foi escolhido 1 dado normal. Osresultados dos dados – condicionalmente ao dado quefoi retirado – são independentes. Assim, podemosaplicar a regra do produto, o que nos dá, então:

Teorema de Bayes


312312312

P(B) é a probabilidade de saírem 2 números pares,independentemente de qual dado tenha sidoescolhido. Pela Probabilidade Total, sendo E =“escolher o dado com 75% de chance de sair númeropar” e F = “escolher o dado somente com númerospares”:

Teorema de Bayes


Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:

314

Exercícios

315

Exercícios

01. Joga-se um dado não viciado duas vezes. Determinea probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogadasabendo que a soma dos resultados foi 7.

02. Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas.A comunidade em que ele vive, interessadíssimanesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foiaveriguado que ele acerta 80% das vezes em que dizque os tomates não vão germinar e 90% das vezesem que diz que os tomates vão germinar.Os tomates não germinam em 10% das colheitas. SeAlberto anunciar a perda da colheita, qual é aprobabilidade real de que eles não germinem?

316

03. Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,registrou que 650 deles trabalham com cartões decrédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalhamcom cartões de crédito da bandeira VISA e que 200trabalham com cartões de crédito de ambas asbandeiras. Qual a probabilidade de, ao escolhermos,desse grupo, uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,ser também um dos consumidores que utilizamcartões de crédito da bandeira MasterCard?

Exercícios

317

Exercícios

04. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos derefeições: salada completa ou um prato à base de carne.Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferema salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dosfregueses são homens. Para um freguês sorteado ao acasodesse restaurante, obtenha a probabilidade de:

Consideram-se os seguintes eventos:

H: freguês é homem A: freguês prefere saladaM: freguês é mulher B: freguês prefere carne.

a) preferir salada;

b) preferir carne dado que é um homem;

c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada

318

Exercícios

05. Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ouelétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas setiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance deesse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance domesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houveproblema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problemamecânico precedente. Agora, calcule:a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinadodia?b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenhahavido defeito mecânico?c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânicoem determinado dia se o veículo não parou nesse dia?

319

AULA IX

Distribuição Binomial

320

Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial

Fatorial

Seja n ∈ IN , o fatorial de n é definido e representado por: n! = n ⋅( n −1 ) ( n − 2 )⋅...⋅3⋅ 2⋅1.

Além disso, define-se:

0! = 1

1! = 1

321


Ex.1:

2! = 2 .1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

322


Ex.2:

1) Simplifique as expressões:

a)!

!=.. !

!= 7.6 = 42

b) !!

!=!. .!

!= 3.2.1.6.5 = 180

323


Número Binomial

Definimos como um número binomial o número:

Leitura “binomial de n sobre p”, em que n é o numeradore p o denominador, em que n ∈ N, p ∈ N e n ≥ p.

324


Consequência da Definição:

325


326


Para construir o modelo binomial vamos introduzir umasequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definidapor meio das seguintes condições:- Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominadosucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).- Os ensaios são independentes.- A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é amesma para cada ensaio. A probabilidade de falha serádenotada por 1-p.

327


Para um experimento que consiste na realização de n

ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostralpode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em quecada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).A probabilidade de um ponto amostral com x sucessos nosprimeiros ensaios e falhas nos n – x ensaios seguintes é

px(1 – p)n - x

328


Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com x

sucessos e n – x falhas. O número de pontos do espaçoamostral que satisfaz essa condição é igual ao número demaneiras com que podemos escolher x ensaios para aocorrência de sucesso dentre o total de n ensaios, pois nos n– x restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual aonúmero de combinações de elementos tomados a , ou seja,

329


Definição: Seja o número de sucessos obtidos na realizaçãode ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que temdistribuição binomial com parâmetros e , em que é aprobabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função deprobabilidade for dada por

330


Exemplo 1: Suponha que numa linha de produção aprobabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p

= 0,1.

Toma-se uma amostra de 10 peças para sereminspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:

1. Uma peça defeituosa?2. Nenhuma peça defeituosa?3. Duas peças defeituosas?4. No mínimo duas peças defeituosas?5. No máximo duas peças defeituosas?

331


Solução:

332


Exemplo 2: Suponha que um aluno pretende fazer um testede múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativaspor questão respondendo cada uma das questões de formaaleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3questões?

333


Solução: Como cada questão apresenta cinco alternativas eo aluno pretende respondê-las ao acaso temos que aprobabilidade de sucesso em cada questão, ou seja,probabilidade dele escolher a alternativa correta é de 1/5.Desta forma, podemos definir as seguintes variáveisaleatórias com distribuição de Bernoulli

334


Temos que, para todo i, a probabilidade de sucesso é p = 0,2

(já que temos 5 alternativas disponíveis). Desta forma, P(Xi =1) = 0,2. Se definirmos X como sendo a variável aleatóriaque assume o número total de acertos na prova, temos umadistribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,2.Como queremos saber a probabilidade do aluno acertar nomáximo 3 questões, queremos encontrar o valor de P(X ≤ 3).Assim

335


Logo, a probabilidade de que o aluno acerte no máximo 3questões é de aproximadamente 0,879.

336


Exemplo 3: Uma moeda não viciada é lançada várias vezes.Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes deobtermos 3 coroas?

Solução: Vamos considerar como sucesso a obtenção decara em cada lançamento da moeda. Desta formaqueremos obter 5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos.Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5vezes e no máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadasnão é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, játemos que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamoster obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.

337


Considere as variáveis aleatórias definidas como sendo onúmero de sucessos obtidos em i lançamentos da moedacom i = 5, 6, 7. Sendo assim precisamos calcular P(X = 5)para cada.

Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3coroas é:

338


339

Exercícios

340

AULA X

Distribuição Normal

341

Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal

Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoasadultas selecionadas ao acaso em uma população.

O histograma por densidade é o seguinte:

342


A análise do histograma indica que:

- a distribuição dos valores é aproximadamentesimétrica em torno de 70kg;

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo(55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

343


Vamos definir a variável aleatória

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

344


A distribuição normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:

• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima aessa distribuição. Exemplos:

1.altura;2.pressão sanguínea;3.peso.

• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuições como, por exemplo, para adistribuição binomial.

345


Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.

Exemplo:

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica-grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporçãode valores acima de1500 horas.

346


Uma variável aleatória contínua tem uma distribuiçãonormal se sua distribuição é:

simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino

347


Quando uma distribuição é contínua, o gráfico dedistribuição é uma linha contínua.

Não se visualiza as barras de um histograma, masfrequências de ocorrências de cada valor de x emintervalos infinitesimais.

Forma uma Curva de Densidade de Probabilidade(função pdf – Probability Density Function).

348


Note que a distribuição normal é especificada por

dois parâmetros: μ (mi) representa a média

populacional, e σ (sigma) representa o desvio-

padrão populacional

349


Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuiçãonormal distinta! A figura mostra as curvas de densidade para alturas de

mulheres e homens adultos nos EUA

350


A distribuição normal padronizada tem média e desviopadrão iguais a:

A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de

probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando

qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)

351


Se x é uma observação de uma distribuição que tem médiaμ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x é

Note que o valor padronizado representa o número dedesvios-padrão pelo qual um valor x dista da média (para

mais ou para menos)

352


Ou seja, como a distribuição normal padronizadaé aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ouseja N(0, 1).

Se uma variável aleatória x tem distribuiçãonormal qualquer N(μ, σ), então a variávelpadronizada

tem distribuição normal

353


354


Exemplo: Seja Z~ N (0; 1), calcular

a) P(Z 0,32)

P(Z 0,32) = 0,6255 = 62,55%.

355


Encontrando o valor na Tabela N(0;1):

356


b) P(0 < Z 1,71)

P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) – P(Z < 0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564.

Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.

357


c) P(1,32 < Z 1,79)

P(1,32 < Z 1,79) = P(Z 1,79) –P(Z < 1,32) =

0,9633 -0,9066 = 0,0567.

358


d) P(Z 1,5)

P(Z 1,5) = 1 – P(Z < 1,5)

= 1 – 0,9332 = 0,0668.

359


e) P(Z –1,3)

P(Z –1,3) = P(Z 1,3) = 1 – P(Z 1,3) = 1 – 0,9032 = 0,0968.

Obs.: Pela simetria, P(Z –1,3) = P(Z 1,3).

360


f) P(-1,5 Z 1,5)

P(–1,5 Z 1,5) = P(Z 1,5) – P(Z –1,5) = P(Z 1,5) – P(Z 1,5) = P(Z 1,5) – [1 – P(Z 1,5)]= 2 x P(Z 1,5) – 1 = 2 x 0,9332 – 1 = 0,8664.

361


g) P(–1,32 < Z < 0)

P(–1,32 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,32)= P(Z 1,32) – P(Z 0) = 0,9066 – 0,5 = 0,4066.

362


h) P( -2,3 < Z -1,49)

P( -2,3 < Z -1,49) = P(1,49 Z < 2,3)= 0,9893 -0,9319 = 0,0574.

363


i) P(-1 Z 2)

P(–1 Z 2) = P(Z 2) –P(Z –1) = = A(2) –P(Z1)= A(2) – [1 –P(Z 1)] = A(2) – (1 –A(1))= 0,9772 – (1 –0,8413) = 0,9772 – 0,1587 = 0,8185.

364


A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida.

Portanto,

Dada a v.a. Z ~N(0; 1) podemos obter a v.a. X ~ N(μ; σ2) através datransformação inversa

365


Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) (μ = 10, σ2 = 64 e σ = 8 ) Calcular: (a) P(6 X 12)

= 0,5987- (1- 0,6915 ) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902

366


(b) P(X 8 ou X > 14)

= 1 - 0,5987 + 1 - 0,6915

= 0,7098

367


Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição normal, com média 120min e desvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é aprobabilidade que ele termine o exame antes de 100minutos?

X: tempo gasto no exame vestibular => X ~ N(120; 152)

368


= 1 - 0,9082 = 0,0918

369


b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?

z = ? tal que = 0,95.

Pela tabela z = 1,64.

370


Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidadescalculadas com a notação seguinte:

371


372

Exercícios

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