Post on 23-Jul-2015
Relações de Dependência entre Grandezas
• Na natureza encontramos inúmeros
exemplos de grandezas variáveis inter-
relacionadas.
– Chuva/umidade;
– Sol/calor;
– Arborização/temperatura.
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Relações de Dependência entre Grandezas
• A relação de dependência entre
grandezas, isto é, a variação de uma
conforme as mudanças sofridas pela
outra, é um fenômeno que pode ser
observado e, muitas vezes, traduzido
através do estabelecimento de uma lei
matemática que rege a referida relação.
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Muitas grandezas variam na dependência de
outras, e é muito difícil, às vezes impossível,
garantir que determinada grandeza varie
independentemente de qualquer outra.
• Alguma grandeza varia independentemente?
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NÃO, TODAS AS GRANDEZES ESTÃO RELACIONADAS DE ALGUMA FORMA!
Relações de Dependência entre Grandezas
• Para estabelecer uma relação, a dificuldade, muitas vezes, reside em selecionar a variável que se deseja estudar na dependência de qual outra.
• Quando esta questão está clara e decidida, dizemos que a primeira grandeza varia em função da segunda grandeza.
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Chuva – umidade;
• Estudar – Tirar boas notas ;
• Prestar atenção – aprender;
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Estudar a variação de uma grandeza em
função da variação de outra tem-se
mostrado uma ideia tão importante que,
em diferentes campos
do conhecimento, percebemos a
constante busca de novas
correspondências, com o estabelecimento
das mais variadas dependências.
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Pode acontecer que uma grandeza varie
na dependência de apenas uma, ou de
várias outras, sendo difícil isolar uma
única variável independente.
• Chuva – enchentes - temperatura –
umidade – vegetação...
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Exemplo
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O Manual de Instruções - Digital Blood Pressure Meter UA-701
Tarde e Noite Manhã TEMPO
Pre
ssão
San
guín
ea
(mm
Hg)
Sono
Relações de Dependência entre Grandezas
• No gráfico anterior observa-se a relação entre a pressão sanguínea e as horas do dia.
• Com o passar das horas desenvolvemos atividades diferentes, isso reflete de forma direta na mudança da pressão sanguínea.
• Observe também que durante o período da manhã, a pressão não apresenta grandes variações.
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Relações de Dependência entre Grandezas
• Resumindo, a relação de dependência
entre grandezas nada mais é do que uma:
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FUNÇÃO
Introdução a Funções
• Na matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às questões de dependência entre duas grandezas variáveis.
• Toda relação possui uma lei de formação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntos através de cálculos matemáticos.
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Introdução a Funções
• Uma função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 , onde os elementos de 𝐵 são iguais ao quadrado dos elementos em 𝐴, pode ser definida por:
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ou
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑥2
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Introdução a Funções
• Veja também que representamos 𝒇(𝒙) ou
𝒚 em função de 𝒙. A variável 𝒇(𝒙) ou 𝒚 é
chamada de variável dependente, pois
depende de 𝒙, já a variável 𝒙 é chamada
de variável independente, pois
independentemente de 𝒚, pode
representar qualquer elemento
do domínio.
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Introdução a Funções
• Pode-se estabelecer uma relação de
dependência entre o preço do litro de um
combustível e a quantidade de litros
usados no abastecimento de um carro.
Suponhamos que o preço do litro de
gasolina seja R$2,50, dessa forma,
podemos determinar a seguinte
função 𝒚 = 𝟐, 𝟓𝒙.
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Introdução a Funções
• O que essa função determina? Em
relação a que tem-se essa determinação?
• 𝒚 = 𝟐, 𝟓𝒙.
• Determina o preço a pagar 𝒚 em
decorrência da quantidade de litros
abastecidos 𝒙.
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Introdução a Funções
• Aplicando valores, tem-se:
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𝒙(𝑙) 𝒚 = 2, 𝟓𝑥 (𝑅$) 𝒚 (𝑅$)
1 𝑦 = 2,5 . 1 2,5
2 𝑦 = 2,5 . 2 5,00
3 𝑦 = 2,5 . 3 7,50
4 𝑦 = 2,5 . 4 10,00
5 𝑦 = 2,5 . 5 12,50
6 𝑦 = 2,5 . 6 15,00
7 𝑦 = 2,5 . 7 17,50
Introdução a Funções
• As funções possuem grande
aplicabilidade nas situações em geral
relacionadas ao ensino da Matemática.
• Utilizamos funções na Administração, na
Economia, na Física, na Química, na
Engenharia, nas Finanças, entre outras
áreas do conhecimento.
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Introdução a Funções
• Exemplo 1
• Uma indústria de brinquedos possui um
custo mensal de produção equivalente a
R$5.000,00 mais R$3,00 reais por
brinquedo produzido. Determine a lei de
formação dessa função e o valor do custo
na produção de 2.000 peças.
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Introdução a Funções
• A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. Observe:
C = 5000 + 3p, onde C é custo da produção e p é o número de brinquedos produzidos.
Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos:
C = 5000 + 3 x 2000 C = 5000 + 6000 C = 11.000
• O custo na produção de 2.000 brinquedos será de R$11.000,00.
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Introdução a Funções
• No século XIV, Oresme - teólogo e
matemático francês - tem a brilhante ideia
de traçar uma figura ou gráfico das
grandezas que variam. Esta foi, talvez, a
primeira sugestão do que hoje é chamado
de representação gráfica de uma função.
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Introdução a Funções
• Exemplo 2
• Em uma corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$3,00 mais R$2,50 por quilômetro rodado.
A) Qual a fórmula matemática dessa relação?
B) Se um passageiro percorrer 10km, qual o valor que ele deve pagar?
C) Se um passageiro pagou R$23,00 numa corrida, quantos quilômetros o táxi percorreu?
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Introdução a Funções
• Resposta
A) Com base nos dados fornecidos no problema, monta-se a equação:
𝑦 = 3,00 + 2,5𝑥
Onde 𝑦 é o valor a ser pago e 𝑥 é a quantidade de quilômetros rodados.
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Introdução a Funções
• Resposta
B) A partir da equação: 𝑦 = 3,00 + 2,5𝑥
Para 𝑥 = 10𝑘𝑚, tem-se:
𝑦 = 3,00 + 2,5 . 10
𝑦 = 3,00 + 25,00
𝑦 = 28,00𝑅$
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Introdução a Funções
• Resposta
C) Neste caso, temos o valor de 𝑦 , logo, basta substituirmos na equação encontrada na letra A.
23,00 = 3,00 + 2,5𝑥
2,5𝑥 = 23,00 − 3,00
2,5𝑥 = 20,00
𝑥 =20,00
2,50= 8𝑘𝑚
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Introdução a Funções
• Dizemos que para toda função temos um
conjunto denominado domínio e sua
respectiva imagem.
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Domínio Imagem
Introdução a Funções
• Domínio e imagem de uma função.
• Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a
função f: A B, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 que também pode ser
representada por 𝑦 = 𝑥 + 5 . A representação desta função,
utilizando conjuntos, é:
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1 1 4
4 8
7
12
7
9 6
A B
Introdução a Funções
• O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de
chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).
• Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja,
para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.
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1 1 4
4 8
7
12
7
9 6
A B
Introdução a Funções
• Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio)
deve ter todos os seus elementos relacionados, sendo
assim, não precisamos ter subdivisões para o
domínio.
• O domínio de uma função também é chamado
de campo de definição ou campo de existência da
função, e é representado pela letra "D".
O conjunto de chegada "B", também possui um
sinônimo, é chamado de contradomínio.
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Introdução a Funções
• Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do
contradomínio (conjunto azul da figura). Podemos ter
elementos do contradomínio que não são relacionados
com algum elemento do Domínio e outros que são. Por
isso, devemos levar em consideração esta subdivisão
(esta é até mais importante do que o próprio
contradomínio).
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1 1 4
4 8
7
12
7
9 6
A B
Introdução a Funções
• Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é
composto por todos os elementos em que as flechas de
relacionamento chegam.
• O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto
que a flecha chega é chamado de imagem.
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1 1 4
4 8
7
12
7
9 6
A B
Introdução a Funções
• Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.
• No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:
a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.
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Introdução a Funções
• Exemplo 3
• Dados os conjuntos 𝐴 = *4; 2; 3; 1; 6; 7+ e
𝐵 = 5,3,21,13,9,6,7,1,18,25 . Represente
utilizando diagramas: o conjunto do
domínio, do contradomínio e das imagens,
sendo 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3.
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Introdução a Funções
• Exemplo 3
• Primeiramente, constrói-se a tabela com os domínios e suas respectivas imagens, utilizando a função abaixo:
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3
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𝑥 𝑓(𝑥)
4 13
2 5
3 9
1 1
6 21
7 25
Introdução a Funções
• Resposta - Exemplo 3
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4
3
2
1
6
7
5 13
21 7
18
25
9
3
1 6
Domínio
Imagem
Contradomínio
EXERCÍCIOS
1) Um botijão de gás de cozinha completamente cheio contém 13kg de gás. Na casa de Elvira consome-se, em média, 0,6kg do gás desse botijão por dia.
• A) Que fórmula relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido?
• B) Que massa de gás resta nesse botijão após 1 dia, 2 dias, 4 dias e 15 dias de uso?
• C) Quantos dias terão decorridos quando restar 1kg de gás no botijão?
• D) Esse botijão pode ser usado durante 1 mês? Porquê?
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 1
A) Que fórmula relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido?
Pelas informações dadas no problema, a fórmula que relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido é 𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥 , onde 𝑥 representa o tempo em dias e 𝑓(𝑥) a massa de gás que resta no botijão de gás, com o passar dos dias.
Perceba que quando 𝑥 = 0, a massa inicial de gás é de 13kg, como informa o problema. Além disso, verifica-se que para cada unidade de 𝑥, tem-se um decréscimo de 0,6 unidades de 𝑓(𝑥).
𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 1
B)Que massa de gás resta nesse botijão após 1 dia, 2 dias, 4 dias e 15 dias de uso?
𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥
1 dia : 𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 1 = 12,4𝑘𝑔
2 dias:𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 2 = 11,8𝑘𝑔
4 dias: 𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 4 = 10,6𝑘𝑔
15 dias:𝑓 𝑥 = 13 − 0,6 . 15 = 4𝑘𝑔
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 1
C) Quantos dias terão decorridos quando restar 1kg de gás no botijão?
𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥
Restando 1kg, nosso 𝑓(𝑥) = 1.
1 = 13 − 0,6𝑥 ⇒ 0,6𝑥 = 13 − 1 ⇒ 𝑥 = 12
0,6
𝑥 = 20 𝑑𝑖𝑎𝑠
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 1
D) Esse botijão de gás pode ser usado durante 1
mês? Porquê?
𝑓(𝑥) = 13 − 0,6𝑥
Faremos 𝑓(𝑥) = 0 𝑘𝑔. Com isso, veremos a quantidade máxima
de dias que ele pode durar, ou seja, o tempo que leva para o
botijão de gás secar.
0 = 13 − 0,6𝑥 ⇒ 0,6𝑥 = 13 ⇒ 𝑥 =13
0,6 𝑥 = 21,66 𝑑𝑖𝑎𝑠
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 1
D) Esse botijão pode ser usado durante 1 mês?
Porquê?
Encontramos que para essa situação, 𝑥 = 21,66 𝑑𝑖𝑎𝑠.
Com isso, conclui-se que o botijão NÃO pode ser usado
durante 1 mês (30 dias), pois, ele dura um pouco mais de
21 dias.
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QUESTÃO 146 – ENEM 2009
• Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
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QUESTÃO 146 – ENEM 2009
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o
preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete
dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote
promocional por oito dias fará uma economia de:
A) R$ 90,00.
B) R$ 110,00.
C) R$ 130,00.
D) R$ 150,00.
E) R$ 170,00.
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 2
Analisando a despesa do casal que não aderiu a promoção
𝑓 𝑥 = 150,00𝑥
Para 7 dias, tem-se:
𝑓 𝑥 = 150,00.7 = 1.050,00
Logo, o casal pagaria 𝑅$ 1.050,00.
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 2
Analisando a despesa do casal que aderiu a promoção.
3 primeiros dias: 150,00 . 3 = 450,00 R$
4° dia : 150,00 − 20,00 = 130,00 𝑅$
5 ° dia: 130,00 − 20,00 = 110,00 𝑅$
6 ° dia: 110,00 − 20,00 = 90,00 𝑅$
7 ° dia: 90,00 𝑅$
8 ° dia: 90,00 𝑅$
Somando os valores, obtém-se :
450,00 + 130,00 + 110,00 + 90,00 + 90,00 + 90,00 = 960,00 𝑅$
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 2
Comparando os dois valores:
Casal sem promoção (7 dias ) = 1.050,00 𝑅$
Casal com promoção (8 dias) = 960,00 𝑅$
Logo, 1.050,00 – 960,00 = 90,00 𝑅$.
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QUESTÃO 146 – ENEM 2009
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o
preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete
dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote
promocional por oito dias fará uma economia de:
A) R$ 90,00.
B) R$ 110,00.
C) R$ 130,00.
D) R$ 150,00.
E) R$ 170,00.
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A economia será de 𝑅$ 90,00
QUESTÃO 159 –ENEM 2009
Um experimento consiste em
colocar certa quantidade de bolas
de vidro idênticas em um recipiente
com água até certo nível e medir o
nível da água, conforme ilustrado na
figura ao lado. Como resultado do
experimento, concluiu-se que o
nível da água é função do número
de bolas de vidro que são colocadas
dentro do recipiente.
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QUESTÃO 159 –ENEM 2009
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
A) y = 30x
B) y = 25x + 20,2
C) y = 1,27x
D) y = 0,7x
E) y = 0,07x + 6
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 3
Sabendo que a expressão algébrica que queremos
encontrar é do primeiro grau, tem-se: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑦 .
Atribuindo os valores tabelados, obtemos:
5𝑎 + 𝑏 = 6,35
10𝑎 + 𝑏 = 6,7
15𝑎 + 𝑏 = 7,05
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EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 3
Primeiramente, iremos somar as duas primeiras equações e multiplicar a terceira por menos dois. Observem que as equações obtidas terão dois valores que podem ser determinados!
5𝑎 + 𝑏 = 6,35
10𝑎 + 𝑏 = 6,7
15𝑎 + 2𝑏 = 13,05
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+ 15𝑎 + 𝑏 = 7,05 x (–2) −30𝑎 − 2𝑏 = − 14,01
EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 3
Agora podemos somar as equações obtidas e
eliminar a variável 𝑏.
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15𝑎 + 2𝑏 = 13,05 −30𝑎 − 2𝑏 = − 14,01
−15𝑎 = −1,05
+
𝑎 =−1,05
−15= 0,07 ⇒
EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 3
Podemos substituir o valor de 𝑎 em qualquer uma
das 3 equações e encontrar o valor de 𝑏.
Escolhendo a primeira equação, tem-se:
5𝑎 + 𝑏 = 6,35 ⇒ 5.0,07 + 𝑏 = 6,35 ⇒ 𝑏 = 6,35 − 0,35 ⇒ 𝑏 = 6
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𝑎 = 0,07
EXERCÍCIOS
• Resposta – Exercício 3
Com os valores de 𝑎 e 𝑏 , montamos nossa
equação do primeiro grau.
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𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 = 0,07𝑥 + 6
QUESTÃO 159 –ENEM 2009
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
A) y = 30x
B) y = 25x + 20,2
C) y = 1,27x
D) y = 0,7x
E) y = 0,07x + 6
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𝑦 = 0,07𝑥 + 6
Referências
• ORESTES. Exercícios Pré-ENEM - Competência 4.
Disponível em:
<http://www.pensevestibular.com.br/enem/exercicios-do-
enem-competencia-4>. Acesso em:15 maio 2012.
• NOÉ, Marcos. Introdução à Função. Disponível em:
http://www.brasilescola.com/matematica/introducao-
funcao.htm. Acesso em 15 maio 2012.
• BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton.
Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.
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