CONJUNTOSCONJUNTOS

Noções básicas

Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma

turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia.  

Torcedores do Ceilândia

Torcedores do Brasiliense

Torcedores do Gama

BIR

Y S

AR

KYS

BIR

Y S

AR

KYS

BIR

Y S

AR

KYS

Noções básicas

Conjunto dos números pares:

0, 2, 4, 6, 8, ...

BIR

Y S

AR

KYS

Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica

natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.  

Elementos de um conjunto

O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10.

1 pertence a A

3 não pertence a A

∊

3 ∉ A

Então:

1 A

Representação de um conjunto

O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9.

Podemos representá-lo: 

enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}

considerando uma propriedade que todos os elementos do

conjunto, e somente eles, verificam:

A = {xx é um número ímpar menor que 10}

desenhando uma figura:

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos

elementos de B. 

O conjunto A contém os números

naturais menores que 5.

O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}

A = B

Exemplo

Igualdade de conjuntos

Quando um conjunto tem ao menos um elemento diferente dos

elementos de outro conjunto, dizemos que os conjuntos são

diferentes.

X = {0, 2, 3, 4, ...}

Y = {1, 2, 3, 4, ...}

X ≠ Y (X é diferente de Y)

Exemplo

Conjunto universo

Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado

por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.  

Vamos resolver a equação x² = 4:

x = 2

se U = : ℕuma solução

x = –2 ou

x = 2

se U = :ℤ

duas soluções

Conjunto unitário e conjunto vazio

C = {xx é um número natural primo par} = {2}

Exemplo

Conjunto vazio, cuja notação é ou {}, é o conjunto que

não tem elementos.

B = {xx é um número primo par maior que 5} =

Conjunto unitário é o conjunto formado por um único

elemento.

Exemplo

Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se,

todos os elementos de A pertencem a B e também que A é parte

de B.

Subconjuntos de um conjunto

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A ⊂ B ou B ⊃ A

Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos

que A não está contido em B.

Subconjuntos de um conjunto

A = {1, 2, 3, 7}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

C = {0}

A ⊄ BC ⊄ BC ⊄ A

Subconjuntos de um conjunto

Observações

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.  

Todo conjunto está contido nele mesmo.   

Se A B e B A, então o conjunto A é igual a B.

1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c},

classificar cada sentença como verdadeira ou falsa.

a) A C b) B A c) C A d) C B

a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A.

b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A.

c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C.

d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.

Resolução

EXEMPLOS

a) Se X B, então X é um subconjunto de B. Logo, há

mais de um conjunto X que obedece a essa condição.

Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o

conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;

X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros.

2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um

exemplo de um conjunto X, em cada caso.

a) X B

Resolução

EXEMPLOS

2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um

exemplo de um conjunto X, em cada caso.

b) B X

b) Se B X, então B é um subconjunto de X. Logo,

poderemos determinar infinitos exemplos para X,

desde que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao

conjunto X. Como exemplo, temos:

X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}

Resolução

EXEMPLOS

c) X B e B X

2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um

exemplo de um conjunto X, em cada caso.

EXEMPLOS

Resolução

c) Se X B e B X, então o conjunto X é igual a B.

Logo, só existe uma possibilidade: X = {1, 2, 3}

3. Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do conjunto:

a) X = {2, 4} 4 2, ,4 ,2 ,0)X(P

b) Y = {1, 3, 5} 5 3, 1, ,5 3, ,5 1, ,3 1,,5 ,3 ,1 ,0)Y(P

c) W = {3} 1 ,0)W(P

d) S = { } 0)W(P

Conclui-se que: • Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.• ...• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a

EXEMPLOS

4. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos. Determine o valor de x. X = 5

5. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é 1024, calcule o número de elementos de A.

10 elementos

5x 83x

22 2562 ))x(P(n2 Se 83)(x3)(xn(x)

10n(x) 22 10242 10n(x))x(n

EXEMPLOS