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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
CONTROLO
Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
CONTROLO1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência
A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas
transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
o, A
ntón
ioPa
scoa
lRevisão: Março de 2007
1/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequência
• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal
Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares M Isabel
Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:
Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são
Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Reprodução proibida
• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,
• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,
o, A
ntón
ioPa
scoa
l• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho
2/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
rocom a cabeça no tejadilho,
• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
G(s)r(t)=A sinw1t y(t)
221A)s(R ω
= )s(GA)s(Y 221ω=
entrada sinusoidalcomo é a componente forçada da resposta ?
21
2s)s(R
ω+)(
s)( 2
12 ω+
)ps()ps)(ps()s(N)s(G
n21 +++=
L
Assumem-se pólos simples sem
perda de generalidade
∑++=n
i21 Rcc)s(Y ∑= +
+ω−
+ω+
=1i i11 ssjsjs
)s(Y
)j(Gj2
A)s(Gjs
Ac 1js1
11
1ω−−=
ω−ω
=ω−= j2js 1ω
11js1
12 c)j(G
j2A)s(G
jsAc
1=ω=
ω+ω
=ω=
tsn
tjtj i11 eRe)j(GAe)j(GA)t(y −ωω− ∑+ω+ω−−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l1ii11 eRe)j(G
j2e)j(G
j2)t(y
=∑+ω+ω−−=
resposta forçada resposta natural
)t()t()t(
3/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro)t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da
componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
AA
resposta natural
)t(ye)j(Gj2
Ae)j(Gj2
A)t(y ntj
1tj
111 +ω+ω−−= ωω−
resposta forçada natural
G(s) – função complexa de variável complexa
)s(Gargje)s(G)s(G =)j(Gargj
11
)j(Gargj11
1
1
e)j(G )j(G
e)j(G)j(Gω
ω−
ω=ω
ω−=ω−
ímpar função )j(Gargparfunção )j(G
ω
ω
)j(Gargj
)j(Gargj11
1
1
e)j(G)j(G
e)j(G)j(Gω
ω−
ωω
ω=ω−)j(gj
111e)j(G )j(G ω=ω
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −
ω=ω−ω−ωω e.ee.e)j(GA)t(y
)j(Gargjtj)j(Gargjtj
1f
1111
componente forçada da saídao,
Ant
ónio
Pasc
oal
⎟⎠
⎜⎝ j2
)j()(y 1f
))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=
4/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
))j(g()j()(y 111f
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Resposta em Frequênciaconceito (revisão)
SLIT tí
G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))
• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:
– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas
com a amplitude e fase do sinal de entrada
componente forçada do sinal de saída
desfasagem
sinal de entrada
sinal de saída
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
5/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
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ro
• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1
• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Função Resposta em Frequência
F ã R t F ê i G(j )
ω==ω
js)s(G)j(G
• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do
eixo imaginário
• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a
Transformada de Fourier da Resposta Impulsional
)]t(h[TF)j(G =ω )]t(h[TF)j(G =ω
Representação gráfica da Função Resposta em Frequência
• Que funções é preciso representar ?• |G(jw)|• Arg G(jw)
• Que tipo de representação
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Que tipo de representação• Diagrama de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols
Estudo daestabilidade deSLITs em cadeiafechada
6/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
ro
RESPOSTA EM FREQUÊNCIADiagrama de BodeAproximação assimptótica
Representação gráfica da Função Resposta em FrequênciaRepresentação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)
exemplo
2nn21
2nn11
)w/s(w/s21)(s1(s)w/s(w/s21)(sT1(K
)s(G22
11
+ξ+τ+
+ξ++=
2)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K +ξ++
função de transferência
2nn21
nn11
)w/jw(w/w2j1)(s1(jw)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K
)jw(G22
11
+ξ+τ+
+ξ++= função resposta em
frequência
Característica de amplitude
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
2nn21
2nn11
22
11
+ξ+τ+
+ξ++=
quociente de produtos de termos
O di d B d ( lit d ) tO diagrama de Bode (amplitude) representa
)jw(Glog20)jw(GdB=
2 ))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G +ξ++++=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
dB
2nn2dB1dB
dBnn1dB1dB
))w/jw(w/w2j1()s1(jw
))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G
22
11
+ξ+−τ+−−
+ξ++++=
soma algébrica de termosCaracterística de fase
7/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
rotermosCaracterística de fase
))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(
))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2
nn21
2nn11
22
11
+ξ+−τ+−−
+ξ++++=
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
K)s(G =dBdB
K)jw(G =
⎪⎧ > 0Kseº0função de transferência
K)jw(G =⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
0K se º180
0K se º0)jw(Garg
função de transferência
função resposta em frequência
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
180º
8/Cap.10Março.2007
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bel R
ibei
ro
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
s10)s(G =
jw10)jw(G =
( ) wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB
−=−=
Recta com declive –20dB/década
passando em 0dB para w=1
º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Qual é o ganho estático deste sistema ?
9/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
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ro• Qual é o ganho de baixa frequência ?• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada
r(t)=2sin(100t) ?
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
( )2característica de amplitude
( )2dB
wT1log20)jw(G +−=
1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência
dB01log20)jw(GdB
=−≅ assímptota de baixa
1wTT1w >>⇒>>Alta frequência
dB
Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB
−−=−≅
Recta com declive
frequência
assímptota de alta frequência
Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T
característica de fase
)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=
1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência º0)jw(Garg ≅
π
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
1wTT1w >>⇒>>Alta frequência2
)jw(Garg π−≅
T1w =4
)jw(Garg π−=
10/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
ro
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
T=0.5Pólo = - 2
0 dB/dec
assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência
- 20dB/dec0 dB/dec
0º
- 45º
- 90º
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
w=2rad/s – frequência de corte do pólo
11/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
T 0
sT11)s(G+
=jwT11)jw(G
+=
T=0.5Pólo = - 2
3dB
2 200.2
5.71º
2 200.2
5.71º
T1w =
dB32log20)wT(1log20)jw(G 2dB
−=−=+−=
º45)j1arg()jw(Garg −=+−=
T101w = º71.510
j1arg)jw(Garg −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase
T10 10g)j(g ⎟⎠
⎜⎝
T10w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=
12/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
roUm pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
Largura de Banda (a 3dB)
• Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB emresposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.
Ko
Ko-3dB
• A Largura de Banda traduz a capacidade de um
wwBW
sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada
Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,
Largura de Banda =frequência de corte do pólo
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
corte do pólo
13/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
ro
LB=2rad/s
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência
1
11 ws
w)s(G+
=2
22 ws
w)s(G+
=12 ww >
ganho estático unitário
w1 w2
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
1/w11/w2
Largura de banda maior
14/Cap.10Março.2007
©M
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bel R
ibei
ro
Resposta mais rápida
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(250)s(G+
=
PERGUNTAS
• Ganho estático ?• Declive da
• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência
• Fase para B i f ê i• Baixas frequências
• Altas frequências
RESPOSTAS
• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB• Declive da
• Assimptota de baixa frequência• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec
• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)
• Fase para • Baixas frequências
• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0ºs/rad0w →
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
• Fase para é igual a 0• Altas frequências
• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º
s/rad0w →
∞→w
15/Cap.10Março.2007
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bel R
ibei
ro
A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições
de dois pólos reais simples.
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo
2)5s(250)s(G+
=
2)5s(250)s(G+
=2
10)s(G⎞⎛
=
forma das constantes de
tempo
)5s( + 2
5s1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB
6dB6d
2*5.71ºo,
Ant
ónio
Pasc
oal-90º
2*5 71º
-180º
16/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
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ro2*5.71º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência
Sistema 1 Sistema 2
22 )5s(250)s(G+
=)5s(
50)s(G1 +=
Sistema de 1ª ordemPól l i l 5
Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em 5
Sistema 1 Sistema 2
Pólo real simples em –5Ganho estático = 10
Pólo real duplo em –5Ganho estático = 10
• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?
s/rad 5LB1 =
s/rad 15.3LB2 ≅
Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
17/Cap.10Março.2007
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. Isa
bel R
ibei
ro
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s100)s(G
++=
• Ganho estático ?
3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec
0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++
=
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100o,
Ant
ónio
Pasc
oal
- 90º
- 180º
0º
18/Cap.10Março.2007
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
- 270º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos
)100s)(10s(s100)s(G
++=
• Ganho estático ?
3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec
0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec
)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++
=
0.1 1 10 100 1000
- 20
- 40
- 60
- 80
- 100o,
Ant
ónio
Pasc
oal
- 90º
- 180º
0º
19/Cap.10Março.2007
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. Isa
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
- 270º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)
Q l é t ib i ã d f t d ti (1+j T) ?• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ?Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas
relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte
2)wT(1log20jwT1log20 +=+ )(gjg
1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+
+ 20dB/dec
T=0.1
20
90º
3dB20
45ºo,
Ant
ónio
Pasc
oal
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase
frequência de corte do zero
20/Cap.10Março.2007
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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década
antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais
)1.0s()10s(1.0)s(G
++
=
contribuição do zero
ganho estático
20dB
40dB
-20dB/dec
ganho estático
0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
-20dB
-40dB Excesso pólos-zeros = 0
Assimptota de alta frequência com declive nulo
90º
p q
90
45º
0º0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
- 90º
- 45º
Não há pólos nem zeros na origem Excesso pólos zeros = 0
21/Cap.10Março.2007
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p g
A fase para muito baixa freq. é nulaExcesso pólos-zeros = 0
A fase para muito alta freq. é nula
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência
• Ganho de Baixa Frequência
00wK)jw(Glim =
→ganho estático do sistema
y(t)lim)s(G limKt0s0 ∞→→
==Para uma entrada escalão unitárioGanho da
Resposta em Frequência à frequência w=0q
2)1s(s)s(G+
=2)1s(
1)s(G+
=
1 100.1 0.1 1 100dB0dB
-20dB -20dB
-40dB-40dB
+20dB/dec-20dB/dec
-40dB/deco,
Ant
ónio
Pasc
oal
22/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+= ganho estático
unitário2
1)jw(G⎞⎛
=
10 <ζ≤
2
nn ww
ww2j1
)j(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
2
Característica de amplitude
2
nndB w
www2j1 log20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+−=
22
2
2
dB ww2
ww1log20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
nn ww ⎠⎝⎠⎝
nww << dB0)jw(GdB≅ Assimptota de baixa frequência
nww >>2
n
2
2n
2
dB ww2
wwlog20)jw(G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
n
2
n wwlog40
wwlog20 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅
Assimptota de alta
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
nn ww ⎠⎝frequência
Declive de –40dB/dec
passando em 0dB para w=wn
23/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
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w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
10 <ζ≤
1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
22707.0 ==ζ
o, A
ntón
ioPa
scoa
l707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww ζ−= frequência de
ressonância
24/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
nr ζ ressonância
nr w w 0 →⇒→ζnr ww <
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
10 <ζ≤1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
22707.0 ==ζ1=ζ
dB6
707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica
2nr 21ww ζ−=
2r121)jw(G
ζζ=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
212 ζ−ζ
ζ=
21)jw(G n
em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário
25/Cap.10Março.2007
©M
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bel R
ibei
ro
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007
Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência
707.0>ζ
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
1)jw(G
10 <ζ≤
)jww2s)(jww2s(w)s(G
dndn
2n
−ζ++ζ+=
2
nn ww
ww2j1
)jw(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
=
Característica de fasejw
212
n
n
ww1
ww2
arctg)jw(Garg θ−θ−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ζ−=
njw
nww <<
σ1jw
θ1º0)jw(Garg ≅
nww >>
σθ2
º180)jw(Garg −≅
nww = º90)jw(Garg −=
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
26/Cap.10Março.2007
©M
. Isa
bel R
ibei
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w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos
10 <ζ≤
2nn
2
2n
wsw2sw)s(G
+ζ+=
1)jw(G
10 <ζ≤
)jww2s)(jww2s(w)s(G
dndn
2n
−ζ++ζ+=
2
nn ww
ww2j1
)jw(G
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ζ+
=
1.0=ζ
2.0=ζ
3.0=ζ
5.0=ζ
27070ζ 22707.0 ==ζ
1=ζ
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ?
27/Cap.10Março.2007
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ζg p p
Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge
Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington
• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela
t ti l d tactuavam, em particular do vento
O f f
o, A
ntón
ioPa
scoa
l• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema
• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
28/Cap.10Março.2007
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http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
10s)s(G += 10s)s(G −
1s)s(G1 +=
1s)s(G2 +=
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
10wj1
10)jw(G+
10wj1
10)j(G−
jw110.10)jw(G1 +
=jw110.10)jw(G2 +
−=
2
2
211
10w1
.10)jw(G)jw(G⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
==
a mesma característica de
amplitude2w1+
)w(arctg10warctg)jw(Garg 1 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= )w(arctg
10warctgº180)jw(Garg 2 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
zθθ pθpθ pθzθ
pz1 )jw(Garg θ−θ=pz2 )jw(Garg θ−θ=
180º
-10 -1 -1 10o,
Ant
ónio
Pasc
oal
0º
90º0.1 1 10 100
0º
90º0.1 1 10 100
180º
29/Cap.10Março.2007
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- 90º - 90º
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima
10s)s(G += 10s)s(G −
1s)s(G1 +=
1s)s(G2 +=
sistema de fase mínima sistema de fase não mínima
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
30/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
3 S• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
Sistema 1
Sistema 2o,
Ant
ónio
Pasc
oal
Sistema 3
31/Cap.10Março.2007
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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas
• 3 SLITs3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas
( )10s1s10)s(G
±±
±=
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
32/Cap.10Março.2007
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10s1s10)s(G1 +
−=
10s1s10)s(G2 −
+−=
10s1s10)s(G3 +
+=
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
*25 25)25s4s)(as(
a*25)s(G 2 +++=
)25s4s(25)s(G 2 ++
=
a=1a=3
a=8
a=8
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
a=1
a=3
33/Cap.10Março.2007
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a 1
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes
ww ζζ2nnp
2
2nnz
2
2n
2n
pp
zz
z
p
wsw2swsw2s
ww
)s(G+ζ+
+ζ+= Sistema 1 1 0.2 1 0.5
Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5
pnzn w wpz
ζζ
identifique os sistemasidentifique os sistemas
o, A
ntón
ioPa
scoa
l
34/Cap.10Março.2007
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