Correntes e Tensões Alternadas

Prof.: Welbert Rodrigues

Circuitos Elétricos

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Indução Eletromagnética

Lei de Faraday e Lei de Lenz

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Indução Eletromagnética

Lei de Faraday e Lei de Lenz

Veja em: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html

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Indução Eletromagnética

A força magnética:

. ( )mF BiL sen α=

e Blv=

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Indução Eletromagnética

Lei de Faraday e Lei de Lenz

e – força eletromotriz induzida (tensão induzida) [V]

∆φ/∆t – taxa de variação do fluxo magnético no tempo [Wb/s]

N – número de espiras.

Ne

t

φ∆= −∆

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Indução Eletromagnética

Lei de Faraday e Lei de Lenz

φ - fluxo magnético [Wb]

B – intensidade do campo magnético [T]

A – área do condutor [m2]

α - ângulo de incidência das linhas de campo na área A

. .B A senφ α=

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Gerador – Corrente Alternada

Veja em: http://www.walter-fendt.de/ph14br/generator_br.htm

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Gerador – Corrente Alternada

Primeira meia volta da espira:

Welbert Rodrigues 9

Gerador – Corrente Alternada

Segunda meia volta da espira:

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Gerador – Corrente Alternada

Corrente produzida pelo gerador:

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Gerador – Corrente Alternada

Tensão em função do ângulo:

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Parâmetros da Forma de Onda

Valor de Pico (Vp) – Unid. (V)

Valor de Pico a Pico (Vpp) – Unid. (V)

Período (T) – Unid. (s)

Freqüência (f) – Unid. (Hz)

1f

T=

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Parâmetros da Forma de Onda

Freqüência/Velocidade Angular (ω)

Unidade [rad/s]

2.2. . f

T

πω π= =

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Parâmetros da Forma de Onda

A projeção de um vetor girando descreve uma senóide.

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Função Matemática

Função Senoidal

Domínio do Tempo e Domínio Angular.

Posição Angular (ωt): fornece o ângulo no qual a espira se encontra.

max

max

( ) . ( )

( ) . ( )

f A sen

f t A sen t

α αω

==

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Tensão Instantânea

v(t) – tensão instantânea (V)

Vp - tensão de pico (V)

ω – freqüência/velocidade angular (rad/s)

t – instante de tempo (s)

( ) . ( )pv t V sen tω=

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Exercício

Dado a tensão instantânea v(t)= 10.sen(10.t)

Qual a freqüência, o Período, o valor de pico e a velocidade angular dessa tensão?

Esboce o gráfico tensão x tempo.

Welbert Rodrigues 18

Solução

T = 628 ms

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Corrente Instantânea

i(t) – tensão instantânea (A)

Ip - tensão de pico (A)

ω - freqüência angular (rad/s)

t – instante de tempo (s)

( ) . ( )pi t I sen tω=

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Exercício

Considere a forma de onda abaixo, obter a função matemática que a descreve.

Welbert Rodrigues 21

Solução

T = 50µs

f = 1/T = 20kHz

ω = 2πf = 40000πrad/s

Ip = 20mA

i(t) = 20.sen(40000π.t) mA

Welbert Rodrigues 22

Valor Médio

Valor Aritmética

Média de uma função é dado pela soma das áreas positivas e negativas

1

n

ii

med

VV

n==∑

Welbert Rodrigues 23

Valor Médio

Média de uma função

ΣA - soma algébrica das áreas sob as curvas;

T – período da curva;

∆Vn – variação da amplitude no trecho n da forma de onda;

∆tn – intervalo de tempo correspondente ao trecho n da forma de onda;

n – número de trechos compreendidos no intervalo T.

( . )n nn

med

V tA

VT T

∆ ∆= =

∑∑

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Valor Médio

Valor média de uma forma de onda

Welbert Rodrigues 25

Valor Médio

Exemplo

Welbert Rodrigues 26

Valor Médio

Exemplo

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Valor Eficaz

O valor eficaz de uma corrente alternada éo valor de corrente contínua que produz o mesmo efeito joule ao passar por uma mesma resistência.

Definição

2

1

( )n

ii

ef

VV

n==∑

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Valor Eficaz

Valor Eficaz de uma função senoidal

0,707.2p

ef p

VV V= =

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Defasagem Angular

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Defasagem Angular

Forma de onda dos geradores

1

2

( ) ( 0 )

( ) ( 45 )p

p

i t I sen t

i t I sen t

ωω

= + °

= + °

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Forma de Onda

Tensão instantânea

Corrente instantânea

( ) ( )p vv t V sen tω θ= ±

p ii(t)=I sen( t )ω θ±

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Números Complexos

Definição

Plano cartesiano

1j = − 2 1j = −

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Números Complexos

Forma retangular

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Números Complexos

Forma Polar

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Números Complexos

Conversão de Retangular para Polar

Welbert Rodrigues 36

Números Complexos

Ex: Transformar para forma polar;

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Números Complexos

Ex: Transformar para forma polar;

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Números Complexos

Conversão de Polar para Retangular

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Números Complexos

Ex: Transformar para forma retangular;

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Números Complexos

Ex: Transformar para forma retangular;

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Números Complexos

Operação com Números Complexos

Soma e Subtração: é feita na forma retangular;

1 1 1C x jy= + 2 2 2C x jy= +

1 2 1 2 1 2( ) ( )C C x x j y y+ = + + +

1 2 1 2 1 2( ) ( )C C x x j y y− = − + −

Welbert Rodrigues 42

Números Complexos

Operação com Números Complexos

Multiplicação e Divisão: é feita na forma polar;

1 1 1C Z θ= 2 2 2C Z θ=

1 2 1 2 1 2. .C C Z Z θ θ= +

11 2 1 2

2

ZC C

Zθ θ÷ = −

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Números Complexos

Operação com Números Complexos

Exercício:

1 20 30C = ° 2 30 40C j= −

1 2. ?C C =

1 2 ?C C÷ =

1 2 ?C C+ =

1 2 ?C C− =

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Números Complexos

Operação com Números Complexos

Exercício:

1 20 30C = ° 2 30 40C j= −

1 2. 919,6 392,8C C j= −

1 2 ?C C÷ =

1 2 ?C C+ =

1 2 ?C C− =

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Números Complexos

Operação com Números Complexos

Exercício:

1 20 30C = ° 2 30 40C j= −

1 2. 919,6 392,8C C j= −

1 2 0,048 0,397C C j÷ = +

1 2 ?C C+ =

1 2 ?C C− =

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Números Complexos

Operação com Números Complexos

Exercício:

1 20 30C = ° 2 30 40C j= −

1 2. 919,6 392,8C C j= −

1 2 0,048 0,397C C j÷ = +

1 2 47,32 30,00C C j+ = −

1 2 ?C C− =

Welbert Rodrigues 47

Números Complexos

Operação com Números Complexos

Exercício:

1 20 30C = ° 2 30 40C j= −

1 2. 919,6 392,8C C j= −

1 2 0,048 0,397C C j÷ = +

1 2 47,32 30C C j+ = −

1 2 12,68 50C C j− = − +

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Representação Fasorial

Fasor é um número complexo usado para representar a amplitude e a fase de uma função senoidal;

Vantagem: facilita a manipulação destas funções;

Welbert Rodrigues 49

Representação Fasorial

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Representação Fasorial

Fasor

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Representação Fasorial

Um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento harmônico) pode ser representado através de suas projeções num plano cartesiano formando uma senóide.

Para uma dada freqüência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma freqüência.

Welbert Rodrigues 52

Representação Fasorial Uma senóide pode ser descrita por um vetor radial girante com

módulo igual à sua amplitude (valor de pico) e mesma freqüência angular ω.

Veja em:

http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/repfresn.html

Welbert Rodrigues 53

Representação Fasorial

A projeção do fasor no eixo y é uma função seno que representa a amplitude instantânea da senóide.

Welbert Rodrigues 54

Representação Fasorial

Exercício:* Representar graficamente os sinais senoidais através do diagrama fasorial e de sua projeção senoidal:

Obs: Um diagrama fasorial pode conter um ou vários Fasores(vários sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma freqüência.

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Representação Fasorial

Solução:

Welbert Rodrigues 56

Representação Fasorial

Exercício:* Um fasor de tensão de módulo 10V descreve uma rotação completa em 0,02s partindo da posição inicial -30 graus. Determine:

a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal;

b) o ângulo em que a tensão é 10V;

c) a freqüência angular e a expressão matemática para as variações instantâneas desse sinal;

d) o valor da tensão no instante t=0s;

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Representação Fasorial

Solução:

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Representação Fasorial

Solução:

A função instantânea:

Welbert Rodrigues 59

Representação Fasorial

Solução:O valor de pico ocorrerá em:

No instante t=0s a função senoidal assume o valor:

Welbert Rodrigues 60

Representação Fasorial

Representação fasorial com números complexos

Welbert Rodrigues 61

Representação Fasorial

Representação fasorial com números complexos

( ) . ( )pv t V sen tω θ= ±

2pV

V θ•

= ±efV V θ

•= ±

Welbert Rodrigues 62

Representação Fasorial

Exercício:Representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular. Determinar a expressão instantânea

(trigonométrica) da tensão e corrente, considere f =60 Hz.

Welbert Rodrigues 63

Representação Fasorial

Exercício:Representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular. Determinar a expressão instantânea

(trigonométrica) da tensão e corrente, considere f =60 Hz.

( ) 10. 2. (377 0 )

( ) 5. 2. (377 45 )

v t sen t V

i t sen t A

= + °

= + °

Welbert Rodrigues 64

Representação Fasorial

Solução:

* Forma Polar

* Forma Retangular

10 0V V•

= ° 5 45I A•

= °

(10 0)V j V•

= + (3,53 3,53)I j A•

= +

Welbert Rodrigues 65

Representação Fasorial

Operações usando fasor

* Quando queremos somar ou subtrair dois números complexos devemos operar esses números na forma retangular.

* Ao multiplicar ou dividir devemos operar os números na forma polar.

Welbert Rodrigues 66

Representação Fasorial

Exercício:

* Somar e subtrair os sinais senoidais:

Welbert Rodrigues 67

Representação Fasorial

Solução:

Welbert Rodrigues 68

Representação Fasorial

Solução:

Welbert Rodrigues 69

Representação Fasorial

Solução:

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Representação Fasorial

Exercício:* Considerando o diagrama fasorial:

a) Escreva as expressões matemáticas

no domínio do tempo;

Considere o eixo x sendo de

tensão e o eixo y de tempo.

Welbert Rodrigues 71

Circuito Equivalente de Thévenin

Circuito Genérico e o Equivalente de Thévenin

Welbert Rodrigues 72

Circuito Equivalente de Thévenin1) Calcular a tensão de circuito aberto, entre os pontos a e b;

2) Calcular a corrente de curto circuito, entres a e b;

Exemplo: (1)

32ab thV V V= =

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Circuito Equivalente de Thévenin (2) Calcula da corrente de curto circuito;

4ccI A=32

84thR = = Ω

Welbert Rodrigues 74

Circuito Equivalente de Thévenin Circuito Equivalente;

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Circuito Equivalente de Norton

Circuito Genérico e o Equivalente de Norton

Welbert Rodrigues 76

Circuito Equivalente de Norton É obtido através de uma transformação de fonte do circuito

equivalente de Thévenin;

⇒

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Exercícios Determine a potência associada à fonte de 6V, verifique se

ela está fornecendo ou recebendo a potência calculada.

Resp.: P=4,95W - Recebendo

Welbert Rodrigues 78

Exercícios Determine a tensão V.

Resp.: V=48V

Welbert Rodrigues 79

Exercícios Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito

abaixo do ponto de vista dos terminais a e b;

Resp.: Vth=64,8V e Rth=6Ω