TENSÕES E CORRENTES TRANSITÓRIAS E TRANSFORMADA DE...
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TENSÕES E CORRENTES TRANSITÓRIAS E TRANSFORMADA DE LAPLACE
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TENSÕES E CORRENTES
TRANSITÓRIAS E
TRANSFORMADA
DE
LAPLACE
1
PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt, constante, para t >0. Ver fig. 1-a.
t
E
E vR
(a) (b)
v
00
Fig. 1 A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo que a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a. Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele é designado por ( )tu . Ver fig. 2.
t0
1
( )tu
+0−00
Fig. 2 Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que, pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1. Por convenção, em t = 0, a função ( )tu é descrita analiticamente pelas expressões: Para )0( −=t ! ( ) 0=tu Para )0( +=t ! ( ) 1=tu O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por: ( )tuEv ×=
2
Sinal impulso unitário É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área é igual a 1. Ver fig. 3.
0 t
∞( )tδ
Área = 1
0
Fig. 3 Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )tδ . Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4.
t
τ1=h
τ0
0
Fig. 4
Nessa figura temos um pulso ( )tf de duração τ e amplitude τ1=h .
Sua área fica: 11 =×=τ
τA
Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ . Neste caso poderíamos dizer que
hlim= ∞=0→τ τ
1lim
0→τ
=( ) ( )tft lim=δ0→τ
Portanto, tem-se para ( )tδ :
0=τ ∞→h 1=área
3
A função ( )tE δ× representa um impulso com área E. Rampa unitária É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo a função ( )tf que obedece as seguintes características: Para 0<t ! ( ) 0=tf Para 0≥t ! ( ) ttf = Matematicamente, designa-se este tipo de função como sendo ( )tu 1− A fig. 5-a mostra essa função. A fig. 5-b mostra o sinal ( )tua 1−× que vem a ser uma rampa com inclinação igual a a .
0 1
( )tu 1−
t
1
00 1
( )tua 1−×
t
a
0
(a) (b)
Fig. 5
4
TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicação A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de equações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos. Definição Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )tf , a igualdade:
( )[ ] ( ) dtetftf st−∞
"=0
Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que depende apenas da variável s. Por isto, é comum dizer: Função ( )tf! Transformada de Laplace dessa função ( )sF!
onde ( ) ( ) dtetfsF st−∞
"=0
(1)
--------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )tu . Ver fig. 6.
t
0
1
( )tu
0
Fig. 6
Neste caso
( ) dtesF st"∞ −×=
01 ste
s−−= 1
0
∞
=
( ) ( )ss
ees
11011 0 =−−=−−= ∞−
5
( ) =sF ( )
stu
1= (2)
----------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale a multiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante
Seja ( ) ( ) dtetfsF st−∞
"=0
Neste caso, ( ) dtetfa st−∞
" ×0
( ) dtetfa st−∞
"=0
( )sFa ×=
--------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E. Ver fig. 7.
t
0
E
( )tf
Fig. 7 Neste caso, ( ) ( )tuEtf ×= De acordo com o teorema 1, tem-se:
( ) =× tuE ×E ( )
sE
sEtu =×= 1
( )
sE
tuE =× (3)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) tetf α−=
( ) dteesF stt −∞
−"=0
α = ( ) dte ts"∞
+−
0
α
Portanto:
6
( )tses
+−
+− α
α1
0
∞
αα +=#$
%&'(
+−−=
ss11
0( ) =sF
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função:
( )#$%
&'(
dttdf
Sabemos que
( )dt
dUV
dtdV
UVUdtd ×+×=×
Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica:
( ) dUVdVUVUd ×+×=× Integrando os dois lados da igualdade tem-se:
" "+=× VduUdVVU ou
" "−= VdUUVUdV (4)
Sabemos que ( ) ( )sFdtetf st =−∞
"0 (5)
Vamos fazer ( ) Utf = e dtedV st−=
Neste caso, stes
V −−= 1
Vamos aplicar estas igualdades na equação (4)
( )[ ]tfdes
st"∞ −+
0
1( ) ( ) stst etfs
dtetf −−∞×−="
10
0
∞
ou
7
( ) ( ) ( )dte
dttdf
ssf
dtetf stst −∞+−∞
"" #$%
&'(+=
00
10 ou
( ) ( )
ssf
sF10 +=
+ ( )dt
tdf ou
( ) ( ) ( )+−= 0fssFdt
tdf(6)
-------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função ( )tf . Supondo que ( )sF é a transformada de Laplace de ( )tf é demonstrável que se
( ) ( )dttfAtvt
"×=0
então
( ) ( ) ( )s
vssF
Atv+
+×= 0 (7)
--------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A. É, também, demonstrável que:
( ) AtA =δ (8)
--------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C.
( ) 0=tf para t < 0 ( ) Cttf = para 0≥t
Resultado: ( ) 2sCsF =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
8
Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide ( ) tAtf βsen= Resultado:
( ) 22 ββ+
=s
AsF
------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide ( ) tAtf βcos= Resultado:
( ) 22 β+=
ss
AsF
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- Anti-transformada de Laplace Se a transformada de Laplace de ( )tf é ( )sF , então a anti-transformada de Laplace de
( )sF , é ( )tf , ou seja:
se ( )[ ] ( )sFtf =
então ( )[ ] ( )tfsF =1− (9)
É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letra maiúscula. Exemplo: i ⇔ I Equivale a ( )ti ⇔ ( )sI
9
Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntes em circuitos elétricos. Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento da chave. Suponha que o capacitor está descarregado.
E
i
R
C
Fig. 8 Solução: Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicar a segunda lei de ohm:
010
=×++− "t
dtiC
RiE (10)
Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte de alimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é
( ) =sEsE
Ver equação (3).
A tensão no capacitor é
( ) " ×=t
c dtiC
tv0
1
Sua transformada é:
( ) ( )s
VCsI
sV cc
+
+= 0 Ver expressão (7)
Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta:
( )CsIsVc =
Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica:
10
0=++−CsI
RIsE (11)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I:
sE
CsRI =)
*+
,-. + 1
)*+
,-. +
=R
Css
EI
1 RsC
E
+=
1 ou
RCsR
EI1
1
+×= (12)
Finalmente, faz-se a anti-transformada de I. Dessa maneira, obtém-se a expressão da corrente i em função do tempo. Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace, publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios em circuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais desse tabelamento.
Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão
RCs 1
1
+.
A linha 1.102 da tabela mostra que
1− tes
α
α−=
+1
Por comparação concluímos que:
1− tRCe
RCs
1
11 −
=+
Portanto, a corrente ( )ti fica representada pela expressão:
( ) tRCe
REti
1−= (13)
A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo.
11
RE
( )ti
t0 Fig. 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo após o fechamento da chave.
E v
R
L
i
Fig. 10 Solução:
a) Determinação da corrente i. Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm:
0=++−dtdiLRiE (14)
Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação é um degrau de amplitude E. Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para
transformar o termo dtdi aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor,
no instante inicial, é zero.
0=++− LsIRIsE (15)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I:
12
( )sE
LsRI =+
( )RLssEI+
= ou
)*+
,-. +
×=
LR
ssLE
I1
(16)
Precisamos determinar a anti transformada da expressão
)*+
,-. +
LR
ss
1
No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa. Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de
( )( )γα ++ ss1 é
αγ
γα
−− −− tt ee
Se fizermos 0=α concluiremos que a anti-transformada de
( )γ+ss1 é
γ
γte−−1
Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se:
( ))*+
,-. +
≡+
LR
ssss11
γ
Concluímos que γ≡LR
Portanto, a anti-transformada da função
)*+
,-. +
×=
LR
ssLE
I1
resulta: ( )LRe
LEti
tRL−
−×= 1
13
ou ( ) ))*
+,,-
.−=
− tLR
eRE
ti 1 (17)
A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo.
t
RE
( )ti
0 Fig. 11
a) Determinação da tensão no indutor
Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão:
( )dtdi
Ltv =
Pela expressão (6) sabemos que, quando a corrente inicial é nula, a transformada de Laplace desta tensão é: LsIsV =)( Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se:
( ))*+
,-. +
×=)*+
,-. +
×=
LR
sE
LR
ssLE
LssV11
( ))*+
,-. +
=
LR
sEsV
1
A anti-transformada resulta:
( ) tLR
Eetv−
= (18) A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo.
14
E
( )tv
t0 Fig. 12
Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após o fechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto a tensão inicial no capacitor, são nulos.
R C
LvE L
Fig. 13 Equação diferencial:
010
=+++− " dtdiLidt
CRiE
t
Transformadas de Laplace:
0=+++− LsICsIRI
sE
onde I representa a transformada de Laplace de ( )ti , ou seja, ( )sII = Determinando, algebricamente, o valor de I, encontra-se:
( )LC
sLR
sLE
sI1
12 ++
= 19
Precisamos achar a anti-transformada da expressão:
15
LCs
LR
s1
12 ++
A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão se apresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela. Vamos fazer
α2=LR e 2
01 ω=
LC
Portanto
LCs
LRs 1
12 ++
20
2 21
ωα ++=
ss
Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2α Resulta:
20
2 21
ωα ++ ss 220
22 21
αωαα −+++=
ss= ( ) ( )22
02
1αωα −++s
20
Caso a Se 022
0 ≥−αω então podemos usar a identidade
( ) ( )220
2
1αωα −++s
( ) 22
1βα ++
≡s
21
22
02 αωβ −=
Caso b Se 022
0 <− αω então podemos usar a identidade
( ) ( )220
2
1αωα −++s ( ) 22
1βα −+
≡s
22
onde 22
02 αωβ −=− ou 2
022 ωαβ −=
Solução para o caso a A linha 1.301 da tabela fornece:
16
( ) tes
t βββα
α sen1122
−=++
1−
Neste caso
( ) te
LE
tit
ββ
α
sen−
= 23
Substituindo os valores:
LR
2=α
220 αωβ −= 2
2
41
LR
LC−=
chega-se ao resultado final
( ) tL
RLC
eR
CL
Etit
LR
))*
+,,-
.−
−=
−
2
22
2 41sen
4
24
A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo.
t
( )ti
0
Fig. 14 Solução para o caso b Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado:
17
( ) tLCL
Re
CLR
Eti
tL
R
))*
+,,-
.−
−=
− 14
senh
4
2
22
2 25
onde θsenh significa seno hiperbólico de θ . A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo.
( )ti
0t
Fig. 15 Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas. Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintes relações: Impedância de resistor R! Impedância de indutor Ls!
Impedância de capacitor Cs1
!
Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16.
Ls
R
)(sE
( )sI Cs1
Fig. 16 Calculando a corrente, resulta
18
( ) ( )
CsLsR
sEsI
1++=
Supondo excitação em degrau, tem-se:
( )Cs
LsR
sE
sI1++
=
ou ( )LC
sLRsL
EsI1
12 ++
= 26
Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 4 - Determinar a tensão ( )tvL no indutor do circuito da fig. 13. Solução: Supondo que a transformada de Laplace de ( )tvL é ( )sVL , utilizamos, para esse cálculo, o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio das transformadas de Laplace. Considere 022
0 ≥−αω
Ls
R
)(sE
( )sI Cs1
( )sVL
Fig. 17 Pela lei de ohm tem-se: ( ) LssIsVL ×=)(
Vimos que ( )LC
sLRsL
EsI1
12 ++
=
Portanto:
19
( ) =sVL
LCs
LR
s
sE
12 ++
Como 022
0 ≥−αω então podemos usar a identidade
LCs
LR
s
s12 ++ ( ) 22 βα ++
≡s
s
onde L
R2
=α e 2
21
)*+
,-.−=
LR
LCβ
Determinação da Anti-transformada de
( ) ( ) 22 βα ++=
sssF
Na linha 1.303, se fizermos 00 =a , teremos
( ) ( ) ( )ψββαβ
α ++= − tetf t sen1
21
22
onde αβψ
−= −1tg
Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão no indutor:
( ) ))
*
+
,,
-
.+−
−=
−ψt
LR
LCe
LCR
Etvt
LR
L 2
22
2 41sen
41
1
20
onde 142
1 −= −
CRL
tgψ
Casos onde se tem valores iniciais não nulos Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial 0I . Ver fig. 18-a.
0VC
0I
L
(a) (b)
Fig. 18 Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I, a tensão equivalente nesse um indutor fica: ( ) 0LILsIsVL −= A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui valor 0LI . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a.
( )sVLLs
0LI
( )sVC
sV0
Cs1
(a) (b)
Fig. 19 Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b. Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I, a tensão equivalente neste componente fica:
( )s
VCsI
sVC0+=
21
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui o
valor s
V0 . A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b.
------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercício 5 Dado o circuito da fig. 20,
a) Determinar a corrente ( )ti após o fechamento da chave. b) Determinar a tenção ( )tvC após o fechamento da chave.
E
i
R
C 0VCv
Fig. 20 Solução: A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace:
R
( )sVCsE
( )sI
Cs1
sV0
Fig. 21
a) 00 =+++−s
VCsIIR
sE
RCsR
VE
CRs
VE
CsR
sVE
I1
111
00
0
+×−=
+
−=+
−
=
A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta:
( ) tRCe
RVE
ti1
0−
)*+
,-. −=
22
b) ( )s
VCs
IsVC01 +×=
ou ( )s
V
RCsCsR
VEsVC
00
11 +
)*+
,-. +
×−=
ou ( ) ( )s
V
RCss
RCVEsVC0
0 1
1
+)*+
,-. +
×−=
As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quando se faz 0=α , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta:
( ) ( ) 0
1
0 1 VeVEtvt
RCc +))
*
+,,-
.−−=
ou ( ) tRC
tRC
c eVeEtv1
0
1
1−
+))*
+,,-
.−=
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 6 Dado o circuito da fig. 22,
a) Determinar a corrente ( )ti após a chave mudar do ponto A para o ponto B. b) Determinar a tensão ( )tvL após a chave mudar do ponto A para o ponto B.
A
B
LvL
0I
2E
2R
1R
1E
Fig. 22 Solução: Antes de mudar a chave de A para B:
Corrente contínua através do indutor: 1
10 R
EI =
23
Após a mudança de A para B:
Corrente inicial no indutor: RE
I 10 =
a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace:
( )sVLLs
sE2
2R
)(sI
0LI
Fig. 23 Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se:
022 LILsIIR
sE −++− =0
LRs
I
LRssL
EI
20
2
2 11
++
)*+
,-. +
×=
Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo 0=α ) e da linha 1.102, resulta:
( ) tLR
tLR
eIeRE
ti22
02
2 1−−
+))*
+,,-
.−= onde
1
10 R
EI =
b) ( ) 0LILsIsVL −=
ou ( ) LI
LR
s
sLI
LR
sEsVL 0
20
22
1 −+
++
×=
ou ( ) ( )LR
sRIEsVL
2202
1
+−=
Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta:
24
( ) ( ) tL
R
L eRIEsV2
202
−−= onde
1
10 R
EI =
Teoremas dos valores iniciais e finais. Sendo ( )sF a transformada de Laplace de ( )tf , o teorema do valor inicial afirma:
( )tflim
0→t( )ssFlim=
∞→s Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite quando s tende para o infinito. Da mesma forma, o teorema do valor final afirma:
( )tflim∞→t
( )ssFlim=0→s
Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite quando s tende a zero. Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5. Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou
( ) tRCe
RVE
ti1
0−
)*+
,-. −=
Valor inicial Podemos ver que
( ) )
*+
,-. −=
RVE
ti 0lim0→t
No domínio da transformada de Laplace tínhamos:
( )RC
sRVE
sI1
10
+×−=
Podemos ver que
25
( )ssIlim∞→s∞→s R
VE
RCs
sR
VE 00
1−=
))))
*
+
,,,,
-
.
+×−lim=
Isto confirma a validade do teorema do valor inicial Valor final Voltando à expressão de ( )ti
( ) tRCe
RVE
ti1
0−
)*+
,-. −=
Podemos ver que
( ) 0lim =ti∞→t
No domínio da transformada de Laplace tínhamos:
( )RC
sRVE
sI1
10
+×−=
Podemos ver que
( )ssIlim 01
0 =))))
*
+
,,,,
-
.
+×−
RCs
sR
VElim=0→s0→s
Isto confirma a validade do teorema do valor final ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 7 Trabalhando apenas no domínio da transformada de Laplace , determinar os valores inicial e final da corrente no indutor do circuito do exercício 6 Solução:
( )LR
sI
LR
ssL
EsI
20
2
2 11
++
)*+
,-. +
×=
26
( )LR
s
sI
LR
sL
EssI
20
2
2 1
++
)*+
,-. +
×=
Valor inicial
000 II =+=∞→s( ) limlim =ssI
))))
*
+
,,,,
-
.
++
)*+
,-. +
×
LR
s
sI
LR
sLE
20
2
2 1
∞→s
0→t( ) 0lim Iti =Portanto (valor inicial)
Valor final
2
2
2
2 0RE
RE =+=( ) limlim =ssI
))))
*
+
,,,,
-
.
++
)*+
,-. +
×
LR
s
sI
LR
sLE
20
2
2 1
0→s 0→s
∞→t( )
2
2limRE
ti =Portanto (valor final)
Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades os resultados deste exercício 7. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais. Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da anti-transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados, apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversos pontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.
