Créditos: - Prof. Antônio Marcos Alberti - Prof. José Marcos Câmara Brito

Pós-graduação em Engenharia de Redese Sistemas de Telecomunicações

TP315Análise de Desempenho e Dimensionamento

em Redes de Telecomunicações

Prof. Edson J. C. Gimenez

(Campinas/2010 – T62/T74)

Créditos:

- Prof. Antônio Marcos Alberti

- Prof. José Marcos Câmara

Nota Final / Conceito

Avaliação• EX - peso 5:

– Listas de exercícios• PV - peso 5

– Prova individual, com consulta.

Conceito Final– Conceito A: NF ≥ 90– Conceito B: 70 ≤ NF < 90– Conceito C: 50 ≤ NF < 70– Conceito D: NF < 50– Conceito E: NC

Introdução à Teoria de Filas: O que é um Sistema de Filas? Notação de Kendall Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Equações de Equilíbrio Teorema de Little Sistema de Fila com Servidor Único Sistema de Fila com N Servidores Sistema de Fila M/G/1 Sistema de Fila com Prioridades Sistema de Fila Multidimensional Redes de Sistemas de Fila

Alocação de capacidades em Redes de Pacotes: Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas

Bibliografia:

1) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 1: Theory. John Wiley. 1975.

2) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 2: Computer Applications. John Wiley. 1976.

3) IVERSEN, V. B. - Teletraffic Engineering and Network Planning. Technical University of Denmark. 2004.

4) SCHWARTZ, M. - Telecommnications Networks - Protocols, Modeling and Analysis. Addison Wesley. 1987.

5) KERSHENBAUM, A. - Telecommunications Network Design Algorithms. McGraw-Hill. 1993.

6) BRITO, J. M. C. - Projeto e Análise de Redes de Computadores - (Cap. 4: Introdução à Teoria de Filas). Inatel, 2004.

Introdução à Teoria das Filas A teoria de filas é uma das mais interessantes aplicações

da teoria da probabilidade, sendo de grande importância para a análise e dimensionamento de sistemas de comunicações e também em sistemas ligados à ciência da computação.

Os sistemas de filas aparece em diversas situações do nosso cotidiano, tais como: Fila de pessoas em supermercados e bancos. Fila de pessoas para embarcar em um avião. Fila de carros em um semáforo. Fila de carros aguardando por conserto em uma oficina. Fila de containers a serem descarregados em um porto.

Sistemas de fila também são formados em sistemas e redes de comunicações: Fila de pacotes aguardando por transmissão. Fila de pacotes aguardando por roteamento/comutação. Fila de pacotes recebidos na placa de rede de um terminal. Fila de chamadas telefônicas aguardando por linha em um

PABX. Fila de amostras de voz recebidas em um telefone IP. Fila de símbolos a serem codificados em um transmissor

de TV Digital. etc...

Introdução à Teoria das Filas

O que é um Sistema de Filas? Um sistema de filas (Q – Queuing System) é um sistema

composto por: Uma ou mais filas (W – Waiting Line) onde são

armazenados os elementos que aguardam por atendimento.

Um ou mais servidores (S – Servers) que atendem os elementos.

Um processo de chegada, que define como os elementos chegam ao sistema.

Um processo de atendimento, que define como os elementos são atendidos pelo sistema.

O tamanho da população que gera os elementos.

O que é um Sistema de Filas?Exemplo:

Seja o caso de uma lanchonete, em que o chapista leva em média 5 min para fazer um sanduíche, e que o número médio de clientes que procuram a lanchonete é de 8 clientes/hora.

Pergunta:Há formação de fila nesta lanchonete?

Solução:Utilização da facilidade

** Mesmo a carga sendo inferior à carga máxima, provavelmente teremos fila, uma vez que os clientes não chegam à lanchonete de forma ordenada.

6667.060

85)()(

O que é um Sistema de Filas? Sistema de Filas com 1 Fila e vários Servidores

Fila (W)

População

Processo de Chegada

Processo de Atendimento

Armazenamento

Servidores (S)

Taxa média de chegada de elementos. Ex.: 5 elementos/segundo.

Taxa média de atendimento de elementos. Ex.: 2 elementos/segundo.

Elemento que chega ao sistema.

Elemento sendo servido. Servidor ocupado.

Sistema de Fila (Q) = Fila (W) + Servidor (S)

O que é um Sistema de Filas? Métricas de Desempenho: Ocupação

Fila (W)

PopulaçãoNº Médio de Elementos na Fila

Servidores (S) wE

Nº Médio de Elementos nos Servidores

Nº Médio de Elementos no Sistema de Fila

sEwEqE

Nº Médio de Elementos que Chegam ao Sistema

Nº Médio de Elementos que Saem ao Sistema

O que é um Sistema de Filas? Métricas de Desempenho: Atraso

Fila (W)

PopulaçãoTempo Médio de Armazenamento

Servidores (S) wtE

Tempo Médio de Serviço

Tempo Médio no Sistema de Fila

swq tEtEtE

Notação de Kendall e Notação Expandida A notação de Kendall (David Kendall) foi desenvolvida em

1951 para descrever o comportamento de um sistema de fila em uma única frase:

XSKmBA /////

Disciplina de serviço

Tamanho da população

Nº total de elementos no sistema

Processo de chegada

Processo de atendimento

Número de servidores

Notação de Kendall e Notação Expandida Notação de Kendall Expandida:

XSKJmBA //////

Disciplina de serviço

Tamanho da população

Nº total de elementos no sistema

Processo de chegada

Processo de atendimento

Número de servidores

Número de elementos na fila

Notação de Kendall e Notação Expandida É comum vermos sistemas definidos com a notação

simplificada:

• A/B/m.

Neste caso assume-se que não há limite para o tamanho da fila, a fonte de clientes é infinita, e a disciplina de tratamento é FIFO

• A/B/m// /FIFO

Notação de Kendall e Notação Expandida Processo de Chegada (A)

Descreve o processo que modela as chegadas de elementos ao sistema.

As seguintes opções são utilizadas: M Markoviano (Distribuição Exponencial) D Determinístico (Constante) Ek Erlang (Erlang-k)

Hk Hiperexponencial

G Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma genérica, independente da distribuição)

Notação de Kendall e Notação Expandida Processo de Atendimento (B)

Descreve o processo que modela o atendimento de elementos no sistema.

As seguintes opções são utilizadas: M Markoviano (Distribuição Exponencial) D Determinístico (Constante) Ek Erlang (Erlang-k)

Hk Hiperexponencial

G Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma genérica, independente da distribuição)

Notação de Kendall e Notação Expandida Tamanho da População (S)

Descreve o tamanho da população que gera elementos para o sistema. Tipicamente é considerada como infinito. Ex. ligações chegando, clientes na lanchonete.

Disciplina de Serviço (X) Os elementos que aguardam por serviço na fila podem ser

selecionados de acordo com uma regra chamada disciplina de serviço. Dentre as principais disciplinas estão: FCFS – First Come First Served (**FIFO)

• Primeiro elemento que chega é o primeiro a ser atendido.

LCFS – Last Come First Served• Último elemento que chega é o primeiro a ser atendido.

SIRO – Service In a Random Order• Elementos são atendidos em ordem aleatória.

Notação de Kendall e Notação Expandida

Buffer Infinito

População

Processo de Chegada

Notação de Kendall e Notação Expandida

FCFSMM //14/5/9//

Buffer finito com no máximo 5 elementos.

População Infinita

Processo de ChegadaMarkoviano

Markoviano

K=5+9=14S=∞

X=FCFS

XSKJmBA //////

Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado É uma classe especial de processos estocásticos em que

são permitidas somente transições aos estados vizinhos.

As probabilidades de transição são determinadas em função do estado atual e das médias das distribuições dos processos de chegada e de atendimento.

K+1K-1 KEstado do Sistema

Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Assim, para um sistema em equilíbrio tem-se:

Onde: k – Média de chegada de elementos no estado K.

k – Média de saída de elementos no estado K.

knascimentoP 1

kmorteP 1

Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Exemplo:

Fila (W)

Servidores (S)Elemento é recebido no sistema.

Servidor desocupado.

FCFSMM //4/2/2//

Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado

Elemento é armazenado na fila.

Fila (W) Servidores (S)

Diagramade Estado

Servidor inicia serviço.

Outro elemento é recebido no sistema.

Fila (W)

Servidores (S)

Diagramade Estado

Servidor continua serviço.

Outro elemento é armazenado na fila.

Fila (W)

Servidores (S)

Diagramade Estado

Outro servidor inicia serviço.

Fila (W)

Servidores (S)

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S)

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S)

30 1 2

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S)

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Servidor finaliza serviço.

Fila (W)

Servidores (S)

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Servidor inicia serviço.

Fila (W)

Servidores (S) Servidor continua serviço.

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S) Servidor finaliza serviço.

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S)Servidor inicia serviço.

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidores (S)Servidor continua serviço.

40 1 2 3

10 2 3

Diagramade Estado

Fila (W)

Servidor desocupado.

Diagramade Estado

40 1 2 3

10 2 3

Equações de Equilíbrio Em equilíbrio, a soma dos fluxos que saem de um

determinado estado (k), deve ser igual a soma dos fluxos que chegam a este mesmo estado (k+1).

Ou seja: Saída de Fluxo Entrada de Fluxo

K+10 1 K

10 K-1 K

K+1K21

K-1......

......

1111 .. KKKKKKK PPP

Equações de Equilíbrio Lembre-se que:

Considerando-se esta equação, o sistema de equações pode ser resolvido como:

01 .PP

12 . PP

......

Em cada estado tem-se Fluxo de Entrada = Fluxo de saída

10 PP 01 PP

0 1 2 3 4

Equações de Equilíbrio

201 PPP

0 1 2 3 4

312 PPP

0 1 2 3 4

423 PPP 0

143210 PPPPP

Teorema de Little Diz que o número médio de elementos no sistema é igual

a taxa média efetiva de chegadas no sistema multiplicada pelo tempo médio de permanência no sistema.

Também é válido para as demais médias de elementos no sistema:

qtEqE . qE

tE w sE

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Este sistema é conhecido como M/M/1, ou na notação

expandida M/M/1////FCFS.

Fila (W) Servidor (S)

......

K+10 1 K

10 K-1 K

K+1K21

K-1......

......

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito No sistema M/M/1, todas as transições de nascimento tem

valor igual a , e como existe somente um servidor, todas as transições de morte são iguais a . Ou seja:

K+10 1 K

K-1......

......

K= , para K=0,1,...,

K= , para K=1,...,

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito As equações de equilíbrio, neste caso, são:

01 .PP

12 PPP

23 PPP

Resolvendo, tem-se:

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Podemos encontrar P0 fazendo-se:

KKPP 1. 0

Sabendo-se que:

KTem-se:

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito As equações anteriores podem ser reescritas em função

da variável , que é conhecida como utilização:

Assim, a utilização do sistema é igual a probabilidade de que o sistema não esteja vazio.

Observando a expressão , vemos que não pode ser maior que , senão a utilização do sistema seria maior que 1.

0PP KK

01 P 1KKP

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Então, deve estar entre 0 e 1.

Outra passagem importante é a que relaciona a taxa média de chegadas com a probabilidade de que o sistema esteja vazio:

Esta expressão iguala o que entra no sistema com o que sai do sistema.

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Número Médio de Elementos no Sistema

Vamos agora calcular, o número médio de elementos no sistema, .

Pela definição de média para um V.A. discreta temos:

Sabendo-se que:

Tem-se:

).1(.)1(K

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Tempo Médio de Permanência no Sistema

Pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little:

)1(qtE

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Tempo Médio de Permanência no Sistema

P q Nq N

P t T eqT E ts 1 /

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito Probabilidade do tamanho da fila (ou do tempo de

permanência no sistema) exceder um dado valor

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer InfinitoExemplo: Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600

pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando infinito o buffer desta saída do comutador, determine: A notação de Kendall expandida. O diagrama de estados do sistema. O tempo médio de serviço e a taxa de serviço. A utilização. A probabilidade de que o sistema esteja vazio. A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema. O tempo médio que um pacote permanece no sistema. O tempo médio que um pacote permanece no buffer. O número médio de pacotes no sistema. O número médio de pacotes no buffer.

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito O que acontece a um sistema M/M/1, se limitarmos o

tamanho do buffer a no máximo J elementos?

Teremos um sistema M/M/1/J/J+1//FCFS.

Antes do sistema atingir a sua capacidade total, todo tráfego submetido é acomodado no sistema:

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o

tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do sistema:

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Diagrama de Estado

0 1 J+1

J......

JK1 ..

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Solução das Equações de Equilíbrio

01 .PP

12 PPP

1J K 0 0

JJ PP .1

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Solução das Equações de Equilíbrio

Tem-se:

Sabendo-se que:

1J K 0 1

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Número Médio de Elementos no Sistema

KK KKPKqE

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Número Médio de Elementos no Sistema

Esta expressão nos mostra que o número médio de elementos em um sistema com capacidade finita é sempre menor que o sistema com capacidade infinita (M/M/1), que era:

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Probabilidade de Bloqueio

A taxa média de chegada no sistema depende do estado atual do sistema.

Se o sistema estiver em qualquer estado até J, a taxa média será .

Portanto, a taxa média de entrada será com probabilidade 1- PB , onde PB é a probabilidade de que o sistema esteja bloqueado.

Por outro lado, como vimos no sistema M/M/1, a taxa média de saída será com probabilidade 1- P0.

Temos então:

Igualando-se a taxa média de chegadas, com a de saídas, temos:

(1-P0 )

(1-PB)

011 PPB

Isolando-se PB temos:

1 JB PP

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito Tempo Médio de Permanência no Sistema

Também pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little, mas agora considerando a taxa média para qualquer estado:

Exemplo: Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600

pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer desta saída do comutador com capacidade limitada a 2 pacotes, determine: A notação de Kendall expandida. O diagrama de estados do sistema. O tempo médio de serviço e a taxa de serviço. A utilização. A probabilidade de que o sistema esteja vazio. A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema. A probabilidade de bloqueio do sistema. O tempo médio que um pacote permanece no sistema. O tempo médio que um pacote permanece no buffer. O número médio de pacotes no sistema. O número médio de pacotes na fila.

Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o

número de servidores e mantermos a fila infinita?

Teremos um sistema M/M/m////FCFS ou simplesmente M/M/m.

K= ∞+m=∞

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito Diagrama de Estado

m-1......

......

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito Solução das Equações de Equilíbrio

m K ! 0 P

11 .. KKK PKPPK

PPKP KK

PPmP mm

01 !1.

001 !1.

1 !!!.P

mK 0!.

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito Tempo Médio de Permanência na Fila

Utilização Observe que e .

Exemplo:Considerando um sistema M/M/2////FIFO, com = 60 pacotes/seg. e 37,5 pacotes/seg., determine:• O diagrama de estados do sistema.• O tempo médio de serviço.• A utilização.• A probabilidade do sistema estar vazio.• O número médio de elementos esperando na fila.• O número médio de elementos no sistema.• O tempo médio de permanência no sistema.• O tempo médio de permanência na fila.

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o

número de servidores e limitarmos o espaço de armazenamento?

Teremos um sistema M/M/m/J/K//FCFS.

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito Diagrama de Estado

m-1......

mJ K m

J+m-1......

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito Solução das Equações de Equilíbrio

m K ! 0 P

1-mJKm 0!.P

!.!.. P

1. mJmJ Pm

1 01 00 !..

Para o caso em que J = 1:

m K ! 0 P

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito Número Médio de Elementos no Sistema

Tempo Médio de Permanência no Sistema

)1.( B

011 01 !

Exemplo: Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600

pacotes por minuto. A taxa de chegada segue uma distribuição Markoviana. Para servir esta fila o nó utiliza dois enlaces de saída, com taxa de 300 Kbps cada um. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer desta saída do comutador com capacidade limitada a 2 pacotes. Determine:• A notação de Kendall expandida.• O diagrama de estados do sistema.• O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.• A utilização.• A probabilidade de que o sistema esteja vazio.• A probabilidade de bloqueio do sistema.• O número médio de pacotes no sistema.• O número médio de pacotes na fila.• O tempo médio que um pacote permanece no sistema.• O tempo médio que um pacote permanece no buffer.

Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o

número de servidores e retirarmos a fila?

Teremos um sistema M/M/m/0/m//FCFS.

K=0+m=m

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o

tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do sistema:

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila Diagrama de Estado

m-1......

mK .1.

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila Solução das Equações de Equilíbrio

01 .PP 120 2. PPP1. mm P

000002 2. PPPPPP

3 !32.3PPP

m K ! 0 P

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila Solução das Equações de Equilíbrio

mBLOQUEIO

Exemplo: Um PABX com duas linhas telefônicas de saída recebe em média

uma chamada a cada hora de acordo com um processo Markoviano. A duração média das chamadas é de 3 minutos. Este PABX não é capaz de colocar chamadas em espera. A duração média das chamadas segue um distribuição exponencial negativa, sendo a população de telefones que geram as chamadas considera infinita. Determine A notação de Kendall expandida. O diagrama de estados do sistema. O tempo médio de serviço e a taxa de serviço. A utilização. A probabilidade de que o PABX esteja vazio. A probabilidade de bloqueio do sistema. O tempo médio de permanência das chamadas no sistema. A ocupação do sistema (o número médio de pacotes no sistema).

Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila

Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o

número de servidores, tirarmos a fila e limitarmos a população que gera elementos.

Teremos um sistema M/M/m/0/m/S/FCFS (S > m).

K=m+0=m

População FinitaS

Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita Diagrama de Estado

m K ..1

mK .1..1

PKPKSPKKS

(S-1)S

...... m

(S-m+1)

(S-m+2)

Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita Solução das Equações de Equilíbrio

01 .PP

12 . PP

......

1....3.2.1...0 K

KSSSSSPP K

SPP KK

K ..!)!(

!.. 00

1.. 01

Exemplo: Um PABX atende a 10 telefones que geram em média 1 chamada por

hora, de acordo com um processo Markoviano. O PABX possui três linhas telefônicas de saída e não possui capacidade de manter chamadas em espera. Cada chamada dura em média 3 minutos, de acordo com uma distribuição exponencial negativa. Determine:• A notação de Kendall expandida.• O diagrama de estados do sistema.• O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.• A utilização.• A probabilidade de que o sistema esteja vazio.• A probabilidade de bloqueio do sistema.• O número médio de pacotes no sistema.• O número médio de pacotes na fila.• O tempo médio que um pacote permanece no sistema.• O tempo médio que um pacote permanece no buffer.

Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita

Sistema de Fila M/G/1 Vamos agora generalizar o processo de atendimento de

elementos utilizando o teorema de Khinchin-Pollaczeck.

Este teorema permite calcular o tamanho médio da fila para um sistema com servidor único para qualquer distribuição de serviço:

é o desvio padrão do tempo de serviço.

é a média quadrática do tempo de serviço.ts

Sistema de Fila M/G/1 Através do teorema de Little, podemos encontrar o tempo

médio de permanência no buffer.

Vale a pena lembrar que:

222ssts tEtE

Sistema de Fila M/G/1 Para atendimento exponencial temos:

222 211

stss tEtE

Sistema de Fila M/G/1 Para atendimento constante temos:

02 ts 2

ss ttE

22 1100

ss tEtE

Sistema de Fila M/G/1

Exemplo: Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64

Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas características são listadas a seguir:

• Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500 bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.

• Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5 pacotes/seg.

Supondo que não haja prioridade, calcule o tempo médio de espera dos pacotes no buffer.

Sistema de Fila M/G/1

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Até agora consideramos que os elementos que chegam

ao sistema de filas sempre pertencem a uma única classe, sendo todos portanto atendidos da mesma forma.

Vamos agora analisar o que acontece quando R classes de elementos chegam ao sistema e são atendidos com ou sem priorização.

Caso haja priorização, o sistema atenderá os elementos de acordo com a prioridade de cada classe, ou seja, elementos das classes mais prioritárias são atendidas por primeiro.

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Sistema com Várias Classes Sem Priorização

Os elementos de cada classe são atendidos de forma diferenciada, porém sem prioridade sobre os demais.

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Sistema com Várias Classes Com Priorização

Os elementos de cada classe são atendidos de forma diferenciada, porém os de maior prioridade são atendidos 1º.

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Básico

Seja o conjunto das R classes de elementos existentes no sistema.

A taxa de chegada média total λ é igual a soma das taxas médias de cada classe:

A intensidade total é igual a soma das intensidades para cada classe:

Rccc ,...,, 21C

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Básico (cont.)

O tempo médio de serviço no sistema é:

A média quadrática do tempo médio de serviço no sistema é:

A intensidade de tráfego para cada classe e o tempo médio de serviço se relacionam por:

s tEtE

rsrr rtE

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Para o Caso Com Prioridades

Seja p a prioridade de uma classe r qualquer. Se p = 1 para esta classe, ela é a mais prioritária. O número médio de elementos da classe r na fila será:

O número médio de elementos na fila para todas as classes será:

ppwEwE

)p(112

tE..wE

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)

Exemplo: R = 3, e a ordem de prioridade dada por: c3 prioridade máxima (p=1), c2 prioridade média (p=2) e c1 prioridade baixa (p=3).

321 ,, cccC

)1()0(

)1( 12

)2()1()1(

)2()1(

)2( 112

Exemplo: (cont.)

)3()2()1()2()1(

)3()2(

O tempo médio de permanência dos elementos da classe r com prioridade p na fila vale:

O tempo médio de permanência na fila para todas as classes vale:

pww ptEtE

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades

No caso sem prioridades, continuam existindo r classes de tráfego, mas nenhuma tem prioridade sobre as demais.

Assim, o número médio de elementos de ambas as classes na fila será:

Com: , e .

. 22stE

r r1 2

s tEtE

Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades

O tempo médio de permanência de elementos de ambas as classes na fila será:

Exemplo: Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64

Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas características são listadas a seguir:

• Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500 bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.

• Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5 pacotes/seg.

Supondo que os pacotes do Tráfego 2 sejam transmitidos em primeiro lugar, calcule os tempos médios de espera no buffer para ambos os tipos de pacotes.

Sistema de Fila com Prioridades

Sistemas Multidimensionais São sistemas aonde o diagrama de estados utiliza mais de

uma variável aleatória discreta relacionada com o número de elementos no sistema. Um exemplo de sistema é o que modela as redes RDSI-FE:

K=m+0=m

População Finita M1 terminais telefônicos; M2 terminais de fax.S

Chamada Telefônica

Chamada FAX

Dois servidores são alocados para atender uma única chamada de fax.

Sistemas Multidimensionais Para estudarmos o problema, precisaremos das seguintes

definições: L – L-ésima classe de chamada.

Ex: L = 1: chamadas telefônicas, L = 2 chamadas de fax.

K – Número total de classes de chamadas no sistema. Ex. K = 2: telefone (L=1) e fax (L=2).

VL – Número de canais requeridos para a chamada do tipo L. Ex. V1 = 1: um canal para atender uma chamada telefônica.

V2 = 2: dois canais para atender uma chamada de fax.

SL– Número de terminais fonte gerando chamadas do tipo L. Ex. S1 = 8: população de terminais gerando chamadas telefônicas.

S2 = 4: população de terminais gerando chamadas de fax.

Sistemas Multidimensionais λL – Taxa média de chegada de chamadas (Markoviana) da

classe L. Ex: λ1 = 3 chamadas telefônica/ hora.

λ2 = 5 chamadas de fax/ hora.

µL – Taxa média de atendimento de chamadas (Markoviana) da classe L. Ex: 1 = 6 chamadas telefônica/ hora.

2 = 12 chamadas de fax/ hora.

Sistemas Multidimensionais Diagrama de Estado

Considere os dados dos slides anteriores e m=4.

0,0 1,081

0,1 1,181

ChamadasTelefônicas

Chamadasde fax

início

Nº cli voz, Nº cli fax

Sistemas Multidimensionais Equações de Equilíbrio

1,022,02

0,221,111,212

1,210,121,011,1112

1,110,220,021,0122

0,310,41

0,410,210,311

0,311,220,110,2121

0,211,120,010,1121

0,111,020,012

PλPλP

PPλPλPλ

PPPλPλλ

PPλPλ

PPPλPλλ

PPPλλ

Sistemas Multidimensionais Solução das Equações de Equilíbrio

110,0, ..

10,01,2 1

KibiaiS

,...,,. 211

0,...,0,0,0,...,,, com ,

Exemplo: Seja um sistema onde quatro aparelhos telefônicos e dois aparelhos

de FAX disputam três canais de 64 kbps de uma rede RDSI-FE. Cada aparelho telefônico ocupa durante a comunicação um canal de 64 kbps, enquanto um aparelho de FAX ocupa dois canais de 64 kbps. A taxa média de chamadas dos telefones é igual a 1 chamada por hora, enquanto a dos aparelhos de FAX é de 1/3 chamada por hora. A duração média das chamadas telefônicas é de 12 minutos e das chamadas de FAX 6 minutos. Pede-se:

a) O diagrama de estado.

b) A probabilidade do sistema estar vazio.

c) A probabilidade de bloqueio de uma chamada telefônica.

d) A probabiliadde de bloqueio de uma chamada de FAX.

Sistemas Multidimensionais

a) Resolução diagrama de estados:

0,0 1,041

0,1 1,14 1

222 2 2

ChamadasTelefônicas

Chamadasde fax

início

b) P0,0

0,00,1 8,033,0*!2!0

!2.2,0

!4. PPP

0,00,2 24,01.2,0!2!2

!4. PPP

0,00,3 032,01.2,0!1!3

!4. PPP

0,01,0 066,01.033,0!1!1

!2. PPP

10,01,1 0528,0033,0.

2.2,0.

!4. PPP

Redes de Sistemas de Filas Muitos problemas reais são compostos de mais de

um sistema de fila.

Para modelar estes problemas, vários sistemas de fila (também chamados de nós) devem ser conectados.

Exemplos de redes de filas são: Redes de telecomunicações, Sistemas de computação, Sistemas de transito, Etc.

Redes de Sistemas de Filas Existem basicamente três tipos de redes de filas:

Redes Abertas

Redes Abertas com Realimentação

QS1 QS2 QS3Entrada Saída

QS1 QS2

Entrada

Saída

Ambas possuem número de elementos variável.

Redes de Sistemas de Filas Redes Fechadas

Em princípio, toda rede aberta pode ser transformada em uma rede fechada acrescentando-se um novo nó para isto.

QS1 QS2

Entrada

Saída

Possui número de elementos constante.

Redes de Sistemas de Filas Redes Abertas Sem Realimentação

Teorema de Burke (1956) O processo de saída de uma rede de sistemas M/M/m é um

processo Poissoniano estatisticamente independente do processo de entrada.

Redes de Sistemas de Filas Redes Abertas Sem Realimentação

Conseqüências do Teorema de Burke Cada nó da rede é considerado independente dos demais. O número médio de elementos e o atraso em cada nó também é

independente dos demais. O número médio de elementos na rede é igual a soma do número

médio de elementos em cada nó. O tempo médio de permanência dos elementos na rede é igual a

soma do tempo médio de permanência dos elementos em cada nó.

Exemplo

QS1 QS2Entrada Saída

M/M/m M/M/m

tE 2qtE

21 qqq tEtEtE

Redes de Sistemas de Filas Redes Abertas Com Realimentação

Teorema de Jackson (1957) Considere uma rede de filas aberta com M nós que satisfaz as

seguintes condições:

a) Cada nó i é um sistema de filas M/M/m.

b) O nó i tem servidores e tempo médio de serviço para todos os servidores.

c) Elementos chegam de “fora” do sistema para o nó i de acordo com um processo Markoviano de intensidade média .

d) Um elemento servido no nó i vai instantaneamente ao nó j (j = 1,2,...,M) com probabilidade ou deixa a rede com probabilidade:

j ijr11

Teorema de Jackson (cont.) Para cada nó i (i = 1,2,...,M), a taxa média de chegada é dada

Seja a probabilidade de que haja elementos no nó i, então Jackson afirma que:

j jjiii r1

Mqqqqp ,...,,, 321 iq

MM qpqpqpqpqqqqp ...,...,,, 321321

iiM qpqqqqp

1321 ,...,,,

Exemplo

M/M/11 1

1111111 1 pr

pr 111

j jjiii r1

1111 p 1111 pp1

Redes de Sistemas de Filas Redes Fechadas

Também pode ser utilizado o Teorema de Jackson, mas com:

j ijr11

i i Nq1

M é o número de nós da rede de filas.

N é o número médio de elementos na rede de filas.

Exemplo: Considere a rede de sistemas de filas da figura abaixo. A chegada

de pacotes na rede obedece um processo Markoviano de taxa = 0,075 pacotes/segundo. A taxa de atendimento μ é de 1 pacote/segundo (exponencial negativa). Sabendo que p = 0.9, calcule:

a) O número médio de pacotes na rede de sistema de filas.

b) O tempo médio de permanência dos pacotes em cada sistema de fila.

Redes de Sistemas de Filas

Exemplo:

Redes de Sistemas de Filas

222111111 100750 *λ,λrλrγλ

j jjiii r1

21 075,0 λλ

1122211222 9,009,00 λλλrλrγλ

675,09,0

75,09,0075,0

Alocação de Capacidade em Redes de Pacotes

Tópicos Introdução Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas

Introdução Faremos a partir de agora uma introdução ao problema da

alocação da capacidade em redes com o objetivo de responder à seguinte pergunta: Que capacidade de transmissão, em bps, devemos

associar a cada enlace da rede, de modo a alcançarmos um determinado nível de desempenho na rede?

Em nossa abordagem, admitiremos que a estatística de tráfego da rede é conhecida.

Isto é, o tamanho médio das mensagens e sua taxa de ocorrência, assim como o número de mensagens fluindo entre quaisquer dois pontos da rede são conhecidos.

Introdução Numa primeira abordagem, trabalharemos em cima de um

modelo simplificado, em que assumiremos que o custo é linearmente proporcional a capacidade.

Então, manter o custo global da rede fixo é equivalente a manter a capacidade total fixa.

O objetivo é determinar qual a melhor alocação de capacidade, link a link, no sentido de minimizar o atraso médio na rede.

Introdução Embora o pressuposto de que existe uma relação linear

entre custo e capacidade não seja completamente válido em situações reais, ele provê uma primeira aproximação razoável para a escolha da capacidade.

Ela permite que possamos responder a questão inicial no processo de alocação de capacidade: aproximadamente, que capacidade será necessária para mantermos o atraso médio das mensagens dentro da faixa desejada?

Iniciaremos o nosso estudo através da análise do caso mais simples possível.

Introdução Na rede mostrada a seguir temos sete cidades, cada uma

com um determinado número de terminais, que desejam se conectar a um computador central localizado em Washington.

Cada terminal produz, em média, uma mensagem a cada 30 segundos.

Cada mensagem tem um tamanho médio de 120 bits.

O nosso objetivo é determinar qual a capacidade dos troncos, em bps, dos sete enlaces da rede.

A capacidade do i-ésimo tronco é indicada por:

Ci, i = 1,2,...,7.

Introdução Topologia:

Introdução Cada concentrador possui apenas um enlace de saída

conforme mostrado na figura.

Nesta representação, consideramos o tempo de processamento do pacote no nó desprezível frente ao tempo de transmissão do mesmo, facilitando ainda mais a análise.

Introdução A taxa de mensagem média, i, associada ao enlace i, é a

soma de todas as mensagens de entrada que são roteadas para aquele enlace.

Assim, admitindo uma chegada Poissoniana com uma taxa de i mensagens por segundo, em média, com o comprimento das mensagens exponencialmente distribuído, com um valor médio de 1/ bits, podemos escrever que o tempo médio de permanência no sistema é dado por:

Onde Ci é a capacidade do enlace i.

iiii C

Introdução Como sabemos, este tempo considera o tempo médio

para transmitir uma mensagem acrescido do tempo de enfileiramento da mesma.

Estamos considerando a utilização de buffers com capacidade infinita, o que significa dizer que não há possibilidade de perda de mensagem por falta de espaço para armazenamento da mesma.

Uma abordagem com buffer de tamanho finito seria mais realista. Contudo, um buffer suficientemente grande, de modo que a probabilidade de perdermos uma mensagem seja menor que 10-2 ou 10-3, permite a utilização do modelo com buffer infinito, uma vez que o tempo de permanência no sistema é praticamente idêntico.

Introdução A expressão anterior pode ainda ser escrita em função da

utilização da linha, como mostrado abaixo.

Como sabemos, se a utilização da linha tender para a unidade, o tempo médio de permanência no sistema tende para um número inaceitavelmente grande.

C = bps1/ = bits/mensagem = mensagens/segundo

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Vamos considerar agora a situação em que a capacidade

total da rede é fixada em uma determinada quantidade (por limitações de custo, por exemplo).

O objetivo é determinar a capacidade de cada enlace, de modo que o atraso médio na rede seja minimizado.

Se é o tráfego total na rede, então o atraso médio por mensagem pode ser calculado através da taxa total de chegada de mensagens:

iiTT 1

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Chamando de C a capacidade total da rede, e mantendo

este valor fixo, podemos determinar os valores de Ci que

irão minimizar o valor de T médio.

Para tal, é conveniente utilizarmos uma multiplicador de Lagrange, e a seguir fazermos a diferenciação de T + C, onde é o multiplicador de Lagrange.

Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão resultante é:

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão

resultante é:

Aqui, a constante C é a representação para (i i), com sendo um parâmetro que desempenha o papel de intensidade de tráfego equivalente para a rede inteira.

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Com esta escolha de capacidade para cada enlace,

podemos através da expressão (1) determinar o atraso correspondente para cada enlace e, usando a expressão (4), podemos chegar à expressão que nos permite determinar o atraso médio na rede, que é:

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela Note que o parâmetro definido acima faz, de fato, o papel de um

parâmetro de intensidade de tráfego da rede.

Esta designação de capacidade é chamada de regra de alocação da raiz quadrada, uma vez que Ci é um termo proporcional à raiz quadrada de i.

Verifique que o atraso médio mínimo, Tmin, varia inversamente com a capacidade C da rede.

Como consideramos que o custo varia linearmente com a capacidade, percebemos que existe uma solução de compromisso entre o atraso médio da rede e o custo de implementação dos enlaces da mesma.

Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela A expressão ii representa o valor absoluto mínimo necessário

para que o tráfego possa ser transmitido no enlace. Perceba que esta relação é na verdade o tráfego oferecido ao enlace, em bps.

Obviamente, a capacidade do enlace deve ser maior do que o tráfego oferecido.

De fato, como já sabemos, se a capacidade do enlace tende para o tráfego oferecido, a utilização do mesmo tende para um, e o atraso médio tende para infinito.

A segunda parte da expressão de Ci ótimo representa então o

incremento necessário à capacidade do canal, de modo que o atraso possua um valor finito aceitável.

Quanto maior o valor deste incremento, menor o valor do atraso resultante

Exemplo: A figura ilustra a rede privada de uma empresa XYZ, com filiais em

São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro, conectadas à matriz em Sta Rita do Sapucaí. O número de terminais em cada filial é o seguinte: Rio - 20 terminais, SP – 30 terminais e BH – 10 terminais, sendo que cada terminal gera em média 10 mensagens/segundo e o tráfego das filiais é todo enviado para a matriz.

Supondo que as mensagens possuem um comprimento médio de 15000 bits, determine a capacidade a ser alugada para cada enlace da rede, de modo que o atraso em cada enlace não ultrapasse 20 ms.

iiii C

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Vamos agora investigar o problema da alocação de capacidade em

redes distribuídas com topologia em malha irregular, que é um caso bastante comum nas redes WAN.

A alocação da capacidade neste caso depende da estratégia de roteamento utilizada.

Nós vamos investigar brevemente o efeito do roteamento através da alteração de algumas rotas e da observação da conseqüência disto na alocação da capacidade.

A rede que utilizaremos para tratar o problema é a mostrada na figura a seguir.

Para determinar a capacidade de cada enlace devemos conhecer o tráfego entre as diversas cidades, bem como a rota utilizada para interconectar cada cidade a todas as outras.

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas

Topologia:

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas A tabela abaixo fornece uma estimativa global de tráfego

na rede.

Por simplicidade, estamos admitindo que o tráfego é simétrico (isto é, o tráfego gerado em X para Y é o idêntico ao tráfego gerado em Y para X).

Source CityDestinationNew York

1Chicago

2Houston

3Los Angeles

4Denver

51. New York 9.34 0.935 2.94 0.6102. Chicago 9.34 0.820 2.40 0.6283. Houston 0.935 0.820 0.608 0.1314. Los Angeles 2.94 2.40 0.608 0.7535. Denver 0.610 0.628 0.131 0.753

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Todos os sete enlaces existentes na rede são full-duplex,

o que significa que a capacidade de transmissão em um sentido e em outro é a mesma.

Vamos considerar as seguintes rotas como exemplo: Los Angeles para Chicago: passando através de Denver; Los Angeles para New York: passando através de Houston; Denver para New York: passando através de Chicago.

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Se denominarmos jk como sendo o tráfego, em

mensagens por segundo, saindo da cidade j com destino à cidade k, podemos definir, baseado na tabela, o fluxo de mensagens existente em cada um dos sete enlaces da rede: 1 = 45 + 42 = 3.15 mensag/seg

2 = 43 + 41 = 3.55 mensag/seg

3 = 53 = 0.13 mensag/seg

4 = 52 + 42 + 51 = 3.64 mensag/seg

5 = 23 = 0.82 mensag/seg

6 = 31 + 41 = 3.88 mensag/seg

7 = 21 + 51 = 9.95 mensag/seg

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas O tráfego de mensagens médio total através de todos os

enlaces da rede é a soma dos valores obtidos acima: = i, que é igual a 25.12 mensagens/segundo.

O número total de mensagens entrando na rede pode ser obtido diretamente da tabela anterior, somando-se o tráfego gerado em cada cidade (somatório de todos os itens da tabela), e é 38.3 mensag/seg.

Como nós estamos nos concentrando em uma única direção, temos um tráfego total de 19.15 mensagens/segundo.

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Assim, o número médio de enlaces atravessados por uma

mensagem pode ser determinado por 25.12/19.15 = 1.3 enlaces.

Conhecendo-se a demanda de tráfego para cada enlace, i, e o tamanho médio das mensagens fluindo pelo

enlace, 1/i, podemos efetuar os cálculos para determinar

a capacidade de cada enlace e os atrasos envolvidos, através das equações (1) a (6).

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Admita que todas as mensagens tem o mesmo

comprimento médio, 1/, e que a capacidade total da rede é fixada em C = 192 mensagens/segundo.

Como já vimos, o tráfego total nesta rede é = 25.12 mensagens/segundo, o que nos leva a uma utilização () de 0.13.

Este resultado nos mostra que a rede está levemente carregada.

Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas Além da regra da raiz quadrada, dois outros critérios de

alocação podem ser utilizados:1. Divisão Igualitária

A capacidade total fixada para a rede é simplesmente dividida igualmente entre todos os enlaces, independentemente do tráfego em cada enlace.

Ou seja, a capacidade associada a cada enlace é 192/7 = 27.4 mensagens/segundo.

2. Divisão Proporcional A divisão da capacidade é feita proporcionalmente ao tráfego

existente em cada enlace.

Ou seja, Ci = Ci/.

Exemplo: Uma cadeia de lojas deseja implantar uma rede ligando a sua matriz em São Paulo

a várias filiais Brasil afora, como mostra a figura. As mensagens possuem um comprimento médio de 80000 bits. O tráfego médio de mensagens gerado em cada cidade é dado na Tabela 1. Considerando μC = 800 mensagens/segundo, pede-se: O tráfego médio total da rede; O número total médio de mensagens entrando na rede; A capacidade ótima em cada enlace; O atraso médio em cada enlace; O atraso mínimo médio das mensagens; Ajuste as capacidades ótimas de cada enlace encontradas para o valor inteiro mais

próximo de múltiplos de 2,048 Mbps (Taxa E1)

iiTT 1

iiii C

PROVA!!! eba!

Créditos: - Prof. Antônio Marcos Alberti - Prof. José Marcos Câmara Brito

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