Post on 11-Apr-2017
Critério de Kelly – Jogos
Favoráveis e Aplicações no
Mercado Financeiro
Alexandre Rubesam
20/08/2010
Resumo
Jogos favoráveis e definição do problema
Resultados e aproximações
Aplicação no mercado financeiro
Exemplo com futuros de IBOV e DÓLAR
Jogos Favoráveis
Problema fundamental em apostas é encontrar apostas com valor
esperado positivo (em investimentos, é encontrar investimentos
com retorno em excesso positivo)
Uma vez que uma oportunidade é encontrada, o apostador
(investidor) deve decidir quanto apostar
Vamos utilizar o exemplo de apostar em uma moeda para definir
o conceito de aposta de Kelly, mas os resultados são
generalizáveis para várias situações, entre elas o mercado de
capitais
Lançamento de moeda
Moeda favorável com: 5.0 pGanharP
5.01 pqPerderP
Capital inicial = 0
X
Queremos maximizar o valor esperado do nosso capital após n
lançamentos da moeda, n
XE
Quanto devemos apostar, k
B , no lançamento k?
Seja
contrário caso,1
lançamento ésimo-k no vitória,1k
T
Então
,...3,2,1,
1
kTBXX
kkkk
e após n lançamentos,
n
jkkn
TBXX1
0
O valor esperado é
n
jk
n
jkkn
BEqpXTBEXXE1
01
0
Portanto se quisermos maximizar n
XE , devemos maximizar
k
BE , ou seja, apostar todo nosso capital a cada lançamento.
Problema: 01010
n
n
nnpXPXPRuínaP , ou
seja, perderemos todo o dinheiro quase certamente.
Por outro lado, tentar minimizar a prob. de ruína leva a minimizar
o tamanho da aposta, o que minimiza o ganho esperado.
Isso sugere a existência de uma estratégia ótima, intermediária
entre esses dois extremos.
Suponha que iremos apostar uma fração fixa 0 < f < 1 do capital.
Então após n lançamentos, temos:
FS
nffXX 11
0,
onde S e F são os números de sucessos e falhas nos n lançamentos
da moeda, S + F = n.
Note que, como f > 0, a ruína não pode (estritamente) ocorrer. Por
outro lado, podemos reinterpretar “ruína” no sentido de que, para
qualquer 0 , 1lim
n
nXP .
Note que podemos escrever o ganho relativo, 0
/ XXn
, como:
nn
X
Xn
n eX
X1
0
log
0
,
e portanto a quantidade abaixo mede a taxa exponencial de
crescimento do capital por lançamento da moeda:
fn
Ff
n
S
X
XfG
n
n
1log1loglog
1
0
Kelly (1956) decidiu maximizar o valor esperado do coeficiente de
crescimento, fg , onde
fqfp
fn
Ff
n
SE
X
XEfg
n
n
1log1log
1log1loglog
1
0
Obs: Como 0
log)/1(log)/1()( XnXEnfgn , então para n fixo,
maximizar fg é equivalente a maximizar n
XE log .
A maximização de fg resulta na chamada fração de Kelly
qpf * . O gráfico de fg revela algumas propriedades
interessantes.
Propriedades de fg :
Único máximo em qpff *
Existe um valor único 0c
f , com 10 * c
ff ,
tal que fg =0. Apostar qualquer fração acima de
cf leva implica em ganho esperado negativo
Apostar uma fração menor do que *f leva a
crescimento sub-ótimo do capital, porém sempre
positivo
Apostar menos do que a fração de Kelly *f é bem
mais seguro do que apostar mais e arriscar
ultrapassar o valor c
f
Apostar qualquer fração entre 0 e c
f implica em
crescimento exponencial do capital; mas o
crescimento é maximizado com *f
Uma escolha comum é usar half-Kelly, ou seja,
calcular a fração de Kelly e usar a metade
Exemplo 1: O jogador A joga contra um adversário infinitamente rico
(e estúpido) o seguinte jogo. O capital inicial é 0
X . Uma moeda é
lançada e o jogador A ganha o valor apostado com
probabilidade 53.0p .
A fração de Kelly é 06.047.053.0* qpff , portanto o
jogador A deve apostar 6% do seu capital a cada lançamento da
moeda, para que seu capital n
X cresça à maior taxa possível.
Pode-se verificar empiricamente que 11973.0c
f , portanto se a
fração apostada for maior do que aprox. 12% do capital, o capital do
jogador A irá se aproximar cada vez mais de 0.
Exemplo 2 (Blackjack): Suponha que a cada rodada de um jogo de
blackjack, o jogador lida com um dos dois casos abaixo com prob. 0.5:
Caso 1: “situação favorável” - 49.0)1(,51.0)1( XPXP
Caso 2: “situação desfavorável” - 51.0)1(,49.0)1( XPXP
O jogador sabe antes de apostar qual caso se aplica. Suponhamos que
o jogador faça pequenas “apostas de espera” nas situações
desfavoráveis, e apostas maiores nas situações favoráveis, e.g.:
Apostar f nos casos favoráveis e 10, aaf nos casos desfavoráveis
A taxa de crecimento é
))1log(51.0)1(log(49.0(5.0
)1log(49.0)1log(51.05.0)(
afaf
fffg
Dado um valor de a, podemos encontrar o valor de f que maximiza a
expressão acima.
Exemplo 2 (Blackjack cont.)
O gráfico abaixo mostra o f ótimo para vários valores de a:
f* versus a
0.0000
0.0050
0.0100
0.0150
0.0200
0.0250
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
a
f*
Obs: se a = 0, o problema se resume ao caso anterior; se a=1, temos
um jogo justo e portanto a fração de Kelly é 0.
Aproximação contínua – Alocação em 1 ativo de risco
Uma aposta (investimento) em um ativo financeiro pode ter muitos
resultados diferentes
f passa a ser a proporção de capital investido no(s) ativo(s), e pode
ser negativo (ficar vendido)
Vamos considerar uma variável aleatória X com smXPsmXP 5.0
Então temos 2e sXVarmXE . Com capital inicial 0
V ,
retorno em um ativo sem risco (eg títulos do governo) r, retorno por
unidade de X e fração de aposta f, temos que
rXfrVfXrfVfV 1)1(1
00
Agora dividimos o intervalo de tempo em n partes independentes,
mantendo a mesma média e a mesma variância.
Ou seja, em cada parte i =1,...,n temos uma variável i
X com média
nm / e variância ns /2 , e o retorno no ativo sem risco é r/n.
Quando n temos que a taxa de crescimento esperada, fg ,
converge para
2/)( 22 fsrmfrfg
,
que é maximizada por
ratio Sharpe onde/)( 2* Ss
Ssrmf .
É possível mostrar que :
rSfg
2/2*
Consideremos o caso em que a aproximação acima é usada para alocar
o capital do investidor entre o portfolio de mercado, quem tem retorno
médio m e volatilidade s, e títulos do governo, que tem retorno r.
Temos os seguintes casos:
1sS
1sS
1
*
*
*
f
f
fsS
No primeiro caso, o investidor aloca todo seu recurso no portfolio de
mercado; no segundo caso, ele usa alavancagem (empresta dinheiro
para investir no mercado); no último caso, ele aloca parte do capital no
mercado, e o restante em renda fixa.
Exemplo 3 (Alocação em IBOV e renda fixa) – Usando dados de
2000 a 2010, temos as seguintes estimativas:
1461.0
3178.0
1828.0
r
s
m
Para definir a alocação, usamos a fórmula anterior:
3630.0/)( 2* srmf
Ou seja, o investidor alocará aprox. 36% do seu capital no mercado de
ações, e 64% em renda fixa. Isso está de acordo com a relação
anterior, já que que a razão de Sharpe no exemplo é sS 3178.01154.03178.01461.01828.0
Obs.: Note que um investidor usando o critério de Kelly diretamente
faz uma escolha que não contempla risco.
Critério de Kelly vs Apreçamento de Ativos
Markowitz (1952) estudou o problema de um investidor que precisa
alocar recursos entre vários ativos de risco e um ativo sem risco.
Temos o seguinte problema:
investir em n ativos com frações T
nffF ,...
1 , e investir o restante
do capital, 0
f , no ativo sem risco
C = matriz de covariância entre os ativos
M = vetor de médias dos ativos
1
fF
TrrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco
A média e variância do portfolio são dados por
CFFs
RMFrmfmfrfmT
T
nn
2
110)(...
O problema de Markowitz então é colocado como:
i
i
T
FmmefqtCFFMin
01.. ,
ou seja, encontrar o portfolio de mínima variância para um dado nível
de retorno esperado. Esse processo, feito para vários níveis de retorno
esperado, leva à chamada Fronteira Eficiente: os portfolios que
possuem o menor risco para cada nível de retorno (ou
equivalentemente, maior nível de retorno para cada nível de risco):
N
E(RP)
Z’
A
P*
ZZ’’
B
p
Feasible set
Minimum-
variance
frontier
P*: Global minimum variance portfolio
Individual assetsIndividual assets
Sharpe (1964) considera a alocação entre o ativo sem risco e a
fronteira eficiente, o que leva à derivação da Linha do Mercado de
Capitais: um investidor irá alocar parte do capital no portfolio de
mercado, e parte no ativo sem risco, de acordo com sua aversão ao
risco.
Rf
P
E(RP)
B
A
MCAL1
CAL2
M
Sharpe’s Capital Market Line (CML)
= New mean variance efficient
frontier for risky portfolios
E(RM)
Qualquer combinação
retorno-risco na linha pode
ser obtida variando-se a
proporção do capital a ser
alocada no portfolio de
mercado
Investidores mais aversos a
risco irão manter maior
proporção do capital no ativo
sem risco
Investidores menos aversos a
risco irão investir mais no
portfolio de mercado; em
particular, podem até ficar
alavancados
A equação da linha é dada por:
Ou seja, a inclinação da reta é dada pela razão de Sharpe do portfolio
de mercado. Logo, o investidor que usa o critério de Kelly pode ficar à
esquerda ou à direita do portfolio de mercado no gráfico acima,
dependendo do Sharpe do mercado.
Conclusão:
No paradigma de Finanças, primeiro partimos do apetite do
investidor por risco, para depois definir a alocação (que é a mais
eficiente do ponto de vista risco/retorno;
O critério de Kelly produz uma alocação única (que produz a
maior taxa de crescimento esperada do capital). Risco não é
contemplado diretamente (mas o investidor pode usar o Kelly
fracional, i.e., uma fração fixa da fração de Kelly, para gerir
risco/conservar capital)
P
M
fM
fP
RRERRE
Kelly para um portfolio de Ativos
investir em n ativos com frações T
nffF ,...
1 , e investir o restante
do capital, 0
f , no ativo sem risco
C = matriz de covariância entre os ativos
M = vetor de médias dos ativos
1
fF
TrrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco
A média e variância do portfolio são dados por
CFFs
RMFrmfmfrfmT
T
nn
2
110)(...
Podemos aplicar a fórmula anterior e maximizar 2/2smFg .
O resultado da maximização irrestrita é
RMCF 1*
Inclusão de restrições
Obviamente, o problema de maximização pode ser modificado para
incluir restrições na venda de ativos, na proporção a ser investida em
ativos específicos, e na alavancagem total.
n
1i
max
m)alavancage de (limitação
ido)ficar vend pode (não 0
ativo)por (limitação
lf
f
ff
i
i
i
Aplicação: Kelly em um Portfolio com IBOV e
DÓLAR usando futuros
Investidor pode investir no mercado de ações e câmbio usando
contratos futuros
Vamos construir estimativas e calcular as frações de Kelly ao
longo do tempo usando EWMA
Precisamos estimar, no tempo t, as quantidades abaixo
DÓLAR do ade volatilid s
IBOV do ade volatilid s
DÓLAR e IBOV entre acovariânci c
DÓLAR do médio retorno
IBOV do médio retorno
,DÓLAR
,IBOV
,DÓLARIBOV,
,
,
t
t
t
tDÓLAR
tIBOV
m
m
O resultado da aplicação da fórmula é um vetor tDÓLARtIBOVt
ffF,,
,
com a proporção do capital a ser comprado/vendido cada ativo
Resultados hipotéticos: abaixo temos resultados hipotéticos desta
aplicação, sem custos transacionais e usando os retornos dos spots.
Accumulated returns
0
2
4
6
8
10
12
1/3/2
000
1/3/2
001
1/3/2
002
1/3/2
003
1/3/2
004
1/3/2
005
1/3/2
006
1/3/2
007
1/3/2
008
1/3/2
009
1/3/2
010
CUMULATIVE RETURN
CUM. CDI
CUM. IBOV
Bibliografia
Kelly, J.L. (1956), A New Interpretation of the Information Rate, AT&T
research paper.
Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol. 7, No
1.
Thorp, E. (2007), The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and
the Stock Market. Handbook of Asset and Liability Management, Volume
1.
Thorp, E. (1969), Optimal Gambling Systems for Favorable Games,
Review of the International Statistical Institute, Vol. 37, No. 3.