Definição dos limites da cava

O uso de computadores permite a atualização de dados rapidamente e o uso de vários parâmetros para análises

Técnicas: cone flutuante e Lerchs-Grossmann

Ambas necessitam avaliação econômica inicial dos blocos

Dados minerais, metalúrgicos e econômicos são combinados para estabelecer um valor para cada bloco

Exemplo: Minério com Cu, Mo, Au e Ag 50 x 50 x 40 ft e fator tonelagem 13,5

ft3/st Todos os custos de mineração e

processamento incluem custos operacionais, de manutenção e depreciação

Usando os dados das tabelas anteriores pode-se calcular o net value para o bloco.

O material pode ser considerado como indo para alimentação da planta ou estéril.

O NVst(stripping) = ton do bloco x custo de descobertura ($/st)

O NVmf(mill feed) = R (receita) - C´

O NVmf é comparado com o NVst para cada bloco, e o valor mais positivo é considerado.

O NV torna-se, então, a única peça de um bloco a ser utilizado diretamente nos simuladores.

No processo manual: uma curva NV x teor era desenvolvida e depois uma SR x teor e a partir disso examinava-se a possibilidade de expansão do pit.

Quando utiliza-se computadores fica mais conveniente o emprego do NV dos blocos diretamente.

Para um caso onde os taludes tem 45o a base 100’, a figura a ser “flutuada”:

O exemplo a seguir será examinado usando-se a técnica manual baseada nos teores e SR e, também, quando NV são assinalados para cada bloco

3 limites potenciais serão considerados, o pit final é marcado pelo caso 3

Usando o gráfico NV x teor - SR, o modelo da figura anterior pode ser convertido num modelo econômico de blocos

Examinando-se os NV dos blocos envolvidos em uma seqüência em particular, os limites finais do pit podem ser determinados.

A lavra vai parar quando o NV for negativo.

NV = 0 define o limite final do pit nessa seção

Como pode ser visto o método manual e o dos blocos conduzem a resultados similares

O mais fácil de programar é o do NV, quando considera-se um arranjo tridimensional de blocos

Blocos eqüidimensionais, taludes 45 Barnes, 1982 Figura: modelo de bloco e o cone utilizado

para definição da cava

Passo 1 - O cone é flutuado da esquerda para direita ao longo da linha superior. Se tiver um bloco positivo ele é removido.

Passo 2 - Passa-se para a segunda linha. Flutuando-se da esquerda para direita até encontrar-se o primeiro valor positivo. Se a soma de todos os blocos que caem dentro do cone é positiva ou zero, esses blocos são removidos

Se a soma é negativa os blocos são deixados e o cone flutua para o próximo bloco positivo nessa fila.

Passo 3 - o processo continua até que não se possa mais remover blocos

Passo 4 - a lucratividade é calculada somando-se os valores dos blocos removidos

Passo 5 - SR geral pode ser determinada a partir dos blocos positivos e negativos

Na figura do exemplo observa-se que existem 4 valores positivos, portanto 4 cones correspondentes para serem avaliados

O valor total da cava anterior será: -1-1-1-1-1 + 1-2-2+4+7 = + 3

A SR geral = 7/3 Essa solução simples é considerada a cava

ótima. Cava ótima? Lucro máximo?Máximo NPV?

Máxima extração?

Não combinação de blocos rentáveis Ocorre quando blocos positivos são

investigados individualmente. A extração de um bloco simples pode não ser econômica enquanto uma combinação de blocos pode permitir essa remoção

Estendendo o limite além do limite ótimo da cava

Ocorre quando algoritmos de cones flutuantes podem e seguidamente incluem blocos não lucrativos no projeto da cava. A inclusão desses blocos reduzirá o NV da cava.

Combinação dos dois problemas anteriores A figura a seguir mostra que temos 3 blocos

com valores positivos e portanto 3 possibilidades a serem analisadas pelo cone

O método por ser uma “computadorização” de um método manual, pode-se entender o que se está fazendo

O algoritmo computacional é simples A técnica de movimentação dos cones

pode ser usada com taludes da cava generalizados

Resultados acurados para planejamento

1965 “Optimum design of open pit mines”: dois métodos numéricos - algoritmo simples de programação dinâmica (2D) e algoritmo grafos (3D).

NVst = -$4000/bloco NVmf = $12000/bloco Angulo do talude = 35,5 Altura bancada = 40 ft Fator tonelagem = 12,5 ft3/st

Os blocos nos limites podem conter tanto minério quanto estéril.

Necessidade de ponderação. A posição dos blocos serão anotadas

segundo um sistema i(linhas),j(colunas).

i = linhas e j = colunas calcular os lucros cumulativos para cada

coluna de blocos começando no topo e movendo-se para baixo. Cada coluna vertical é independente das outras.

i Mij = mkj

k=1

Mij é o lucro realizado na extração de um simples bloco (i,j) na sua base

mkj é o NV do bloco(k,j) Aplicando a equação para j=6 e i=3: M36 = m16 + m26 + m36 = 12 + 12 + 8 =

32

Processar uma soma cumulativa movendo-se lateralmente da esquerda para direita. Começando com o extremo bloco à esquerda, examina-se os valores dos 3 blocos: um diretamente acima e a esquerda; um a esquerda e um diretamente abaixo e a esquerda

bloco selecionado: B11

Começando no valor 32 o pit resultante é indicado na figura a seguir

Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

Para o pit iniciado em 32 o valor cumulativo dos blocos será 32.

E para o pit iniciado em 60? Nesse ponto qual seria o pit ótimo?

Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

É aquele que tem o valor cumulativo máximo. Para determinar:

Move-se da direita para esquerda ao longo da linha 1 até encontrar o maior valor

As setas são seguidas até completar a outline do pit ótimo na seção.

NV = 108 x $1000 = $ 108,000 Total t = 36 blocos x 10000/bloco = 360000 T de minério = 20 x 10000 = 200000 T estéril = 16 x 10000 = 160000 SR = 16/20 = 0,8 Lucratividade média/t = 108/360 = $0.30/t

Para obter uma verdadeira cava ótima há a necessidade de se tratar o problema em 3D.

Para um conjunto ortogonal de blocos existe duas geometrias básicas para aproximação de cavas (pit):

Padrão 1-5, onde 5 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior.

Padrão 1-9, onde 9 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior.

Os nós representam os blocos. As setas apontam para aqueles blocos que

precisam ser removidos antes que o bloco abaixo possa ser minerado.

Cada bloco tem um peso atribuído a ele. Em geral, o peso é igual ao valor do parâmetro a ser maximizado (NV). Pode ser + ou -

Cada bloco é representado por um número (xi) que indica a localização do bloco no modelo.

No caso, x1,x2,x3,x4,x5 e x6 Poderíamos ter para coordenadas de x1:

(2000,3500,6800). Se tivessemos 100000 blocos, então, xi iria de x1

a x100000. O arquivo da locação do nó X = (xi) Para aplicação da teoria “grafos” cada bloco

representado por um círculo será designado de nó.

Linhas retas (bordas) são adicionadas conectando os nós inferiores com os vizinhos mais próximos acima.

Para o modelo 3D apresentado anteriormente temos 9 ou 5 bordas para cada bloco inferior

Para o modelo 2D anterior temos 3 bordas para cada bloco inferior

Cada borda dessas pode ser descrita por:eij = (xi,xj)

O conjunto contendo todas as bordas E = (eij)

Grafo: G = (X,E) é definido como um conjunto de nós xi conectados por par de elementos denominados bordas eij = (xi,xj)

A seguir, é necessário indicar qual dos blocos sobrejacentes precisam ser removidos prioritariamente antes da remoção de um bloco inferior.

Fluxo. Do bloco mais inferior para o bloco mais superior. Setas são adicionadas.

Ao adicionar a seta, criamos um arco: akl = (xk,xl), significa que o fluxo é do nó xk

para o nó xl A = (akl), é o conjunto de todos os arcos O grafo consistido de nós e arcos é

chamado de grafo direcionado

Sub-grafo: um sub-grafo direcionado G(Y) é um sub-conjunto de um grafo direcionado G(X,A). É constituído de um conjunto Y de nós e todos os arcos Ay que os conecta.

Temos: 1- a localização física dos blocos no espaço 2- a conexão entre os blocos 3- o fato de que os blocos superiores

precisam ser removidos antes de lavrar os blocos inferiores.

Cada bloco precisa ter um valor. Cada bloco xi tem um peso associado (mi).

NV; teor, lucro

Sob o ponto de vista de mineração: o sub-grafo x1, x2, x3 e x5 poderia ser uma cava viável.

X2, x3, x4 e x6 X1,x2,x3,x4,x5 e x6 X2,X3 e X6 é viável? O termo fechamento é utilizado para indicar

um sub-grafo viável.

Fechamento: é um sub-grafo que compõem uma cava viável.

Terá um valor total associado. O desafio é encontrar entre as várias

possibilidades aquele que contempla o máximo valor.

Corresponde ao fechamento máximo.

Fechamento máximo: é aquele fechamento que contem a máxima soma dos pesos dos blocos, My = ∑mi é máximo .

Circuito: é um caminho no qual o nó inicial é o mesmo nó terminal.

Cadeia: é uma seqüência de bordas na qual cada borda tem um nó comum com a borda seguinte.

Ciclo: é uma cadeia na qual o nó final e o inicial coincidem.

Caminho: é uma seqüência de arcos tais que o nó terminal de cada arco é o nó inicial do arco que o sucede.

Árvore “tree”: é um grafo conectado e direcionado não contendo ciclos. Uma tree contém um ou mais nós do que o arco. Uma rooted tree é uma tree com um nó especial, a root.

Root: é um nó selecionado de uma tree.

Branch: se uma tree é cortada em duas partes pela eliminação de um arco akl, a parte que não contém a root é chamado de branch. Ele mesmo é uma tree. A root de um branch é o nó de um branch adjacente ao arco akl.

Twig: é um branch de um branch. O algoritmo de Lerchs-Grossman é baseado

num procedimento normalizado no qual um número de regras são seguidas.

I – Construir uma tree arbitrária tendo uma conexão com a root.

Construir uma tree com cada um dos nós conectados diretamente a root.

1- Adicionar uma root ao grafo direcionado e construir uma tree, considerando as possíveis conexões

2- Cada um dos arcos será designado com respeito ao seu posicionamento em relação a root: plus ( se estiver se afastando) e minus (se estiver indo para a root).

3- Adicionar as palavras strong ou weak aos arcos:

Arco I: direção plus e peso negativo ► weak. Arco II: o mesmo. Arco: V Arco IV: direção minus, peso cumulativo

positivo (10 – 4=6)► weak. Arco III: direção plus, peso cumulativo

positivo (10-4-4=2) ► strong.

4- Verificar os strong arcs: Ação 1- Strong-minus arc: o arco (xq,xr) é

subtituído por um dummy arc (xo, xq). O nó xq é conectado a root.

Ação 2- Strong-plus arc: o arco (xk,sl) é substituído por um dummy arc (xo,xl). O nó é conectado a root.

No exemplo, temos um strong-plus arc, arco III, fazer a ação 2.

Essa configuração é uma tree: T1. 5- Fazer a mesma designação aos arcos:

plus, minus, strong, weak

6- Qualquer strong branch da nova tree não diretamente conectada a root é identificada e os procedimentos discutidos no passo 4 são seguidos.

Se não houver strong branches não conectados a root, a tree é dita normalizada e o processo termina.

7- O fechamento máximo consiste nos nós conectados por strong arcs a root.

Nesse caso o fechamento é: -4-4+10-4-4+10 = 4

1- Começa por adicionar um nó de root e conectando os arcos entre a root e cada outro nó.

2- O conjunto de arcos direcionados é dividido em dois grupos. Aqueles conectados a root por strong-plus arcs são incluídos no grupo Yo . Os outros estarão no grupo X-Yo.

Nesse caso, nós x5 e x6 estão no grupo Yo. A soma é 20.

3- Observar as possíveis conexões entre os dois grupos.

Para x5? Para x6? Selecionar uma: x5,x1. O arco direcionado

xo,x5 é removido e o arco direcionado x5,x1 é desenhado.

4- Prosseguir com o processo de normalização. Cada arco será designado de plus ou minus e strong ou weak.

5- Retornar ao passo 3 para procurar conexões adicionais entre Y e X-Y. Temos 5 arcos viáveis:

X5,x2; x5,x3; x6,x2; x6,x3 e x6,x4 O arco x5,x2 será adicionado a tree e o arco

xo,x2 removido.

6- A nova tree é agora normalizada. Os nós incluídos em Y são: x1,x2,x5 e x6.

O fechamento é 12.

7- retoma-se o passo 5, temos agora 3 possíveis conexões restantes: x5,x3; x6,x3 e x6,x4.

Escolhe-se adicionar o arco x6,x3 e remover o arco xo,x3.

A tree normalizada é mostrada a seguir. Os nós incluídos em Y são x1,x2,x3,x5 e x6 e o fechamento será 8.

8- Retornando ao passo 5, ainda tem uma possível conexão a ser verificada:x6,x4. Arco xo,x4 é removido e o arco x6,x4 é adicionado.

Normalização da tree. Todos os nós estão agora relacionados diretamente com a root por cadeias tendo um bordo strong. Não tem mais conexões a serem tentadas.

9- O máximo fechamento será = 4 Na verdade faltou, tentar a conexão x5,x3: Passo 7- Arco x5,x3 é adicionado e o arco

xo,x3 removido. Normalizar. Agora o arco xo,x1 se tornou weak-plus. O único membro do grupo Y ficou x6. O fechamento é 10.

Passo 8- considera-se a possível conexão entre X-Y e Y:

X6,x4 e x6,x3 Pegando x6,x4 obtém-se a tree normalizada

a seguir representada. Os membro do grupo Y são x6 e x4 e o fechamento é 6.

Passo 9- Existe uma conexão possível entre os dois grupos, aquela representada pelo arco x6,x3. Na tree anterior arc xo,x1 foi removido e o arco x6,x3 adicionado. Todos os nós estão conectados a root por uma cadeia contendo uma borda strong. Não há outras possibilidades. O fechamento é a soma dos nós que é 4.

A tree pode ser cortada durante a normalização.

Partindo de uma tree inicial

Escolhas iniciais: x5,x1; x5,x2 X6,x3;x6,x4

Há uma conexão ainda a ser feita:x6,x2 Na figura anterior, arco(xo,x3) é retirado e o

arco(x6,x2) é adicionado. A tree está normalizada. O arco (x5,x2) é strong-plus e não

conectado diretamente a root. Precisa ser cortado para normalizar a tree.

Como discutido anteriormente, o arco (xk,xl) é substituído pelo dummy arc (xo,xl). Nesse caso, xk=x5 e xl=x2.

O novo arco (xo,x2). Todas as conexões foram tentadas e o

fechamento final é 20-10-2-2=6.