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Distribuicao Normal
Profa Dra Alcione Miranda dos Santos
Universidade Federal do MaranhaoPrograma de Pos-Graduacao em Saude Coletiva
email:alcione.miranda@gmail.com
Abril, 2011
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Introducao
I Muitas variaveis estudadas na area biomedica apresentam dis-tribuicao simetrica (os valores centrais sao mais frequentes e osvalores extremos mais raros).
I Na pratica, se o coeficiente de assimetria de Pearson esta situ-ado no intervalo (-0,5;0,5), considera-se a distribuicao aproxi-madamente simetrica.
I Uma distribuicao simetrica tıpica e a distribuicao normal.
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Introducao
I Por que e importante que as variaveis possam ser descritas poruma distribuicao normal?
Motivo e simples: Se as variaveis respeitam uma distribuicaonormal, pode-se aplicar a grande maioria dos testes e metodosestatısticos conhecidos.
Xtem-se maior facilidade!
I Variaveis que nao tem distribuicao normal podem ser submeti-das a transformacoes (raiz quadrada, logaritmo).
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Distribuicao Normal
Exemplo: Observamos medidas do torax (em polegadas) desoldados escoceses.
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Propriedades de Distribuicao Normal
I A distribuicao e simetrica: Media = mediana = moda.
I Os parametros µ (media) e σ2 (variancia) definem completa-mente uma curva normal.
Notacao: X ∼ N(µ, σ2)
I Na distribuicao normal com media µ e desvio padrao σ:
X 68% das observacoes estao a menos de ±σ da media µ.X 95% das observacoes estao a menos de ±2σ de µ.X 99,5% das observacoes estao a menos de ±3σ de µ.
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Propriedades de Distribuicao Normal
I Exemplo: Considere que o nıvel de glicose em pessoas sadiastenha distribuicao normal, com media igual a 90 mg e desvio-padrao 5 mg. Entao, pode-se concluir que:
X Aproximadamente 2/3 (≈ 68%) da populacao de indivıduos sa-dios possuem nıvel de glicose entre (µ− σ) = 90-5 = 85 mg e(µ+ σ) = 90+5 = 95 mg.
X Grande parte das pessoas sadias (≈ 95%) nıvel de glicose entre(µ− 2σ) = 90-2(5) = 80 e (µ+ 2σ) = 90+2(5) = 100 mg.
X Praticamente todos (≈ 99, 7%) os indivıduos da populacao temvalores entre (µ− 3σ) = 75 e (µ+ 3σ) = 105 mg.
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Propriedades de Distribuicao Normal
I A distribuicao Normal depende dos parametros µ e σ2.
Figura: Curvas Normais com mesma variancia, mas mediasdiferentes (µ2 > µ1).
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Propriedades de Distribuicao Normal
I Influencia de σ na curva Normal.
Figura: Curvas Normais com mesma media, mas varianciasdiferentes (σ2
2 > σ21).
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Distribuicao Normal Padrao
I Caso especial da distribuicao Normal: media=0 e variancia=1
XNotacao: Z ∼ N(0, 1).
I Para transformar uma variavel X ∼ N(µ, σ2) para uma variavelnormal padrao (padronizacao ou normalizacao), basta fazer ocalculo:
Z =X − µ
σ
I Propriedade dessa distribuicao: Podemos calcular probabili-dades usando a tabela da distribuicao normal padronizada.
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Padronizacao: exemploI Seja X ∼ N(5, 100). Vamos padronizar o valor 6,2.
Z =X − µ
σ=
6, 2 − 5
10= 0, 12
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Calculos de probabilidades
I Para variaveis aleatorias com distribuicao normal, as probabili-dades sao representadas pelas areas sob a curva normal.
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Calculos de probabilidades
I Area total sob a curva e igual a 1.
I A area em vermelho e igual a probabilidade da variavel X sermaior do que 1.
I A area em azul e igual a Prob(−1 < X < 0).
I Areas sao obtidas em tabelas ou calculadas em computador.
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Calculos de probabilidadesI Calculo da area entre dois numeros: Seja X ∼ N(5, 100), va-
mos calcular P(2, 9 ≤ X ≤ 7, 1).
I Primeiramente, temos que padronizar 2, 9 e 7, 1. Assim,
Z =2, 9 − 5
10= −0, 21 e Z =
7, 1 − 5
10= 0, 21
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Como usar a tabela da normal padrao?
I As propriedades que seguem podem ser deduzidas da simetriada densidade em relacao a media 0, e sao uteis na obtencao deoutras areas nao tabuladas.
(i) P(Z > z) = 1 − P(Z < z)
(ii) P(Z < −z) = P(Z > z)
(iii) P(Z > −z) = P(Z < z)
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Como usar a tabela da normal padrao?
I Vamos determinar a P(Z < −1, 25).
I Temos que:
P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25)
I Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valordado, subtraia de 0,5 a area que voce encontrar na tabela.
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Como usar a tabela da normal padrao?
I Portanto,
P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 − P(0 < Z < 1, 25)
I Percorra a coluna z , a esquerda, ate z = 1, 2, depois siga natransversal ate a coluna sob o numero 0,05. O valor da celula,0,3944, corresponde a area entre 0 e 1,25.
I Assim,
P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 − P(0 < Z < 1, 25)
= 0, 5 − 0, 3944 = 0, 1056
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Exemplo
I Suponha QI ∼ N(100, 225)
I Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamentetenha o QI superior a 135?
Z =135 − 100
15= 2, 33
Logo, P(Z > 2.33) = 0, 01 (tabela normal padrao)
I Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamentetenha o QI inferior a 90?
Z =90 − 100
15= −0, 67
Assim, P(Z < −0, 67) = P(Z > 0, 67) = 0, 2514. Lembre-seda simetria
I Probabilidades que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenhao QI entre dois valores tambem podem ser determinadas.
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