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7/21/2019 Distribuioes Amostrais e Estimacao de Parmetros
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Estatstica para Cursos de Engenharia eEstatstica para Cursos de Engenharia eInformticaInformtica
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia
So Paulo: Atlas, 2004
--
BARBETTA, REIS e BORNIA Estatstica para Cursos de Engenharia e Informtica. Atlas, 2004
..ee EstimaoEstimaodedeParmetrosParmetros
APOIO:Fundao de Apoio Pesquisa Cientfica e Tecnolgica do Estado de Santa Catarina(FAPESC)Departamento de Informtica e Estatstica UFSC (INE/CTC/UFSC)
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Amostragem e Inferncia estatsticaAmostragem e Inferncia estatsticaPOPULAO: todos
os possveisconsumidoresAMOSTRA: um
subconjunto dos
amostragem
Ex.
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consum ores
inferncia
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ConceitosConceitos Parmetro: alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo,
etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados populao.
Amostra aleatria simples: conjunto de nvariveis aleatrias
independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuio
de probabilidades de uma certa varivel aleatria X. Esta distribuio
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e pro a a es eve correspon er s r u o e req nc as osvalores da populao (x1, x2, x3, ...).
Estatstica: alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo,
etc.) das variveis aleatrias X1, X2, ..., Xn, associadas amostra
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Parmetros e EstatsticasParmetros e Estatsticas
Amostra(X1,X2, ...,Xn)
Populao(x1, x2, x3,...,xN)
Parmetros Estatsticas
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N
atributoocomelementosdenp
o
=n
atributoocomelementosdenP
o
=
==
N
i i
xN 1
1
==n
iiXnX 1
1
( )=
=
N
iix
N 1
22 1 ( )=
=
n
ii XX
nS
1
22
1
1
Proporo
Mdia
Varincia
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Exemplos de parmetrosExemplos de parmetros X varivel aleatria contnua com funo de densidade f
Mdia ou valor esperado:
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Varincia:
22 )()( = XEXV
= dxxfxXE )()( 2ou: onde:
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Exemplos de estatsticasExemplos de estatsticas (X1, X2,..., Xn): uma amostra aleatria simples da
populao caracterizada por X.
Mdia : =
=+++
=
n
i
in X
nn
XXXX
1
21 1...
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Varincia: ( )=
=
n
i
i XXn
S1
22
1
1
Uma estatstica uma varivel aleatria e a sua distribuio deprobabilidades chamada de distribuio amostral.
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EstatsticasEstatsticas (x1, x2,..., xn): amostra efetivamente observada.
Mdia : =
=+++
=
n
i
in x
nn
xxxx
1
21 1...
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Varincia: ( )=
=n
ii xx
ns
1
22
11
=
=2
1
22
1
1
xnxns
n
iiou:
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Ex. 7.2Ex. 7.2 Populao: {2, 3, 4, 5}
Parmetros:
p(x)
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5,34
15
4
14
4
13
4
12)( =+++== XE
( ) [ ] 25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(4
1.)( 2222
1
22=+++===
=
N
i
ii pxXV
x2 3 4 5
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Distribuio da mdia amostral (Ex. 7.2)Distribuio da mdia amostral (Ex. 7.2)
p(x)
Distribuio dapopulao
Distribuio damdia amostral
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)(xp
x2 3 4 5x2 3 4 5
E(X) = 3,5
5,3)( =XE
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Mdia e varincia da mdia amostral (Ex. 7.2)Mdia e varincia da mdia amostral (Ex. 7.2)
( ) 5,316
15
16
25,4
16
34
16
45,3
16
33
16
25,2
16
12 =
+
+
+
+
+
+
=XE
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625,016
1)5,35(...
16
2)5,35,2(
16
1)5,32()( 222 =+++=XV
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Distribuio amostral da mdiaDistribuio amostral da mdia
Amostra:
Populao: NelementosX: varivel quantitativa
Amostragem
aleatria simples
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1, 2, ..., n =E(X),2 = V(X)
Estatsticas:X pode ser vista como uma varivel
aleatria se considerar a distribuio de
freqncias da populao como uma
distribuio de probabilidades a
distribuio da populao.
==n
iiXnX 1
1
( )=
=
n
ii XX
nS
1
22
1
1
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Exemplo de motivaoExemplo de motivao
Populao X uniforme em [0, 1].
=
],[para,0
],[para,1
)(
x
xxf
Lembrando:
X uniforme em [, ].
1
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x0
f(x)
1
2)( +=XE
( )12
)(
2
=XV
2
=
12
1)( =XV
Simular dados numa numaplanilha eletrnica e calcular
estatsticas.
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Mdia e varincia da mdia amostralMdia e varincia da mdia amostral
=)(XE
2
Seja a populao com mdia e varincia 2.
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n= se a amos ragem or com repos o,
ouNmuito grande ou infinito
1)(
2
=N
nN
nXV
se a amostragem for sem reposio e
Nno muito grande,N< 20n
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Distribuio da mdia amostralDistribuio da mdia amostral
(Teorema do limite central) Se o tamanho da amostra forrazoavelmente grande, ento a distribuio amostral da
mdia pode ser aproximada pela distribuio normal.
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Distribuio da mdia amostralDistribuio da mdia amostral Populao Amostra
=
=
n
iiX
nX
1
1
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=)(XE
2)( =XV
=)(XDP
=)(XE
nXV
2)( =
nXDP
=)(
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Populao de tamanho NPopulao de tamanho NPopulao dos salrios dos empregados
de certo setor da economia (N =1.000)
Distribuio de freqncias de mdias
de amostras de tamanho n = 100
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=)(XE
1)(
2
=N
nN
nXV
1)(
=
N
nN
n
XDP
=)(XE
2)( =XV
=)(XDP
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Distribuio da populao (caso de proporo)Distribuio da populao (caso de proporo)
x p(x)
0
1
1 p
p
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=p
2 = p(1 p)
Mdia e varincia:
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Distribuio da proporo amostralDistribuio da proporo amostral Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande,
ento a distribuio amostral da proporo pode seraproximada pela distribuio normal.
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OBS. Se nfor pequeno, a distribuio exata binomial ouhipergeomtrica (dependendo se a amostragem for com
ou semreposio)
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AMOSTRA
POPULAO
p = ?
Estimao de ParmetrosEstimao de Parmetros
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X1 X2 X3 ...Observaes: p
p = erro amostralp
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Estimao de parmetros:Estimao de parmetros:
intervalo de confiana para proporointervalo de confiana para proporo
Com dados de uma amostragem aleatria simples com
reposio (ou sem reposio, mas com N >> n), tem-se umintervalo de confiana parap, com nvel de confiana :
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n
ppzppIC )1(
),( =
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Estimao de parmetros:Estimao de parmetros:
intervalo de confiana para mdiaintervalo de confiana para mdia
= mdia na populao (parmetro que se quer estimar)
= mdia na amostra (pode ser calculada com base na amostra)x
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= erro-padro da mdia.X
nX
=
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Estimao de parmetros:Estimao de parmetros:
intervalo de confiana para mdiaintervalo de confiana para mdia
Caso o desvio padro (populacional) seja conhecido:
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nzxI =
,
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Estimao de parmetros:Estimao de parmetros:
intervalo de confiana para mdiaintervalo de confiana para mdia
Caso o desvio padro (populacional) no seja conhecido:
uso da distribuio t de Student.
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A distribuioA distribuio tt dede StudentStudent Supondo a populao com distribuio normal, a
estatstica
nS
XT
=
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tem distribuio de probabilidades conhecida como
distribuio t de Student, com gl = n 1 graus de
liberdade.
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T h d tT h d t
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Tamanho de amostraTamanho de amostra
Na fase do planejamento da pesquisa, muitas vezes
precisamos calcular o tamanho nda amostra, paragarantir uma certa preciso desejada, a qual descrita em
termos do erro amostral mximo tolerado(E0,) e do nvel
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de confiana ( ) a ser adotado no processo de estimao.
Suponha amostragem aleatria simples
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T h i d t l t i i lT h i d t l t i i l
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Tamanho mnimo de uma amostra aleatria simplesTamanho mnimo de uma amostra aleatria simples
E
z=n
02
22
0
( )
E
ppz=n
02
2
0
1
Parmetro de interesse Valor inicial do tamanho da amostra
uma mdia ():
uma proporo (p):
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Ez=n4 0
2
2
0
0nn =
10
0
nN +
nN.n =
vrias propores (p1,p
2, ...):
Tamanho da amostra
Populao infinita: (arredondamento para
o inteiro superior)
Populao de tamanhoN: (arredondamento parao inteiro superior)