Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 8 – Função Logarítmica

Amintas Paiva Afonso

LogaritmosLogaritmos

xab logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

0a 01 bCondição de ExistênciaCondição de Existência

xab log ab x

LogaritmosLogaritmos

xab logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

LogaritmosLogaritmos

x8log2 82 x3x

8log2

38log2

xab logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

LogaritmosLogaritmos

Consequência da definiçãoConsequência da definição

01log1 bP

1log2 bP b

nbP nb log3

cacaP bb loglog4

abP ab log5

LogaritmosLogaritmos

Propriedades OperátóriasPropriedades Operátórias

babaP ccc logloglog1

bab

aP ccc logloglog2

anaP bn

b loglog3

LogaritmosLogaritmos

Mudança de BaseMudança de Base

b

aa

c

cb log

loglog

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog

LogaritmosLogaritmos

(UDESC 2006-1) Se , e , (UDESC 2006-1) Se , e , pode-se afirmar que:pode-se afirmar que:

3log ba 4log ca xc

ba log

xc

ba log cb

c

baaa logloglog

43log c

ba

1log c

ba

c

ba 1

b

ca

LogaritmosLogaritmos

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a (UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11solução da equação 11xx – 130 = 0 é: – 130 = 0 é:

13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a 11 130x

130

11

a

b

c x

11130log x

11130x log

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

DefiniçãoDefinição

RRf *: xxf blog

*RDomínioDomínio

Rf Im

ImagemImagem R

*RfD

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

Representação GráficaRepresentação Gráfica

xxf 2log

1 x

y

1

2

1

2

1

0

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

xxg2

1log

1

2x

y

1

1

0

Representação GráficaRepresentação Gráfica

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

xxg2

1log

12

x

y

1

1

1 x

y

1

2

1

2

1

0 0

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent

Representação GráficaRepresentação Gráfica

Função ExponencialFunção Exponencial

x

y

1

y = ax

a > 1

y = ax

0 < a 1

Ex:

y = 2 x

Ex:

y = (1/2 )x

Função LogarítmicaFunção Logarítmica

x

y

1

y = loga x

a > 1

y = loga x

0 < a 1

y = log2 x

y = log1/2 x

Função InversaFunção Inversa

x

y

1

y = loga x

y = ax

y = x

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

a > 1

Crescente 1

Função InversaFunção Inversa

x

y

1

y = loga x

y = ax

y = x

1

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

0 < a 1

Decrescente

ExercícioExercício

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a (UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da função inversa da função

31f x log x é:é:

1 3 1xf x

1 3 1xf x

1 3 1f x x

1 3 1x

f x

1

1 3x

f x log

a)

b)

c)

d)

e)

3

1y log x

3 1

3 1

3 1

y

x

x

x

y

y

1 3 1xf x

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

325 xx332

35x

03 x3x

35 S

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

295log 1 xx

951 2 xx

95122 xxx

095 x5

9 x

01x 1 x

11x 2 x

01072 xx21 x 51 x

5S

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

8log4log3log 555 xx

03 x 3 x

04 x 4 x

41 x

3 x

4S

8log43log 55 xx

8122 xx0202 xx 52 x

0202 xx

ExercícioExercício

(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão

25log 2

4

1 x

22

54

1

x

05 x9x

verdadeira é:verdadeira é:

25log 2

4

1 x

251016 2 xx

9102 xx

11 x 92 x5x

C.EC.E

ExercícioExercício

(UDESC 2006-1) Se , então o valor de (UDESC 2006-1) Se , então o valor de x é:x é: 3

52loglog 88 xx

23

5

28 x

3

52loglog 88 xx

3

52log8 xx

23

53 22 x

25 22 x

216 x

2232 x

4x

0xC.EC.E

4x

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

5log3log 22 x

53 x8x

03 xC.EC.E

3x 3/ xRxS

,3S

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

2log82log3

2

3

2 xx

282 xx6x

082 xC.EC.E

4x02 x

2x

I II

4 xIII

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

34log3log 22 xx

8122 xx

322 2log43log xx

322 2log43log xx

0202 xx

51 x42 x

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 x

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica

34log3log 22 xx

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 x

03 xC.EC.E

3x04 x

4x

3 x

43/ xRxS

0202 xx

InversaInversa

Funções inversas

De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, veremos que a

escolha mais conveniente é a “e”.

A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é a reflexão de y

= ax com relação a reta y = x.

Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é uma função de

crescimento muito lento.

ExemploExemplo

Uma aplicação da função logarítmica

A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da

energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas

que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o

logaritmo decimal;

Os valores desta escala são chamados de magnitudes;

Durante um terremoto um sismógrafo registra essa

magnitude durante um certo intervalo de tempo;

ExemploExemplo

Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:

Onde:

Ms: magnitude na escala Richter;

A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);

f: freqüência da onda (medida em hertz).

30,3).(log10 fAM s

ExemploExemplo

Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude

A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é:

Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição total das construções de uma grande cidade.

Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.

O valor acima é considerado moderado.

33,5

30,32

30,3100log

30,3)1,0.1000(log

30,3).(log

10

10

10

s

s

s

s

s

M

M

M

M

fAM

ExemploExemplo

O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no século XX.

ExemploExemplo

Funções inversas A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que

a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 anos.

Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, então:

)24.(2)24.(

2

1....)(

)24(2

1)24(

2

1.

2

1)50(

2

1)75(

)24(2

1)24(

2

1.

2

1)25(

2

1)50(

)24(2

1)0(

2

1)25(

24)0(

25

25

32

2

t

ttm

mm

mm

mm

m

ExemploExemplo

Funções inversas Portanto, a função para este caso é:

Como a função logarítmica inversa dessa função é:

Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5

mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:

252.24)(t

tm

)ln24(ln2ln

25)(1 mmf

anosf

f

mmf

6,56693,0

225,39

693,0

)609,1178,3.(25)5(

)5ln24(ln2ln

25)5(

)ln24(ln2ln

25)(

1

1

1

Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos

Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo o eixo y como assíntota vertical.

1) Construir o gráfico de y = lnx;

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4

Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos

2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico

y = ln(x-2);

Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos

3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter y = ln(x - 2) -1;

Métodos de Cálculo I

Assíntotas Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se

pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

Métodos de Cálculo I

Exemplos

)(lim xfax

x

yx=a

Métodos de Cálculo I

Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota

vertical é a função logaritmo natural y=lnx.

O eixo y funciona como uma assíntota.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4

)(lim0

xfx

Métodos de Cálculo I Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como

assíntota horizontal.

Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando

x 0-, t - , portanto:

0lim

x

xe

0lim

x

xe

0limlim1

0

t

t

x

xee

Exercícios

Responda

a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E decrescente?

b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?

c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função logarítmica?

d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?

Respostas

Decrescente se

Crescente se

2y - 1

Exercícios

O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela

expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a

cultura terá 38400 bactérias?

Exercícios

Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000.

Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em

que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?

Exercícios

Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento

estimado para um período de 24 anos?

Exercícios

Resolva a equação 3x = 5.

Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.

Exercícios

Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N =

N0.er.t, em que é o número inicial (quando t = 0) e

r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa

decrescimento é de 5% ao minuto?

Exercícios

Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3%

ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t, em

que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Exercícios

Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no

período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população

da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Exercícios

Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em

quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1.300,00? Use uma calculadora para fazer os

cálculos.

Exercícios

O dono de uma concessionária de veículos usa a expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em

reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t anos de uso. Para o cálculo do valor de um

automóvel de outra marca, é usada a expressão V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine

após quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de mercado.