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01)
A probabilidade de um caador acertar a cabea de um pssaro em um nico tiro de 1
5. Dando 5 tiros, qual
a probabilidade de ele: 1) no acertar a cabea do pssaro? 2) acertar a cabea do pssaro pelo menos duas vezes? Assim sendo, as solues aproximadas (uma casa decimal) dos itens acima, respectivamente, so: a) 23,% e 32,8% b) 32,8% e 19,4% c) 23,3% e 19,4% d) 23,3% e 26,3% e) 32,8% e 26,3% RESOLUO DA QUESTO 01 : ALTERNATIVA E a) A probabilidade de um caador acertar a cabea de um pssaro em um nico tiro de 1
5, ento a probabilidade de
um caador errar a cabea de um pssaro em um nico tiro
de 45
.
Ento errando 5 tiros: 4 4 4 4 4 1024 32 85 5 5 5 5 3125
. . . . , %
b) P (acertar pelo menos 2) = P(acertar tudo) P(acertar 1 s vez) - P(errar todas)
441100 5 0 328 26 35 5
% . , , %
02)
O produto de dois nmeros naturais a e b 900. As quantidades dos possveis divisores primos de a e dos possveis valores do mximo divisor comum de a e b so respectivamente: a) 4 e 9 b) 3 e 8 c) 4 e 7 d) 4 e 8 e) 3 e 9 RESOLUO DA QUESTO 02 : ALTERNATIVA B
2 2 2a b 900900 2 3 5.
. .
N divisores primos = 3 (2,3 e 5) N de possveis MDC = 2 . 2 . 2 = 8
03)
Um poliedro convexo possui 13 faces. Sabe-se que de um de seus vrtices partem 4 arestas, de 5 outros vrtices partem 3 arestas e de cada vrtice restante partem 5 arestas. O nmero de arestas desse poliedro : a) 32 b) 12 c) 17 d) 22 e) 27 RESOLUO DA QUESTO 03 :
ALTERNATIVA D F 131V 4A5V 3AxV 5A
Deste modo cada aresta foi contada 2 vezes 4 15 5xA
2 Substituindo em V A F 2
4 15 5x6 x 13 22
x 5 A 22
04)
Seja y = x + m, onde m natural e 1
m < 6, e y 3 x n , com n natural e 6
n
10. Com essas retas, o numero de paralelogramos que podemos formar : a) 150 b) 100 c) 120 d) 144 e) 128 RESOLUO DA QUESTO 04 : ALTERNATIVA B
reta (1)reta (2)
reta i
reta j
n
3
m
mn
Reta (1): y x m
Reta (2): y 3x n
As retas i so obtidas variando m e as retas j , variando n. Os paralelogramas so obtidos com a composio de 2 retas i e 2 retas j. Fixa-se a reta(1). Como m varia de 1 a 6, temos mais 4 posies possveis para ela e 5 posies possveis para j. 4 5 5 100. .
05) Sendo 1 1 x2 f x f2 x 2
, o valor de f(2) :
a) 2 b) 14
c) 14
d) 12
e) 2
RESOLUO DA QUESTO 05 : ALTERNATIVA D 1 1 x2 f f 22 x 21 1 22f 2 f x 42 2 21 112f f 2
2 2 41f 22
f x ; ?
06)
A rea do polgono convexo, que se obtm unindo os afixos dos nmeros complexos z3 = 8 e z3 = -8, representados numa mesma circunferncia :
3 3 3 3a)3 3 b) c)6 3 d) e)
2 4 2
RESOLUO DA QUESTO 06 : ALTERNATIVA C Sendo que os afixos de Z3 = 8 e Z3 = -8, so vrtices de um hexgono regular.
Shexgono = S mas: hexgono regular = 6 tringulos eqilteros de lado Z e Z = 2
S = 6 . S = 6 . . Z 2 . sen 60o S = 6 3
07)
Desenvolvendo o binmio (x+y)20, a razo entre coeficiente de um termo e o coeficiente do termo
consecutivo 34
. Definindo a ordem de um termo como
sendo a posio que ele ocupa no desenvolvimento binomial, a soma das ordens daqueles dois termos : a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 RESOLUO DA QUESTO 07 : ALTERNATIVA C Sendo os coeficientes dos termos consecutivos:
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2
20 20e
K k 120 20k 320 4
k 1
!k ! (20 k) !
20 !(k 1) ! (19 k)
k 1 8 1 9 k 2 8 2 10
3 k 1 34 20 k 4
!k 8T T T e T T T
As ordens so 9 e 10. Logo : 9 10 19
08)
O valor do determinante
2 2
cos 75 0 sen15cos15 2cos15 cos 15
sen 15 tg15 cos 15
:
a) sen 15 b) 12
c) sen 15 . cos 15
d) 32
e) 3
RESOLUO DA QUESTO 08 : ALTERNATIVA B sen(a+b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a+b) = cos a cos b sen a sen b
tga+ tgbtg(a+b) =1-tga tgb
A matriz fica:
2 2
6 2 6 204 4
6 2 6 2 6 24 2 4
6 2 3 3 6 24 43 3
, cujo
determinante 12
.
09) O valor de 1 2arctg arctg5 3
:
13 2a) arctg b) arctg 1 c) arctg
15 15
3d) arctg e) arctg 33
RESOLUO DA QUESTO 09: ALTERNATIVA B 1 2
arctg x e arctg y5 3
tgx tgy 1 5 2 3tg x 4 11 21 tgx. tgy 15 3
1 2arctg arctg arctg 1
5 3
10)
Com os elementos de uma matriz quadrada de ordem trs, na qual todos elementos so nmeros primos distintos, formam-se matrizes quadradas de ordem dois, que no contenham elementos repetidos. O nmero de determinantes diferentes que podemos obter dessas matrizes de ordem dois : a) 756 b) 3024 c) 1512 d) 378 e) 169 RESOLUO DA QUESTO 10 : ALTERNATIVA A
a b cd e fg h i
Os elementos so primos distintos. Logo, com A9,4 temos todas as matrizes de 4 elementos dentre os 9 possveis. E
multiplicando por 14
eliminamos
todas as trocas de elementos das diagonais principais e secundrias.
Portanto: 9,4A
7564
Obs: 756 o nmero mximo
de determinantes que podemos obter.
Considerando as matrizes 3 7 5 23e2 11 2 13
vemos que os
determinantes so iguais.
11)
A soma dos nmeros complexos z = x2 + bi, que tm mdulo igual a 3, sendo b = x2 -3, igual a: a) i b) i c) 0 d) 3 3i e) 3 + 3i RESOLUO DA QUESTO 11: ALTERNATIVA D
2
4 2
24 2
1 2
Z x bi
Z x b 3
x x 3 9
x 0, 3 , 3Z 0,Z 3 3iSoma 3 3i
12) O determinante da matriz At, sendo 1
2 2 2 2
11 222
lne50%0,333... 2
sec x tg x cos 24
A log100 2 2 :
64 2 25%
9 2 26 6 2 21a) b) c) 9 2 26
4 4d) 6 2 21 e) 0
RESOLUO DA QUESTO 12 :
ALTERNATIVA B 2 112 2
1A 2 22
14 22
t
11 42
2A 2 22
1 122 2
t 21 6 2det A4
13) O valor de (cos 45 + i sen 45)501 :
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3
2 2a) i b) i c) 1
2 22 2 2 2d) i e) i
2 2 2 2
RESOLUO DA QUESTO 13 : ALTERNATIVA E 501 500
501
250
250
2 2 2 2 2 2cos 45 isen45 i i i
2 2 2 2 2 2
2i 2 21 i 1 i2 22
14)
Dado o grfico de P(x), seja A(x) o resto da diviso de P(x) por (x 1)(x + 1)(x 2). Ento, 1A
2
:
7a)
4
3b)2
5c)
2
7d)2
1e)
2
4
2
1 2-1 x
y
RESOLUO DA QUESTO 14 : ALTERNATIVA A Deslocando o grfico de P(X) verticalmente em 4 unidades: P(x) 4 = x(x + 1) . (x 2) P(x) = x3 x2 2x + 4
P(x) = Q(x) . (x3 2x2 x + 2) + A(x) Por diviso Euclidiana; A(x) = x2 x + 2
A ( 12
) = 74
15)
A rea da regio limitada por 3x 3y 3 6 , 3x y 3 2
e (x + 1)2 + (y - 2)2
9, em unidade de rea :
9 3a) b) c) d) 3 e) 2
4 4 4
RESOLUO DA QUESTO 15 : ALTERNATIVA A Vamos achar a interseco das retas:
3 x 3y 3 6x 1, y 2
3 x y 3 2
Assim, as retas se cruzam no centro da circunferncia e a rea :
0
Como =45, 2r 9rea
4 4
16)
Um dado viciado de tal forma que a probabilidade de
ocorrer o nmero 3 13
; sendo os demais resultados
equiprovveis entre si. Laando-se este dado duas vezes consecutivas, a probabilidade de observarmos dois nmeros pares :
2 2 2 4 4a) b) c) d) e)
3 15 5 5 25
RESOLUO DA QUESTO 16 : ALTERNATIVA E Soma das probabilidades para todos os nmeros = 1
1 25x 1 x3 15
Para nmeros pares, que so 22 43, 3.
15 25
17)
Dadas as funes: f(x)=xcosx e g(x)=x
x
1 21 2
, com
x R*, podemos afirmar que: a) ambas so mpares b) f(x) mpar e g(x) no par e nem mpar c) f(x) mpar e g(x) par d) f(x) par e g(x) mpar e) ambas so pares RESOLUO DA QUESTO 17 : ALTERNATIVA A
x x
x x
f(x) x cos x f( x) x cos x f(x)1 2 1 2g(x) g( x) g(x)1 2 1 2
ambas so mpares
18)
Em um cone eqiltero de altura H, inscreve-se uma esfera. Tangenciando externamente a primeira esfera e internamente o cone, inscreve-se uma segunda esfera. Tangenciando externamente a segunda esfera, e internamente o cone, inscreve-se uma terceira esfera. E, assim, procede-se indefinidamente em direo ao vrtice do cone. Logo, a soma dos volumes de todas as esferas, em funo de H, :
a) 3H
26
b) 32 H
27
c) 32 H
81
d) 3H
27
e) 32 H
39
RESOLUO DA QUESTO 18 : ALTERNATIVA E
HR1H
3
H23
R1 = H3
R2 = 13
.
H3
R3 = 13
. 2H3
R4 = 13
. 3H3
V1V2
= 1
27 = 9
S = 1a1 9
=
34 H3 27
1127
=
32 H39
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19)
Sejam os polinmios 2p(x) x 4x 3
e 2q(x) x 3x 2 . Se b um nmero real qualquer, tal
que p(b)>0, podemos afirmar que: a) -3 < q(b) < -1 b) q(b) < -20 c) -20 < q(b) < - 6 d) q(b) > 0 e) 0 < q(b) < 6 RESOLUO DA QUESTO 19 : ALTERNATIVA C
2
2p(x) x 4x 3
x 4x 3 03 x 1
Mas q(x) = p(x) + 7x +1 para x = -3, 7x + 1 = -20 para x = -1, 7x + 1 = -6 -20 < q(x) < -6 20)
ABCD um quadrado de rea igual a 9cm2, sendo P e Q, respectivamente, pontos quaisquer sobre os lados AB e AD, tal que PA + AQ = AD. A maior rea, que o tringulo APQ pode assumir : a) 23 cm
2 b) 29 cm
2 c) 29 cm
8
d) 29 cm4
e) 23 cm4
RESOLUO DA QUESTO 20 : ALTERNATIVA C Temos o quadrado ABCD;
Q D
CB
A
P
yx
Sendo AQ = X e AP = Y e lado do quadrado L L2 = Srea 9 L = 3
SAPQ = x.y/2 (I), mas x + y = L x = 3-y (II) Substituindo (II) em (I): SAPQ = (3 y).y/2 = -y2/2 + 3y/2 rea Mxima: YVRTICE = - /4a= 9/8
SMXIMA = 9/8cm2
21)
Deseja-se formar cdigos de 5 letras usando somente as letras X e Y. Se nenhum cdigo deve conter apenas X e Y, o nmero de cdigos, distintos entre si, que podem ser formados : a) 30 b) 15 c) 32 d) 60 e) 20 RESOLUO DA QUESTO 21 : ALTERNATIVA A Casos possveis: Somente 1x + somente 1y+2x e 3y+2y e 3x
5,1 5,5 5,3 5,2C C C C 5 5 10 10 30
22)
As razes da equao 2x kx 2 2 0
so nmeros reais t e w e entre as razes existe a relao
w wt tt tw wt .w .t .w 512
. Os valores do parmetro k que satisfazem a equao so: a) 6 b) 4 2 c) 16 2 d) 44 2 e) 416 2
RESOLUO DA QUESTO 22 : ALTERNATIVA D Sendo t+w=k e t.w=2 2 temos tambm 2t w = t 2 +w 2 +2.t.w
t ww tt .
w twtw = 29
2 2t _wt.w t.w = 2
9 => 2
2(k 4 2)32 22 2
9
4K 4 2
23)
Sendo x um nmero inteiro, a somatria infinita
2 32 3 41 ...x x x
ser igual a 4 quando x for igual a:
a) -3 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESOLUO DA QUESTO 23 : ALTERNATIVA E Sendo S = 1+2/x + 3/x2 + ... (I) Multiplicando por: -1/x ambos os membros; -1/xS = -1/x 2/x2 3/x3 - ... (II) Somando (I) e (II); (1 1/x)S = 1 + 1/x + 1/x2 + ... mas: 1 + 1/x + 1/x2 + . = S soma de PG infinita com q = 1/x
S = 1/1 1/x = x/x 1 (1 1/x)S = X/x 1 com S = 4 X = 2
24)
A soma de todos os possveis e distintos restos das divises por 11 das potncias inteiras, positivas e sucessivas de 2941 : a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 RESOLUO DA QUESTO 24 : ALTERNATIVA E 2941 4 (Mod. 11) (2941)2 5 (Mod. 11) (2941)3 9 (Mod. 11) (2941)4 3 (Mod. 11) (2941)5 1 (Mod. 11) Soma dos restos das divises 4 + 5 + 9 + 3 +1 = 22 (2941)6 4 (Mod. 11) (2941)7 5 (Mod. 11) 25)
Sendo 4
3 93log 5 2logM 3 27 , a soma dos algarismos do nmero M : a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 RESOLUO DA QUESTO 25 :
ALTERNATIVA A 5 43 9
43125 64
3 3
3 log 2 log
log6log log2
M 3 27
M 3 3 125 3 125 64 616 1 7
26)
Trs crculos de mesmo raio r so tais que cada um passa pelo centro dos outros dois. A rea comum aos trs crculos, em unidade da rea :
a) 2r ( 3 )2
b) 2r 32 3
c) 2r ( 3 )
d) 2r 32
e) 2r 33
RESOLUO DA QUESTO 26 : ALTERNATIVA A
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5
01
02 03
rea de um setor circular 2rS
6
rea pedida = 35 - 25
2 2r 3 r3. 2. .2r ( 3 )6 2 2
27)
Sendo 3 2 3 2p(x) (x x 1) (x 1) (x 1) 2 , a soma dos coeficientes de P(x) : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 RESOLUO DA QUESTO 27 : ALTERNATIVA C
3 2 3 2P(1) (1 1 1) (1 1) (1 1) 2P(1) 5
28)
Um ponto P, interior a um tringulo eqiltero cujo lado mede 2 3 cm, dista de cada um dos lados de: 0,5 cm, 0,8 cm e d cm. Ento, a soma destas trs distncias : a) 2,3cm b) 2,4 cm c) 2,5 cm d) 2,6 cm e) 3,0 cm RESOLUO DA QUESTO 28 : ALTERNATIVA E Seja o tringulo eqiltero ABC:
B
A C
2 3cm2 3cm
2 3cm
d
P0,8cm0,5cm
.
.
.
Unindo o ponto P aos vrtices, temos: APB, APC e CPB
2ABC
3S ,(2 3 ) 3 34
mas, ABC APB APC CPBS S S S
3 3 1 .2 32
1. 2 32
1. .d 2 32
1. .0,82
d 1,7cmSoma 3,0cm
29)
O valor do produto (log1-log99) (log2-log98)...(log98-log2) ( log99-log1) : a) 3 b) -1 c) 1 d) 0 e) 2 RESOLUO DA QUESTO 29 : ALTERNATIVA D (log1 - log99)(log2 - log98)...( log50 -log50)......(log98 - log2)(log99 - log1)=
30)
A soma dos ngulos de todas as faces de um poliedro convexo 1800o. Se o poliedro possui 11 arestas, o seu nmeros de faces : a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 RESOLUO DA QUESTO 30 : ALTERNATIVA B
rad 180
V - A + F = 2 (v 2) . 2 10 v 2 5 v 7
7 11 F = 2 F = 6
31)
Os valores de x que verificam a inequao 2sen x sen x 0
2sen x 1, para x
2, pertencem ao
intervalo:
a) 2 ,3
b) 5 ,6
c) 3 ,4
d) 3 ,5
e) 4 ,5
RESOLUO DA QUESTO 31 : ALTERNATIVA B 2sen x sen x 0
2 sen x 1
sen2 x sen x > 0 e 2 sen x 1 > 0 sen x (sen x -1 ) > 0 2 sen x > 1
sen x > 1/2 sen x > 0 e sen x > 1 (no convm) ou sen x < 0 e sen x > 1 sen x < 0
Para 0 < sen x < 1/2 5 x6
32)
Uma elipse tem seu centro na origem dos eixos coordenados. O eixo menor est sobre o eixo dos y e mede 6 unidades de comprimento. Uma das extremidades do eixo maior coincide com o centro da circunferncia
2 2x y 10x 0 . O comprimento do eixo focal da elipse, na mesma unidade de comprimento, : a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 8 RESOLUO DA QUESTO 32 : ALTERNATIVA E Centro da circunferncia:
2 2
2 2x y 10x 0(x 5) y 25
Centro = (5, 0) a = 5, b = 3. Como a2 = b2 + c2, temos: 52 = 32 + c2
c = 4 Logo, a distancia focal 2 . 4 = 8.
COMENTRIO
A questo 01 apresenta gabarito diferente do divulgado pela AMAN, isso permite ao aluno entrar com recurso junto a banca examinadora.
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MINISTRIO DA DEFESA EXRCITO BRASILEIRO DEP - DFA
ACADEMIA MILITAR DAS AGULHAS NEGRAS (Academia Real Militar/1810)
GABARITO OFICIAL DA PROVA DE MATEMTICA
DO CONCURSO DE ADMISSO AMAN
2005/2006 QUESTES
MODELO A
MODELO B
MODELO C
1 A D D 2 E B B 3 D D D 4 C B B 5 C D C 6 B C E 7 C C B 8 E B E 9 C B E 10 C A A 11 B D A 12 E B D 13 A E C 14 E A C 15 B A D 16 A E B 17 E A D 18 E E C 19 A C B 20 D C A 21 D A A 22 B D E 23 D E A 24 B E E 25 D A E 26 B A E 27 D C D
28 B E B 29 A D C 30 A B B 31 E B A 32 A E A