ElitePoa AMAN Matematica 2005-2006

27/10/2005 ELITE www.elitepoa.com.br AMAN 2005/2006

1

01)

A probabilidade de um caador acertar a cabea de um pssaro em um nico tiro de 1

5. Dando 5 tiros, qual

a probabilidade de ele: 1) no acertar a cabea do pssaro? 2) acertar a cabea do pssaro pelo menos duas vezes? Assim sendo, as solues aproximadas (uma casa decimal) dos itens acima, respectivamente, so: a) 23,% e 32,8% b) 32,8% e 19,4% c) 23,3% e 19,4% d) 23,3% e 26,3% e) 32,8% e 26,3% RESOLUO DA QUESTO 01 : ALTERNATIVA E a) A probabilidade de um caador acertar a cabea de um pssaro em um nico tiro de 1

5, ento a probabilidade de

um caador errar a cabea de um pssaro em um nico tiro

de 45

.

Ento errando 5 tiros: 4 4 4 4 4 1024 32 85 5 5 5 5 3125

. . . . , %

b) P (acertar pelo menos 2) = P(acertar tudo) P(acertar 1 s vez) - P(errar todas)

441100 5 0 328 26 35 5

% . , , %

02)

O produto de dois nmeros naturais a e b 900. As quantidades dos possveis divisores primos de a e dos possveis valores do mximo divisor comum de a e b so respectivamente: a) 4 e 9 b) 3 e 8 c) 4 e 7 d) 4 e 8 e) 3 e 9 RESOLUO DA QUESTO 02 : ALTERNATIVA B

2 2 2a b 900900 2 3 5.

. .

N divisores primos = 3 (2,3 e 5) N de possveis MDC = 2 . 2 . 2 = 8

03)

Um poliedro convexo possui 13 faces. Sabe-se que de um de seus vrtices partem 4 arestas, de 5 outros vrtices partem 3 arestas e de cada vrtice restante partem 5 arestas. O nmero de arestas desse poliedro : a) 32 b) 12 c) 17 d) 22 e) 27 RESOLUO DA QUESTO 03 :

ALTERNATIVA D F 131V 4A5V 3AxV 5A

Deste modo cada aresta foi contada 2 vezes 4 15 5xA

2 Substituindo em V A F 2

4 15 5x6 x 13 22

x 5 A 22

04)

Seja y = x + m, onde m natural e 1

m < 6, e y 3 x n , com n natural e 6

n

10. Com essas retas, o numero de paralelogramos que podemos formar : a) 150 b) 100 c) 120 d) 144 e) 128 RESOLUO DA QUESTO 04 : ALTERNATIVA B

reta (1)reta (2)

reta i

reta j

n

3

m

mn

Reta (1): y x m

Reta (2): y 3x n

As retas i so obtidas variando m e as retas j , variando n. Os paralelogramas so obtidos com a composio de 2 retas i e 2 retas j. Fixa-se a reta(1). Como m varia de 1 a 6, temos mais 4 posies possveis para ela e 5 posies possveis para j. 4 5 5 100. .

05) Sendo 1 1 x2 f x f2 x 2

, o valor de f(2) :

a) 2 b) 14

c) 14

d) 12

e) 2

RESOLUO DA QUESTO 05 : ALTERNATIVA D 1 1 x2 f f 22 x 21 1 22f 2 f x 42 2 21 112f f 2

2 2 41f 22

f x ; ?

06)

A rea do polgono convexo, que se obtm unindo os afixos dos nmeros complexos z3 = 8 e z3 = -8, representados numa mesma circunferncia :

3 3 3 3a)3 3 b) c)6 3 d) e)

2 4 2

RESOLUO DA QUESTO 06 : ALTERNATIVA C Sendo que os afixos de Z3 = 8 e Z3 = -8, so vrtices de um hexgono regular.

Shexgono = S mas: hexgono regular = 6 tringulos eqilteros de lado Z e Z = 2

S = 6 . S = 6 . . Z 2 . sen 60o S = 6 3

07)

Desenvolvendo o binmio (x+y)20, a razo entre coeficiente de um termo e o coeficiente do termo

consecutivo 34

. Definindo a ordem de um termo como

sendo a posio que ele ocupa no desenvolvimento binomial, a soma das ordens daqueles dois termos : a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 RESOLUO DA QUESTO 07 : ALTERNATIVA C Sendo os coeficientes dos termos consecutivos:


2

20 20e

K k 120 20k 320 4

k 1

!k ! (20 k) !

20 !(k 1) ! (19 k)

k 1 8 1 9 k 2 8 2 10

3 k 1 34 20 k 4

!k 8T T T e T T T

As ordens so 9 e 10. Logo : 9 10 19

08)

O valor do determinante

2 2

cos 75 0 sen15cos15 2cos15 cos 15

sen 15 tg15 cos 15

:

a) sen 15 b) 12

c) sen 15 . cos 15

d) 32

e) 3

RESOLUO DA QUESTO 08 : ALTERNATIVA B sen(a+b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a+b) = cos a cos b sen a sen b

tga+ tgbtg(a+b) =1-tga tgb

A matriz fica:

2 2

6 2 6 204 4

6 2 6 2 6 24 2 4

6 2 3 3 6 24 43 3

, cujo

determinante 12

.

09) O valor de 1 2arctg arctg5 3

:

13 2a) arctg b) arctg 1 c) arctg

15 15

3d) arctg e) arctg 33

RESOLUO DA QUESTO 09: ALTERNATIVA B 1 2

arctg x e arctg y5 3

tgx tgy 1 5 2 3tg x 4 11 21 tgx. tgy 15 3

1 2arctg arctg arctg 1

5 3

10)

Com os elementos de uma matriz quadrada de ordem trs, na qual todos elementos so nmeros primos distintos, formam-se matrizes quadradas de ordem dois, que no contenham elementos repetidos. O nmero de determinantes diferentes que podemos obter dessas matrizes de ordem dois : a) 756 b) 3024 c) 1512 d) 378 e) 169 RESOLUO DA QUESTO 10 : ALTERNATIVA A

a b cd e fg h i

Os elementos so primos distintos. Logo, com A9,4 temos todas as matrizes de 4 elementos dentre os 9 possveis. E

multiplicando por 14

eliminamos

todas as trocas de elementos das diagonais principais e secundrias.

Portanto: 9,4A

7564

Obs: 756 o nmero mximo

de determinantes que podemos obter.

Considerando as matrizes 3 7 5 23e2 11 2 13

vemos que os

determinantes so iguais.

11)

A soma dos nmeros complexos z = x2 + bi, que tm mdulo igual a 3, sendo b = x2 -3, igual a: a) i b) i c) 0 d) 3 3i e) 3 + 3i RESOLUO DA QUESTO 11: ALTERNATIVA D

2

4 2

24 2

1 2

Z x bi

Z x b 3

x x 3 9

x 0, 3 , 3Z 0,Z 3 3iSoma 3 3i

12) O determinante da matriz At, sendo 1

2 2 2 2

11 222

lne50%0,333... 2

sec x tg x cos 24

A log100 2 2 :

64 2 25%

9 2 26 6 2 21a) b) c) 9 2 26

4 4d) 6 2 21 e) 0

RESOLUO DA QUESTO 12 :

ALTERNATIVA B 2 112 2

1A 2 22

14 22

t

11 42

2A 2 22

1 122 2

t 21 6 2det A4

13) O valor de (cos 45 + i sen 45)501 :


3

2 2a) i b) i c) 1

2 22 2 2 2d) i e) i

2 2 2 2

RESOLUO DA QUESTO 13 : ALTERNATIVA E 501 500

501

250

250

2 2 2 2 2 2cos 45 isen45 i i i

2 2 2 2 2 2

2i 2 21 i 1 i2 22

14)

Dado o grfico de P(x), seja A(x) o resto da diviso de P(x) por (x 1)(x + 1)(x 2). Ento, 1A

2

:

7a)

4

3b)2

5c)

2

7d)2

1e)

2

4

2

1 2-1 x

y

RESOLUO DA QUESTO 14 : ALTERNATIVA A Deslocando o grfico de P(X) verticalmente em 4 unidades: P(x) 4 = x(x + 1) . (x 2) P(x) = x3 x2 2x + 4

P(x) = Q(x) . (x3 2x2 x + 2) + A(x) Por diviso Euclidiana; A(x) = x2 x + 2

A ( 12

) = 74

15)

A rea da regio limitada por 3x 3y 3 6 , 3x y 3 2

e (x + 1)2 + (y - 2)2

9, em unidade de rea :

9 3a) b) c) d) 3 e) 2

4 4 4

RESOLUO DA QUESTO 15 : ALTERNATIVA A Vamos achar a interseco das retas:

3 x 3y 3 6x 1, y 2

3 x y 3 2

Assim, as retas se cruzam no centro da circunferncia e a rea :

0

Como =45, 2r 9rea

4 4

16)

Um dado viciado de tal forma que a probabilidade de

ocorrer o nmero 3 13

; sendo os demais resultados

equiprovveis entre si. Laando-se este dado duas vezes consecutivas, a probabilidade de observarmos dois nmeros pares :

2 2 2 4 4a) b) c) d) e)

3 15 5 5 25

RESOLUO DA QUESTO 16 : ALTERNATIVA E Soma das probabilidades para todos os nmeros = 1

1 25x 1 x3 15

Para nmeros pares, que so 22 43, 3.

15 25

17)

Dadas as funes: f(x)=xcosx e g(x)=x

x

1 21 2

, com

x R*, podemos afirmar que: a) ambas so mpares b) f(x) mpar e g(x) no par e nem mpar c) f(x) mpar e g(x) par d) f(x) par e g(x) mpar e) ambas so pares RESOLUO DA QUESTO 17 : ALTERNATIVA A

x x

x x

f(x) x cos x f( x) x cos x f(x)1 2 1 2g(x) g( x) g(x)1 2 1 2

ambas so mpares

18)

Em um cone eqiltero de altura H, inscreve-se uma esfera. Tangenciando externamente a primeira esfera e internamente o cone, inscreve-se uma segunda esfera. Tangenciando externamente a segunda esfera, e internamente o cone, inscreve-se uma terceira esfera. E, assim, procede-se indefinidamente em direo ao vrtice do cone. Logo, a soma dos volumes de todas as esferas, em funo de H, :

a) 3H

26

b) 32 H

27

c) 32 H

81

d) 3H

27

e) 32 H

39

RESOLUO DA QUESTO 18 : ALTERNATIVA E

HR1H

3

H23

R1 = H3

R2 = 13

.

H3

R3 = 13

. 2H3

R4 = 13

. 3H3

V1V2

= 1

27 = 9

S = 1a1 9

=

34 H3 27

1127

=

32 H39


4

19)

Sejam os polinmios 2p(x) x 4x 3

e 2q(x) x 3x 2 . Se b um nmero real qualquer, tal

que p(b)>0, podemos afirmar que: a) -3 < q(b) < -1 b) q(b) < -20 c) -20 < q(b) < - 6 d) q(b) > 0 e) 0 < q(b) < 6 RESOLUO DA QUESTO 19 : ALTERNATIVA C

2

2p(x) x 4x 3

x 4x 3 03 x 1

Mas q(x) = p(x) + 7x +1 para x = -3, 7x + 1 = -20 para x = -1, 7x + 1 = -6 -20 < q(x) < -6 20)

ABCD um quadrado de rea igual a 9cm2, sendo P e Q, respectivamente, pontos quaisquer sobre os lados AB e AD, tal que PA + AQ = AD. A maior rea, que o tringulo APQ pode assumir : a) 23 cm

2 b) 29 cm

2 c) 29 cm

8

d) 29 cm4

e) 23 cm4

RESOLUO DA QUESTO 20 : ALTERNATIVA C Temos o quadrado ABCD;

Q D

CB

A

P

yx

Sendo AQ = X e AP = Y e lado do quadrado L L2 = Srea 9 L = 3

SAPQ = x.y/2 (I), mas x + y = L x = 3-y (II) Substituindo (II) em (I): SAPQ = (3 y).y/2 = -y2/2 + 3y/2 rea Mxima: YVRTICE = - /4a= 9/8

SMXIMA = 9/8cm2

21)

Deseja-se formar cdigos de 5 letras usando somente as letras X e Y. Se nenhum cdigo deve conter apenas X e Y, o nmero de cdigos, distintos entre si, que podem ser formados : a) 30 b) 15 c) 32 d) 60 e) 20 RESOLUO DA QUESTO 21 : ALTERNATIVA A Casos possveis: Somente 1x + somente 1y+2x e 3y+2y e 3x

5,1 5,5 5,3 5,2C C C C 5 5 10 10 30

22)

As razes da equao 2x kx 2 2 0

so nmeros reais t e w e entre as razes existe a relao

w wt tt tw wt .w .t .w 512

. Os valores do parmetro k que satisfazem a equao so: a) 6 b) 4 2 c) 16 2 d) 44 2 e) 416 2

RESOLUO DA QUESTO 22 : ALTERNATIVA D Sendo t+w=k e t.w=2 2 temos tambm 2t w = t 2 +w 2 +2.t.w

t ww tt .

w twtw = 29

2 2t _wt.w t.w = 2

9 => 2

2(k 4 2)32 22 2

9

4K 4 2

23)

Sendo x um nmero inteiro, a somatria infinita

2 32 3 41 ...x x x

ser igual a 4 quando x for igual a:

a) -3 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESOLUO DA QUESTO 23 : ALTERNATIVA E Sendo S = 1+2/x + 3/x2 + ... (I) Multiplicando por: -1/x ambos os membros; -1/xS = -1/x 2/x2 3/x3 - ... (II) Somando (I) e (II); (1 1/x)S = 1 + 1/x + 1/x2 + ... mas: 1 + 1/x + 1/x2 + . = S soma de PG infinita com q = 1/x

S = 1/1 1/x = x/x 1 (1 1/x)S = X/x 1 com S = 4 X = 2

24)

A soma de todos os possveis e distintos restos das divises por 11 das potncias inteiras, positivas e sucessivas de 2941 : a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 RESOLUO DA QUESTO 24 : ALTERNATIVA E 2941 4 (Mod. 11) (2941)2 5 (Mod. 11) (2941)3 9 (Mod. 11) (2941)4 3 (Mod. 11) (2941)5 1 (Mod. 11) Soma dos restos das divises 4 + 5 + 9 + 3 +1 = 22 (2941)6 4 (Mod. 11) (2941)7 5 (Mod. 11) 25)

Sendo 4

3 93log 5 2logM 3 27 , a soma dos algarismos do nmero M : a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 RESOLUO DA QUESTO 25 :

ALTERNATIVA A 5 43 9

43125 64

3 3

3 log 2 log

log6log log2

M 3 27

M 3 3 125 3 125 64 616 1 7

26)

Trs crculos de mesmo raio r so tais que cada um passa pelo centro dos outros dois. A rea comum aos trs crculos, em unidade da rea :

a) 2r ( 3 )2

b) 2r 32 3

c) 2r ( 3 )

d) 2r 32

e) 2r 33

RESOLUO DA QUESTO 26 : ALTERNATIVA A


5

01

02 03

rea de um setor circular 2rS

6

rea pedida = 35 - 25

2 2r 3 r3. 2. .2r ( 3 )6 2 2

27)

Sendo 3 2 3 2p(x) (x x 1) (x 1) (x 1) 2 , a soma dos coeficientes de P(x) : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 RESOLUO DA QUESTO 27 : ALTERNATIVA C

3 2 3 2P(1) (1 1 1) (1 1) (1 1) 2P(1) 5

28)

Um ponto P, interior a um tringulo eqiltero cujo lado mede 2 3 cm, dista de cada um dos lados de: 0,5 cm, 0,8 cm e d cm. Ento, a soma destas trs distncias : a) 2,3cm b) 2,4 cm c) 2,5 cm d) 2,6 cm e) 3,0 cm RESOLUO DA QUESTO 28 : ALTERNATIVA E Seja o tringulo eqiltero ABC:

B

A C

2 3cm2 3cm

2 3cm

d

P0,8cm0,5cm

.

.

.

Unindo o ponto P aos vrtices, temos: APB, APC e CPB

2ABC

3S ,(2 3 ) 3 34

mas, ABC APB APC CPBS S S S

3 3 1 .2 32

1. 2 32

1. .d 2 32

1. .0,82

d 1,7cmSoma 3,0cm

29)

O valor do produto (log1-log99) (log2-log98)...(log98-log2) ( log99-log1) : a) 3 b) -1 c) 1 d) 0 e) 2 RESOLUO DA QUESTO 29 : ALTERNATIVA D (log1 - log99)(log2 - log98)...( log50 -log50)......(log98 - log2)(log99 - log1)=

30)

A soma dos ngulos de todas as faces de um poliedro convexo 1800o. Se o poliedro possui 11 arestas, o seu nmeros de faces : a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 RESOLUO DA QUESTO 30 : ALTERNATIVA B

rad 180

V - A + F = 2 (v 2) . 2 10 v 2 5 v 7

7 11 F = 2 F = 6

31)

Os valores de x que verificam a inequao 2sen x sen x 0

2sen x 1, para x

2, pertencem ao

intervalo:

a) 2 ,3

b) 5 ,6

c) 3 ,4

d) 3 ,5

e) 4 ,5

RESOLUO DA QUESTO 31 : ALTERNATIVA B 2sen x sen x 0

2 sen x 1

sen2 x sen x > 0 e 2 sen x 1 > 0 sen x (sen x -1 ) > 0 2 sen x > 1

sen x > 1/2 sen x > 0 e sen x > 1 (no convm) ou sen x < 0 e sen x > 1 sen x < 0

Para 0 < sen x < 1/2 5 x6

32)

Uma elipse tem seu centro na origem dos eixos coordenados. O eixo menor est sobre o eixo dos y e mede 6 unidades de comprimento. Uma das extremidades do eixo maior coincide com o centro da circunferncia

2 2x y 10x 0 . O comprimento do eixo focal da elipse, na mesma unidade de comprimento, : a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 8 RESOLUO DA QUESTO 32 : ALTERNATIVA E Centro da circunferncia:

2 2

2 2x y 10x 0(x 5) y 25

Centro = (5, 0) a = 5, b = 3. Como a2 = b2 + c2, temos: 52 = 32 + c2

c = 4 Logo, a distancia focal 2 . 4 = 8.

COMENTRIO

A questo 01 apresenta gabarito diferente do divulgado pela AMAN, isso permite ao aluno entrar com recurso junto a banca examinadora.


6

MINISTRIO DA DEFESA EXRCITO BRASILEIRO DEP - DFA

ACADEMIA MILITAR DAS AGULHAS NEGRAS (Academia Real Militar/1810)

GABARITO OFICIAL DA PROVA DE MATEMTICA

DO CONCURSO DE ADMISSO AMAN

2005/2006 QUESTES

MODELO A

MODELO B

MODELO C

1 A D D 2 E B B 3 D D D 4 C B B 5 C D C 6 B C E 7 C C B 8 E B E 9 C B E 10 C A A 11 B D A 12 E B D 13 A E C 14 E A C 15 B A D 16 A E B 17 E A D 18 E E C 19 A C B 20 D C A 21 D A A 22 B D E 23 D E A 24 B E E 25 D A E 26 B A E 27 D C D

28 B E B 29 A D C 30 A B B 31 E B A 32 A E A

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