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EM34B
Mecânica dos Fluidos 1Prof. Dr. André Damiani Rocha
arocha@utfpr.edu.br
Aula 03: Estática dos Fluidos
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Aula 03Estática dos Fluidos
O que é?
Trata do estado de forças atuantes no fluido na
ausência de movimento relativo entre as partículas;
Apenas a tensão normal está presente;
Na ausência de movimento relativo, não há
cisalhamento e as nove componentes se reduzem a
apenas três normais que estão na diagonal principal;
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𝜎𝑥𝑥 0 00 𝜎𝑦𝑦 0
0 0 𝜎𝑧𝑧
Aula 03Estática dos Fluidos
Cunha de Fluido
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Aula 03Estática dos Fluidos
Balanço de Forças:
Na direção x
Na direção z
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𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 → 𝑝𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝𝑛𝑑𝑠𝑑𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑧
2𝑑𝑦𝑎𝑥
𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 → 𝑝𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑝𝑛𝑑𝑠𝑑𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑧
2𝑑𝑦 = 𝜌
𝑑𝑥𝑑𝑧
2𝑑𝑦𝑎𝑧
Aula 03Estática dos Fluidos
Balanço de Forças: Fluido em repouso
Na direção x
Na direção z
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se 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑠 → 𝑝𝑥 − 𝑝𝑛 = 0
se 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑠 → 𝑝𝑧 − 𝑝𝑛 − 𝜌𝑔𝑑𝑧
2= 0
𝑝𝑥 = 𝑝𝑛
𝑝𝑧 = 𝑝𝑛 + 𝜌𝑔𝑑𝑧
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Aula 03Estática dos Fluidos
Balanço de Forças: Fluido em repouso
No limite, fazendo dz 0
Como é arbitrário, conclui-se que a pressão p em um
fluido estático é um escalar, independente da
orientação,
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𝑝𝑥 = 𝑝𝑧 = 𝑝𝑛 = 𝑝
Aula 03Estática dos Fluidos
Força de Pressão em um Elemento de Fluido
Elemento de fluido
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Aula 03Estática dos Fluidos
Força de Pressão em um Elemento de Fluido
Seja p a pressão no centro O do elemento;
A pressão em cada face na direção y pode ser
determinada usando expansão em série de Taylor em
torno do ponto O.
Na face esquerda e direita, a força é escrita como:
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𝐹𝑒 = 𝑝 −1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐹𝑑 = 𝑝 +
1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧
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Força de Pressão em um Elemento de Fluido
Balanço de força em y: 2ª Lei de Newton
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𝐹𝑒 − 𝐹𝑑 = 𝜌𝑑∀𝑎𝑦
𝑝 −1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑝 +
1
2
𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑦
−𝜕𝑝
𝜕𝑦= 𝜌𝑎𝑦 →
força
volume
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Força de Pressão em um Elemento de Fluido
Repetindo o mesmo procedimento nas direções x e z:
Na direção x:
Na direção z:
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−𝜕𝑝
𝜕𝑥= 𝜌𝑎𝑥 →
força
volume
−𝜕𝑝
𝜕𝑧= 𝜌𝑎𝑧 →
força
volume
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Resumo: Forças devido à pressão
Na direção x:
Na direção y:
Na direção z:
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−𝜕𝑝
𝜕𝑥=
força
volume
−𝜕𝑝
𝜕𝑦=
força
volume
−𝜕𝑝
𝜕𝑧=
força
volume
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Vetor força/volume devido à pressão
Ou
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−𝜕𝑝
𝜕𝑥 𝑖 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦 𝑗 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧 𝑘
−𝛻𝑝 ≡ −𝜕𝑝
𝜕𝑥 𝑖 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦 𝑗 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧 𝑘
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Força de Campo
Decorrentes de potencial elétrico e/ou gravitacional;
Age sobre todo elemento;
Considerando somente o potencial gravitacional,
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𝐹𝑔 = 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐹𝑔 = 𝜌𝑔 →força
volume
Aula 03Estática dos Fluidos
Balanço de Forças - Total
Pela 2ª Lei de Newton, a soma total dessas forças por
unidade de volume é igual a massa por unidade de
volume vezes a aceleração do fluido.
Para um fluido em repouso (estático)
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Força
Volume= −∇𝑝 + 𝜌 𝑔 = 𝜌𝑎
−∇𝑝 + 𝜌 𝑔 = 0
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Em cada direção
Na direção x:
Na direção y:
Na direção z:
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−𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜌𝑔𝑥 = 0
−𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜌𝑔𝑦 = 0
−𝜕𝑝
𝜕𝑧+ 𝜌𝑔𝑧 = 0
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Considerando a gravidade alinhada com o eixo z,
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𝜕𝑝
𝜕𝑥=
𝜕𝑝
𝜕𝑦= 0 →
𝑑𝑝
𝑑𝑧= −𝜌𝑔 →
A pressão não varia nas direções x e y,
sendo assim, constante nessas direções
A pressão varia linearmente na direção de
z. A pressão diminui a medida que z
aumenta.
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Resolvendo problemas em Estática dos Fluidos
Gravidade constante
Massa específica () = constante (Líquidos)
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𝑑𝑝 = −𝑔 𝜌𝑑𝑧
𝑑𝑝 = −𝑔𝜌 𝑑𝑧
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Resolvendo problemas em Estática dos Fluidos
Massa específica () constante (Gases)
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𝜌 =𝑝
𝑅𝑇𝑑𝑝
𝑑𝑧= −𝜌𝑔
𝑑𝑝
𝑑𝑧= −
𝑝
𝑅𝑇𝑔
𝑑𝑝
𝑝= −
𝑔
𝑅
1
𝑇𝑑𝑧 →
𝑑𝑝
𝑝= −
𝑔
𝑅
1
𝑇𝑑𝑧
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Troposfera
Estratosfera
Isotérmico: 𝑇 = 𝑇0
𝑇 = 𝑇0 − 𝑚𝑧
Na Troposfera
Na Estratosfera
Atmosfera Padrão EUA
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Atmosfera Padrão EUA
Condições a nível do mar (z = 0)
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Atmosfera Padrão EUA
Na Troposfera
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𝑝0
𝑝 𝑑𝑝
𝑝= −
𝑔
𝑅 0
𝑧 𝑑𝑧
𝑇0 − 𝑚𝑧
𝑙𝑛𝑝
𝑝0=
𝑔
𝑚𝑅𝑙𝑛 1 −
𝑚𝑧
𝑇0
𝑝 = 𝑝0
𝑇
𝑇0
𝑔 𝑚𝑅
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Atmosfera Padrão EUA
Na Estratosfera
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𝑝0
𝑝 𝑑𝑝
𝑝= −
𝑔
𝑅𝑇0 0
𝑧
𝑑𝑧
𝑙𝑛𝑝
𝑝0= −
𝑔
𝑅𝑇0𝑧 − 𝑧0
𝑝
𝑝0= 𝑒
−𝑔
𝑅𝑇0𝑧−𝑧0
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Pressão Absoluta e Pressão Manométrica
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𝑝𝑚𝑎𝑛 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝𝑎𝑡𝑚
𝑝𝑎𝑏𝑠
𝑝𝑚𝑎𝑛
Aula 03Estática dos Fluidos
Aplicação em Medidores de Pressão
A aplicação mais simples da estática dos fluidos é o
barômetro, que mede a pressão atmosférica
25 1608-1647
Evangelista
Torricelli
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔𝑔ℎ + 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
A pressão de vapor do
mercúrio é muito pequena(0,16Pa a 20°C), então:
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔𝑔ℎ
Aula 03Estática dos Fluidos
Manômetros
Tubo Piezométrico
Consiste em um tubo vertical, aberto no topo e é fixado no
local onde se deseja medir a pressão.
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𝑃𝐴 = 𝛾1ℎ1
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Manômetros
Tubo em “U”
O tubo em “U” é também utilizado para medir a “diferença
de pressão”.
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𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝛾3ℎ3 + 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
Aula 03Estática dos Fluidos
Manômetros
Tubo Inclinado
O manômetro de tubo inclinado é utilizando para medir
pequenas variações de pressão. Um lado do manômetro é
inclinado em um ângulo .
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𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝛾2𝑙2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1
Aula 03Estática dos Fluidos
Manômetro de Bourdon
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Aula 02Exemplo 01:
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O manômetro B serve para medir a pressão no ponto A
em escoamento de água. Se a pressão em B for de
87kPa, calcule a pressão em A em kPa. Considere que
todos os fluidos estejam a 20°C.
Resposta: PA = 96,4kPa
Solução no quadro
Aula 02Leitura Obrigatória
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Capítulo 03 do Livro-texto: Fox, R. W., McDonald, A. T.,
Pritchard, P. J., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 7ª
Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.
Referências32
Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à
Mecânica dos Fluidos, 7ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.
White, F. M., Mecânica dos Fluidos, 6ª Edição, McGraw-Hill,
Porto Alegre, 2011.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H., Fundamentos
da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.