Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão

Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada

Exercícios

Relações entre tensões e deformações

13 de dezembro de 2012

Relações entre tensões e deformações

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Exercícios

Relações entre tensões e deformaçõesAs relações entre tensões e deformações são estabelecidas apartir deensaios experimentais simples que envolvem apenas uma componentedo tensor de tensões. Ensaios complexos com tensões significativasnas 3 direções ortogonais tornam difíceis as correlações entre astensões e suas correspondentes deformações.Destacam-se:

ensaio de tração

ensaio de compressão

ensaio torção.

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Exercícios

Ensaio de tração

Objetivos:Relacionar tensões normais (σ) e deformações lineares (ǫ);Determinar as propriedades dos materiais;Verificar a qualidade dos mesmos.

→ Corpo de prova (CP): barra reta de seção constante, comprimentoL, diâmetroD e áreaA, na configuração inicial

P PLD

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Exercícios

O ensaio consiste em aplicar ao CP uma cargaP axial de tração queaumenta lenta e gradualmente (carga “estática”), até sua ruptura.Mede-se, durante o ensaio, a cargaP, a variação do comprimentoL(∆L) e do diâmetroD (∆D)

P PLD

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Exercícios

Tensor de tensões:

x

y

z

P

Figura :Referencial adotado

σ =

σx 0 00 0 00 0 0

=

P/A 0 00 0 00 0 0

(1)

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Exercícios

Quais são as deformações causadas pela tração aplicada ao CP?

x

y

a

b c

d

antes do carregamento

depois do carregamento

Figura :Deformações no ensaio de tração

não sofre distorções angulares

alongamento dos ladosbc e ad→ ǫxencurtamento dos ladosab e cd→ ǫy

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Exercícios

x

y

a

b c

d

antes do carregamento

depois do carregamento

σx causaǫx, ǫy e ǫz;

σy causaǫx, ǫy e ǫz;

σz causaǫx, ǫy e ǫz;

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Exercícios

→ Traça-se, durante o ensaio, um gráfico contendo no eixo vertical osvalores da cargaP e no eixo horizontal o alongamento∆L

σ = PA

ǫ = ∆LL

P

∆L

(a) DiagramaP×∆L

ε

σ

x

x

(b) Diagramaσx × ǫx - Tensão-deformação

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Exercícios

Tipos de diagramas tensão×A forma do diagrama depende do tipo de material deformaçãoobtidos dos ensaios:

εx

σx

5 %

R

1

2

α

(c) Material Frágil

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

(d) Material dútil sem pata-mar de escoamento

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

(e) Material dútil com pata-mar de escoamento

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Exercícios

Materiais frágeis (concreto, vidro): a ruptura (pontoR) se dá paravaloresǫx < 5 %;

εx

σx

5 %

R

1

2

α

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Exercícios

Material dútil sem patamar de escoamento definido(açosespeciais com alto teor de carbono). A ruptura (pontoR) se dá paravaloresǫx >> 5 % e o material não apresenta patamar de escoamento.

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

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Exercícios

Material dútil com escoamento definido(aços comuns, com baixoteor de carbono). A ruptura (pontoR) se dá para valoresǫx >> 5 % e omaterial apresenta patamar de escoamento.

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

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Exercícios

Principais características dos materiais obtidas do ensaioI – Ponto 1 – limite de proporcionalidade: define o nível de tensão apartir do qual o material deixa de ter comportamento linear.

εx

σx

5 %

R

1

2

α

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

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Principais características dos materiais obtidas do ensaioII – Ponto 2 – limite de elasticidade. Quando o CP é carregadoacima deste limite, não retorna a sua configuração inicial quandodescarregado. Acima deste ponto passam a existir deformaçõespermanentes ou plásticas.No aço os limites de elasticidade e proporcionalidade são muitopróximos, tanto que normalmente não se faz muita diferença entreesses dois níveis de tensão. Materiais que possuem estes dois limitesmuito próximos são chamados demateriais elásticos lineares.

εx

σx

5 %

R

1

2

α

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

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Principais características dos materiais obtidas do ensaioIII – Ponto 3 – tensão ou ponto de escoamento. Tensão ou ponto deescoamento que caracteriza o início do comportamento não linearelástico.→ aços com baixo teor de carbono: diretamente da curvatensão-deformação.→ aços especiais com alto teor de carbono arbitrado como sendoatensão que provoca uma pequena deformação residual de 0,2 % apóso descarregamento.

εx

σx

5 %

R

1

2

α

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

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Principais características dos materiais obtidas do ensaioIV – Módulo de elasticidade – E. Durante a fase elástica linear arelação entre a tensãoσx e a deformaçãoǫx é linear→ Lei de Hooke(Robert Hooke, Londres, 1635 a 1703)

σx = tanα ǫx = E ǫx

εx

σx

5 %

R

1

2

α

εx

σx

5 %

R

0,2 %

12

3

α

εx

σx

R

3 42

1

5 %

α

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Principais características dos materiais obtidas do ensaioV – Coeficiente dePoisson ν. Além de gerar deformaçõesǫx, a tensãoσx gera deformações lineares nas direções transversais (ǫy e ǫz)

x

y

a

b c

d

antes do carregamento

depois do carregamento

ǫy =∆DD e ǫz = ∆D

D

→ ǫx, ǫy e ǫz: obtidos experimentalmente com as medidas dosextensômetros

ǫyǫx= constante= −ν

ǫzǫx= constante= −ν

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Exercícios

Relações entre a tensãoσx e as deformaçõesǫx, ǫx e ǫz

ǫy = −ν ǫx

ǫz = −ν ǫx

Substituindoσx = tanα ǫx = E ǫx (Lei de Hooke), chega-se ás relaçõesentre tensões normais e deformaçõs transversais:

ǫy = −νσx

E(2)

ǫz = −νσx

E(3)

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Caso estivessem atuando simultaneamenteσx, σy eσz:

ǫx = +σx

E− νσy

E− νσz

E(4)

ǫy = −νσx

E+σy

E− νσz

E(5)

ǫz = −νσx

E− νσy

E+σz

E(6)

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Ensaio de Compressão

É semelhante ao ensaio de tração, mas o CP deve ter dimensõesadequadas para se evitar a flambagem. Para materiais metálicos osCPs devem ser de tal forma que a razãoL/D deve se situar entre 2 e 4(ou entre 3 e 8, segundo alguns autores ).O ensaio de compressão do aço apresenta um diagrama semelhante aoensaio de tração na fase elástica. Admite-se que as constanteselásticasE eν obtidas experimentalmente são as mesmas para traçãoou compressão (postulado da isotropia) .

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Ensaio de torção

→ Alternativa ao ensaio de cisalhamento→ Aplica-se um torque num CP analisando as distorções angulares

αa b

→ Verifica-se experimentalmente que, para pequenas deformações, avariação da dimensão do segmentoab pode ser desprezada→ asdeformações medidas no ensaio de torção sãodistorções angulares.

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Lei de Hooke para o ensaio de torção

τxy = tanα γxy = Gγxy

G→Módulo de Elasticidade Transversale é uma outracaracterística do material.

Relações entre tensões cisalhantes e distorções angulares

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

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Lei de Hooke generalizada

G = E2(1+ν)

ǫxǫyǫzγxy

γxz

γyz

=

1/E −ν/E −ν/E 0 0 0−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0

0 0 0 1/G 0 00 0 0 0 1/G 00 0 0 0 0 1/G

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyz

(7)

Na forma matricial compacta:

ǫ = D−1σ σ = Dǫ

ondeD é chamada de matriz constitutiva do material.Relações entre tensões e deformações

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Tabela :Constantes elásticas de alguns materiais

Material E (GPa) G (GPa) ν σe µ

(MPa) (kg/m3)

Aço CA-25 210 79 0,33 250 7860Aço CA-50 210 79 0,33 500 7860Aço CA-60 210 79 0,33 600 7860Aço CP-150 210 79 0,33 1500 7860

Aço ASTM A-36 253 7860

Concreto 22 a 30 � 0,1 15 a 40 2400

Alumínio 69 26 0,33 290 2710

Titânio 114 825 4460

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1 Um pequeno bloco cilíndrico de alumínio 6061-T6, comdiâmetro original de 20mm e comprimento de 75mm, é colocadoem uma máquina de compressão e comprimido até que a cargaaxial aplicada seja de 5kN. Determinar:a) o decréscimo de seu comprimento.b) seu novo diâmetro.Resposta: a)∆L = −0,0173mm b) d= 20,00162mm

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2 Um corpo de prova padronizado, de aço, com 13 mm dediâmetro, sujeito a uma força de tração de 29,5 kN teve umalongamento de 0,216 mm para um comprimento de 200 mm.Admitindo-se que não foi superado o limite deproporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidadelongitudinal do aço.Resposta:E = 206 GPa

3 Um pequeno bloco cilíndrico de bronze C86100(coeficiente dePoisson= 0,34),com diâmetro original de 1,5 cm e comprimentode 3 cm, é colocado em uma maquina de compressão ecomprimido até que seu comprimento se torne 2,98 cm.Determinar o novo diâmetro do bloco. Resposta: d= 1,5034 cm.

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