Ensino Superior

3 – Transformada de Laplace

Amintas Paiva Afonso

Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Sumário

3.1 Introdução

3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas.

3.3 Transformada de Laplace.

3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.

3.5 Transformada inversa de Laplace.

3.1 Introdução

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

0dte st

f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0

s = uma variável complexa

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace

Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

0

dttfesF st )()(L [f(t)]= Desde que a integral convirja

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.

Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por

0

))((L)()( tfdttfesF st

Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.

3.2 Definição da Transformada de Laplace

• Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável

complexa s.

• A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.

• Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.

• Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em

uma equação algébrica em uma variável complexa s.

3.2 Definição da Transformada de Laplace

• Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace.

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Vantagens da Transformada de Laplace

• Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente;

• Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas;

• Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais.

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Aplicando a Definição

Exemplo 1:

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Exemplo 2:

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Exemplo 3:

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Exemplo 4:

3.2 Definição da Transformada de Laplace

3.2 Definição da Transformada de Laplace

Transformação Linear

Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s.

Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim:

a

A

aAdttfdttf )(lim)(

Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t 1, então

1)/1( dtt

Converge?

Adttdttdttf

A

AAlnlim)/1(lim)/1()(

11 1

Logo, a integral imprópria diverge.

2?)( divergedttf

Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t 2, então a integral

Temos que:

2/1)/1(lim)/1(lim)/1( |22

2

2

2

A

A

A

Atdttdtt

Logo a integral dada converge para o valor 1/2.

Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t a, se |f(t)| g(t) quando t M para alguma constante positiva M e se

aMdttfentãoconvergedttg )(,)(

também converge. Por outro lado, se f(t) g(t) 0 para t M e se

aMdttfentãodivergedttg )(,)(

também diverge.

Teorema: (Existência da transformada de Laplace).

Suponha que:

1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo;

2) |f(t)| Keat quando t M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação

L [f(t)] = F(s) = ,)(0

dttfe st

Existe para s > a.

Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t 0. Então

01

1100

ss

dtedteLA

st

A

st .lim)(

Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t 0. Então

00

sdtatsenesFatsenL st ,)()())((

Temos integrando por partes

])cos()cos(

[lim)(00

| dtatea

s

a

atesF

A stAst

A

Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0

Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t 0, então

dtedteesFeL tasatstat

0

)(

0)()(

L

F(s)

aF(s) + bF(s)

sF(s) – f(0)

s 2F(s) - sf(0) - f’(0)

f(t)

af(t) + bf(t)

f ’(t)

f ”(t)

Transformada de Laplace

Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A.

Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at para t M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0).

Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at , |f’(t)| ke at ...|f(n-1)(t)| ke at para t M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por

L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).

Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.

Por definição e tabela de transformada, temos:

F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3.

Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.

Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t usando equação característica.

Usando transformada de Laplace, temos:

L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0,

s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0

ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0

Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)]

que acaba chegando à mesma solução.

Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.

Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0

s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0.

Como L[y] = Y(s), temos:

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0

Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0

Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2)

Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2)

Consultando a tabela de Laplace, temos

Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t)

Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.

Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)

sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = 1 + 1 / (s2 + 1)

Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1)

Separando em frações, temos:

1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1)

Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então

Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)]

Logo:

y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))

Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por

ct

ctc

,

,

0

1

A função de Laplace de c é determinada por

0,)()({0

ss

edtedttetL

cs

c

stc

stc

y

t

1

c

y = 1 - c

t

y

c

1

y = c (t)

Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então

L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a

Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então

µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)]

Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c

Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.

Exemplo 10: Usando a função atseoaatsec

,0

,,1

Reescreva a função atseatseattf

,0,),sen()(

Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t - a)

ou

atseatseatga atgttf

,0,),()()()(

Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então

sp

p st

e

dttfetfL

10

)()]([

Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é

1

1 2 3 4t

f(t)

Neste caso, f é periódica com período 2, donde

)(

)(

)()]([

s

ss

st

s

st

es

ese

e

dte

e

dttfetfL

11

11

11 2

1

2

1

02

2

0

Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0 t < 1, f(t +1) = f(t).

s

st

e

tdtetfL

1

1

0)]([

Integrando por partes, temos

[1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]

Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x) E.

A convolução de f(x) e g(x) é dada por

.)()()().(0 x

dttxgtfxgxf

Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e

xxx txtxx t eedteedteexgxf 23

0

2)(2

0

3)().(

Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então

L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)