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Modelagem Analítica
Capítulo I
Equações Diferenciais
I.1 – Introdução
As Equações Diferenciais são sentenças matemáticas
envolvendo derivadas ou diferenciais de funções. São denominadas
de equações diferenciais ordinárias quando contém derivadas em
uma única variável independente. São denominadas de equações
diferenciais parciais se incluem termos envolvendo derivadas
parciais de funções em múltiplas variáveis independentes.
Como exemplos de Equações Diferenciais Ordinárias
podem-se apresentar as sentenças matemáticas:
01xdx
dy 2 (I.1)
0dx)1y(dy)1x( 22 (I.2)
2
Exemplos de Equações Diferenciais Parciais, por sua vez,
seriam as sentenças matemáticas:
1yx)1t(t
zx
y
z
x
z 22
(I.3)
t
uc
z
u
y
u
x
u2
2
2
2
2
2
(I.4)
A modelagem de muitas leis físicas ligadas à aplicação da
Engenharia resulta em equações diferenciais. Dentre os exemplos
destacam-se: O fenômeno do escoamento em meio fluido; os
problemas da difusão química e de calor; a flambagem de colunas;
as deformações estruturais; o adensamento das argilas saturadas; a
propagação de ondas. . .
Este capítulo tratará essencialmente das equações
diferenciais ordinárias apresentando-se em seu conteúdo técnicas
de resolução aplicáveis aos tipos mais freqüentes de equações
dessa natureza.
Antes de dar prosseguimento à abordagem do presente
tema, convém, a priori, apresentar notações de derivadas utilizadas
nesse texto. Assim, por exemplo, “y(k)
” representa a derivada de
ordem “k” de uma função “y = f(x)”, em ralação à variável
independente “x”. “y(0)
” representa a derivada de ordem “zero” de
uma função “f(x)”, em ralação à variável independente “x”, e,
portanto, a própria função.
3
Uma equação da forma:
0)y,...,y,y,y,x(F )n()2()1( (I.5)
onde “y” e suas sucessivas derivadas “y(k)
” são funções,
exclusivamente, de uma única variável “x”, é denominada de
equação diferencial ordinária de ordem “n”.
A ordem de uma equação diferencial definida como sendo a
maior ordem das derivadas ou diferenciais que constam na referida
equação assim x2y )1( , é uma equação diferencial ordinária de
primeira ordem enquanto 0y15]y[xy 2)1(2)2( , é uma
equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Se a função “F”, equação I.5, é uma função polinomial
então, o seu grau é o maior expoente associado à derivada ou
diferencial de maior ordem. Assim, a equação
x5)2(24)3( exy4]y[x]y[ é de quarto grau, ao passo que a
equação )1(32)4( yx1]y[ é de segundo grau.
Uma função “f” é solução de uma equação diferencial se,
uma vez substituindo “y = f(x)” nessa equação diferencial, resulta
uma identidade. Diante de tal definição, a função cx)x(f 2 , por
exemplo, é solução geral da equação diferencial 0x2y )1( . De
fato, substituindo f(x) na equação diferencial resulta:
4
0x2dx
)cx(d 2
000x2x2 ,
reduzindo-se, portanto, a uma identidade. Ou seja, 0 = 0.
Tal verificação poderia seguir seqüência de raciocínio
alternativa, como por exemplo:
0x2dx
)cx(d 2
x2dx
)cx(d 2
x2x2
Que, igualmente, reduziu-se à identidade 2x = 2x.
A função solução cx)x(f 2 , incluindo a constante “c” é
denominada solução geral da equação diferencial. A constante “c”
recebe a denominação de Constante de Integração ou Constante
Arbitrária. A função solução cx)x(f 2 , é representada
graficamente mediante uma família de parábolas, figura I.1, na qual
cada membro é caracterizado por um valor particular de “c”.
5
Figura III.1 – Representação gráfica da função solução
Fixando-se um valor específico para “c” a função “f(x)” se
transforma em uma solução particular.
A função x21 e)xcosCsenxC()x(fy é solução da
equação diferencial 0y2dx
dy2
dx
yd2
2
, pois:
x2121 e]xcos)CC(senx)CC[(
dx
dy e,
x122
2
e)xcosCsenxC(2dx
yd
Levando-se y = f(x) e estas expressões de sua primeira e
sua segunda derivada na equação diferencial resulta:
6
0e)xcosCsenxC(2
e]xcos)CC(senx)CC[(2e)xcosCsenxC(2
x21
x2121
x12
0e]xcos)CCCC(senx)CCCC[(2 x22111212
Uma vez que os termos no interior de ambos os parênteses
são nulos resulta:
00
que é uma identidade.
A função 2)x(fy , entretanto, não é solução da
equação diferencial 0y2dx
dy2
dx
yd2
2
, pois:
04)2(2dx
)2(d2
dx
)2(d2
2
-
Uma solução geral de uma equação diferencial deve conter
tantas constantes arbitrárias independentes quanto for a sua ordem.
Em assim sendo, as funções solução das equações diferenciais:
y(1)
= 2x; y(2)
= 25y; e, y(4)
= 100y + 1;
precisam apresentar, respectivamente, uma, duas, e quatro
constantes arbitrárias independentes para, desta forma,
constituírem, soluções gerais. Entenda-se que, as constantes
arbitrárias de uma função são independentes, quando não puderem
7
ser reduzidas a um total menor de constantes, sem induzir em
alteração do conteúdo matemático da função. Em outras palavras,
quando a função solução de uma equação diferencial de ordem “n”,
puder ser escrita mediante a forma de uma combinação linear do
tipo:
nn2211 yc . . . . ycycy (I.6)
sendo as funções y1, y2, . . ., yn, linearmente independentes, ou seja:
nk1ni1kiCyy ki (I.7)
então tal função é solução geral. Neste ponto, convém ressaltar,
inclusive, que, se um conjunto de funções y1, y2, . . ., yn são soluções
de certa equação diferencial, então, qualquer combinação linear
envolvendo tais funções também é solução da referida equação
diferencial.
Exercícios Propostos:
1 – Verificar se as funções são solução das equações diferenciais
ao lado apresentadas:
a - ) x22
x1 ecec)x(f 0y2
dx
dy3
dx
yd2
2
; e,
b - ) x3ce)x(f 0y3dx
dy .
8
I.2 - Equações Diferenciais Separáveis
Equações diferenciais separáveis são aquelas que se
apresentam sob a forma de sentenças matemáticas nas quais as
variáveis “x” e “y” podem ser isoladas em termos distintos, mediante
transformações algébricas elementares. Em suma, representa um
grupo especial de equações diferenciais que se apresentam
mediante a forma:
0y)y(N)x(M )1( (I.8)
onde “M” e “N” são funções contínuas.
Exercício I.1: Encontrar a solução geral da equação diferencial:
0xdx
dy
Para resolver esta equação, procede-se inicialmente à
separação de variáveis, isolando os termos na variável "y" no
primeiro membro, e, aqueles na variável "x" no segundo membro.
Desta forma, a equação diferencial poderia assumir a forma:
xdxdy
9
Em seguida, aplica-se à forma resultante, a integração
membro a membro, acompanhada da introdução da constante
arbitrária de integração. Assim procedendo ter-se-ia para solução
geral:
cx2
1y 2
Exercício I.2: Encontrar a solução geral da equação diferencial:
0y2dx
dy
Separando-se as variáveis tem-se:
dx2dyy
10y2
dx
dy
Integrando-se a segunda igualdade membro a membro e
introduzindo-se a constante arbitrária apropriadamente, resulta:
Cx2)ylog(
Observe-se que o objetivo é encontrar a função y = f(x) que
satisfaça a sentença matemática definida pela equação objeto de
resolução. A forma acima ainda não apresenta tal função de forma
explícita. Para obtê-la faz-se necessário neutralizar a função
logarítmica, o que se consegue a partir da aplicação da
exponenciação membro a membro. Assim procedendo-se a função
10
solução da equação diferencial objeto de resolução pode assumir a
forma:
Cx2)Cx2( e.eey
Uma vez que “c” é uma constante arbitrária “eC” também o
será, e, portanto:
x2Cx2)Cx2( e.e.eey
desde que “β = eC”. A constante “β” assim definida passa a
desempenhar o papel de constante arbitrária.
Se uma dada função “f” é solução da equação diferencial
(I.8), então:
0)x(f))x(f(N)x(M )1( (I.9)
Se “f(1)
(x)” é contínua a integração de (I.9) resulta em:
C)x(f))x(f(Ndx)x(M )1( (I.10)
“c” representa a constante de integração. A equação (I.10) pode ser
escrita alternativamente na forma:
Cdy)y(Ndx)x(M (I.11)
11
Exercícios propostos:
2 – Resolver as equações diferenciais:
a - ) 0ydxxdy ; e, b - ) 0xdxcosdy .
I.3 - Equações Diferenciais Redutíveis à Forma Separável
São equações que originalmente não são separáveis,
entretanto, mediante artifício especial podem ser transformadas em
equações dessa modalidade. Para o seu reconhecimento vale
ressaltar que elas apresentam, ou, mediante transformações
algébricas elementares pertinentes podem assumir, a forma especial
de expressão do tipo:
)x/y(gdx
dy (I.12)
Para sua resolução consideremos a parametrização
x/yu . Ou seja:
dx
duxu
dx
dyuxy (I.13)
Comparando-se (I.12) e (I.13) resulta:
dx
duxu)u(g (I.14)
12
que é uma equação diferencial separável, cuja solução é uma
função “u(x)”, resultando como solução final x)x(uy .
Exercício I.3: Obter a solução geral da equação diferencial
1x
y
dx
dy .
Observe-se que a equação objeto de resolução não é
separável, entretanto, mas pode ser transformada em:
)x/y(g1x
y
dx
dy
Forma esta que Indica tratar-se de equação redutível à
forma separável.
Fazendo-se x/yu tem-se:
1u1x
y
dx
dy (I.15)
Mas, se xyu / então:
dx
duxu
dx
dyuxy (I.16)
Comparando-se as equações (I.15) e I.16) resulta:
u1dx
duxu
13
que uma vez reordenada leva a:
dxx
1du
Integrando-se esta última expressão membro a membro e
introduzindo-se a constante arbitrária apropriada obtém-se:
B)xlog(u
Ao invés desta forma, por questões de facilidade de ordem
algébrica, é mais prático adotar-se a versão alternativa:
)Clog()xlog(u (I.17)
Tal opção é consistente na medida em que, se "C" é
constante arbitrária seu logaritmo também o será. Logo, o )Clog(
assume o papel da constante de integração.
Recorrendo-se às propriedades envolvendo operações com
logaritmos em (I.17), resulta:
)Cxlog()Clog()xlog(u
de modo que a solução geral procurada será:
)Cxlog(xuxy
14
Exercício I.4: Obter a solução geral da equação diferencial
1x
y
x
y
dx
dy2
.
Examinando-se a equação diferencial objeto de resolução
constata-se que ela não é separável. Entretanto, pode ser
transformada em:
)x/y(g1x
y
x
y
dx
dy2
Em sendo assim, a equação diferencial é redutível à forma
separável.
Fazendo-se xyu / tem-se:
1uu1x
y
x
y
dx
dy 22
(I.18)
Uma vez que x/yu então:
dx
duxu
dx
dyuxy (I.19)
Comparando-se as equações (I.18) e I.19) resulta:
1uudx
duxu 2
15
que pode assumir a forma:
22 )1u(1u2udx
dux
Reordenando-se esta última expressão obtém-se:
dxx
1du
)1u(
12
A Integração membro a membro desta última expressão
seguida da introdução da constante arbitrária apropriada resulta
permite escrevê-la na forma:
)Cxlog()Clog()xlog(1u
1
E, após transformações algébricas pertinentes obtém-se:
)Cxlog(
11u
A solução geral será então:
)Cxlog(
11.xu.xy
16
Exercícios propostos:
3 – Resolver a equação diferencial:
a - ) 0yxdx
dyx ; e, b - ) 01
x
y
dx
dy
y
x
I.4 - Equações Diferenciais Exatas
Uma equação diferencial que pode ser escrita sob a forma:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.20)
constitui uma equação diferencial exata se o seu primeiro membro
representar uma diferencial total ou exata de uma função “u(x,y)”.
Ou seja, se:
dyy
udx
x
ududy)y,x(Ndx)y,x(M
(I.21)
Uma vez que du = M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, então, u(x,y) = c,
onde “c” é uma constante real.
Comparando-se (I.20) e (I.21) conclui-se que:
)y,x(Ny
u)y,x(M
x
u
(I.22)
17
Se “M” e “N” são definidas e admitem derivadas parciais de
primeira ordem:
xy
u
x
N
yx
u
y
M 22
Admitindo-se a continuidade:
xy
u
yx
u 22
x
N
y
M
que representa condição necessária e suficiente para que a
equação (I.20) seja uma equação diferencial exata.
Para sua resolução obtém-se a função “u(x,y)” a partir da
integração em relação a “x” da primeira das equações (I.22). Assim:
)y(kdx)y,x(M)y,x(u (I.23)
para a equação I.23 “k” é constante em “x” podendo ser variável em
“y”. Derivando-se a equação (I.23) em relação a “y” e considerando-
se a segunda das equações (I.22), então:
)y,x(N
dy
)y(kddx)y,x(M
dy
d
y
u
Ou:
18
dx)y,x(M
dy
d)y,x(N
dy
)y(kd
e, finalmente:
Cdydx)y,x(M
dy
d)y,x(N)y(k
Exercício I.5: Resolver a equação diferencial 0xdx
dy .
Mediante transformações algébricas elementares esta
equação pode assumir a forma:
0dyxdx
que é da forma 0dy)y,x(Ndx)y,x(M , desde que se faça
1)y,x(Nx)y,x(M .
0y
x
y
M
e 0
x
)1(
x
N
De modo que x
N
y
M
, e, portanto a equação diferencial é
exata. Para resolvê-la deveremos considerar que:
)y,x(Ny
u)y,x(M
x
u
(I.24)
19
Da primeira dessas identidades resulta:
xxuxx
ux)y,x(M
x
u
Integrando-se esta última identidade membro a membro e
introduzindo-se a constante arbitrária fica:
)y(kx2
1u 2 (I.25)
Como já mencionado, “k” é constante em “x” podendo ser
variável em “y”. Derivando-se a expressão (I.25) em "y" e
considerando-se a segunda das identidades da expressão (I.24),
tem-se:
1)y,x(Ndy
)y(dk0
y
)y(kx2
1
y
u
2
De modo que 1dy
)y(dk .
Temos assim uma noa equação diferencial que é na variável
"y" e separável. Resolvendo-a mediante a técnica de separação de
variáveis obtém-se:
Dykdy)y(dk1dy
)y(dk
20
sendo "D" uma constante arbitrária. Substituindo-se esta expressão
para "k" na equação (I,25), e, lembrando-se que u(x,y) = c, onde “c”
é uma constante real, resulta:
cDx2
1ycDyx
2
1u 22
Considerando-se que tanto "c" quanto "D" são constantes
arbitrárias, então cDE também o será, logo:
Ex2
1y 2
representa a solução da equação diferencial objeto de resolução.
Observe-se que a presente equação diferencial já foi resolvida na
seção I.2, de modo que a solução ali obtida é idêntica à encontrada
nesta seção. Do ponto de vista prático, sua resolução a partir da
presente técnica não teria muito vantagem, pois, o procedimento ora
apresentado é bem mais trabalhoso. Entretanto, utilizou-se esta
técnica nesta seção, simplesmente, como exercício de sua
aplicação. Considerando-se que em problemas de Engenharia,
assim como acontece com problemas afetos a outros segmentos
profissionais, é oportuna a aplicação das técnicas mais simples
possíveis, quando da resolução de um problema envolvendo
equações diferenciais, a primeira providência a tomar é identificar o
seu tipo. Caso seja separável, deve-se resolvê-la mediante o
emprego desta técnica. Constatando-se que ela não é separável,
deve-se verificar se ela é redutível à forma separável, e, em assim
sendo, empregar o procedimento correspondente. Em se
21
constatando que a equação não é separável nem redutível à forma
separável, deve-se transformá-la para a expressão do tipo:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.26)
e tentar resolvê-la mediante a técnica concernente à resolução de
equações diferenciais exatas.
Exercício I.6: Resolver a equação diferencial
0xdydx)ye( x
A equação objeto de resolução é da forma:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
desde que se faça x)y,x(Nye)y,x(M x ∧ . Neste
caso:
1y
M
∂
∂ e 1
x
N
∂
∂
De modo que x
N
y
M
, e, portanto a equação diferencial é
exata. Para resolvê-la deveremos considerar que:
)y,x(Ny
u)y,x(M
x
u
(I.27)
22
Da primeira dessas identidades resulta:
xe(uex
ue)y,x(M
x
u xxx y)∂+=∂y+=∂
∂∧y+==
∂
∂
Integrando-se esta última identidade membro a membro e
introduzindo-se a constante arbitrária fica:
)y(kxyeu x ++= (I.28)
sendo “k” constante em “x”, podendo ser variável em “y”.
Derivando-se a expressão (I.28) em "y" e considerando-se a
segunda das identidades da expressão (I.27), tem-se:
0dy
)y(dk)y,x(N
dy
)y(dkx0
y
u x
∂
∂
E assim, “k” também é constante na variável “y”.
Lembrando-se que u(x,y) = c, onde “c” é uma constante real,
resulta:
xyeckxyeu xx
Desde que β = c – k. Assim:
x/)e(y x
representa a solução da equação diferencial objeto de resolução.
23
Exercícios propostos:
4 – Mostrar que as equações diferenciais são exatas e resolvê-las:
a - ) 0xydy2dxy2 ; e, b - ) 0ydyxdxcos
I.5 - Equações Diferenciais Redutíveis à Forma Exata
Equações diferenciais não exatas podem ser transformadas
em equações diferenciais exatas mediante a sua multiplicação por
uma função particular, denominada fator integrante.
Se a equação diferencial:
0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.29)
não é exata e “F” é um fator integrante para ela então a equação:
0dy)y,x(Qdx)y,x(P).x(F (I.30)
passa a ser uma equação diferencial exata, de forma que:
0dyy
udx
x
udu
dy)y,x(Ndx)y,x(Mdy)y,x(Q)x(Fdx)y,x(P).x(F
24
sendo:
)y,x(Q)x(F)y,x(N)y,x(P).x(F)y,x(M (I.31)
tendo-se, du = 0, e, conseqüentemente u(x,y) = c, “c” constante
real, e:
)y,x(Ny
u)y,x(M
x
u
com
x
N
y
M
.
Pode-se provar que )x(ge)x(F desde que:
dx)x(h)x(g e Q
x
Q
y
P
)x(h
(I.32)
Uma vez tendo sido determinado o fator integrante, a nova
equação diferencial:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M (I.33)
pode ser resolvida recorrendo-se ao procedimento resolutivo
aplicado às equações diferencias exatas, apresentado na seção I.4.
A solução “y = f(x)” obtida também é solução da equação diferencial
objeto de resolução:
0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.34)
25
pois, se para y = f(x):
dy)y,x(Ndx)y,x(M 0dy)y,x(Q)x(Fdx)y,x(P).x(F (I.35)
então:
0dy)y,x(Qdx)y,x(P).x(F (I.36)
Como “F(x)” tem de ser uma função não identicamente nula,
então, realmente, para y = f(x), tem-se:
0dy)y,x(Qdx)y,x(P (I.37)
O que comprova que f(x) também é solução da equação
diferencial objeto de resolução.
Exercício I.7: Resolver a equação diferencial:
0dyxdx)yx1( 32
Observe-se que ela é da forma 0dy)y,x(Qdx)y,x(P ,
desde que se considere )yx1()y,x(P 2 e 3x)y,x(Q . Para
saber se a equação diferencial é exata basta verificar se:
x
Q
y
P
26
22
xy
)yx1(
y
P
e 2
3
x3x
x
x
Q
E, portanto:
x
Q
y
P
então, a equação diferencial não é exata, necessitando-se, portanto,
determinar um fator integrante "F" o qual representa função que,
uma vez multiplicada por uma equação diferencial não exata, a
transforma-a em uma equação diferencial exata. Para este caso:
x
2
x
x3x
Q
x
Q
y
P
)x(h3
22
)xlog()xlog(2dxx
2dx)x(h)x(g 2
2)2xlog(
)2xlog()x(g
x
1
e
1ee)x(F
Para verificar se "F(x)" é fator integrante basta multiplicá-lo
pela equação objetivo de resolução e verificar se a equação
resultante é exata. Multiplicando-se “F(x)” pela equação diferencial
objeto de resolução obtém-se:
27
0xdydx)yx
1(
dyxx
1dx)yx1.(
x
1dyxdx)yx1(.
x
1
2
3
2
2
2
32
2
Observe-se que, se x)y,x(N)yx
1()y,x(M
2 , a
equação 0xdydx)yx
1(
2 é da forma:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
Para o presente caso:
1y
)yx
1(
y
M 2
e 1
x
)x(
x
N
de modo que
x
N
y
M
, e,
portanto, a equação diferencial 0xdydx)yx
1(
2 é exata, e,
consequentemente, 2x
1)x(F , é, na verdade um fator integrante,
para a equação objeto de resolução.
Para obtenção da solução geral da equação diferencial
basta aplicar a técnica tratada na seção I.4. Assim procedendo, tem-
se:
x)yx
1(u)y
x
1(
x
u)y
x
1()y,x(M
x
u222
28
Integrando-se esta última identidade membro a membro e
introduzindo-se a constante arbitrária fica:
)y(kxyx
1u
onde “k” é constante na variável “x”, mas, pode não o ser na variável
“y”. Derivando-se esta expressão em "y" e considerando-se que
)y,x(Ny
u
vem:
x)y,x(Ndy
)y(dkx
y
)y(kxyx
1
y
u
e, assim, 0dy
)y(dkx
dy
)y(dkx , de modo que “k” também é
constante na variável “y”, resultando:
kxyx
1u
Uma vez que u(x,y) = c, onde “c” é uma constante real,
resulta:
ckxyx
u 1
29
Desta última equação pode-se deduzir que:
kcxyx
1ckxy
x
1
Logo:
xxyxy
x
111
Assim x
1
x
1y
representa a solução geral procurada.
Exercícios Propostos:
5 - ) Determinar o fator integrante e utilizar a técnica de resolução de
equações diferenciais exatas para resolver as equações diferenciais:
a - ) 0xdyydx2 ; e, b - ) 0dydx)yx2(
I.6 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares
As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares são equações
diferenciais ordinárias que são lineares na respectiva função solução
e em suas derivadas.
30
Diante desta definição conclui-se que equações diferenciais
deste tipo podem ser escritas mediante a forma:
)x(hy)x(gdx
dy)x(g
dx
yd)x(g
dx
yd121n
1n
nn
n
(I.38)
onde as funções “gk(x)” são os coeficientes da equação diferencial.
Se k 0dx
)x(dgk então a equação diferencial é de
coeficientes constantes.
Se 0)x(h então a equação diferencial é homogênea.
Caso contrário ela é não-homogênea.
I.6.1 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira
Ordem Homogêneas
As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira
Ordem Homogêneas são aquelas que podem ser escritas na forma:
0y)x(gdx
dy1 (I.39)
Sua solução e obtida mediante o procedimento resolutivo de
separação de variáveis. Se g1(x) for constante, então sua função
solução é da forma xe)x(fy , onde “ ” representa uma
constante do universo dos números reais.
31
Exercícios propostos:
6 - ) Resolver as equações diferenciais:
a - ) 0 ydx
dy; b - ) 0 ye
dx
dy x;
I.6.2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda
Ordem Homogêneas
As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda
Ordem Homogêneas São aquelas que podem ser escritas sob a
forma:
0y)x(gdx
dy)x(g
dx
yd122
2
(I.40)
Sendo de coeficientes constantes assumem a forma:
0ydx
dy
dx
yd122
2
(I.41)
Sua resolução basear-se-á em procedimento que toma
proveito de funções similares àquelas que são solução das
equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem
32
homogêneas de coeficientes constantes. Diante desta proposta tais
soluções seriam funções da forma:
xe)x(fy
Uma vez que “ ” é constante as derivadas pertinentes da
função xe)x(fy serão:
xe.dx
dy e x2
2
2
e.dx
yd
Substituindo-se tais derivadas na equação diferencial a
resolver, obtém-se:
0e.e.e. x1
x2
x2
e, conseqüentemente:
0e. x12
2 .
00e 122x (I.42)
A equação I.42 é denominada equação característica da
equação diferencial. Observe que tal sentença matemática
representa uma equação de grau igual à ordem da equação
diferencial objeto de resolução, neste caso de segunda ordem, e,
portanto, do segundo grau. Além do mais, ela apresenta os mesmos
coeficientes de tal equação diferencial. Ou seja, o coeficiente do
33
termo de grau “k” da equação característica é o mesmo coeficiente
da derivada de ordem “k” da equação diferencial objeto de
resolução.
Da resolução da equação característica obtém-se os valores
de “ ” para os quais a função xe)x(fy representa solução da
equação diferencial a resolver.
Em se tratando de uma equação do segundo grau, a
equação característica pode apresentar três tipos de solução. Em
um primeiro tipo teríamos o caso em que a equação característica
admite duas raízes do universo dos números reais. Em um segundo
tipo teríamos o caso em que a equação característica admite raiz
real. E, finalmente, Em um terceiro caso a equação característica
admite duas raízes do universo dos números complexos. É evidente
que, conforme o caso, a equação diferencial correspondente
apresentará tipo próprio de solução de modo que as próximas
seções trataram de cada um desses casos, separadamente.
I.6.2.1 – A Equação Característica Admite Duas Raízes Reais
Para o caso no qual a equação característica admite duas
raízes reais “ 1 ” e “ 2 ”, x11 ey e x2
2 ey são as soluções
procuradas e representam a base da solução geral da equação
diferencial a resolver. A solução geral é obtida a partir de uma
combinação linear envolvendo estas duas funções, e pode ser
escrita mediante a forma:
34
2211 ycycy (I.43)
onde “c1” e “c2” são constantes arbitrárias independentes, pois,
x1
1ey
e x
22ey
são funções linearmente independentes.
Exercício I.8: Resolver a equação diferencial:
0y6dx
dy5
dx
yd2
2
Para resolver tal equação diferencial deve-se, a princípio, escrever a
equação característica que, conforme definida, seria uma equação
de grau igual à ordem da equação diferencial objeto de resolução.
Assim sendo ter-se-ia para equação característica:
0652
Que apresenta as raízes:
32 21
Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de
funções:
x3x22
x2x11 eeyeey
35
Assim, a solução geral é obtida a partir de uma combinação linear
envolvendo estas duas funções da base, de modo que pode ser
escrita mediante a forma:
x32
x212211 ececycycy
Exercício I.9: Resolver a equação diferencial:
0y3dx
dy4
dx
yd2
2
Sua equação característica será:
0342
Cujas raízes são:
31 21
A base da solução geral será então o par de funções:
x3x22
x1x11 eeyeey
Logo, a solução geral será a combinação linear escrita mediante a
forma:
x32
x112211 ececycycy
36
Exercícios propostos:
7 – Resolver as equações diferenciais
a - ) 0y2dx
dy3
dx
yd2
2
; e, b - ) 0y4dx
dy5
dx
yd2
2
I.6.2.2 - Equação Característica Admite Uma Só Raiz Real
Uma vez que a equação característica da equação
diferencial:
0ydx
dy
dx
yd212
2
será 0212 (I.44)
Se tal equação admite uma só raiz real ela será:
21
1
(I.45)
E, conseqüentemente teremos:
212
4
1 (I.46)
Assim a equação diferencial assume a forma:
0y4
1
dx
dy
dx
yd 2112
2
(I.47)
37
Para a qual:
2/x11 ey (I.48)
é uma solução. Faz-se necessário uma segunda solução para
compor a base da solução geral. Poderemos verificar se uma função
da forma 12 y).x(uy é solução. Ou seja. Verificar se:
0y4
1
dx
dy
dx
yd2
21
212
22
(I.49)
ou se:
0]y)x(u[4
1
dx
]y)x(u[d
dx
]y)x(u[d1
21
112
12
(I.50)
Desenvolvendo as derivadas e re-agrupando-se os termos
da expressão I.50, obtém-se:
0ydx
)x(ud
ydx
dy2
dx
)x(duy
4
1
dx
dy
dx
yd)x(u
12
2
111
121
112
12
(I.51)
Como “y1” é solução da equação diferencial a expressão no
interior do primeiro colchetes é nula. Se:
e2dx
dy e ey 2/x1112/x1
1
(I.52)
38
então:
0e e2
2ydx
dy2 2/x1
12/x11
111
(I.53)
ou seja, a expressão existente no interior do segundo colchetes
também é nula. Assim sendo resta, apenas, a expressão:
0ydx
)x(ud12
2
(I.54)
Uma vez que 0y1 , então 0dx
)x(ud2
2
, e, a função “u(x)”
que satisfaz tal identidade é qualquer função linear do tipo
bax)x(u sendo “a” e “b” constantes reais. Fazendo-se “a = 1” e
“b = 0”, resulta:
x)x(u e 12 y.xy (I.55)
A solução geral será então a combinação linear envolvendo
“y1” e “y2”:
12112112211 y)xCC(y.xCyCyCyCy
ou:
2/x1
21 e)xCC(y (I.56)
39
Exercício I.10: Resolver a equação diferencial:
0ydx
dy2
dx
yd2
2
Sua equação característica será:
0122
Que apresenta a raiz única:
11
Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de
funções:
x12
xx11 xexyyeey
Sua solução geral será:
x2
x12211 xececycycy
ou:
x21 e)xcc(y
Exercício I.11: Resolver a equação diferencial:
0y9dx
dy6
dx
yd2
2
40
Sua equação característica será:
0962
Que apresenta a raiz única:
31
Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de
funções:
x312
x3x11 xexyyeey
Sua solução geral será:
x32
x312211 xececycycy
ou:
x321 e)xcc(y
Exercícios propostos
8 - Resolver as equações:
a - 0y4
1
dx
dy
dx
yd2
2
; b - 0y4dx
dy4
dx
yd2
2
;
41
I.6.2.3 - Equação característica admite raízes complexas
Neste caso, as raízes apresentam-se mediante as formas:
0q R,q e p onde iqp e iqp 21 (I.57)
A base da solução geral seria então composta pelas
funções:
xiqp2
xiqp1 ey e ey (I.58)
Observe-se que essas funções incluem o número imaginário
"i", que não interessa aos tipos de problema que a equação
diferencial modelará, de modo que deve-se recorrer a artifícios
voltados para a determinação de funções reais para representar a
base da solução geral. Com tal finalidade pode-se aplicar as
fórmulas de Euler referentes às funções hiperbólicas:
)qx(isen)qxcos(e e )qx(isen)qxcos(e iqxiqx (I.59)
obtendo-se:
)qx(isen)qxcos(ee.eey
e )qx(isen)qxcos(ee.eey
pxiqxpxxiqp2
pxiqxpxxiqp1
(I.60)
42
As combinações lineares envolvendo “y1” e “y2”:
)qx(seneyyi2
1y e cos(qx)eyy
2
1y px
214px
213 (I.61)
Também são soluções da equação diferencial, e, são linearmente
independentes de modo que representam uma nova base da
solução geral. Diante do exposto a função:
)qx(seneK)qxcos(eKyCyCy px2
px14433 (I.62)
é uma solução geral, e, pode ser reescrita na forma:
px21 e)]qx(senK)qxcos(K[y (I.63)
Exercício I.12: Resolver a equação diferencial:
0y2dx
dy2
dx
yd2
2
Sua equação característica será:
0222
43
Que admite como raízes os números complexos
i1 e i1 21 . Comparando-se essas raízes com as formas
iqp e iqp 21 conclui-se que para o presente caso:
1qp
Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de
funções:
senxe)qx(seneyxcose)qxcos(ey xpx2
xpx1
Sua solução geral será:
senxecxcosecycycy x2
x12211
ou:
x21 e)senxcxcosc(y
Exercício I.13: Resolver a equação diferencial:
0y5dx
dy4
dx
yd2
2
Sua equação característica será:
0542
44
Que admite como raízes os números complexos
i2 e i2 21 . Comparando-se essas raízes com as formas
iqp e iqp 21 conclui-se que para o presente caso:
1q2p
Logo, a base da solução geral é o conjunto formado pelo par de
funções:
senxe)qx(seneyxcose)qxcos(ey x2px2
x2px1
Sua solução geral será:
senxecxcosecycycy x22
x212211
ou:
x221 e)senxcxcosc(y
Exercícios propostos
9 - Resolver as equações:
a - 0y8dx
dy4
dx
yd
2
2
; b - 0y10dx
dy6
dx
yd
2
2
45
I.6.3 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares não
Homogêneas
Assim como já foi definido neste texto a equação escrita
mediante a forma:
0)x(r )x(ry)x(gdx
dy)x(f
dx
yd2
2
(I.64)
constitui uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda
Ordem não Homogênea. Pode-se associar a ela uma Equação
Diferencial Homogênea Correspondente definida mediante a
expressão:
0y)x(gdx
dy)x(f
dx
ydh
h2h
2
(I.65)
A solução da Equação Diferencial não Homogênea, equação
I.64, pode ser obtida a partir da soma envolvendo uma Solução
Particular sua qualquer e a solução da Equação Diferencial
Homogênea Correspondente. Assim sendo, se a função “y = h(x)” é
a solução procurada então pode ser dada por:
ph yyy (I.66)
46
onde “yh” e “yp” constituem a solução da Equação Diferencial
Homogênea Correspondente e uma Solução Particular qualquer,
respectivamente, da equação diferencial objeto de resolução.
A função “y” assim definida representa uma solução geral da
equação diferencial, uma vez que herda as constantes de integração
da função solução da equação diferencial homogênea
correspondente.
Para comprovação da validade da função solução na forma
da equação I.66, basta substituí-la na equação I.64 e verificar se
resulta uma identidade. Assim procedendo obtém-se:
)x(r)yy)(x(gdx
)yy(d)x(f
dx
)yy(dph
ph
2
ph2
(I.67)
A partir de transformações algébricas pertinentes obtém-se:
)x(ry)x(gdx
dy)x(f
dx
yd
y)x(gdx
dy)x(f
dx
yd
pp
2
p2
hh
2
h2
(I.68)
A função “yh” sendo solução da equação diferencial
homogênea correspondente torna a expressão no interior do
primeiro colchetes nula. A função “yp” como solução particular torna
a expressão, no interior do segundo colchetes, igual a “r(x)”,
resultando para a equação I.68 “r(x) = r(x)” que é uma identidade.
47
Uma vez utilizando-se do conteúdo apresentado até este
parágrafo pode-se encontrar a função solução da Equação
Diferencial Homogênea Correspondente. Para obtenção da solução
particular qualquer pode-se recorrer ao Método dos Coeficientes a
Determinar descrito a seguir.
Determinação da Solução Particular - Método dos Coeficientes
a Determinar
O método dos coeficientes a determinar constitui
procedimento sistemático para determinação da solução particular
destinada a compor a solução geral de uma equação diferencial
ordinária linear não homogênea, sendo aplicado aos casos em que
a equação diferencial a resolver é de coeficientes constantes, e, a
função “r(x)” apresenta-se sob a forma de certas funções peculiares.
O método consiste em atribuir à solução particular, “yp”, uma
forma que se assemelhe à forma da função “r(x)”, escrita, porém,
em termos de coeficientes constantes, a princípio, desconhecidos.
Tal forma será substituída na equação objeto de resolução, após o
que, efetuando-se as derivadas pertinentes e igualando-se os
termos semelhantes, fica definido um sistema de equações cuja
solução é um conjunto formado pelos coeficientes de “yp” até então
desconhecidos.
Para a escolha inicial da função “yp” pode-se tomar como
referência as orientações constantes do quadro I.1, apresentado a
48
seguir. Observe-se que as formas então consideradas para as
funções “r(x)” incluem as funções em termos de potencias da
variável “x”, a função exponencial bem como as funções
trigonométricas elementares, a saber, a função seno e a função
cosseno.
Quadro I.1 – Formas propostas para solução particular
px321p
px321
px32
px31
21p
21
n
0k
kk
qx2
px1p
n
0k
kk
qx2
px1
qx2
px1p
qx2
px1
pxp
px
n
0k
kkp
n
0k
kk
e.CqxcosCsenqxCy
e.ksenqxkqxcosk)x(r
e.ksenqxk)x(r ;e.kqxcosk)x(r
qxcosCsenqxCy
senqxkqxcosk)x(rksenqx)x(r ;qxcosk)x(r
xe.Ce.Cyxe.ke.k)x(r
e.Ce.Cye.ke.k)x(r
e.Cye.k)x(r
xyx)x(r
Exercício I.14: Resolver a equação diferencial:
9y9dx
dy
49
A solução geral da equação diferencial objeto de resolução deve ser
expressa na forma:
ph yyy
Para resolvê-la, pode-se, primeiramente, resolver a Equação
Diferencial Homogênea Correspondente, a qual, para o presente
caso é:
0y9dx
dyh
h
Tal equação é separável e apresenta como solução a função:
x9h e.Cy
Em seguida, deve-se obter uma solução particular para a equação
diferencial objeto de resolução, a qual, conforme quadro I.1 poderá
ser escrita na forma:
py
onde “β” é uma constante, inicialmente, desconhecida que não deve
ser confundida com a constante arbitrária de integração, e deve ser
determinada substituindo-se a forma de “yp” na equação diferencial
objeto de resolução. Assim procedendo-se resulta:
199099dx
d9y9
dx
dyp
p
50
Logo:
1yp
A solução geral da equação diferencial não homogênea será então:
1e.Cyyy x9ph
Exercício I.15: Resolver a equação diferencial:
x4
2
2
e2y6dx
dy5
dx
yd
A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:
0y6dx
dy5
dx
ydh
h2h
2
Cuja solução, conforme Exercício I.8, é:
x32
x21h ececy
Uma solução particular para a equação diferencial objeto de
resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:
x4p e.Cy
51
onde “C” é constante, inicialmente, desconhecida. Substituindo-se a
forma de “yp” na equação diferencial objeto de resolução resulta:
x4p
p
2
p2
e2y6dx
dy5
dx
yd
Que uma vez considerando-se então a forma de “yp” se torna:
x4x4x4
2
x42
e2)e.C(6dx
)e.C(d5
dx
)e.C(d
Efetuando-se as derivadas tem-se:
1Ce2)e.C(6e4.C.5e16.C x4x4x4x4
x4x4x4p ee.1e.Cy
A solução geral da equação diferencial objeto de resolução será
então:
x4x32
x21ph eececyyy
Exercício I.16: Resolver a equação diferencial:
xydx
dy2
dx
yd2
2
52
A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:
0ydx
dy2
dx
ydh
h2h
2
Cuja solução, conforme Exercício I.10, é:
x21h e)xcc(y
Uma solução particular para a equação diferencial objeto de
resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:
BAxyp
onde “A” e “B” representam constantes, inicialmente,
desconhecidas. Substituindo-se a forma de “yp” na equação
diferencial objeto de resolução resulta:
x)BAx(dx
)BAx(2
dx
)BAx(dxy
dx
dy2
dx
yd
2
2
pp
2
p2
Efetuando-se as derivadas tem-se:
0x1)A2B(Axx)BAx(A20
Comparando-se os coeficientes dos termos semelhantes dos dois
membros da segunda igualdade obtém-se:
2A2B1A0A2B1A
53
Desta forma:
2xBAxyp
A solução geral da equação diferencial objeto de resolução será
então:
2xe)xcc(yyy x21ph
Exercício I.17: Resolver a equação diferencial:
)x(seny5dx
dy4
dx
yd2
2
A Equação Diferencial Homogênea Correspondente será:
0y5dx
dy4
dx
ydh
h2h
2
Cuja solução, conforme Exercício I.13, é:
x221h e)]x(senc)xcos(c[y
Uma solução particular para a equação diferencial objeto de
resolução, conforme quadro I.1, poderá ser escrita na forma:
)x(Bsen)xcos(Ayp
54
sendo “A” e “B” as constantes, inicialmente, desconhecidas.
Substituindo-se “yp” assim definida na equação diferencial objeto de
resolução resulta:
)x(seny5dx
dy4
dx
ydp
p
2
p2
Mas:
)]x(Bsen)xcos(A[dx
)]x(Bsen)xcos(A[d
dx
yd
2
2
2
p2
; e,
)]xcos(B)x(Asen[dx
)]x(Bsen)xcos(A[d
dx
dyp
.
Logo, ter-se-á:
)x(sen)]x(Bsen)xcos(A[5
)]xcos(B)x(Asen[4)]x(Bsen)xcos(A[
Que reduzindo-se os termos semelhantes torna-se:
)x(sen.1)xcos(.0)x(sen]BA[4)xcos(]BA[4
Comparando-se os coeficientes dos termos semelhantes dos dois
membros da igualdade obtém-se o sistema de equações:
1)BA(40)BA(4
55
Do qual, uma vez resolvido, resulta:
8
1BA
Assim:
)]x(sen)x[cos(8
1
)x(sen8
1)xcos(
8
1)x(Bsen)xcos(Ayp
E, a solução geral da equação diferencial objeto de resolução será:
)]x(sen)x[cos(8
1e)]x(senc)xcos(c[yyy x2
21ph
Exercícios Propostos
10 - Resolver as equações:
a - xcosy9dx
dy ; b - 2xy
dx
dy2
dx
yd2
2
; e,
c - 3x4xy3dx
dy4
dx
yd 2
2
2