Trabalho de Meteorologia Dinamica I

Layrson de Jesus Menezes Goncalves Jose Antonio Aravequia

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

Abril, 2015

Considerando a equacao de conservacao de quantidade de Movimento tem-se que

DU

Dt︸︷︷︸(a)

= −2Ω×U︸ ︷︷ ︸(b)

− 1

ρ∇p︸ ︷︷ ︸(c)

+ g︸︷︷︸(d)

+ fr︸︷︷︸(e)

(1)

onde o termo (a) representa a derivada total da velocidade U, o termo (b) representa aforca de Coriolis, o termo (c) e dado pelo gradiente de pressao, o termo (d) representa a forcada gravidade tal que g = −gk = g∗ + Ω2R, com g ≈ 9.8m/s2, i.e, a forca da gravidade e acombinacao da forca gravitacional e a forca centrıfuga e o termo (e) representa a forca de atrito.

Sabendo que

DU

Dt=

∂U

∂t+U · ∇U (2)

Substituindo Eq. (2) na Eq. (1)

∂U

∂t+U · ∇U = −2Ω×U− 1

ρ∇p+ g + fr (3)

Especificando termo a termo tem-se

U = (u, v, w) (4)

∂U

∂t= (ut, vt, wt) (5)

onde ut =∂u∂t , vt =

∂v∂t e wt =

∂w∂t .

∇U =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)T

(u, v, w)

=

∂u∂x

∂v∂x

∂w∂x

∂u∂y

∂v∂y

∂w∂y

∂u∂z

∂v∂z

∂w∂z

(6)

1

onde T representa o vetor transposto.

U · ∇U = (u, v, w) ·

∂u∂x

∂v∂x

∂w∂x

∂u∂y

∂v∂y

∂w∂y

∂u∂z

∂v∂z

∂w∂z

=

(u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z, u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z, u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)(7)

onde U · ∇U e chamado adveccao da velocidade.

−2Ω×U =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

0 cosϕ sinϕ

u v w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −(2Ωw cosϕ− 2ωv sinϕ,−2Ωu sinϕ, 2Ωu cosϕ) (8)

1

ρ∇p =

1

ρ

(∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)=

(1

ρ

∂p

∂x,1

ρ

∂p

∂y,1

ρ

∂p

∂z

)=

(1

ρpx,

1

ρpy,

1

ρpz

)=

(pxρ,pyρ,pzρ

)(9)

fr = (frx, fry, frz) (10)

Escrevendo a Eq. (3) em termos de suas componentes tem-se

ut + u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z= −2Ωw cosϕ+ 2ωv sinϕ− px

ρ+ gx + frx (11)

vt + u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z= 2Ωu sinϕ− py

ρ+ gy + fry (12)

wt + u∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z= −2Ωu cosϕ− pz

ρ+ gz + frz (13)

2