Post on 12-Apr-2016
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Introdução
Introdução a Mecânica Clássica
O objetivo da mecânica clássica é expor a relação entre o movimento de um
corpo e as forças que agem sobre ele. Podemos descrever a aceleração em
função da força resultante que age sobre um corpo e da massa que ele possui.
Essa força constitui a interação do corpo com sua vizinhança e a massa do corpo
é uma medida da inércia do corpo, isto é, da tendência de o corpo resistir à
aceleração quando uma força age sobre ele.
1ª Lei de Newton
"Um corpo tende a permanecer em repouso ou
em movimento retilíneo e uniforme, quando a
resultante das forças que atuam sobre si for
nula".
Introdução
• Inércia é a propriedade da matéria que faz com que ela resista a qualquer
mudança em seu movimento. Esta propriedade é descrita com precisão na lei
do movimento de Newton.
• A inércia de um objeto diante de uma translação é determinada por sua
massa. Diante de uma rotação, a inércia do objeto é determinada por seu
momento de inércia.
• Se é aplicado um mesmo par de forças (binários) a uma roda com um
momento de inércia pequeno e a uma outra com um momento de inércia
grande, a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais
rapidamente que a da segunda.
• O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da
massa ao seu eixo de rotação.
Introdução
Momento de inércia
O momento de inércia é uma grandeza que está associada a resistência
que um corpo oferece ao se colocar o mesmo em rotação em torno de um eixo
qualquer. Dessa forma relaciona sua massa e como ela está distribuída ao redor
do eixo de rotação. De forma quantitativa é então:
Onde I é o momento de inércia r é a distância do elemento de massa dm ao eixo
de rotação.
𝐼 = 𝑟2 𝑑𝑚
Introdução
Pode-se também definir o momento de inércia de uma superfície ou área. Nesse
caso o nome mais apropriado seria momento de segunda ondem. O nome
momento de inércia é mais apropriado a situação da definição dada
anteriormente com os elementos dm. Comumente em problemas na engenharia,
os dois são chamados de momento de inercia mesmo. A definição quantitativa do
momento de inércia para áreas ou superfícies é:
dAxIdAyI yx
22
Onde 𝑰𝒙 é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação x e y é a
distância do elemento de área dA ao exo x. E 𝑰𝒚 é o momento de inércia em
relação ao eixo de rotação y e x é a distância do elemento de área dA ao eixo y.
Momento de inércia de uma área
Raio de giração
Raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na
qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se
tenha o mesmo momento de inércia.
Momento de inércia de uma área
A
IkAkI x
xxx 2
Momento de inércia de uma área
Momento de inércia de uma área
Teorema dos eixos paralelos
Momento de inércia de uma área por integração
Da mesma maneira que definimos o momento de inércia para o eixo x,
podemos definir o momento de inércia Iy de uma superfície de área A em
relação ao eixo y.
dAxIdAyI yx
22
Momentos axiais de inércia
Momento de inércia de uma área por integração
Calcular o momento de inércia Ix de uma superfície retangular:
dybyIddybdA x
2
h
x bhdybyI0
32
3
1
dAxIdAyI yx
22
3
3
1bhI x
Exemplo
Momento de inércia de uma área
Tabela de momento de inércia
Momento de inércia de uma área
Tabela de momento de inércia
Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
A resistência de um perfil duplo T de 380mmx149mm é aumentada prendendo-
se a seu flange superior uma chapa de 150 mm x 20 mm, conforme
esquematizado na figura. Determinar o momento de inércia e o raio de giração
da seção composta em relação a um eixo passando por seu centróide C e
paralelo à chapa.
Exemplo 1
Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Como deseja-se calcular o momento de inércia da peça composta em relação
ao seu centróide, então devemos determinar as coordenadas do centróide da
peça. Para isso identificamos na tabela abaixo a área total da peça.
Exemplo 1: Solução
Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Cálculo do centróide
Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Cálculo do momento de inércia.
Momento de inércia do perfil da viga.
Para o cálculo do momento de inércia do perfil da viga, usaremos o teorema dos
eixos paralelos. Com isso identificamos na tabela de valores das peças o valor
do momento de inércia da viga em relação ao seu centróide.
Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Momento de inércia da chapa.
Momento de inércia
Raio de giração
Exemplo 2
Determinação do momento de inércia
Determine o momento de inércia Ix da superfície sombreada abaixo:
Superfícies compostas
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Solução:
Exemplo 2
Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia
240,0 mm
120,0 mm
Determinação do momento de inércia
𝐼𝑥 =𝑏ℎ3
3= 1
3240 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4
Cálculo do Ix para o semicírculo: Tabela de baricentro
Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
mmmmammb
mmmmr
a
8,812,380,1200,120
2,381415,3.3
0,90.4
3
4
Para calcular o momento no eixo x’ , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:
Para calcular o momento no eixo x , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:
Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2
𝐼𝐴′ = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 25,8 𝑥 106 = 𝐼 𝑥′ + 12,72 𝑥 10
3 38,2 2
𝐼 𝑥′ = 7,2 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 7,2 𝑥 106 + 12,72 𝑥 103 81,1 2
𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐴 = π𝑟2
2=1
2𝜋 90 𝑚𝑚 2
𝐴 = 12,7 𝑥 103 𝑚𝑚2
Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4 − 𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 10
6 𝑚𝑚4 = 𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 − 92,3 𝑥 106 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
Exercício 1
Exercícios
Numa chapa retangular de 500 x 300 mm é cortada uma seção retangular de base
genérica b = 250 mm e altura 120 mm (ver figura). Determine o momento de
inércia e o raio de giração em relação ao eixo x.
Exercício 1
Exercícios
Solução:
150
x
y
250
150
375 x
y
x
y
= -
Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia
500 mm
300mm
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
𝐼𝑥 =𝑏ℎ3
3= 1
3500 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 3 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4
Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo interno: Tabela de Momento de inércia
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
250 mm
120 mm
150 mm
𝐼𝑥′ =𝑏ℎ3
12=1
12250 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 36,0 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ + 𝐴𝑑2 = 36,0 𝑥 106 + 250 𝑥 120 22,5 𝑥 103 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4
Solução:
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
150
x
y
250
150
375 x
y
x
y
= -
Momento de inércia total:
Raio de giração:
𝐼𝑥𝑇 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4 − 711,0 𝑥 109 𝑚𝑚4 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4
𝐼𝑥𝑇 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4
𝑟𝑥 =𝐼𝑥𝑇𝐴𝑡=
3,79 𝑥 109 𝑚𝑚4
12 𝑥 104 𝑚𝑚2 = 177,71 𝑚𝑚
Exercício 2
Exercícios
Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em
relação ao eixo x.