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Hewlett-Packard
Ano: 2017
ESFERAS Aulas 01 e 02
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário ESFERA .................................................................................................................................................................... 1
SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO ....................................................................................................................... 1
VOLUME DE UMA ESFERA ....................................................................................................................................... 1
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA ............................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 1
PARTES DE UMA ESFERA ......................................................................................................................................... 2
FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA ....................................................................................................................... 2
ÁREA DE FUSO ESFÉRICO ........................................................................................................................................ 2
ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE DE CUNHA ESFÉRICA ................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 3
CALOTA ESFÉRICA E SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE .................................................................................... 3
ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA..................................................................................................................................... 3
ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE .......................................................... 4
SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES ................................................................................................................... 4
ÁREA DE ZONA ESFÉRICA ........................................................................................................................................ 4
ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES ....................................................... 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 ESFERA Chamamos de esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, com
𝑅 ∈ ℝ+∗ , o conjunto de pontos do espaço cuja distância
ao centro 𝑂 é igual ou menor que o raio 𝑅.
Observação 1.1: Considerando a rotação completa de
um semicírculo em torno de um eixo 𝒆, a esfera é o
sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada
por uma superfície esférica e formada por todos os
pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO Uma esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, quando secionada por
um plano perpendicular a um eixo que contenha um de
seus diâmetros, tem como interseção da esfera com o
plano um círculo de centro 𝐶 e raio 𝑟, tal que 𝑟 ≤ 𝑅.
Note que:
𝑅2 = 𝑑2 + 𝑟2
Observação 1.2: Se 𝑟 < 𝑅, o círculo obtido será
denominado paralelo. E, se 𝑟 = 𝑅, casos em que a
interseção contém o centro da esfera, o círculo será
chamado equador ou círculo máximo.
Na figura anterior, temos:
𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝒅: 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟
VOLUME DE UMA ESFERA Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de uma esfera de raio
𝑅 é igual ao volume do sólido obtido a partir de um
cilindro equilátero com bases de raio 𝑅 e altura
𝐻 = 2𝑅, do qual são retirados dois cones
congruentes, ambos com base de raio 𝑅 e altura
ℎ = 𝑅.
Desse modo, conclui-se que o volume 𝑉 de uma esfera
de raio 𝑅 é dada pela expressão
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA É possível demonstrar que a área da superfície de uma
esfera de raio 𝑅 é dada pela expressão
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um
plano determina na esfera um círculo de raio 20
cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro
da esfera.
𝑉 =4
3𝜋𝑅³
𝐴𝑆𝑈𝑃. 𝐸𝑆𝐹. = 4𝜋𝑅²
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1.2. O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que
secciona essa esfera determina nela um círculo de
raio 45 cm. Obtenha a distância do plano ao
centro da esfera.
1.3. Determine a área de uma esfera, sendo 2304𝜋
cm³ o seu volume.
AULA 02 PARTES DE UMA ESFERA Ao estudarmos esferas, além da área de sua superfície
e de seu volume, também é comum o estudo de suas
partes.
FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA Consideremos dois semiplanos distintos com origem
na reta suporte de um dos diâmetros de uma esfera.
http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/678?token=5%2f2Yd2%2bzzv%2f29umTApxi0Q%3d%3d
Observe que:
1. A superfície da esfera fica dividida em duas
regiões denominadas fusos esféricos; e
2. As regiões correspondentes da esfera são
denominadas cunhas esféricas.
Observação 2.1: O arco AB é denominado arco
equatorial e o ângulo central correspondente, 𝛼, é o
ângulo equatorial.
ÁREA DE FUSO ESFÉRICO
http://evejolu.blogspot.com.br/2012/10/esfera-esfera-ser-definida-como-um.html
A área de um fuso esférico está para a área da
superfície esférica assim como o ângulo central
correspondente está para 360°. Isto é,
ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE
DE CUNHA ESFÉRICA O estudo de uma cunha esférica é focado no cálculo da
área de sua superfície e no cálculo de seu volume.
𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂. 𝐸𝑆𝐹. =𝛼
360°∙ 4𝜋𝑅²
TAREFA 1: P.S.A.: 1, 2, 3, 6, 7 e 8 .
TAL QUAL UMA LARANJA
Se compararmos uma cunha e um fuso de uma esfera
a uma laranja, perceberemos que a cunha seria uma
fatia da laranja e o fuso, a casca relativa à fatia.
Cunha esférica Fuso esférico
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http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/678?token=5%2f2Yd2%2bzzv%2f29umTApxi0Q%3d%3d
A área da superfície de uma cunha esférica é
dada pela soma das áreas de suas partes. Isto é,
O volume de uma cunha esférica está para o
volume de uma esfera assim como o ângulo central
correspondente está para 360°. Isto é,
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine a área total e o volume de uma cunha
esférica cujo ângulo é 30°.
2.2. Considere uma esfera de raio 𝑅 e centro 𝑂. Um
fuso dessa esfera possui área da superfície igual a
600𝜋 cm². Detemine o volume, em litros, dessa
esfera, sabendo que o ângulo associado ao fuso tem
medida 3𝜋
4 rad.
2.3. O volume de uma cunha esférica é igual a 12𝜋
m³. Sabendo que o raio da esfera associada a essa
cunha é 3 m, determine a medida, em radianos, do
ângulo dessa cunha.
2.4. A área de um círculo máximo de uma esfera é
igual a 64𝜋 cm². Determine a área, em cm², de um
fuso dessa esfera sendo a medida do ângulo desse
fuso igual a 22,5°.
CALOTA ESFÉRICA E
SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE Um plano secante a uma esfera a divide em dois
sólidos denominados segmentos esféricos.
Já a superfície da esfera fica dividida em duas
superfícies denominadas calotas esféricas.
ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA Considere uma calota esférica obtida a partir de uma
esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹.
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐴𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂 𝐸𝑆𝐹. + 2 ∙ 𝐴𝑆𝐸𝑀𝐼𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂
𝑉𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 𝐸𝑆𝐹. =𝛼
360°∙
4
3𝜋𝑅³
𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 2𝜋𝑅ℎ
CALOTA ESFÉRICA TEM BASE?
Uma calota esférica não tem “base”, ou seja, uma
calota esférica não é composta por duas partes (um
“pedaço” da esfera e um círculo), é composta apenas
por um pedaço da “casca” da esfera.
𝑶
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ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO
SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE Considere um segmento esférico obtido a partir de
uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹.
A área da superfície de um segmento
esférico de uma base é dada pela soma das
áreas das superfícies de suas partes. Isto é,
Observação 2.2: Estamos definindo como “BASE” do
segmento esférico o círculo obtido na interseção da
esfera com o plano que a secciona.
Pode-se mostrar por meio do cálculo diferencial que o
volume de um segmento esférico é dado
pela expressão
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
A expressão acima é equivalente à seguinte
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
CONHECIMENTO A MAIS
SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere um segmento esférico obtido a partir de
uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹, compreendida entre
dois planos distintos e secantes à esfera, conforme
ilustra a parte vermelha da imagem a seguir.
ÁREA DE ZONA ESFÉRICA Considere um segmento esférica obtido a partir de
uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹. Chamamos de ZONA
ESFÉRICA a parte da superfície esférica associada a
esse segmento.
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐴𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 𝐸𝑆𝐹. + 𝐴"𝐵𝐴𝑆𝐸"
𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ
6[3𝒓𝟐 + ℎ2]
𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ²
3[3𝑅 − ℎ]
𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 2𝜋𝑅ℎ
TAREFA 2: P.S.A.: 8 e 9 .
ZONA ESFÉRICA???
A ZONA ESFÉRICA pode ser entendida como a “lateral
do segmento esférico de duas bases”. Ou seja, uma
zona esférica não tem bases.
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ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO
SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere o segmento esférico de duas bases a seguir.
A área da superfície de um segmento
esférico de duas bases é dada pela soma das
áreas das superfícies de suas partes. Isto é,
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
𝒓𝟏: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠
𝒓𝟐: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
Pode-se mostrar, por meio do cálculo diferencial, que
o volume de um segmento esférico de
duas bases é dado pela expressão
em que
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
𝒓𝟏: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠
𝒓𝟐: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝑆𝐸𝐺𝑀. 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴 𝐸𝑆𝐹. + 𝜋𝒓𝟏² + 𝜋𝒓𝟐²
𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ
6[3(𝒓𝟏)𝟐 + 3(𝒓𝟐)𝟐 + ℎ2]