ESTATÍSTICA NA

ENGENHARIA – AULA 2Especialização em Engenharia de Segurança do Trabalho

Instituto Executivo de Formação

Professor Esp. Eng. Anderson Barbosa

Apresentação - Quem vos fala?

• Anderson Barbosa Rodrigues

Engenheiro de Computação (UFC)

MBA em Gerenciamento de Projetos

Mestrado em Engenharia Elétrica e de Computação – em andamento

Contatos:

anderson.ecomp@gmail.com

(88) 9974.9194

Skype: anderson.ecomp

O que já vimos?

• Utilização de estatística em Engenharia e Ciências;

• População, Amostra e Processo;

• Coleta e Apresentação de Dados Estatísticos;

• Medidas de Localização e dispersão;

• Probabilidade;

O que será abordado nesta aula

• Variáveis Aleatórias;

• Distribuições Discretas;

• Distribuições Contínuas;

• Testes de Hipóteses;

• Regressão Linear e Correlação;

• Utilização de Softwares aplicados a Estatística.

Bibliografia – Aula 2

VARIÁVEIS

ALEATÓRIAS

Variável Aleatória

• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável

quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores

aleatórios.

• Exemplos:

• Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;

• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada,

aleatoriamente, de um lote;

• Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;

• Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo

período de tempo;

• Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;

• Resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão;

• Tempo de resposta de um sistema computacional;

• Grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.

Variável Aleatória

• Formalmente, uma variável aleatória é uma função que

associa elementos do espaço amostral ao conjunto de

números reais.

X = Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;

Variável Aleatória

Variável Aleatória

Variável Aleatória

VA Discreta – Função de Probabilidade

• A distribuição de probabilidade de uma variável

aleatória X é a descrição de um conjunto de

probabilidades associadas aos possíveis valores de X.

VA Discreta – Função de Probabilidade

• Representações Gráficas de uma Função de

Probabilidade

VA Discreta – Função de Distribuição

Acumulada

VA Discreta – Função de Distribuição

Acumulada

VA Discreta – Valor Esperado

VA Discreta – Variância e Desvio Padrão

VA Discreta – Algumas Propriedades

VA Discreta – Efeitos

VA Contínuas

• Exemplos:

• Tempo de resposta de um sistema computacional;

• Rendimento de um processo químico;

• Tempo de vida de um componente eletrônico;

• Resistência de um material;

• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):

• Número de transações por segundo de uma CPU;

• Número de defeitos numa amostra de 5.000 itens;

VA - Contínuas vs. Discreta

VA - Contínuas vs. Discreta

VA - Contínuas

VA - Contínuas

Função Densidade de Probabilidade

VA - Contínuas

VA - Contínua

Função de Distribuição Acumulada

Exemplo

VA - Contínua

Obtendo Probabilidades a partir da FDA

Para a > b

Dada a FDA, podemos encontrar a função de densidade de probabilidade

VA - Contínua

Obtendo Probabilidades a partir da FDA

Para a > b

Dada a FDA, podemos encontrar a função de densidade de probabilidade

VA - Contínua

Valor Esperado e Variância

Ou

Exercícios

DISTRIBUIÇÕES

DISCRETAS E

APLICAÇÕES

Provas de Bernoulli e a Distribuição de

Bernoulli• Há muitos problemas que o experimento consiste em n

tentativas ou subexperimentos;

• Estamos interessados em uma tentativa individual, com dois resultados possíveis:• Sucesso (S);

• Fracasso (F);

• Cada realização (tentativa) temos:• Realização de um experimento e observar o resultado;

• {S,F} →{𝑋𝑗 = 1, 𝑋𝑗 = 0}

• Chamamos as n realizações de provas de Bernoulli.

• Caso as provas forem independentes, chamamos a realização de processo de Bernoulli;

Provas de Bernoulli e a Distribuição de

Bernoulli

Provas de Bernoulli e a Distribuição de

Bernoulli

Provas de Bernoulli e a Distribuição de

Bernoulli• Valor esperado:

• Variância:

Distribuição de Bernoulli - Aplicação

Consideremos um processo de fabricação no qual pequenas partes de aço são

produzidas por uma máquina automática. Além disso, cada parte em uma

sequência de produção de 1000 unidades deve ser classificada como defeituosa

ou boa quando inspecionada. Podemos considerar a produção de uma parte

como uma única tentativa que resulta em sucesso (digamos, um item defeituoso)

ou fracasso (um item bom). Se temos razões para acreditar que a máquina

produz um item defeituoso em uma sequência com a mesma chance que em

outra, e se a produção de um defeituoso em uma sequência não e nem mais

nem menos provável por causa dos resultados nas provas anteriores, então

seria razoável supor que a sequência de produção e um processo de Bernoulli

com 1000 provas. A probabilidade, p, de um defeituoso ser produzido em uma

prova e chamada de fracao media de defeituosos do processo

Distribuição Binomial

• A variável aleatória X que denota o numero de sucessos

em n provas de Bernoulli tem uma distribuição binomial

dada por p(x), onde:

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial

• A probabilidade de um resultado particular com S para as

x primeiras tentativas e F para as últimas n-x tentativas,

é:

• Sabemos que há 𝑛𝑥

resultados que tem xS e (n-x)F,

portanto:

Distribuição Binomial – Valor Esperado e

Variância

Distribuição Binomial – Valor Esperado e

Variância

Distribuição Binomial – Valor Esperado e

Variância

Distribuição Binomial Acumulada

Distribuição Binomial – AplicaçõesExemplo:

Um processo de produção, representado esquematicamente pela Fig. 5-4,

produz milhares de peças por dia. Em média, 1% das peças e defeituoso, e essa

média não varia com o tempo. A toda hora, uma amostra aleatória de 100 peças

e selecionada de uma esteira, e várias características são observadas e

medidas em cada uma; no entanto, o inspetor classifica a peça como boa ou

defeituosa. Se considerarmos a amostra como n = 100 provas de Bernoulli, p =

0,01. Suponha que o inspetor tenha instrução de parar o processo caso a

amostra contenha mais de duas defeituosas. Qual a probabilidade do inspetor

parar o processo fabril? Qual o número médio de defeituosas que seria

encontrado? E a variância do processo?

Exemplo

Um processo de produção que fabrica transistores opera,

na média, com probabilidade de defeituosos de 2%. A cada

duas horas extrai-se uma amostra aleatória de tamanho 50

do processo. Se a amostra contiver mais de três

defeituosos, o processo deve ser interrompido. Determine

a probabilidade de que o processo seja interrompido em

função desse esquema de amostragem.

Distribuição Hipergeométrica

Lote com N itens:

• D – defeituosos

• N-D – Bons; Amostra Aleatória:

• n itens

Amostragem

sem reposição

Distribuição Hipergeométrica

Distribuição Hipergeométrica - Aplicações

Em um departamento de inspeção de recebimento,

lotes de eixo de bomba são recebidos

periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o

seguinte plano de amostragem de aceitação e

usado. Seleciona-se uma amostra aleatoria de 10

unidades sem reposição. O lote e aceito se a

amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha

que um lote seja recebido e que e p’(100)

defeituoso. Qual e a probabilidade de que seja

aceito?

p’ = 0,05

Exemplo

• Um lote de 25 tubos de televisão a cores e submetido a

um procedimento de teste de aceitação. O procedimento

consiste em extrair aleatoriamente cinco tubos, sem

reposição, e testa-los. Se dois ou menos tubos falharem,

os restantes são aceitos. Caso contrário, o lote e

rejeitado. Suponha que o lote contenha quatro tubos

defeituosos.

• (a) Qual a a probabilidade exata de aceitação do lote?

• (b) Qual e a probabilidade de aceitação do lote calculada

pela distribuição binomial com p = 4/25?

Distribuição de Poisson

• Uma das distribuições discretas mais importantes;

• Interessa o número de observações de um fenômeno em

um intervalo de tempo contínuo;

• Exemplo:

• Chamadas Telefônicas por minuto;

• Mensagens que chegam em um servidor por segundo;

• Acidentes por dia;

• Defeitos por milhar, metro²...

Distribuição de Poisson

• Suposições:

• O número de ocorrências em quaisquer intervalos são

independentes;

• A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é zero;

• O número médio de ocorrências (l) é constante;

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson - Aplicação

Distribuições Discretas - Resumo

• Largo uso em aplicações de engenharia, científicas e de

gerenciamento;

• A utilização da distribuição correta na modelagem do

problema real depende das hipóteses reais e sua

satisfação no modelo desenvolvido;

• As distribuições apresentadas foram utilizadas devido a

sua alta aplicabilidade.

DISTRIBUIÇÕES

CONTÍNUAS E

APLICAÇÕES

Distribuição Uniforme

Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

TESTES DE

HIPÓTESES

Testes de Hipóteses

Hipóteses

Hipóteses em termos de parâmetros

Hipóteses Nulas

Hipóteses Nulas

Conceitos Básicos - Exemplo

Planejamento da Amostra

Resultados da Amostra

Probabilidade de significância ou valor p

Conclusão

Resultado da Amostra

Nível de Significância (α)

Regra de Decisão

Exercício

Exercício - resposta

Exercício - resposta

Exercício - resposta

Exercício - resposta

REGRESSÃO LINEAR

Correlação

Correlação - Exemplo

Correlação - Exemplo

• Dados

Correlação – Diagramas de dispersão

Correlação – Diagramas de dispersão

Correlação – Diagramas de dispersão

Ideia para a construção do Coeficiente de

correlação de Pearson

Padronização

Padronização

Ideia para a construção do Coeficiente de

correlação de Pearson

Ideia para a construção do Coeficiente de

correlação de Pearson

Ideia para a construção do Coeficiente de

correlação de Pearson

Matriz de correlação do exemplo

Temperatura °C Resultado R² T² T*R

100 45 2025 10000 4500 a= -2,739393939

110 51 2601 12100 5610 b= 0,483030303

120 54 2916 14400 6480 r = 0,996260938

130 61 3721 16900 7930 eq. Reta: Y = -2,73+ 0,48 X

140 66 4356 19600 9240

150 70 4900 22500 10500

160 74 5476 25600 11840

170 78 6084 28900 13260

180 85 7225 32400 15300

190 89 7921 36100 16910

1450 673 47225 218500 101570

Coeficiente de correlação

Regressão Linear Simples

Exemplo

Exemplo

Regressão - Modelo

Modelo de Regressão Linear Simples

Método dos Mínimos Quadrados para estimar α e β

Método dos Mínimos Quadrados para estimar α e β

Exemplo numérico

Exemplo numérico

Exemplo numérico

Exemplo numérico

Exemplo numérico

UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES

APLICADOS A ESTATÍSTICA NA

ENGENHARIA