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Porf. Rodrigo de Alvarenga Rosa 23/03/2012

1Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa

Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosarodrigoalvarengarosa@gmail.com(27) 9941-3300

Estrada de RodagemCurvas Concordância Horizontal

Circular

Histórico

• No início do transporte rodoviário, as rodovias proporcionavam maior liberdade no deslocamento dos veículos– Tinham pouco tráfego– Os veículos trafegavam em baixa velocidade– Eram sem pavimentação e os veículos podiam invadir a

contramão

• Por isso problemas de traçado (geometria) não eram tão preocupantes

Histórico

• Na década de 30 houve grande incremento na construção de rodovias

• Começam as rodovias pavimentadas

• A velocidade dos veículos também aumenta

• Neste momento, passa a ser preocupante a atuação da força centrífuga.

• Necessidade de superelevação e superlargura.– Sobretudo o estudo da superelevação.

Geometria

• A força atua bem no início da curva circular

• Ou seja, no PC (ponto onde termina a tangente e inicia a curva circular)

• Assim, é interessante que o plano de rolamento já esteja modificado neste ponto

• É impossível modificar o traçado em um ponto– Iria gerar um degrau na pista

Geometria

• Modificar o plano de rolamento antes do PC– Teria uma tangente com uma inclinação para um dos

lados sem ter a força centrífuga atuando– Poderia gerar um tombamento do veículo e desconforto

para os passageiros

Geometria

• Iniciar a modificação após o PC– No PC já existe a força centrífuga, porém ainda não

existe plenamente a superelevação– Assim, esta situação também ocasiona desconforto aos

passageiros e risco de derrapagem ao veículo por falta da compensação da superelevação total

Geometria

• Introduzir uma nova curva entre a tangente e o início da curva simples.– Essa é a melhor opção encontrada– Ao fim da tangente, no início da curva de transição, (TE)

inicia-se a superelevação e gradualmente chega-se ao máximo no ponto EC (espiral - arco circular) que é o início da curva circular que demanda toda superelevação

– O mesmo ocorre quando do término da curva circular CE (curva circular - espiral) que vai perdendo a superelevação até chegar a tangente (ET) sem superelevação

Geometria

• Esta curva de transição deve em cada ponto ao longo do arco proporcionar uma aceleração centrífuga em harmonia com a superelevação da via.

• Tem-se uma distribuição da superelevação proporcional ao desenvolvimento da curva de transição desde o seu início.

Geometria

• As melhores curvas são as denominados radiodes que provêm da relação:

ρρ =d

Geometria

• Clotoide ou espiral de Cornu ou de Van Leben ou curva de Euler:

• Leminiscata de Bernouilli

• Curva elástica

• A mais usada pelos órgãos brasileiros, DNIT, é a clotoide.

Concordância com curva circular

Sentido deestaqueamento

• O prolongamento das duas tangentes contíguas a uma curva de concordância se encontram em ponto denominado ponto de intercessão PI

• A distância entre o PI e o PC e a distância entre o PI e o PT são denominadas tangente externa T.

• No PI, o prolongamento de uma tangente externa forma um ângulo de deflexão denominado .∆

• Os sucessivos PI de uma diretriz formam uma poligonal.

• Nesta poligonal cada lado mede a soma tangente da diretrizcom as tangentes externas de cada curva adjacente.

• Os raios externos do arco de círculo, normais às tangentes, onde tocam o PC e o PT, formam o ângulo central AC

• O ângulo central é o mesmo do ângulo de deflexão .∆

• O arco de círculo da curva de concordância é definido por:• Raio - R• Ângulo central - AC• Extensão ou Desenvolvimento entre o PC e PT - D

• O segmento PIM entre o arco de círculo é o afastamento E.

• Pode-se deduzir:

• Tangente externa:

• Afastamento:

• Desenvolvimento:

(tanAC

(sec( −= ACRE

Π= RACD

Exemplo - Concordância com curva circular• Faça a locação por estaqueamento das curvas 1 e 2

conforme a diretriz a seguir.

A deflexão é igual ao Ângulo central

PC1 PT1

Exemplo - Concordância com curva circular

• Estratégia de abordagem

90,42)2

401224(tan200)

11 ===

mRACD o 51,84180

200401224180

"'111 =Π=Π=

mRACD o 25,143180

250504932180

"'222 =Π=Π=

65,73)2

504932(tan250)

22 ===

• Com os valores das tangentes externas e do desenvolvimento, pode-se calcular os comprimentos das tangentes.

mmTPIPC 07,11407,9190,4297,1330 111 +==−=−−=mmDPCPT 58,15858,17551,8407,91111 +==+=+=

TTPIPIPTPC

52,181252,258

)65,7390,4249,199(58,175)( 212112

+==−−+=−−−+=

mmDPCPT 77,12077,40125,14352,258222 +==+=+=

( ) mmTPFPIPTPF 24,192324,479)65,7312,151(77,401222 +==−+=−−+=

Exemplo - Concordância com curva circular• Manual de Serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários, DNER, 1978, v.2

Exemplo - Concordância com curva circular• Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme

a diretriz a seguir, e supondo que se queira manter os dois raios iguais, pergunta-se:• Qual o maior raio possível?• Qual o maior raio possível para manter um trecho em

tangente entre o ponto 1 e o ponto 2 de 80 metros?

AC1 = 40o

AC2 = 28o

Exemplo - Concordância com curva circular• Resolução letra a)• A tangente da curva aumenta proporcionalmente ao raio.• O maior raio possível será quando ocorrer a maior tangente

no espaço disponível, 720,0m, ou seja, .

AC1 = 40o

AC2 = 28o

21 PCPT =

72021 =+ TT

2T21 PCPT =

1PC2PT

AC1 = 40o

AC2 = 28o

40tan1 RT =

72021 =+ TT

2T21 PCPT =

1PC2PT

72021 =+ TT

28tan2 RT =

72014tan20tan =+ RR

Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais

mR 98,173.1=

• Resolução letra a)

Exemplo - Concordância com curva circular• Resolução letra b)

AC1 = 40o

AC2 = 28o

1T7208021 =++ TT

2PC1PC2PT

40tan1 RT =

72080 21 =++ TT

28tan2 RT =

72014tan8020tan =++ RR

Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais

mR 54,043.1=

Grau de Curva

• O grau de uma curva Gc para um determinada corda c é o ângulo central que corresponde à corda considerada.

Grau de Curva

• Traçando a bissetriz, e pegando o triângulo retângulo OPM, estabelece-se a relação:

• O grau de uma curva para uma dada corda c é uma forma alternativa de definir a geometria de uma curva circular.

MPGsen c 2)

csenarcGc =

Corda de uma curva

• A corda é determinada pelo raio da curva conforme tabela do DNIT

Raios de Curva (R) Corda Máxima (c)

R <= 100,00m 5,00m

100,00m < R <= 600,00m 10,00m

R > 600,00m 20,00m

Exemplo - Grau da curva• Qual é o grau da curva da curva 1?

• Pela tabela, deve-se usar corda igual a 10,00m, pois o raio é 200,00m

Raios de Curva (R)Corda Máxima

R <= 100,00m 5,00m

100,00m < R <= 600,00m 10,00m

R > 600,00m 20,00m

Exemplo - Grau da curva• Pela fórmula:

• Pode-se dizer que a curva tem raio de 200,00m ou que tem grau

"'10 5451286509,2)

2(2 oosenarc

csenarcG ====

"'10 54512oG =

Demarcação da curva em campo• A demarcação da curva em campo é denominada Locação

do eixo.

• Para demarcar os trechos em tangente, é relativamente fácil.• Consiste basicamente na medida de ângulos e de

distâncias ao longo de alinhamentos retos

• Para demarcar os trechos em curvas é mais complexo• Não dá para demarcar diretamente a curva no terreno

com auxílio de algum compasso• Nem se conseguem visadas curvas ou marcação de

distâncias curvas com os recursos da topográfia

Locação por deflexões acumuladas

• Na figura anterior, com o teodolito posicionado na tangente de referências, mede-se o ângulo de deflexão e as distâncias até o pontos.

• Isso demarcará o ponto de cada corda.

• Dá um precisão razoável nas locações reais, se respeitada a tabela anterior de limite da corda em função do raio

Deflexões de uma curva circular

• A deflexão dc de uma curva circular, para uma corda c, é ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva em uma das extremidades da corda.

Deflexões de uma curva circular

• A deflexão é um ângulo orientado com origem na tangente• No caso da figura uma deflexão à direita

• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta sempre igual à metade do ângulo central correspondente à corda.

• Em projeto geométrico, dentro dos limites de raios e comprimento de corda apresentados na tabela, é permitido confundir o comprimento de uma corda com o comprimento do arco da curva correspondente.

cc Gd2

Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão adotada para a curva 1?

"'10 54512

1 ocGd ==

"'10 54'512oG =Do exemplo anterior:

"'10 57251od =

Essa é a deflexão para fins de projeto e locação para uma curva de R=200,00m e uma corda de 10,00m

Deflexão por metro

• Na locação de uma curva circular pode haver a necessidade de determinar valores de deflexão da curva para arcos fracionários (não coincidentes com 5, 10 e 20 m).

• Sendo dc a deflexão para uma corda c, o valor da deflexão por metro é dada por:

• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?

Exemplo - Grau da curva

Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?

57251""'

Do exemplo anterior:"'

10 57251od =

Essa é a deflexão de um metro para fins de projeto e locação para uma curva de R=200,00m e uma corda de 10,00m

"'36080omd =

Métodos de locação

• Usa-se o processo de deflexões acumuladas.

• Posiciona-se o teodolito no PC e toma-se a direção da tangente como referência ou origem para contagem das deflexões.

• Dois métodos podem ser adotados• Estaca fracionária;• Estaca inteira.

• Estaca fracionária• São marcados a partir do PC, as cordas;• Isto resulta em locação de pontos com estacas

fracionárias;

• Estaca inteira• A partir do PC marca-se uma corda que chegue na

primeira estaca inteira• Isto resulta em locação de pontos com estacas inteiras

Métodos de Estaca fracionária

• Os pontos X, Y e Z correspondem a estacas inteiras de 10,00m

• Corda de 10m, corda considerada igual ao arco• X = 5 + 1,07m; Y= 5 + 11,07m e Z= 6 + 1,07m• Deflexões

• Em X (corda cx, ângulo central = G10): • dx=1/2 G10 =d10

• Em Y (corda cy, ângulo central = 2 G10): • dy=1/2 2 G10 = 2 d10 = dx + d10

• Em Z (corda cz, ângulo central = 3 G10): • dz=1/2 3 G10 = 3 d10 = dy + d10

• Na curva circular simples, as deflexões correspondentes a arcos sucessivos são cumulativos

• Sem necessidade de determinar as cordas cy e cz

• Têm-se, então:• dx = 1º25’57”• dy = 1º25’57” + 1º25’57” = 2º51’54”• dz = 2º51’54” + 1º25’57” = 4º17’51”

• Ai é só usar o teodolito e a trena!

• Ângulo de deflexão fracionados não ocasionam nenhum problema aos cálculos das concordâncias em curvas.

• No entanto, para a utilização prática com teodolitos, podem ocorrer erro e acumulo de erro na hora de lançar as cordas no terreno.

• Assim, em vez de se usar deflexões com valores fracionados, usam-se raios com valores fracionados que deem deflexões inteiras.

)(2 cdsen

(2 cGsen

Exemplo - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1

fosse inteira?

Exemplo - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1

fosse inteira?

10 00201od =

88,214)00201(2

Um valor inteiro para a deflexão pode ser:

Então o raio será:

"'10 57251od =

Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?

00201 "'10

10 00201od =

Essa é a deflexão de um metro para fins de projeto e locação para uma curva de R=214,88m e uma corda de 10,00m

"'00080omd =

Exercício 01 - Concordância com curva circular

• No projeto de uma curva circular sabe-se que o PI está na estaca 148 + 5,60, a deflexão é 22º36’ e o raio é 600,0 metros. Assim, deseja-se calcular:• O comprimento das tangentes• O desenvolvimento• O grau da curva• As estacas do PC e do PT

• Faça a locação da curva por estaca fracionária do exercício anterior, supondo a rodovia com esta única curva.• Lance em uma tabela cada estaca (começando pelo PC),

sua deflexão simples e a deflexão acumulada• Supondo ainda uma tangente de 900,00m a partir do PT da

curva, qual seria a estaca do PF da rodovia?

• Para o traçado abaixo com curvas circulares, determinar qual a estaca do PC de cada curva, a estaca do PT de cada curva e o ponto final.

R1 = 1.200,0 mDeflexão: 46º

R2 = 1.600,0 mDeflexão: 30º

• Calcule a distância entre os PIs da curva 1 e da curva 2 da poligonal abaixo.

Curva 1Deflexão: 36º

Curva 2Deflexão: 48º

Exemplo 05 - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1

e da curva 2 fossem inteiras?• Com os novos raios fracionários recalcule os PCs, PTs e o

PF para a poligonal abaixo.• Qual a diferença total de comprimento da estrada

projetada com raios fracionários da calculadacom raios inteiros?

Exercício 06 - Cálculo de Superlargura e Superelevação

• Em um projeto, tem-se uma curva com duas faixas, com raio de 200,00m, em relevo ondulado, na classe III do DNIT. Considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a 3,40m. Deseja-se saber qual o valor de superlargura e da superelevação a ser adotado.

Obs.: Calcule o raio mínimo pela tabela e pela fórmula.

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