1

Capítulo 33. Materiais cristalinos -Estrutura cristalina: Conceitos Fundamentais, célula unitária, - Sistemas cristalinos, - Polimorfismo e alotropia - Direções e planos cristalográficos, anisotropia, - Determinação das estruturas cristalinas por

difração de raios-x.

2

 Por que estudar a estrutura de sólidos cristalinos? 

Capítulo 3

A estrutura de sólidos cristalinos

 As propriedades de alguns materiais estão diretamente relacionadas às suas estruturas cristalinas. 

ex: Magnésio e Berílio que têm a mesma estrutura se deformam muito menos que ouro e prata que têm outra estrutura cristalina.

 Explica as diferenças significativas nas propriedades apresentadas por materiais cristalinos e não-cristalinos que possuem a mesma composição. 

Exemplo: cerâmicas e polímeros não cristalinos são normalmente opticamente transparentes; os mesmos materiais em forma cristalina tendem a ser opaco ou, na melhor das hipóteses, translúcidos.

3

• Os materiais sólidos podem ser classificados em cristalinos ou não-cristalinos de acordo com a regularidade na qual os átomos ou íons se dispõem em relação à seus vizinhos.

• Material cristalinoMaterial cristalino é aquele no qual os átomos encontram-se ordenados sobre longas distâncias atômicas formando uma estrutura tridimensional que se chama de rede cristalina

• Todos os metais, muitas cerâmicas e alguns polímeros formam estruturas cristalinas sob condições normais de solidificação

ESTRUTURAS CRISTALINAS(CONT.)

4

O Cristal Perfeito - Estrutura Cristalina Muitos materiais - metais, algumas cerâmicas, alguns

polímeros - ao se solidificarem, se organizam numa rede geométrica 3D - a rede cristalina.

Fronteira entre dois cristais de TiO2. Note a organização geométrica dos átomos.

Carbono amorfo. Note a desorganização na posição dos átomos.

Imagens obtidas com Microscópio Eletrônico de Transmissão (MET).

Cristal 1

Cristal 2

Fronteira

Estes materiais cristalinos, têm uma estrutura altamente organizada, em contraposição aos materiais amorfos, nos quais não há ordem de longo alcance.

5

Nos Materiais Não-Cristalinos ou AmorfosMateriais Não-Cristalinos ou Amorfos não existe ordem de longo alcance na disposição dos átomos

As propriedades dos materiais sólidos cristalinos depende da estrutura cristalina, ou seja, da maneira na qual os átomos, moléculas ou íons estão espacialmente dispostos.

Há um número grande de diferentes estruturas cristalinas, desde estruturas simples exibidas pelos metais até estruturas mais complexas exibidas pelos cerâmicos e polímeros

Ordenamento regular dos átomos Ordenamento somente a curtas distâncias

6

Célula Unitária

Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, é possível descrevê-la a partir de uma estrutura básica, como um “tijolo”, que é repetida por todo o espaço.

Célula Unitária

Menor “tijolo” que repetido reproduz a rede cristalina

Células Não-Unitárias

(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)

7

CÉLULA UNITÁRIA(CONT.)(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)

Consiste num pequeno grupos de átomos que formam um modelo repetitivo ao longo da estrutura tridimensional (analogia com elos da corrente)

A célula unitária é escolhida para representar a simetria da estrutura cristalina

Os átomos são representados como esferas rígidas

Estes sistemas incluem tôdas as possíveis geometrias de divisão do espaço por superfícies planas contínuas

Sistemas CristalinosSistemas Cristalinos

x, y, z = eixos

a, b, c = comprimentos das arestas

, , = ângulos interaxiais

Célula Unitária

Reticulado

9

Os 7 Sistemas CristalinosSó existem 7 tipos de células unitárias que preenchem

totalmente o espaço

Cúbica a=b=c, °

Ortorrômbica abc, °

Tetragonal a=bc, °

Romboédrica a=b=c, °

Monoclínica abc, °

Hexagonal* a=bc, °°

Triclínica abc, °

10

Sistemas Cristalinos e Redes de Bravais Os sistemas cristalinos são apenas entidades geométricas.

Quando posicionamos átomos dentro destes sistemas formamos redes (ou estruturas) cristalinas.

Existem apenas 14 redes que permitem preencher o espaço 3D.

Nós vamos estudar apenas as redes mais simples:

a cúbica simples - cs (sc - simple cubic) a cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered cubic) a cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered cubic) a hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close packed)

Dos 7 sistemas cristalinos podemos identificar 14 tipos diferentes de células unitárias, conhecidas com redes de Bravais. Cada uma destas células unitárias tem certas características que ajudam a diferenciá-las das outras células unitárias. Além do mais, estas características também auxiliam na definição das propriedades de um material particular.

AS 14 REDES DE BRAVAIS

12

As 14 Redes de Bravais

Cúbica Simples Cúbica de Corpo Centrado

Cúbica de Face Centrada

Tetragonal Simples

Tetragonal de Corpo Centrado

Ortorrrômbica Simples

Ortorrrômbica de Corpo Centrado

Ortorrrômbica de Base Centrada

Ortorrrômbica de Face Centrada

Romboédrica Simples

Hexagonal Monoclínica Simples

Monoclínica de Base Centrada

Triclínica

POLIMORFISMO OU ALOTROPIA

• Geralmente as transformações polimorficas são acompanhadas de mudanças na densidade e mudanças de outras propriedades físicas.

•Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura cristalina dependendo da temperatura e pressão. Esse fenômeno é conhecido como polimorfismo.

EXEMPLO DE MATERIAIS QUE EXIBEM POLIMORFISMO

• Ferro

• Titânio

• Carbono (grafite e diamente)

• SiC (chega ter 20 modificações cristalinas)

• Etc.

ALOTROPIA DO FERRO

ccc

cfc

ccc

Até 910°C

De 910-1394°C

De 1394°C-PF

• Na temperatura ambiente, o Ferro têm estrutura ccc, número de coordenação 8, fator de empacotamento de 0,68 e um raio atômico de 1,241Å.

• A 910°C, o Ferro passa para estrutura cfc, número de coordenação 12, fator de empacotamento de 0,74 e um raio atômico de 1,292Å.

• A 1394°C o ferro passa novamente para ccc.

16

Estruturas Cristalinas dos Metais Como a ligação metálica é não direcional não há grandes

restrições quanto ao número e posição de átomos vizinhos. Assim, os metais terão NC alto e empilhamento compacto.

A maior parte dos metais se estrutura nas redes cfc, ccc e hc

Daqui prá frente representaremos os átomos como esferas rígidas que se tocam. As esferas estarão centradas nos pontos da rede cristalina.

17

A rede ccc A rede cúbica de corpo centrado é uma rede cúbica na qual

existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro do cubo. Os átomos se tocam ao longo da diagonal.

Número de átomos na célula unitária Na= 1 + 8x(1/8) = 2 Relação entre a e r 4R = a3 => a = 4R/3 NC = 8

1/8 de átomo1 átomo inteiro

R

a

Fator de empacotamento atômico (APF - atomic packing factor)

3

3

3

34

)(

)1()(

)(

)(

a

RátomosN

a

átomoVátomosN

célulaVolume

átomosVolumeFEA

68,08

3

33

6438

3

434

2

3

3

3

3

R

R

R

RFEAccc

O Fe, Cr, W cristalizam em ccc

18

Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)

2 átomos/c.u.

N.C. = 8 F.E.A. = 0.68 Cr, Fe(a), W

19

A rede cfc

A rede cúbica de face centrada é uma rede cúbica na qual existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro de cada face do cubo. Os átomos se tocam ao longo das diagonais das faces do cubo.

1/8 de átomo

1/2 átomo

Número de átomos na célula unitária Na= 6x1/2 + 8x(1/8) = 4 Relação entre a e r 4R = a2 => a = 2R2 NC = 12

Fator de empacotamento atômico FEAcfc = Volume dos átomos = 0.74

Volume da célula A rede cfc é a mais compacta

R

a

Al, Ag, Cu, Au

20

Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)

4 átomos/c.u.

N. C. = 12 F.E. A. = 0.74 Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag

a = parâmetro de redeR = raio atômico

EST. HEXAGONAL COMPACTA

• Cada átomo tangencia 3 átomos da camada de cima, 6 átomos no seu próprio plano e 3 na camada de baixo do seu plano

• O número de coordenação para a estrutura HC é 12 e, portanto, o fator de empacotamento é o mesmo da cfc, ou seja, 0,74. Relação entre R e a:

a= 2R

a = parâmetro de redeR = raio atômico

22

A rede hc A rede hexagonal compacta pode ser representada por um

prisma com base hexagonal, com átomos na base e topo e um plano de átomos no meio da altura.

a

c

c/2

Número de átomos na célula unitária Na= 12x1/6 + 2x(1/2) + 3 = 6 Relação entre a e r 2R = a

FEA = 0.74 NC =12A rede hc é tão compacta quanto a cfc

Lembre-

se que a

s

esfera

s se to

cam

Cd, Mg, Ti, Zn

23

A rede hc (cont.)

Cálculo da razão c/a

a2 = a2/3 +c 2/4 c2 = 8a2/3 Razão c/a ideal

c/a= 8/3 = 1.633no entanto este valor varia em metais reais

a2 = d2 +(c/2)2

c/2

a

aa

a d

a/2

d30º

dcos30° = a/2 d3/2 = a/2 d = a/3

Vista de topo

24

A rede hc (cont.) Cálculo do fator de empacotamento atômico

a

60º

h

FEAVatomos

Vcelula

Vatomos 643r3 8r3

Vcelula Abase Altura Ahexagono c6Atriang. c

Atriang. bh

2

a3

2a

2a2 3

4

Vcelula 6a2 34c6a2 3

4

83

a 3 2a3 3 2 8r3

FEA8r3

3 2 8r3

3 20.74

Vista de topo

25

Empacotamento ótimo O fator de empacotamento de 0.74, obtido nas redes cfc e hc, é

o maior possível para empilhar esferas em 3D.

cfc

hc

A A A

A

A A A A

A A A A

AAA

A A A

A

B B

B

B B B

B B B

B B

B

C C C

C

C C

C C

C C C

C

A A A

A

A A A A

A A A A

AAA

A A A

A

26

Empilhamento de planos compactos das estruturas CFC e HC

27

Cristalografia• Para poder descrever a estrutura cristalina é necessário

escolher uma notação para posições, direções e planos.

• Posições São definidas dentro de um cubo com lado unitário.

Direções Cristalográficas e Pontos do RetículoDireções Cristalográficas e Pontos do Retículo

• Vetoresvetor decomposição

•Direção Cristalográfica Um vetor se posiciona de tal modo que ele passe pela origem do sistemas de coordenadas; O comprimento da projeção do vetor em cada um dos 3 eixos é determinado; Estes 3 números são reduzidos ao menor número inteiro; Eles são representados dentro de colchetes, [uvw]

Índices de uma direção [120]

x y z

Projeções a/2 b 0c

Projeções 1/2 1 0

Reduções 1 2 0

Representação [120]

29

[0 1 1/2]=[0 2 1]

Direções cristalográficas As direções são definidas a partir da origem.

Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o cubo unitário. Se estes pontos forem fraccionais multiplica-se para obter números inteiros.

[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]

[1 1 0]

[1 1 1][1 -1 1]

11 1

[1/2 1 0]=[1 2 0]

30

• Famílias de direções Formadas por posições semelhantes dentro da estrutura

cristalina. <111> = [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111]

• Ângulo entre direções no sistema cúbico Dado pelo produto escalar entre as direções, tratadas como

vetores.

Direções cristalográficas (cont.)

Ex: [100] e [010] cos=1.0 + 0.1 + 0.0 = 0

1 = 90°

Ex: [111] e [210]

cos=1.2 + 1.1 + 1.0 = 3

3.5 5 = 39.2°

D=ua +vb + wc

D’=u’a +v’b + w’c

D.D’ = /D/ /D’/ cos

cos = D.D’/ /D/ /D’/ = uu’+vv’+ww’/ u2+v2+w2 u’2+v’2+w’2

DIREÇÕES NOS CRISTAIS

• São representadas

entre colchetes=[uvw]

• Família de direções: <uvw>

Algumas direções da família de direções <100>

DIREÇÕES NOS CRISTAIS

• São representadas entre colchetes= [hkl]

• Se a subtração der negativa, coloca-se uma barra sobre o número

As duas direções pertencem a mesma família?

[101]

DIREÇÕES NOS CRISTAIS

• São representadas entre colchetes= [hkl]

• Quando passa pela origem

DIREÇÕES NOS CRISTAIS

• São representadas entre colchetes= [hkl]

Os números devem ser divididos ou multiplicados por um

fator comum para dar números inteiros

DIREÇÕES PARA O SISTEMA CÚBICO

A simetria desta estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:

• <100> para as faces• <110> para as diagonais das faces• <111> para a diagonal do cubo

<110>

<111> <100>

DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC

• No sistema ccc os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo, que corresponde a família de direções <111>

• Então, a direção <111> é a de maior empacotamento atômico para o sistema ccc

DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC

• No sistema cfc os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, que corresponde a família de direções <110>

• Então, a direção <110> é a de maior empacotamento atômico para o sistema cfc

PLANOS CRISTALINOS Por quê são importantes?

· Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.

· Para a deformação plástica A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal.

Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.

41

41

Planos cristalográficos

• A notação para os planos utiliza os índices de Miller, que são obtidos da seguinte maneira: Obtém-se as intersecções do plano com os eixos. Obtém-se o inverso das intersecções. Multiplica-se para obter os menores números inteiros.

Intersecções: 1/2, 1Inversos: 2, 0 ,1 Índices de Miller: (201) Em sistemas cúbicos o plano (hkl)é normal a direção [hkl]

1/2

1

42

Planos cristalográficos (cont.)

• 11, • 1, 1, 0 • (110)

• 1/2, • 0, 2, 0 • (020)

• 1, -1, 1 • 1, -1, 1

• (111)

• 11, 1• 1, 1, 1 • (111)

• 1, -1, • 1, -1, 0

• (110)

Quando as intersecções com os eixos não são óbvias, deve-se deslocar o plano ou a origem até obter as intersecções corretas.

• 1, • 0, 1, 0 • (010)

43

Planos da Rede Hexagonal

a1

a2

a3

c

1

-1

• , 1, -1, • 0, 1, -1, 0 • (0 1 1 0)

Face do prisma

Índices de Miller-Bravais • 4 coordenadas • redundância

Os 3 eixos, a1, a2 e a3 axes estão

contidos dentro da base planar;

O ângulo entre eles é de 120o

O eixo Z é perpendicular à base

planar.

][]'''[ hkillkh

)( khi

44

Resumo

• Direções [uvw]

• Famílias de direções <uvw>

• Planos (hkl) (índices de Miller) Na hexagonal (hkil) (índices de Miller-Bravais)

i = - (h + k)

• Famílias de planos {hkl}

FAMÍLIA DE PLANOS {110}É paralelo à um eixo

FAMÍLIA DE PLANOS {111}Intercepta os 3 eixos

PLANOS NO SISTEMA CÚBICO

A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenham o mesmo arranjamento e densidade

Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior densidade atômica

PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO SISTEMA CCC

• A família de planos {110} no sistema ccc é o de maior densidade atômica

PLANOS DE MAIOR DENSIDADE ATÔMICA NO SISTEMA CFC

• A família de planos {111} no sistema cfc é o de maior densidade atômica

Fonte: Eleani Maria da CostaDEM/PUCRS

50

50

Densidade Atômica Planar• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à

densidade volumétrica de átomos, podemos definir a densidade atômica planar DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano

• Exemplo Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC

1/4 de átomo

1 átomo

Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2

Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2R2

Área do Plano = a2 e 4R = a2 => a = 2R2

DAP = 2R2/a2 = 2R2/8R2 =

51

Densidade Atômica Linear

• Análogo à DAP podemos definir a densidade atômica linear DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento de uma direção

(igual ao fator de empacotamento em uma dimensão) Fração de átomos interceptados por uma linha

• Exemplo Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC

1/2 átomo

Número total de átomos = 1 + 1 = 2

Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R

Comprimento da Direção = a e 4R = a2 => a = 2R2

DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2

52

Planos e Direções Compactas• Como já vimos, as redes CFC e HC são as mais densas do ponto

de vista volumétrico.

• Por outro lado, em cada rede, existem planos e direções com valores diferentes de DAP e DAL.

• Em cada rede, existe um certo número de planos e direções compactos (maior valor de DAP e DAL)

As direções compactas estão contidas em planos compactos

Estes planos e direções serão fundamentais na deformação mecânica de materiais.

A deformação mecânica normalmente se dá através do deslizamento de planos.

53

Sistemas de deslizamento

•O deslizamento ocorrerá mais facilmente em certos planos e direções do que em outros.

•Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos compactos, que preservam sua integridade.

•Dentro de um plano de deslizamento existirão direções preferenciais para o deslizamento.

•A combinação entre os planos e as direções forma os sistemas de deslizamento (slip systems), característicos das diferentes estruturas cristalinas.

54

Sistemas de deslizamento (cont.)

Distância

Plano não denso

Plano densoDistância

O deslizamento é mais provável em planos e direções compactas porque nestes casos a distância que a rede precisa se deslocar é mínima.

Dependendo da simetria da estrutura, outros sistemas de deslizamento podem estar presentes.

55

Deslizamento de um plano compacto Pequeno deslizamento Pequena energia

Mais provável

Deslizamento de um plano não compacto Grande deslizamento Grande energia

Menos provável

Sistemas de deslizamento (cont.)

56

Sistemas de deslizamento (cont.)

Estrutura Cristalina

Planos de Deslizamento

Direções de Deslizamento

Número de Sistemas de

Deslizamento

Geometria da Célula Unitária

Exemplos

CCC

{110}

{211}

{321}

<111>

6x2 = 12

12

24

-Fe, Mo, W

CFC {111} <110> 4x3 = 12Al, Cu, -Fe, Ni

HC

{0001}

{1010}

{1011} <1120>

3

3

6

Cd, Mg, -Ti, Zn

A tabela mostra os sistemas de deslizamento das 3 redes básicas. Em vermelho aparecem os sistemas principais. Em cinza aparecem os secundários. Por exemplo: Como a rede CFC tem 4 vezes mais sistemas primários que a HC, ela será muito mais dúctil.

57

58

58

Determinação da estrutura• Pergunta básica

Como se pode determinar experimentalmente a estrutura cristalina de um material ?

• Uma boa resposta Estudar os efeitos causados pelo material sobre um feixe de

radiação.

• Qual radiação seria mais sensível à estrutura ? Radiação cujo comprimento de onda seja semelhante ao

espaçamento interplanar (da ordem de 0.1 nm).

Difração de raios-x.

59

O espectro eletromagnético

raios gama

raios-x

luz visível

microondas

ondas de rádioUV infravermelho

Comprimento de onda (nm)

Como os raios-x têm comprimento de onda da ordem da distância entre os planos atômicos, eles sofrem difração quando são transmitidos ou refletidos por um cristal.

60

DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X

• O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:

• Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses raios são difratados pelos planos dos átomos ou íons dentro do cristal

61

+

=

+

Interferência Destrutiva

Difração (revisão ?)• Difração é um fenômeno de interferência

Interferência Construtiva

-Considere as ondas 1 e 2 com o mesmo comprimento de onda (), em fase no ponto o-o’.- Quando dispersas (1’ e 2’) se a diferença no comprimento da trajetória corresponde a um número inteiro de comprimento de onda, encontram-se, ainda em fase, diz-se que elas se reforçam mutuamente ( interferem constritivamente uma na outra.

62

A lei de BraggRaios-X incidentes

Raios-X difratados

Diferença de caminho dos dois raios: AB + BC = 2AB = 2d senCondição para interferência construtiva 2d sen = n onde n é um número inteiro e é o comprimento de onda do raio-x

A C

B

d

= distância interplanar

Planos atômicos

dhkl= a(h2+k2+l2)1/2

Válido para sistema cúbico

63

Métodos de difração de raios-X Laue

Uma amostra mono-cristalina é exposta a raios-X com vários comprimentos de onda (poli-cromático).

A lei de Bragg é satisfeita por diferentes conjuntos de planos, para diferentes comprimentos de onda.

Para cada condição satisfeita, haverá uma forte intensidade difratada em um dado ângulo.

Fonte de raios-X policromático

Colimador

Mono-cristal

Filme ou detetor

180°-2

TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO

• Técnica do pó:É bastante comum, o material a ser analisado

encontra-se na forma de pó (partículas finas orientadas ao acaso) que são expostas à radiação x monocromática. O grande número de partículas com orientação diferente assegura que a lei de Bragg seja satisfeita para alguns planos cristalográficos

O DIFRATOMÊTRO DE RAIOS X

Fonte

• T= fonte de raio X

• S= amostra

• C= detector

• O= eixo no qual a amostra e o detector giram

66

Métodos de difração de raios-X

Difratômetro (ou método do pó) Uma amostra poli-cristalina é exposta a raios-X monocromático.

O ângulo de incidência varia continuamente. Para certos ângulos, a Lei de Bragg é satisfeita para algum plano

de algum dos mono-cristais, em orientação aleatória.

Amostra policristalina (pó)

Fonte de raios-X monocromático

Colimador Colimador

Detetor

67

• Ex: Espectro de difração para Al (Difratograma)

= 0.1542 nm (CuK)

Inte

nsi

dade

(u

.a)

Ângulo (2)

Uma amostra desconhecida é analisada e seus picos comparados com os de materiais conhecidos e tabelados, permitindo assim a identificação do material.

68

A lei de Bragg (cont.)• A lei de Bragg relaciona quatro variáveis:

2d sen = n - o comprimento de onda dos raios-X

– pode assumir apenas um valor (monocromático)

– pode assumir muitos valores - raios-X “brancos” (policromáticos)

d - o espaçamento entre os planos

– pode assumir diferentes valores, em função do conjunto de planos que difrata o feixe de raios-X

- o ângulo de incidência dos raios-X

– pode variar continuamente dentro de uma faixa

– pode variar aleatoriamente em função da posição relativa dos diversos mono-cristais que formam uma amostra poli-cristalina

n - a ordem da difração

69

Para o ferro com estrutura cristalina CCC, compute (a) o espaçamento Interplanar,e (b) o ângulo de difração para o conjunto de planos (220). O parâmetro de rede para o ferro equivale a 0,2866 nm (2,866 A ). Ainda, admita que uma radiação monocromática como comprimento de onda de 0,1790 nm (1,790 A ) seja usada, e que ordem de reflexão seja de 1.

O valor do espaçamento interplanar d é determinado através da equação:

2l2k2h

ad

)A013,1(nm1013,02)0(2)2(2)2(

nm2866,0d

Aplicando a lei de Bragg;n = 2 d sen

884,0)nm1013,0)(2(

nm1790,0)(1(

d2

nsen

a= 0,2866 nm, e

h = 2, k = 2 e l = 0, uma vez que estamosConsiderando os planos (2 2 0)

13,62)884,0(1sen

O ângulo de difração equivale a 2 2 = (2) (62,13º) = 124,26º

70

Raios X de um comprimento de onda desconhecido são difratados 43,4º por cobre CFC, o qual

Possui um parâmetro celular a de 0,3615 nm. Determinações em separados indicam que esta

Linha de difração para o cobre é de 1° ordem (n =1) para d111.a) Qual o comprimento de onda dos raios X ?b) Os mesmos raios X são usados para analisar tungstênio (CCC). Qual o ângulo, 2,

para as linhas de difração de 2° ordem (n =2) de espaçãmento d010 ?

Sendo: 2 = 43,4°, e usando as equações :

2l2k2h

ad

n = 2 d sen

n =2 [2l2k2h

a

]sen

(1)=2[ 212121

nm3615,0

nm1543,07,21sen]

71

b) Os mesmos raios X são usados para analisar tungstênio (CCC). Qual o ângulo, 2, para as linhas de difração de 2° ordem (n =2) de espaçãmento d010 ?

Do apendice B ( Van vlack)

RW= 0,1376 nm

(accc)=4R/3

aw= 4( 0,1367nm/ 3 = 0,3157 nm

n =2 [ ]sen2l2k2h

a

sen = 2(0,154)nm0+1+0/(2)(0,3157nm)

2 = 58,4°