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VLúcio Março06 1
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNLESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I7 7 –– RESISTÊNCIARESISTÊNCIA
AO ESFORÇO TRANSVERSOAO ESFORÇO TRANSVERSO
PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples
7.7.Estado limite último de resistência ao esforço transversoEstado limite último de resistência ao esforço transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL
τ
-τ
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
1. Comportamento elástico de vigas sujeitas a esforço transverso
2. Mecanismo de resistência ao esforço transverso em vigas de betão armado
3. Situações particulares
6.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE VIGAS SUJEITASA ESFORÇO TRANSVERSO
Considere-se uma viga constituída por um material elástico-linear.
+
M
+
-V
A
A
+
-
σ(M) τ(V)
bhV
23
máx =τA-A
h
b ττ
τ
τ
σ=τσ=-τ
σ=-τ σ=τ
≡
σ=τ
2x45º
σ=-τ
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO6.2. MECANISMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
EM VIGAS DE BETÃO ARMADO
No betão armado a resistência à tracção é baixa (σmáx= τ = fct), surgindo fendas de tracção perpendiculares à direcção das tensões de tracção.
σ=τσ=-τ
σ=-τ σ=τFendas verticais
de flexão
Fendas inclinadas de esf. transv.
Fendas inclinadas de esf. transv.
Fendas verticais de flexão
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x
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
F1
Fsw
F3
F2
Dente de betão
F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida
τ
x
F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais
F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda provocado pela intrincamento entre os inertes
Fsw – força de tracção nas armaduras transversais
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
e depende dos seguintes factores:1. Resistência do betão (no efeito de ferrolho – F2; no valor de x; na ligação dos
inertes na zona da fenda – F3);2. Quantidade de armadura longitudinal As (no efeito de ferrolho – F2; no valor de
x; na abertura da fenda – F3);3. Dimensão relativa dos inertes (efeito de escala) – F3;4. Quantidade de armadura transversal (na abertura da fenda – F3; na resistência
da armadura transversal – Fsw).
x F1
Fsw
F3
F2
F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida
F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais
F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda
Fsw – força de tracção nas armaduras transversais
A resistência ao esforço transverso será a soma destas componentes:VR = F1 + F2 + F3 + Fsw
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOCAMPOS DE TENSÃO
2. As armaduras transversais, por tracção, transferem estas forças novamente para o topo da viga.O mecanismo repete-se de forma a conduzir as cargas até aos apoios.
1. Através de campos de tensão de compressão no betão as forças aplicadas são transferidas para a parte inferior da viga.
3. Escoras e tirantes horizontais equilibram as componentes horizontais dos campos de tensão de compressão inclinados no betão.
Campos de tensão de compressão no betão
Tracção nas armaduras
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO
O problema simplifica-se se dividirmos a carga uniforme em parcelas iguais e a substituirmos pelas respectivas resultantes.
Escoras de compressão no betão
Tirantes que representam a tracção nas armaduras
Podemos então considerar as resultantes dos campos de tensão inclinados no betão e as resultantes das forças nas armaduras transversais e longitudinais.
Ficamos, assim, com uma estrutura treliçada, fácil de calcular, em que:• as barras comprimidas - escoras – constituem a resultante das tensões de compressão no betão, e• as barras traccionadas – tirantes – representam as armaduras, no caso das armaduras longitudinais, ou a resultante das forças nas armaduras distribuídas, no caso das armaduras transversais.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO
Escoras Tirantes
θz
z cotg θ
z cotg θz cotg θ z cotg θz cotg θ z cotg θ
z cos θ
p
p z cotg θ
Fs
Fc
F cw
V cotgθ
V
z cotg θ
θθ1
z cosθ
p z cotg θ
Fsw
z
VEd(x = z cotgθ)
MEd
∑FV = 0 V = Fcw senθ∑MA = 0 M – V (z cotgθ)/2 = Fc zB∑MB = 0 M + V (z cotgθ)/2 = Fs z
z cotg θ2
z cotg θ2
Fcw = V / senθFc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2
∑FV = 0 Fsw = V
Por equilíbrio do nó A:A
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Fc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2
Fcw = V / senθ
Fsw = V
Fs
Fc
F cw
z cotg θ
θθ1
z cosθ
Fsw
z
Fcw = σcw bw z cos θ
z cosθ
bw
Fcw
Fsw = Asw σsw (z cotgθ / s)
z cotg θ
sAsw
V = σcw bw z cos θ sen θ
θ+θσ
=tgcotgzb
V wcw
θ⋅σ= cotgz s
A V sw
sw
bw - espessura da alma
s – espaçamento entreestribos
Asw - secção transversaltotal da armadurade um estribo
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θ+θν
α=tgcotg
zbf V wcd1
cwmaxRd,
θ⋅= cotgz fs
A V ywd
swsRd,
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOVERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
VEd(x = d) ≤ VRd,s - valor de cálculo do esforço transversoequilibrado pela resistência da armaduratransversal.
VEd (x = 0) ≤ VRd,max - valor de cálculo do esforço transversoresistente máximo, correspondente àresistência à compressão das escoras debetão.
Fs,Rd ≥ MEd / z + 0.5 VEd cotgθ - incremento de tracção na armadura longitudinal devido ao esforço transverso
NOTA: O esforço transverso actuante é calculado a x = d do apoio e não a x = z cotgθ, como seria de esperar do modelo anterior, por causa da variabilidade da distribuição das acções. O modelo anterior só é válido para acções uniformemente distribuídas, e essa condição pode não se verificar.Frequentemente, por simplificação, considera-se VEd(x=0).
NOTA: Neste caso, o esforço transverso actuante é calculado a x = 0, isto é, no apoio, onde a escora tem uma inclinação maior (cotgθ1 = 0.5 cotgθ) , σcw=V bwz (cotgθ1+ tgθ1) é menor mas o esforço transverso é maior que a x = z cotgθ.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
θ⋅= cotgz fs
A V ywd
swsRd,
1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 - limites admissíveis para o ângulo de inclinação das
45º ≥ θ ≥ 21.8º escoras de betão com o eixo do elemento.
RESISTÊNCIA DAS ARMADURAS
fywd = fyd
s – espaçamento entre estribosAsw - secção transversal total da armadura de um estribo
d
bw
h
Asw
Asw s
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ν
250f
16.0 ck1
com fck em MPa
1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5
RESISTÊNCIA DAS ESCORAS COMPRIMIDAS
αcw = 1.0
bw - menor espessura da alma na altura útil d da secção (onde se encontram as escoras inclinadas)
d
bw
h
Asw
θ+θν
α=tgcotg
zbf V wcd1
cwmaxRd,
b
dh
bw
hf
Asw
ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL para θ=45º
cd1cww
ywdmaxsw, f0.5 bs
fAνα= θ+θ
να=
tgcotgz bf
V wcd1cwmaxRd,
θ⋅= cotgz fs
A V ywd
swsRd,
ν1 - coeficiente de redução da resistência do betão em compressão, tendo em conta que o betão na alma da viga está fendilhado.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS (estribos ou varões inclinados)
θ+α+θν
α=== 2wcd1
cwmaxRd,Ed cotg1)cotgz(cotg bf
V0)(xV
( )( ) αα+θ⋅=≤α+θ= sen)gcotcotg(z fs
A VgcotcotgzxV ywd
swsRd,Ed
ανα
=sen
f0.5
bs
fAcd1cw
w
ywdmaxsw,
ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL para θ=45º
A utilização de varões inclinados deve ser usada como solução extrema, e sempre em conjunto com estribos (pelo menos 50% da armadura transversal) com ramos junto às superfícies da alma como forma de melhor controlar a abertura das eventuais fendas de esforço transverso.
Asw s
α45º≤ α ≤ 90º
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MΔ
M
x
MM'
M'
al
alal
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOFORÇA DE TRACÇÃO ADICIONAL NA ARMADURA LONGITUDINAL
Fs = MEd / z + 0.5 VEd cotgθ Δ Fs = 0.5 VEd cotgθ
como V = dM/dx
ou M’Ed = Fs · z = MEd + Δ MEd com Δ MEd = (0.5 VEd cotgθ) · z
Parcela devida à flexão
Parcela devida ao esf. transv.
Então:
VEd = Δ MEd / ΔxVEd = (0.5 VEd cotgθ) · z / Δx
al = 0.5 z cotgθ
Isto é, com Δx = al,
sendo M’Ed (x) = MEd (x+al)
O efeito do esforço transverso na armadura longitudinal pode ser obtido por da translação do diagrama de momentos da distância al.
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MΔ
M
x
MM'
M'
al
alal
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Δ Fs = 0.5 VEd (cotg θ - cotg α) Δ MEd = (0.5 VEd (cotgθ−cotgα) · z
al = 0.5 z (cotg θ – cotg α)
PARA ARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS:
Para armaduras verticais:
Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) cotg θ
ARMADURA LONGITUDINAL NOS APOIOS SIMPLES
Nos apoios simples MEd = 0, logo, as armaduras longitudinais devem ser dimensionadas apenas para o efeito do esf. transverso:
Para armaduras inclinadas:
Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) (cotg θ - cotg α)
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Para armaduras verticais: (Asw/s)min ≈ 0.1% bw
ARMADURA MÍNIMA DE ESFORÇO TRANSVERSO
Taxa de armadura de esf. transverso:α⋅⋅
=ρsenbs
A
w
sww
Taxa mínima de armadura de esf. transverso:
yk
ckminw, f
f08.0 =ρ
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+
-
VEd pd
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSODIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE ESFORÇO TRANSVERSO
pd
l
(Asw/s)min = ρw,min bw
yk
ckminw, f
f08.0 =ρ
θ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= cotgz f
s A
V ydmin
swmins,Rd,
θ = 30º e z ≈ 0.9 d
a
a
a = VRd,s,min/pd
( )θ⋅
=≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
cotgz fdxV
s
A
yd
Ed
apoios
sw2. Dimensionamento da armadura junto aos apoios:
1. Armadura mínima na zona central:
3. Verificação da compressão nas escoras junto aos apoios: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ν
250f
16.0 ck1θ+θ
ν=≤=
tgcotgzbf
V0)(xV wcd1maxRd,Ed
VRd,s,min
VRd,s,min
(Asw/s)min
(Asw/s)apoios
d
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
θ+θν
α=≤tgcotg
zbf VV wcd1
cwmaxRd,Ed
DETERMINAÇÃO DE θ PARA OPTIMIZAR A ARMADURA TRANSVERSAL
Taxa de armadura de esf. transverso:
( )θ⋅⋅να≤ sen20.5zbf V wcd1cwEd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛να
⋅≥θz bf
2Vsen0.5
wcd1cw
Ed1-
Com os limites da EN1992.1.1 1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 45º ≥ θ ≥ 21.8º
Note-se que à menor quantidade de armadura transversal (menor θ) corresponde um maior al = 0.5 z cotgθ, e portanto uma maior translação do diagrama de momentos flectores e, consequentemente, maior comprimento da armadura longitudinal.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO6.3. SITUAÇÕES PARTICULARES
VIGAS DE ALTURA VARIÁVEL
BANZO COMPRIMIDO INCLINADO
∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fc senα
Fcw = (V − Vccd) / senθ
VEd
Fs
Fc
F cwα
MEd
Vccd = Fc senα - é a componente vertical da força de compressão no banzo inclinado.α – ângulo do banzo comprimido com a horizontal.
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Outro exemplo de banzo comprimido inclinado:
BANZO TRACCIONADO INCLINADO
6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Fs
Fc
F cw
α
MEd
VEd
∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fs senα
Fcw = (V − Vtd) / senθ
Vtd = Fs senα - é a componente vertical da força de tracção no banzo inclinado.α – ângulo banzo traccionado com a horizontal.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
VEd(x = d) - Vccd - Vtd ≤ VRd,s
VIGAS DE ALTURA VARIÁVEL
VEd(x = 0) - Vccd - Vtd ≤ VRd,max
ACÇÕES APLICADAS JUNTO AOS APOIOS
CARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO
av
dav - é o vão de corte, e define-se como a distância entre a carga e a face do apoio em apoios rígidos, ou o eixo do apoio em apoios flexíveis.
+
(1-β) F
(1-β) F
β F
β F
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Para a verificação da escora comprimida, deve ser considerado o valor total de VEd, com VRd,max dado por:
VEd ≤ VRd,max = 0.5 bwd ν1 fcd
CARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO
+
(1-β) F
(1-β) F
β F
β F
Para efeitos de cálculo da armadura transversal, esforço transverso devido à carga concentrada pode ser multiplicado por β = av / 2dPara av< 0.5d deve ser tomado av= 0.5d.
β VEd ≤ VRd,s = Asw fyd sen αOnde Asw é a armadura transversal entre a carga e o apoio e α é o ângulo desta com o eixo da peça.
Esta armadura deve ser colocada numa largura de 0.75 av, centrada em av.
av 0.75 av
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOARMADURA DE SUSPENSÃO
Fsw = VEd + 2pd
Fsw
ACÇÕES NA FACE INFERIOR DA VIGA
APOIOS INDIRECTOS
h1
h2
≤h1/2
≤h1/2≤h1/3
≤h1/3
≤h2/2 ≤h2/3
Fsw/2Fsw/2h1
≤h1/3 ≤h1/3
≤h1/2≤h1/2
h2
pp
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSOARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMAResistência ao esforço transverso dos banzos
Escoras Tirantes
hf
2ΔF
2 ΔF = ΔM / z
Fsf
Fsf = ΔF / cotgθf
θf
(Asf/sf) fyd = (ΔF / Δx) / cotgθf
Fcf
Fcf = ΔF / cosθf
ν1fcd Δx senθf = ΔF / cosθf
ΔF
ΔF
ν1fcd senθf cosθf = (ΔF / Δx)
1.0 ≤ cotg θf ≤ 2.0 para banzos comprimidos
1.0 ≤ cotg θf ≤ 1.25 para banzos traccionadosΔx é metade da distância entre as secções de momento nulo e de momento máximo ou, no caso de cargas pontuais, a distância entre cargas pontuais.
Δx é uma distância no sentido longitudinal da peça, na qual se distribui a armadura Asf.
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
Se ΔF / Δx hf ≤ 0.4 fctd não é necessária armadura de ligação banzo-alma.
ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMAResistência ao esforço transverso dos banzos
Sendo VEd = ΔMEd/Δx então 2ΔF = VEdΔx / z
donde: ΔF/Δx = 0.5 VEd / z
No caso de acções uniformemente distribuídas, ΔF/Δx pode ser estimado da seguinte forma:
e 2 ΔF = ΔMEd / z
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6 6 –– RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSORESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
χΧchi
Coeficiente de fluênciaϕϑ
ALFABETO GREGO
Diâmetro de um varão de secção circularφΦfi
υΥipsilon
Tensão tangencialτΤtau
Tensão σΣsigma
Massa volúmica; taxa de armaduraρΡró
Constante, razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferênciaπΠpi
οΟómicron
CoeficienteξΞcsi
Coeficiente de Poisson; coeficiente de redução da resistência; esforço normal reduzidoνΝniú
Coeficiente de atrito; momento flector reduzidoμΜmiú
Coeficiente; coeficiente de esbeltezaλΛlambda
κΚKapa
ιΙIota
ÂnguloθΘteta
CoeficienteηΗeta
CoeficienteζΖzeta
Extensão εΕépsilon
IncrementoδΔdelta
Coeficiente ; coeficiente parcialγΓgama
Ângulo; relação; coeficienteβΒbeta
Ângulo; relação; coeficiente de expansão térmica; coeficiente de homogeneizaçãoαΑalfa
Representações frequentes das minúsculasMinúsculasMaiúsculasDesignação