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VLúcio Março06 1
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNLESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I7 7 –– RESISTÊNCIARESISTÊNCIA
AO ESFORAO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.7.Estado limite Estado limite úúltimo de resistência ao esforltimo de resistência ao esforçço transversoo transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL
τ
-τ
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOESTADO LIMITE ESTADO LIMITE ÚÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORLTIMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
1. Comportamento elástico de vigas sujeitas a esforço transverso2. Mecanismo de resistência ao esforço transverso em vigas de betão armado3. Situações particulares7.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE VIGAS SUJEITAS
A ESFORÇO TRANSVERSOConsidere-se uma viga constituída por um material elástico-linear.
+M
+-
V
A
A
+
-
σ(M) τ(V)
bhV
23
máx =τA-A
h
b ττ
τ
τ
σ=τσ=-τ
σ=-τ σ=τ
≡
σ=τ
2x45º
σ=-τ
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO7.2. MECANISMO DE RESISTÊNCIA AO ESFORÇO TRANSVERSO
EM VIGAS DE BETÃO ARMADO
No betão armado a resistência à tracção é baixa (σmáx= τ = fct), surgindo fendas de tracção perpendiculares à direcção das tensões de tracção.
σ=τσ=-τ
σ=-τ σ=τFendas verticais
de flexão
Fendas inclinadas de esf. transv.
Fendas inclinadas de esf. transv.
Fendas verticais de flexão
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x
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
F1
Fsw
F3
F2
Dente de betão
F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida
τ
x
F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais
F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda provocado pela intrincamento entre os inertes
Fsw – força de tracção nas armaduras transversais
Fc
Fs
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Fenda inclinada de esf. transv.
Efeito de ferrolho
Ponto de aplicação da carga
concentrada
Apoio
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
e depende dos seguintes factores:1. Resistência do betão (no efeito de ferrolho – F2; no valor de x; na ligação dos
inertes na zona da fenda – F3);2. Quantidade de armadura longitudinal As (no efeito de ferrolho – F2; no valor de
x; na abertura da fenda – F3);3. Dimensão relativa dos inertes (efeito de escala) – F3;4. Quantidade de armadura transversal (na abertura da fenda – F3; na resistência
da armadura transversal – Fsw).
x F1
Fsw
F3
F2
F1 – resultante das tensões de corte na zona comprimida
F2 – efeito de ferrolho nas armaduras longitudinais
F3 – componente vertical da força de atrito entre faces da fenda
Fsw – força de tracção nas armaduras transversais
A resistência ao esforço transverso será a soma destas componentes:VR = F1 + F2 + F3 + Fsw
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOCAMPOS DE TENSÃO
2. As armaduras transversais, por tracção, transferem estas forças novamente para o topo da viga.O mecanismo repete-se de forma a conduzir as cargas até aos apoios.
1. Através de campos de tensão de compressão no betão as forças aplicadas são transferidas para a parte inferior da viga.
3. Escoras e tirantes horizontais equilibram as componentes horizontais dos campos de tensão de compressão inclinados no betão.
Campos de tensão de compressão no betão
Tracção nas armaduras
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO
O problema simplifica-se se dividirmos a carga uniforme em parcelas iguais e a substituirmos pelas respectivas resultantes.
Escoras de compressão no betãoTirantes que representam a tracção nas armaduras
Podemos então considerar as resultantes dos campos de tensão inclinados no betão e as resultantes das forças nas armaduras transversais e longitudinais.Ficamos, assim, com uma estrutura treliçada, fácil de calcular, em que:• as barras comprimidas - escoras – constituem a resultante das tensões de compressão no betão, e• as barras traccionadas – tirantes – representam as armaduras, no caso das armaduras longitudinais, ou a resultante das forças nas armaduras distribuídas, no caso das armaduras transversais.
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSORESULTANTES DOS CAMPOS DE TENSÃO
Escoras Tirantes
θz
z cotg θ
z cotg θz cotg θ z cotg θz cotg θ z cotg θ
z cos θ
p
p z cotg θ
Fs
Fc
F cw
V cotgθ
V
z cotg θ
θθ1
z cosθ
p z cotg θ
Fsw
z
VEd(x = z cotgθ)
MEd
∑FV = 0 V = Fcw senθ∑MA = 0 M – V (z cotgθ)/2 = Fc zB∑MB = 0 M + V (z cotgθ)/2 = Fs z
z cotg θ2
z cotg θ2
Fcw = V / senθFc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2
∑FV = 0 Fsw = VPor equilíbrio do nó A:
A
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Fc = M / z – V cotgθ /2Fs = M / z + V cotgθ /2
Fcw = V / senθ
Fsw = V
Fs
Fc
F cw
z cotg θ
θθ1
z cosθ
Fsw
z
Fcw = σcw bw z cos θ
z cosθ
bw
Fcw
Fsw = Asw σsw (z cotgθ / s)
z cotg θ
sAsw
V = σcw bw z cos θ sen θ
θ+θσ
=tgcotgzb V wcw
θ⋅σ= cotgz s
A V swsw
bw - espessura da alma
s – espaçamento entreestribos
Asw - secção transversaltotal da armadurade um estribo
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θ+θν
α=tgcotg
zbf V wcd1cwmaxRd,
θ⋅= cotgz fs
A V ywdsw
sRd,
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOVERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
VEd(x = d) ≤ VRd,s - valor de cálculo do esforço transversoequilibrado pela resistência da armaduratransversal.
VEd (x = 0) ≤ VRd,max - valor de cálculo do esforço transversoresistente máximo, correspondente àresistência à compressão das escoras debetão.
Fs,Rd ≥ MEd / z + 0.5 VEd cotgθ - incremento de tracção na armadura longitudinal devido ao esforço transverso
NOTA: O esforço transverso actuante é calculado a x = d do apoio e não a x = z cotgθ, como seria de esperar do modelo anterior, por causa da variabilidade da distribuição das acções. O modelo anterior só é válido para acções uniformemente distribuídas, e essa condição pode não se verificar.Frequentemente, por simplificação, considera-se VEd(x=0).
NOTA: Neste caso, o esforço transverso actuante é calculado a x = 0, isto é, no apoio, onde a escora tem uma inclinação maior (cotgθ1 = 0.5 cotgθ) , σcw=V bwz (cotgθ1+ tgθ1) é menor mas o esforço transverso é maior que a x = z cotgθ.
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
θ⋅= cotgz fs
A V ywdsw
sRd,
1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 - limites admissíveis para o ângulo de inclinação das45º ≥ θ ≥ 21.8º escoras de betão com o eixo do elemento.
RESISTÊNCIA DAS ARMADURASfywd = fyd
s – espaçamento entre estribosAsw - secção transversal total da armadura de um estribo
d
bw
hAsw
Asw s
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ν
250f16.0 ck
1 com fck em MPa1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5
RESISTÊNCIA DAS ESCORAS COMPRIMIDASαcw = 1.0 para estruturas não pré-esforçados
bw - menor espessura na altura útil d da alma da secção (onde se encontram as escoras inclinadas)
d
bw
hAsw
θ+θν
α=tgcotg
zbf V wcd1cwmaxRd,
b
dh
bw
hf
Asw
ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL para θ=45º
cd1cww
ywdmaxsw, f0.5 bs
fAνα= θ+θ
να=
tgcotgzbf V wcd1
cwmaxRd,
θ⋅= cotgz fs
A V ywdsw
sRd,
ν1 - coeficiente de redução da resistência do betão em compressão, tendo em conta que o betão na alma da viga está fendilhado.
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS (estribos ou varões inclinados)
θ+α+θν
α=== 2wcd1
cwmaxRd,Ed cotg1)cotgz(cotgbf V0)(xV
( )( ) αα+θ⋅=≤α+θ= sen)gcotcotg(z fs
A VgcotcotgzxV ywdsw
sRd,Ed
ανα
=sen
f0.5 bs
fA cd1cw
w
ywdmaxsw,
ÁREA MÁXIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL INCLINADA para θ=45º
A utilização de varões inclinados deve ser usada como solução extrema, e sempre em conjunto com estribos (pelo menos 50% da armadura transversal) com ramos junto às superfícies da alma como forma de melhor controlar a abertura das eventuais fendas de esforço transverso.
Asw sα
45º≤ α ≤ 90º
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MΔ
M
x
MM'
M'
al
alal
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOFORÇA DE TRACÇÃO ADICIONAL NA ARMADURA LONGITUDINAL
Fs = MEd / z + 0.5 VEd cotgθ Δ Fs = 0.5 VEd cotgθ
como V = dM/dx
ou M’Ed = Fs · z = MEd + Δ MEd com Δ MEd = (0.5 VEd cotgθ) · z
Parcela devida à flexão
Parcela devida ao esf. transv.
Então:VEd = Δ MEd / ΔxVEd = (0.5 VEd cotgθ) · z / Δx
al = 0.5 z cotgθ
Isto é, com Δx = al,
sendo M’Ed (x) = MEd (x+al)
O efeito do esforço transverso na armadura longitudinal pode ser obtido por da translação do diagrama de momentos da distância al.
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MΔ
M
x
MM'
M'
al
alal
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Δ Fs = 0.5 VEd (cotg θ - cotg α) Δ MEd = (0.5 VEd (cotgθ−cotgα) · z
al = 0.5 z (cotg θ – cotg α)
PARA ARMADURAS TRANSVERSAIS INCLINADAS:
Para armaduras verticais:
Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) cotg θ
ARMADURA LONGITUDINAL NOS APOIOS SIMPLES
Nos apoios simples MEd = 0, logo, as armaduras longitudinais devem ser dimensionadas apenas para o efeito do esf. transverso:
Para armaduras inclinadas:
Δ Fs = 0.5 VEd(x=0) (cotg θ - cotg α)
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Para armaduras verticais: (Asw/s)min ≈ 0.1% bw
ARMADURA MÍNIMA DE ESFORÇO TRANSVERSO
Taxa de armadura de esf. transverso:α⋅⋅
=ρsenbs
A w
sww
Taxa mínima de armadura de esf. transverso:yk
ckminw, f
f08.0 =ρ
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+
-
VEd pd
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSODIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE ESFORÇO TRANSVERSO
pd
l
(Asw/s)min = ρw,min bw
yk
ckminw, f
f08.0 =ρ
θ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= cotgz f
s A V yd
min
swmins,Rd,
θ = 30º e z ≈ 0.9 d
a
a
a = VRd,s,min/pd
( )θ⋅
=≥⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
cotgz fdxV
s A
yd
Ed
apoios
sw2. Dimensionamento da armadura junto aos apoios:
1. Armadura mínima na zona central:
3. Verificação da compressão nas escoras junto aos apoios: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ν
250f16.0 ck
1θ+θν
=≤=tgcotg
zbf V0)(xV wcd1maxRd,Ed
VRd,s,min
VRd,s,min
(Asw/s)min
(Asw/s)apoios
d
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
θ+θν
α=≤tgcotg
zbf VV wcd1cwmaxRd,Ed
DETERMINAÇÃO DE θ PARA OPTIMIZAR A ARMADURA TRANSVERSAL
Taxa de armadura de esf. transverso:
( )θ⋅⋅να≤ sen20.5zbf V wcd1cwEd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛να
⋅≥θz bf
2Vsen0.5 wcd1cw
Ed1-
Com os limites da EN1992.1.1 1.0 ≤ cotg θ ≤ 2.5 45º ≥ θ ≥ 21.8º
Note-se que à menor quantidade de armadura transversal (menor θ) corresponde um maior al = 0.5 z cotgθ, e portanto uma maior translação do diagrama de momentos flectores e, consequentemente, maior comprimento da armadura longitudinal.
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO6.3. SITUAÇÕES PARTICULARES
VIGAS DE ALTURA VARIÁVELBANZO COMPRIMIDO INCLINADO
∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fc senα
Fcw = (V − Vccd) / senθ
VEd
Vccd = Fc senα - é a componente vertical da força de compressão no banzo inclinado.α – ângulo do banzo comprimido com a horizontal.
Fs
Fc
F cwα
MEd
θ
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Outro exemplo de banzo comprimido inclinado:
BANZO TRACCIONADO INCLINADO
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
∑FV = 0 V = Fcw senθ + Fs senα
Fcw = (V − Vtd) / senθ
Vtd = Fs senα - é a componente vertical da força de tracção no banzo inclinado.α – ângulo banzo traccionado com a horizontal.Fs
Fc
F cw
α
MEd
VEd
θ
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
VEd(x = d) - Vccd - Vtd ≤ VRd,s
VIGAS DE ALTURA VARIÁVEL
VEd(x = 0) - Vccd - Vtd ≤ VRd,max
ACÇÕES APLICADAS JUNTO AOS APOIOSCARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO
d
av
av - é o vão de corte, e define-se como a distância entre a carga e a face do apoio em apoios rígidos, ou o eixo do apoio em apoios flexíveis.
+
(1-β) F
(1-β) F
β F
β F
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+
(1-β) F
(1-β) F
β F
β F
7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Para a verificação da escora comprimida, deve ser considerado o valor total de VEd, com VRd,max dado por:
VEd ≤ VRd,max = 0.5 bwd ν1 fcd
CARGAS CONCENTRADAS A aV ≤ 2d DO APOIO
Para efeitos de cálculo da armadura transversal, esforço transverso devido àcarga concentrada pode ser multiplicado por β = av / 2dPara av< 0.5d deve ser tomado av= 0.5d.
β VEd ≤ VRd,s = Asw fyd sen αOnde Asw é a armadura transversal entre a carga e o apoio e α é o ângulo desta com o eixo da peça. Esta armadura deve ser colocada numa largura de 0.75 av, centrada em av.
av 0.75 av
d
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURA DE SUSPENSÃO
Fsw = VEd + 2pd z cotgθ ≤ Asw/s fyd z cotgθ
ACÇÕES NA FACE INFERIOR DA VIGA
APOIOS INDIRECTOS
h1
h2
≤h1/2≤h1/2
≤h1/3
≤h1/3
≤h2/2 ≤h2/3
Fsw/2Fsw/2h1
≤h1/3 ≤h1/3
≤h1/2≤h1/2
h2
pp
Fsw ≤ Asw fyd
Fsw
Z cotg θ
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSOARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMAResistência ao esforço transverso dos banzos
Escoras Tirantes
hf
2ΔF
2 ΔF = ΔM / z
Fsf
Fsf = ΔF / cotgθf
θf
(Asf/sf) fyd cotgθf ≥ (ΔF / Δx)
Fcf
Fcf = ΔF / cosθf
ν1fcd hf Δx senθf ≥ ΔF / cosθfΔF
ΔF
ν1fcd hf senθf cosθf ≥ (ΔF / Δx)
1.0 ≤ cotg θf ≤ 2.0 para banzos comprimidos1.0 ≤ cotg θf ≤ 1.25 para banzos traccionados
Δx é, no máximo, metade da distância entre as secções de momento nulo e de momento máximo ou, no caso de cargas pontuais, a distância entre cargas pontuais.
Δx é uma distância no sentido longitudinal da peça, na qual se distribui a armadura Asf.
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
Se ΔF / Δx hf ≤ 0.4 fctd não é necessária armadura de ligação banzo-alma.
Sendo VEd = ΔMEd/Δx
então 2ΔF = VEdΔx / zdonde: ΔF/Δx = 0.5 VEd / z
No caso de acções uniformemente distribuídas, ΔF/Δxpode ser estimado da seguinte forma:
e 2 ΔF = ΔMEd / z
ν1 fcd hf senθf cosθf ≥ (ΔF / Δx)(Asf/sf) fyd cotgθf ≥ (ΔF / Δx)
+-
VEd
pd
l
+MEd
ν1 fcd hf z senθf cosθf ≥ 0.5 VEd(Asf/sf) fyd z cotgθf ≥ 0.5 VEd
Assim, se se considerar θf = θ:• a área de armadura de ligação banzo-alma é metade da área da armadura de esforço transverso da alma - Asf /sf ≥ 0.5 Asw /s,• e a resistência à compressão do betão está automaticamente verificada se a espessura do banzo for pelo menos metade da espessura da alma - hf ≥ 0.5 bw
VIGAS EM L: No caso de vigas com banzo apenas para um dos lados da alma (L), as expressões anteriores tomam a forma:
ν1 fcd hf z senθf cosθf ≥ VEd(Asf/sf) fyd z cotgθf ≥ VEd
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7 7 –– RESISTÊNCIA AO ESFORRESISTÊNCIA AO ESFORÇÇO TRANSVERSOO TRANSVERSO
χΧchi
Coeficiente de fluênciaϕϑ
ALFABETO GREGO
Percentagem mecânica de armaduraωΩomega
Coeficientes definindo valores representativos ψΨpsi
Diâmetro de um varão de secção circularφΦfi
υΥipsilon
Tensão tangencialτΤtau
Tensão σΣsigma
Massa volúmica; taxa de armaduraρΡró
Constante, razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferênciaπΠpi
οΟómicron
CoeficienteξΞcsi
Coeficiente de Poisson; coeficiente de redução da resistência; esforço normal reduzidoνΝniú
Coeficiente de atrito; momento flector reduzidoμΜmiú
Coeficiente; coeficiente de esbeltezaλΛlambda
κΚKapa
ιΙIota
ÂnguloθΘteta
CoeficienteηΗeta
CoeficienteζΖzeta
Extensão εΕépsilon
IncrementoδΔdelta
Coeficiente ; coeficiente parcialγΓgama
Ângulo; relação; coeficienteβΒbeta
Ângulo; relação; coeficiente de expansão térmica; coeficiente de homogeneizaçãoαΑalfa
Representações frequentes das minúsculasMinúsculasMaiúsculasDesignação
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PROGRAMAPROGRAMA1. Introdução ao betão armado2. Bases de Projecto e Acções3. Propriedades dos materiais: betão e aço4. Durabilidade5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6. Estado limite último de resistência à flexão simples7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso8. Disposições construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço
normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção