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Estudo Dirigido de ESTATSTICA APLICADA
Ol pessoal, estamos no final desta fase e para auxili-los, ns preparamos um
material que certamente ir ser muito til para as provas objetivas e
discursivas.
Ao longo das 6 aulas estudamos que extremamente difcil definir estatstica,
mas, segundo descrito por Castanheira e Aurlio uma metodologia
desenvolvida para coleta, classificao, a apresentao, a anlise e a
interpretao de dados quantitativos e a utilizao desses dados para tomada
de decises.
Alguns destes termos so Populao e Amostra que so definidos como:
Populao o conjunto de elementos que desejamos observar para
obtermos determinados dados.
1. Populao finita: quando sabemos exatamente o tamanho dela, por
exemplo, vamos pesquisar a altura dos alunos de uma sala de aula
com 50 alunos ou vamos pesquisar a variao de idade dos scios
do clube X etc.
2. Populao infinita: quando a populao tem um nmero infinito de
elementos ou difcil de ser quantificada, por exemplo, a quantidade
de rosas amarelas que florescem no outono no Brasil, ou a
quantidade peixes X no oceano Atlntico etc.
Amostra o subconjunto de elementos retirados da populao que
estamos observando para obtermos determinados dados.
Estatstica Descritiva ou dedutiva, o tipo de estatstica que tem por objetivo
descrever e analisar determinada populao sem, com isso, pretender tirar
concluses de carter mais genrico. a parte da estatstica referente coleta
e tabulao dos dados.
Estatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica admitirmos que os resultados
obtidos na anlise dos dados de uma amostra so vlidos para toda a
populao da qual aquela amostra foi retirada. Consiste em obtermos e
generalizarmos concluses.
Um estudo estatstico completo compreende oito fases distintas para que se
chegue ao resultado final.
1. Definio do problema;
2. Delimitao do problema;
3. Planejamento para obteno dos dados;
2
4. Coletar os dados;
5. Apurao dos dados;
6. Apresentao dos dados;
7. Anlise dos dados;
8. Interpretao dos dados.
Uma vez concluda a coleta de dados e tambm a ordenao dos mesmos,
devemos apresent-las de tal forma que o leitor consiga identificar,
rapidamente, uma srie de informaes. Para tal processo, a estatstica
costuma utilizar-se de duas ferramentas: tabelas e grficos.
Em relao s tabelas, a sua estrutura constituda de 3 partes:
Cabealho, corpo e rodap.
Quando o nmero de resultados obtidos em uma pesquisa demasiadamente
grande, sendo necessrio agruparmos esses resultados em faixas de valores,
denominados classes ou intervalos.
Dentro da Estatstica, encontramos o termo Sries Estatsticas, denominao
dada a uma tabela na qual existe um critrio distinto que a especifica e a
diferencia. Existem cinco tipos de tabelas de Sries Estatsticas, cada uma tem
particularidades que as definem e as diferenciam das outras. So elas:
Temporais
Geogrficas
Especficas: Esse tipo de srie caracterizada pela variao do fato
(variao do fenmeno), enquanto local e o tempo so constantes.
Conjugadas: Esse tipo de srie, tambm conhecida como srie mista,
caracterizada pela existncia da combinao entre as sries temporais,
geogrficas e especficas.
De distribuio de frequncia.
Uma tabela de Srie Estatstica Temporal (cronolgica, evolutiva ou histrica)
tem como caracterstica a variao do tempo (poca), enquanto o local (fator
geogrfico) e o fato (fenmeno) permanecem fixos, como podemos ver na
tabela 1.
ANO EXPORTAES (em US$ 1.000.000,00)
2008 344
2009 434
2010 667
2011 892
2012 1.465
Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor.
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Nossa Instituio obteve certa quantidade de candidatos ao vestibular de
vero/2013, a distribuio desses candidatos por curso pode ser verificada na
tabela 2. Observamos que se trata de uma Sries Estatsticas especficas
sua caracterstica a variao do fato (variao do fenmeno), enquanto local
e o tempo so constantes.
Cursos ofertados Nmero de candidatos
Logstica 5.980
Recursos humanos 3.120
Gesto ambiental 2.331
Sade ocupacional 1.567
Gesto da produo 6.025
Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor
Observando a tabela a seguir que demonstra uma Srie Estatsticas
geogrficas sua caracterstica a variao do local de ocorrncia (fator
geogrfico), enquanto tempo (a poca) e o fato (o fenmeno) permanecem
fixos.
Regio Quantidade de microempresas
Norte 8.879
Sul 23.986
Sudeste 45.901
Centro oeste 7.987
Nordeste 16.439
Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor
Observamos em uma pesquisa que podem existir diferentes valores, isso
denominamos de varivel. As varireis so classificadas em qualitativas e
quantitativas.
A varivel quantitativa expressa por meio de valores numricos e pode
relacionar todos os possveis valores que ela pode assumir. Exemplo:
nmero de peas defeituosas, quantidade de mquinas disponveis,
volume de gua em reservatrios, altura dos empregados, temperatura
ambiente etc.
A varivel qualitativa a que descreve qualidades, categorias ou
atributos que normalmente no podem ser expressos em valores
numricos.
1. Varivel qualitativa nominal permite somente a classificao dos
dados. Ex.: sexo, cor da pele, origem, ramo de atividade de uma
empresa etc.
4
2. Varivel qualitativa ordinal permite que se estabelea uma ordem
nos seus resultados. Ex.: grau de instruo, status social,
classificao em um concurso, classe social, ordem de chegada etc.
A mediana (Md) de um conjunto de dados o valor que ocupa a posio
central desses dados, desde que estejam colocados em ordem crescente ou
decrescente, ou seja, em um rol.
Caso a quantidade de dados seja par, o valor da mediana ser a mdia
aritmtica dos dois valores que esto no centro da srie.
Agora para calcularmos a mediana do conjunto de valores abaixo
necessitamos seguir alguns passos, veja:
10 - 7 - 12 - 6 - 10 - 9
1. Passo colocar em ordem crescente:
6 7 9 10 10 - 12
2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso
par ento a mediana a mdia aritmtica dos dois valores centrais da srie, ou
seja:
Md= (9+ 10)/2
Md = 9,5
Outro exemplo:
Dados o conjunto de nmeros inteiros, determine a mediana desses valores.
9 - 6 - 5 - 4 - 8 - 9 - 10 - 4 - 7 - 8 - 5 - 6 - 10
1. Passo colocar em ordem crescente:
4 - 4 5 5 - 6 6 - 7 8 - 8 9 - 9 10 10
2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso
impar ento a mediana o valor central da srie, ou seja:
Md= 7
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Caso tenhamos uma relao com dados oriundos de uma pesquisa, pede-se o
valor da Mediana deles. Descreva a seguir o passo a passo para determinar a
Mediana (Md) dos valores do exemplo de dados a seguir.
4, 7, 3, 9, 6, 15, 4, 7, 8, 10, 5, 3, 1
1. Passo colocar em ordem crescente:
1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 15
2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso
impar ento a mediana o valor central da srie, ou seja:
Md= 6
Analisando os resultados de uma pesquisa feita em uma sala de aula, em
relao altura dos alunos, obtivemos os dados agrupados na tabela 1.
Calcule a altura Mediana (Md) desses alunos.
ALTURA DOS ALUNOS FREQUNCIA
163 cm 3
165 cm 4
167 cm 8
169 cm 5
171 cm 5
173 cm 7
175 cm 5
177 cm 3
Fonte: o autor.
1 Verificar a quantidade de dados (n = ?). Para isso, fazer a frequncia
acumulada e ver que 40, portanto, n = 40 par.
2 Como par, a Mediana (Md) ser a mdia dos dois elementos centrais.
3 Os elementos centrais so: os 20 e 21 , em que o 20 tem 169 cm e o 21
171 cm.
4 Calcular a mdia entre eles: (169 + 171) / 2 = 170 cm, essa a Md.
Um valor muito usado nos clculos estatsticos a Moda (Mo) de uma amostra
ou populao. A Moda (Mo) o valor dos resultados de uma pesquisa que
acontecem com a maior frequncia.
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Observando a distribuio sem agrupamento na tabela 1, descreva qual o valor
modal desta e como foi encontrado.
ALTURA DOS PILOTOS FREQUNCIA
168 cm 12
169 cm 15
170 cm 13
171 cm 19
172 cm 7
Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor.
O valor modal (Mo) 171 cm, pois, para se determinar o valor modal de uma
distribuio sem agrupamento, deve-se observar qual varivel tem a maior
frequncia.
Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine o desvio mdio desses valores
em relao mdia.
8, 4, 6, 9, 10, 5
Dm = [|X - mdia aritmtica|x f]/n
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6
X = 42/6
X = 7
Xi Xi - X I Xi X I 4 4 7 = - 3 3 5 5 7 = -2 2 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 2 10 10 7 = 3 3 0 12
Dm = 12/6
Dm = 2
7
Varincia a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios
Ou seja:
Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine a varincia do conjunto,
supondo que esses valores correspondam a uma amostra.
8, 4, 6, 9, 10, 5
S2 = [(X - mdia aritmtica)2 x f]/(n 1)
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6
X = 42/6
X = 7
S2 = [(7)2 x f]/(n 1)
Xi Xi - X S2
4 4 7 = - 3 9 5 5 7 = -2 4 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 4 10 10 7 = 3 9 0 28
S2 = 28/6-1 = 28/5
S2 = 5,6
Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine o desvio padro do conjunto,
supondo que esses valores correspondam a uma amostra.
8, 4, 6, 9, 10, 5
S = desvio padro igual a raiz quadrada da varincia.
8
S2 = [(X - mdia aritmtica)2 x f]/(n 1)
X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6
X = 42/6
X = 7
S2 = [(7)2 x f]/(n 1)
Xi Xi - X S2
4 4 7 = - 3 9 5 5 7 = -2 4 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 4 10 10 7 = 3 9 0 28
S2 = 28/6-1 = 28/5
S2 = 5,6
S = desvio padro igual a raiz quadrada da varincia.
S = S2
S = 2,36
Em uma distribuio de frequncias, verificou-se que a mediana igual a
15,40, a mdia igual a 16,00 e o desvio padro igual a 6,00.
Determine o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, com duas casas
depois da vrgula.
As = 3 x (Mdia aritmtica Md) / S, ou seja,
As= 3 . (mdia mediana)/desvio padro
As = 3 (16 15,4) / 6
9
As = 3 (0,6) / 6
As = 1,8 / 6
As = 0,30
Em uma distribuio de frequncias, verificou-se que a mediana igual a
15,40, a mdia igual a 16,00 e o desvio padro igual a 6,00.
Determine o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, com duas casas
depois da vrgula.
As = 3 x (Mdia aritmtica Md) / S, ou seja,
As= 3 . (mdia mediana)/desvio padro
As = 3 (16 15,4) / 6
As = 3 (0,6) / 6
As = 1,8 / 6
As = 0,30
Uma bola retirada ao acaso de uma urna que contm 6 bolas vermelhas, 8
bolas pretas e 4 bolas verdes.
Analise a demonstrao do clculo da probabilidade dela no ser preta.
A bola retirada no pode ser preta; logo, poder ser vermelha ou verde. Ento:
P (Vermelha ou Verde) = P (Vermelha) + P (Verde)
P (Vermelha ou Verde) = 6/18 + 4/18
P (Vermelha ou Verde) = 10/18
Dados brutos: so as relaes dos resultados obtidos em uma pesquisa e que
foram transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de qualquer ordem.
Rol: a relao dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram
colocados em ordem numrica, crescente ou decrescente.
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Frequncia: o nmero de vezes que um mesmo resultado acontece durante
uma pesquisa.
Calcule a mdia das idades representadas na distribuio de frequncias da
tabela abaixo.
Idade Frequncia
4 4
5 6
6 6
7 4
Mdia = 4 .4 + 5 . 6 + 6 . 6 + 7 . 4 / 20
Mdia = 16 + 30 + 36 + 28 / 20
Mdia = 110 / 20 = 5,5
Calcule o desvio mdio do seguinte conjunto de nmeros:
4, 6, 8, 9, 10 e 11.
Inicialmente devemos calcular a mdia aritmtica dos valores dados:
Mdia = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 / 6
Mdia = 8
Em seguida:
4 4 8 = - 4 4 6 6 8 = - 2 2 8 8 8 = 0 0 9 9 8 = 1 1 10 10 8 = 2 2 11 11 8 = 3 3 0 12
Desvio mdio = 12 / 6 = 2
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Qual a probabilidade de obtermos o total de seis (6) pontos na jogada de dois
(2) dados honestos?
S = {36 resultados possveis}
A = {a soma dos dois dados igual a 6}
A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
P(A) = 5/36
Hiptese nula (H0) a hiptese que ser testada, ou seja, a informao a
respeito do valor do parmetro que desejamos avaliar.
Hiptese alternativa (H1) a hiptese que afirma que a hiptese nula falsa,
ou seja, a afirmao a respeito do valor do parmetro que aceitaremos como
verdadeiro, caso a hiptese nula seja rejeitada.
Em 100 lances de uma moeda honesta, qual a mdia esperada de caras
obtidas e qual o desvio padro do experimento?
Mdia = 100 (1/2) = 50
S2 = 100 (1/2) . (1/2) = 25
S = 5
O termo probabilidade usado de modo amplo na conversao diria para
sugerir certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrer
no futuro e o que est ocorrendo no presente.
Uma empresa importadora tem 25% de chance de vender com sucesso um
produto A e tem 40% de chance de vender com sucesso um produto B. Se
essa empresa importar os dois produtos A e B, qual a probabilidade dela ter
sucesso na venda ou do produto A ou do produto B?
P (A ou B) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B)
P (A ou B) = 25/100 + 40/100 25/100 . 40/100
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P (A ou B) = 65/100 10/100
P (A ou B) = 55/100
Uma urna I contm 4 bolas vermelhas, 3 bolas pretas e 3 bolas verdes. Uma
urna II contm 2 bolas vermelhas, 5 bolas pretas e 8 bolas verdes. Uma urna III
contm 10 bolas vermelhas, 4 bolas pretas e 6 bolas verdes.
Calcule a probabilidade de, retirando-se uma bola de cada urna, serem todas
de mesma cor.
Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem vermelhas:
P (Verm, Verm, Verm) = 4/10 . 2/15 . 10/20
P (Verm, Verm, Verm) = 80/3000
Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem pretas:
P (Preta, Preta, Preta) = 3/10 . 4/15 . 5/20
P (Preta, Preta, Preta) = 60/3000
Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem verdes:
P (Verde, Verde, Verde) = 3/10 . 8/15. 6/20
P (Verde, Verde, Verde) = 144/3000
Calculando a soma das trs probabilidades:
P (ser da mesma cor) = 80/3000 + 60/3000 + 144/3000
P (ser da mesma cor) = 284/3000.
Caros alunos chegamos ao final do nosso estudo dirigido, desejo a todos muito
sucesso!
Prof. Emerson Seixas