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Estudo Dirigido de ESTATSTICA APLICADA

Ol pessoal, estamos no final desta fase e para auxili-los, ns preparamos um

material que certamente ir ser muito til para as provas objetivas e

discursivas.

Ao longo das 6 aulas estudamos que extremamente difcil definir estatstica,

mas, segundo descrito por Castanheira e Aurlio uma metodologia

desenvolvida para coleta, classificao, a apresentao, a anlise e a

interpretao de dados quantitativos e a utilizao desses dados para tomada

de decises.

Alguns destes termos so Populao e Amostra que so definidos como:

Populao o conjunto de elementos que desejamos observar para

obtermos determinados dados.

1. Populao finita: quando sabemos exatamente o tamanho dela, por

exemplo, vamos pesquisar a altura dos alunos de uma sala de aula

com 50 alunos ou vamos pesquisar a variao de idade dos scios

do clube X etc.

2. Populao infinita: quando a populao tem um nmero infinito de

elementos ou difcil de ser quantificada, por exemplo, a quantidade

de rosas amarelas que florescem no outono no Brasil, ou a

quantidade peixes X no oceano Atlntico etc.

Amostra o subconjunto de elementos retirados da populao que

estamos observando para obtermos determinados dados.

Estatstica Descritiva ou dedutiva, o tipo de estatstica que tem por objetivo

descrever e analisar determinada populao sem, com isso, pretender tirar

concluses de carter mais genrico. a parte da estatstica referente coleta

e tabulao dos dados.

Estatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica admitirmos que os resultados

obtidos na anlise dos dados de uma amostra so vlidos para toda a

populao da qual aquela amostra foi retirada. Consiste em obtermos e

generalizarmos concluses.

Um estudo estatstico completo compreende oito fases distintas para que se

chegue ao resultado final.

1. Definio do problema;

2. Delimitao do problema;

3. Planejamento para obteno dos dados;

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4. Coletar os dados;

5. Apurao dos dados;

6. Apresentao dos dados;

7. Anlise dos dados;

8. Interpretao dos dados.

Uma vez concluda a coleta de dados e tambm a ordenao dos mesmos,

devemos apresent-las de tal forma que o leitor consiga identificar,

rapidamente, uma srie de informaes. Para tal processo, a estatstica

costuma utilizar-se de duas ferramentas: tabelas e grficos.

Em relao s tabelas, a sua estrutura constituda de 3 partes:

Cabealho, corpo e rodap.

Quando o nmero de resultados obtidos em uma pesquisa demasiadamente

grande, sendo necessrio agruparmos esses resultados em faixas de valores,

denominados classes ou intervalos.

Dentro da Estatstica, encontramos o termo Sries Estatsticas, denominao

dada a uma tabela na qual existe um critrio distinto que a especifica e a

diferencia. Existem cinco tipos de tabelas de Sries Estatsticas, cada uma tem

particularidades que as definem e as diferenciam das outras. So elas:

Temporais

Geogrficas

Especficas: Esse tipo de srie caracterizada pela variao do fato

(variao do fenmeno), enquanto local e o tempo so constantes.

Conjugadas: Esse tipo de srie, tambm conhecida como srie mista,

caracterizada pela existncia da combinao entre as sries temporais,

geogrficas e especficas.

De distribuio de frequncia.

Uma tabela de Srie Estatstica Temporal (cronolgica, evolutiva ou histrica)

tem como caracterstica a variao do tempo (poca), enquanto o local (fator

geogrfico) e o fato (fenmeno) permanecem fixos, como podemos ver na

tabela 1.

ANO EXPORTAES (em US$ 1.000.000,00)

2008 344

2009 434

2010 667

2011 892

2012 1.465

Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor.

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Nossa Instituio obteve certa quantidade de candidatos ao vestibular de

vero/2013, a distribuio desses candidatos por curso pode ser verificada na

tabela 2. Observamos que se trata de uma Sries Estatsticas especficas

sua caracterstica a variao do fato (variao do fenmeno), enquanto local

e o tempo so constantes.

Cursos ofertados Nmero de candidatos

Logstica 5.980

Recursos humanos 3.120

Gesto ambiental 2.331

Sade ocupacional 1.567

Gesto da produo 6.025

Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor

Observando a tabela a seguir que demonstra uma Srie Estatsticas

geogrficas sua caracterstica a variao do local de ocorrncia (fator

geogrfico), enquanto tempo (a poca) e o fato (o fenmeno) permanecem

fixos.

Regio Quantidade de microempresas

Norte 8.879

Sul 23.986

Sudeste 45.901

Centro oeste 7.987

Nordeste 16.439

Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor

Observamos em uma pesquisa que podem existir diferentes valores, isso

denominamos de varivel. As varireis so classificadas em qualitativas e

quantitativas.

A varivel quantitativa expressa por meio de valores numricos e pode

relacionar todos os possveis valores que ela pode assumir. Exemplo:

nmero de peas defeituosas, quantidade de mquinas disponveis,

volume de gua em reservatrios, altura dos empregados, temperatura

ambiente etc.

A varivel qualitativa a que descreve qualidades, categorias ou

atributos que normalmente no podem ser expressos em valores

numricos.

1. Varivel qualitativa nominal permite somente a classificao dos

dados. Ex.: sexo, cor da pele, origem, ramo de atividade de uma

empresa etc.

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2. Varivel qualitativa ordinal permite que se estabelea uma ordem

nos seus resultados. Ex.: grau de instruo, status social,

classificao em um concurso, classe social, ordem de chegada etc.

A mediana (Md) de um conjunto de dados o valor que ocupa a posio

central desses dados, desde que estejam colocados em ordem crescente ou

decrescente, ou seja, em um rol.

Caso a quantidade de dados seja par, o valor da mediana ser a mdia

aritmtica dos dois valores que esto no centro da srie.

Agora para calcularmos a mediana do conjunto de valores abaixo

necessitamos seguir alguns passos, veja:

10 - 7 - 12 - 6 - 10 - 9

1. Passo colocar em ordem crescente:

6 7 9 10 10 - 12

2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso

par ento a mediana a mdia aritmtica dos dois valores centrais da srie, ou

seja:

Md= (9+ 10)/2

Md = 9,5

Outro exemplo:

Dados o conjunto de nmeros inteiros, determine a mediana desses valores.

9 - 6 - 5 - 4 - 8 - 9 - 10 - 4 - 7 - 8 - 5 - 6 - 10

1. Passo colocar em ordem crescente:

4 - 4 5 5 - 6 6 - 7 8 - 8 9 - 9 10 10

2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso

impar ento a mediana o valor central da srie, ou seja:

Md= 7

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Caso tenhamos uma relao com dados oriundos de uma pesquisa, pede-se o

valor da Mediana deles. Descreva a seguir o passo a passo para determinar a

Mediana (Md) dos valores do exemplo de dados a seguir.

4, 7, 3, 9, 6, 15, 4, 7, 8, 10, 5, 3, 1

1. Passo colocar em ordem crescente:

1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 15

2. Passo verificar se a quantidade de dados par ou impar, nesse caso

impar ento a mediana o valor central da srie, ou seja:

Md= 6

Analisando os resultados de uma pesquisa feita em uma sala de aula, em

relao altura dos alunos, obtivemos os dados agrupados na tabela 1.

Calcule a altura Mediana (Md) desses alunos.

ALTURA DOS ALUNOS FREQUNCIA

163 cm 3

165 cm 4

167 cm 8

169 cm 5

171 cm 5

173 cm 7

175 cm 5

177 cm 3

Fonte: o autor.

1 Verificar a quantidade de dados (n = ?). Para isso, fazer a frequncia

acumulada e ver que 40, portanto, n = 40 par.

2 Como par, a Mediana (Md) ser a mdia dos dois elementos centrais.

3 Os elementos centrais so: os 20 e 21 , em que o 20 tem 169 cm e o 21

171 cm.

4 Calcular a mdia entre eles: (169 + 171) / 2 = 170 cm, essa a Md.

Um valor muito usado nos clculos estatsticos a Moda (Mo) de uma amostra

ou populao. A Moda (Mo) o valor dos resultados de uma pesquisa que

acontecem com a maior frequncia.

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Observando a distribuio sem agrupamento na tabela 1, descreva qual o valor

modal desta e como foi encontrado.

ALTURA DOS PILOTOS FREQUNCIA

168 cm 12

169 cm 15

170 cm 13

171 cm 19

172 cm 7

Fonte: dados fictcios elaborados pelo autor.

O valor modal (Mo) 171 cm, pois, para se determinar o valor modal de uma

distribuio sem agrupamento, deve-se observar qual varivel tem a maior

frequncia.

Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine o desvio mdio desses valores

em relao mdia.

8, 4, 6, 9, 10, 5

Dm = [|X - mdia aritmtica|x f]/n

X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6

X = 42/6

X = 7

Xi Xi - X I Xi X I 4 4 7 = - 3 3 5 5 7 = -2 2 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 2 10 10 7 = 3 3 0 12

Dm = 12/6

Dm = 2

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Varincia a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios

Ou seja:

Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine a varincia do conjunto,

supondo que esses valores correspondam a uma amostra.

8, 4, 6, 9, 10, 5

S2 = [(X - mdia aritmtica)2 x f]/(n 1)

X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6

X = 42/6

X = 7

S2 = [(7)2 x f]/(n 1)

Xi Xi - X S2

4 4 7 = - 3 9 5 5 7 = -2 4 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 4 10 10 7 = 3 9 0 28

S2 = 28/6-1 = 28/5

S2 = 5,6

Dado o conjunto de nmeros inteiros, determine o desvio padro do conjunto,

supondo que esses valores correspondam a uma amostra.

8, 4, 6, 9, 10, 5

S = desvio padro igual a raiz quadrada da varincia.

8

S2 = [(X - mdia aritmtica)2 x f]/(n 1)

X= (8 + 4 + 6 + 9 + 10 + 5)/6

X = 42/6

X = 7

S2 = [(7)2 x f]/(n 1)

Xi Xi - X S2

4 4 7 = - 3 9 5 5 7 = -2 4 6 6 7 = - 1 1 8 8 7 = 1 1 9 9 7 = 2 4 10 10 7 = 3 9 0 28

S2 = 28/6-1 = 28/5

S2 = 5,6

S = desvio padro igual a raiz quadrada da varincia.

S = S2

S = 2,36

Em uma distribuio de frequncias, verificou-se que a mediana igual a

15,40, a mdia igual a 16,00 e o desvio padro igual a 6,00.

Determine o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, com duas casas

depois da vrgula.

As = 3 x (Mdia aritmtica Md) / S, ou seja,

As= 3 . (mdia mediana)/desvio padro

As = 3 (16 15,4) / 6

9

As = 3 (0,6) / 6

As = 1,8 / 6

As = 0,30

Em uma distribuio de frequncias, verificou-se que a mediana igual a

15,40, a mdia igual a 16,00 e o desvio padro igual a 6,00.

Determine o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, com duas casas

depois da vrgula.

As = 3 x (Mdia aritmtica Md) / S, ou seja,

As= 3 . (mdia mediana)/desvio padro

As = 3 (16 15,4) / 6

As = 3 (0,6) / 6

As = 1,8 / 6

As = 0,30

Uma bola retirada ao acaso de uma urna que contm 6 bolas vermelhas, 8

bolas pretas e 4 bolas verdes.

Analise a demonstrao do clculo da probabilidade dela no ser preta.

A bola retirada no pode ser preta; logo, poder ser vermelha ou verde. Ento:

P (Vermelha ou Verde) = P (Vermelha) + P (Verde)

P (Vermelha ou Verde) = 6/18 + 4/18

P (Vermelha ou Verde) = 10/18

Dados brutos: so as relaes dos resultados obtidos em uma pesquisa e que

foram transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de qualquer ordem.

Rol: a relao dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram

colocados em ordem numrica, crescente ou decrescente.

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Frequncia: o nmero de vezes que um mesmo resultado acontece durante

uma pesquisa.

Calcule a mdia das idades representadas na distribuio de frequncias da

tabela abaixo.

Idade Frequncia

4 4

5 6

6 6

7 4

Mdia = 4 .4 + 5 . 6 + 6 . 6 + 7 . 4 / 20

Mdia = 16 + 30 + 36 + 28 / 20

Mdia = 110 / 20 = 5,5

Calcule o desvio mdio do seguinte conjunto de nmeros:

4, 6, 8, 9, 10 e 11.

Inicialmente devemos calcular a mdia aritmtica dos valores dados:

Mdia = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 / 6

Mdia = 8

Em seguida:

4 4 8 = - 4 4 6 6 8 = - 2 2 8 8 8 = 0 0 9 9 8 = 1 1 10 10 8 = 2 2 11 11 8 = 3 3 0 12

Desvio mdio = 12 / 6 = 2

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Qual a probabilidade de obtermos o total de seis (6) pontos na jogada de dois

(2) dados honestos?

S = {36 resultados possveis}

A = {a soma dos dois dados igual a 6}

A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}

P(A) = 5/36

Hiptese nula (H0) a hiptese que ser testada, ou seja, a informao a

respeito do valor do parmetro que desejamos avaliar.

Hiptese alternativa (H1) a hiptese que afirma que a hiptese nula falsa,

ou seja, a afirmao a respeito do valor do parmetro que aceitaremos como

verdadeiro, caso a hiptese nula seja rejeitada.

Em 100 lances de uma moeda honesta, qual a mdia esperada de caras

obtidas e qual o desvio padro do experimento?

Mdia = 100 (1/2) = 50

S2 = 100 (1/2) . (1/2) = 25

S = 5

O termo probabilidade usado de modo amplo na conversao diria para

sugerir certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrer

no futuro e o que est ocorrendo no presente.

Uma empresa importadora tem 25% de chance de vender com sucesso um

produto A e tem 40% de chance de vender com sucesso um produto B. Se

essa empresa importar os dois produtos A e B, qual a probabilidade dela ter

sucesso na venda ou do produto A ou do produto B?

P (A ou B) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B)

P (A ou B) = 25/100 + 40/100 25/100 . 40/100

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P (A ou B) = 65/100 10/100

P (A ou B) = 55/100

Uma urna I contm 4 bolas vermelhas, 3 bolas pretas e 3 bolas verdes. Uma

urna II contm 2 bolas vermelhas, 5 bolas pretas e 8 bolas verdes. Uma urna III

contm 10 bolas vermelhas, 4 bolas pretas e 6 bolas verdes.

Calcule a probabilidade de, retirando-se uma bola de cada urna, serem todas

de mesma cor.

Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem vermelhas:

P (Verm, Verm, Verm) = 4/10 . 2/15 . 10/20

P (Verm, Verm, Verm) = 80/3000

Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem pretas:

P (Preta, Preta, Preta) = 3/10 . 4/15 . 5/20

P (Preta, Preta, Preta) = 60/3000

Calculando-se a probabilidade de todas as bolas serem verdes:

P (Verde, Verde, Verde) = 3/10 . 8/15. 6/20

P (Verde, Verde, Verde) = 144/3000

Calculando a soma das trs probabilidades:

P (ser da mesma cor) = 80/3000 + 60/3000 + 144/3000

P (ser da mesma cor) = 284/3000.

Caros alunos chegamos ao final do nosso estudo dirigido, desejo a todos muito

sucesso!

Prof. Emerson Seixas