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Exercícios sobre zeros de funçõesAula 7
André L. R. Didier1
6 de Maio de 2015
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Introdução
Todas as questões foram obtidas da 3a edição do livro “MétodosNuméricos” de José Dias dos Santos e Zanoni Carvalho da Silva.
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Questão 1.6Representação numérica, aritmética de ponto flutuante, arredondamento
Considere a máquina F(10,5,−9,9). Nela, verifique se(a+b)+ c = a+(b+ c), onde
a = 32.424
b = 4.2131
c = 0.000382
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Questão 1.6F(10,5,−9,9)
Normalizando os números, temos:
a = 32.424 = 3.2424 ·101
b = 4.2131 = 4.2131 ·100
c = 0.000382 = 3.8200 ·10−4
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Questão 1.6F(10,5,−9,9), a = 3.4240 ·101, b = 4.2131 ·100, c = 3.8200 ·10−4
Fazendo (a+b)+ c, temos:(3.2424 ·101 +4.2131 ·100)+3.8200 ·10−4
=(3.2424 ·101 +0.42131 ·101)+3.8200 ·10−4
=3.6637 ·101 +3.8200 ·10−4
=3.6637 ·101 +0.0000382 ·101
=3.6637 ·101
E fazendo a+(b+ c), temos:3.2424 ·101 +(4.2131 ·100 +3.8200 ·10−4)
=3.2424 ·101 +(4.2131 ·100 +0.000382 ·100)
=3.2424 ·101 +4.2135 ·100
[arredondamento]
=3.2424 ·101 +0.42135 ·101
=3.6638 ·101
[arredondamento]
Os resultados são diferentes.
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Questão 1.6F(10,5,−9,9), a = 3.4240 ·101, b = 4.2131 ·100, c = 3.8200 ·10−4
Fazendo (a+b)+ c, temos:(3.2424 ·101 +4.2131 ·100)+3.8200 ·10−4
=(3.2424 ·101 +0.42131 ·101)+3.8200 ·10−4
=3.6637 ·101 +3.8200 ·10−4
=3.6637 ·101 +0.0000382 ·101
=3.6637 ·101
E fazendo a+(b+ c), temos:3.2424 ·101 +(4.2131 ·100 +3.8200 ·10−4)
=3.2424 ·101 +(4.2131 ·100 +0.000382 ·100)
=3.2424 ·101 +4.2135 ·100 [arredondamento]
=3.2424 ·101 +0.42135 ·101
=3.6638 ·101 [arredondamento]
Os resultados são diferentes.
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Questão 1.7Representação numérica, aritmética de ponto flutuante
Considere um computador hipotético que trabalha na base 10, com 5dígitos no significando e 2 dígitos no expoente, denotado porF(10,5,−99,99). Nele calcue o valor de:
S =4
∑n=0
17n
de duas formas: (i) da maior parcela para a menor e (ii) da menor parcelapara a maior.O que dizer1 diante dos resultados dos itens (i) e (ii)?
1Alguma propriedade dos números reais não foi verificada? Dos dois resultados, qual omais próximo do verdadeiro? Etc.
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Questão 1.7F(10,5,−99,99)
Em (i), calculamos:(((
170 +
171
)+ 1
72
)+ 1
73
)+ 1
74 . Temos:(((1.0000 ·100 +1.4286 ·10−1
)+2.0408 ·10−2
)+2.9155 ·10−3
)+4.1649 ·10−4
=((
1.1429 ·100 +2.0408 ·10−2)+2.9155 ·10−3
)+4.1649 ·10−4
=(
1.1633 ·100 +2.9155 ·10−3)+4.1649 ·10−4
=1.1662 ·100 +4.1649 ·10−4
=1.1666 ·100
Em (ii), calculamos: 170 +
(171 +
(172 +
(173 +
174
))). Temos:
1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +(
2.0408 ·10−2 +(
2.9155 ·10−3 +4.1649 ·10−4)))
=1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +(
2.0408 ·10−2 +3.3319 ·10−3))
=1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +2.3740 ·10−2)
=1.0000 ·100 +1.6660 ·10−1
=1.1666 ·100
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Questão 1.7F(10,5,−99,99)
Em (i), calculamos:(((
170 +
171
)+ 1
72
)+ 1
73
)+ 1
74 . Temos:(((1.0000 ·100 +1.4286 ·10−1
)+2.0408 ·10−2
)+2.9155 ·10−3
)+4.1649 ·10−4
=((
1.1429 ·100 +2.0408 ·10−2)+2.9155 ·10−3
)+4.1649 ·10−4
=(
1.1633 ·100 +2.9155 ·10−3)+4.1649 ·10−4
=1.1662 ·100 +4.1649 ·10−4
=1.1666 ·100
Em (ii), calculamos: 170 +
(171 +
(172 +
(173 +
174
))). Temos:
1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +(
2.0408 ·10−2 +(
2.9155 ·10−3 +4.1649 ·10−4)))
=1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +(
2.0408 ·10−2 +3.3319 ·10−3))
=1.0000 ·100 +(
1.4286 ·10−1 +2.3740 ·10−2)
=1.0000 ·100 +1.6660 ·10−1
=1.1666 ·100
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Questão 1.11.eRepresentação numérica, aritmética de ponto flutuante
Considere o sistema de ponto flutuante dado por F(10,6,−99,99). Oselementos x = 0.4721025 ·108, y = 1.00321 ·105 e z = 0.0072134 ·106
pertencem a essa máquina. Verifique usando as representações de x , y ez neste sistema, se x · (y + z) = x · y + x · z.
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Questão 1.11.eF(10,6,−99,99), x = 0.4721025 ·108, y = 1.00321 ·105, z = 0.0072134 ·106
Normalizando os números, temos:
x = 0.4721025 ·108 =4.72102 ·107
[arredondamento]
y = 1.00321 ·105 =1.00321 ·105
z = 0.0072134 ·106 =7.21340 ·103
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Questão 1.11.eF(10,6,−99,99), x = 0.4721025 ·108, y = 1.00321 ·105, z = 0.0072134 ·106
Normalizando os números, temos:
x = 0.4721025 ·108 =4.72102 ·107 [arredondamento]
y = 1.00321 ·105 =1.00321 ·105
z = 0.0072134 ·106 =7.21340 ·103
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Questão 1.11.eF(10,6,−99,99), x = 4.72102 ·107, y = 1.00321 ·105, z = 7.21340 ·103
Fazendo x · (y + z), temos:
4.72102 ·107 ·(1.00321 ·105 +7.21340 ·103)
=4.72102 ·107 ·1.07534 ·105
=5.07670 ·1012
Fazendo x · y + x · z, temos:(4.72102 ·107 ·1.00321 ·105)+ (
4.72102 ·107 ·7.21340 ·103)=4.73617 ·1012 +3.40546 ·1011
=4.73617 ·1012 +0.340546 ·1012
=5.07672 ·1012
Logo, os cálculos têm resultados diferentes.
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Questão 1.11.eF(10,6,−99,99), x = 4.72102 ·107, y = 1.00321 ·105, z = 7.21340 ·103
Fazendo x · (y + z), temos:
4.72102 ·107 ·(1.00321 ·105 +7.21340 ·103)
=4.72102 ·107 ·1.07534 ·105
=5.07670 ·1012
Fazendo x · y + x · z, temos:(4.72102 ·107 ·1.00321 ·105)+ (
4.72102 ·107 ·7.21340 ·103)=4.73617 ·1012 +3.40546 ·1011
=4.73617 ·1012 +0.340546 ·1012
=5.07672 ·1012
Logo, os cálculos têm resultados diferentes.
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Questão 2.1Bisseção, falsa posição (cordas), M.I.L., Newton e secantes
Para cada função:
1. Localizar, se existir, raiz real mais próxima da origem;
2. Determinar analiticamente um intervalo de amplitude 0.1 contendo tal raiz;
3. Aplicar os métodos abaixo para calcular a raiz aproximada:
3.1 Bisseção2
3.2 Falsa posição (cordas)3.3 Iterativo linear3.4 Newton-Raphson3.5 Das secantes
Considere uma máquina com 5 casas decimais e arredondamento padrão.2Para o método da Bisseção faça até que o intervalo de separação seja menor que
10−2 e indique quantas iterações serão necessárias antes de aplicar o método. Para osdemais métodos, faça até que |xi+1− xi | ≤ 10−3 ou i = 3
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Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0 −1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
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Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1
− 1e
0 −1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
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Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0 −1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0
−1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
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Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0 −1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0 −1.00000
1
e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
18/47
Questão 2.1.g - localizar raiz real próxima à origemf(x) = x ·ex + x2−1
Vamos verificar alguns valores próximos da origem que facilitem oscálculos para verificar a mudança de sinal:
x f(x)
−1 − 1e
0 −1.00000
1 e
Há mudança de sinal no intervalo [0,1], logo existe ao menos uma raizreal.
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1
−8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2
−7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3
−5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4
−2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
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Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5
7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
19/47
Questão 2.1.g - encontrar o intervalo de separação deamplitude 0.1f(x) = x ·ex + x2−1
Como f é uma função crescente3 no intervalo [0,1], calculamos os valoresde f com incremento de 0.1 a partir de 0:
x f(x)
0 −1.00000
0.1 −8.79482908 ·10−1
0.2 −7.15719448 ·10−1
0.3 −5.05042358 ·10−1
0.4 −2.43270121 ·10−1
0.5 7.4360635 ·10−2
Logo, o intervalo de separação de amplitude 0.1 é [0.4,0.5].
3f′ (x) = (x +1)ex +2 · x
19/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no métododa bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x , I = [0.4,0.5], l = 10−2
A quantidade de iterações é dada pela fórmula:
k≥ ln(b0−a0)− ln lln2
Substituindo pelos valores:
k≥ ln(
0.5
−
0.4
) − ln
10−2
ln2k≥
3.32193
A quantidade de iterações necessárias é 4.
20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no métododa bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x , I = [0.4,0.5], l = 10−2
A quantidade de iterações é dada pela fórmula:
k≥ ln(b0−a0)− ln lln2
Substituindo pelos valores:
k≥ ln(0.5−
0.4
) − ln
10−2
ln2k≥
3.32193
A quantidade de iterações necessárias é 4.
20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no métododa bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x , I = [0.4,0.5], l = 10−2
A quantidade de iterações é dada pela fórmula:
k≥ ln(b0−a0)− ln lln2
Substituindo pelos valores:
k≥ ln(0.5−0.4) − ln
10−2
ln2k≥
3.32193
A quantidade de iterações necessárias é 4.
20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no métododa bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x , I = [0.4,0.5], l = 10−2
A quantidade de iterações é dada pela fórmula:
k≥ ln(b0−a0)− ln lln2
Substituindo pelos valores:
k≥ ln(0.5−0.4) − ln10−2
ln2k≥
3.32193
A quantidade de iterações necessárias é 4.
20/47
Questão 2.1.g - calcular a quantidade de iterações no métododa bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x , I = [0.4,0.5], l = 10−2
A quantidade de iterações é dada pela fórmula:
k≥ ln(b0−a0)− ln lln2
Substituindo pelos valores:
k≥ ln(0.5−0.4) − ln10−2
ln2k≥ 3.32193
A quantidade de iterações necessárias é 4.
20/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5
−2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2
0.45
−9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5
−9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2
0.475
−1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5
−1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2
0.4875
3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875
−1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2
0.48125
1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125
−1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2
0.478125
−1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 1.g - aplicar o método da bisseçãof(x) = x ·ex + x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 · x I = [0.4,0.5], l = 10−2, t = 4, imax = 3
x =a+b
2
a b f(a) f(b) x f(x)
0 0.4 0.5 −2.43270 ·10−1 7.43606 ·10−2 0.45 −9.17595 ·10−2
1 0.45 0.5 −9.17595 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.475 −1.05683 ·10−2
2 0.475 0.5 −1.05683 ·10−2 7.43606 ·10−2 0.4875 3.14235 ·10−2
3 0.475 0.4875 −1.05683 ·10−2 3.14235 ·10−2 0.48125 1.03101 ·10−2
4 0.475 0.48125 −1.05683 ·10−2 1.03101 ·10−2 0.478125 −1.58339 ·10−4
b4−a4 = 0.00625 < 10−2 e x = 0.478125
21/47
Questão 2.1.g - aplicar o método das cordasf(x) = x ·ex +x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 ·x I = [0.4,0.5], |xi+1−xi | ≤ 10−3, imax = 3
x =a · f(b)−b · f(a)
f(b)− f(a)
a b f(a) f(b) xi f(xi ) |xi+1− xi |
1 4.00000 ·10−1 5.00000 ·10−1 −2.43270 ·10−1 7.43610 ·10−2 4.76589 ·10−1 −5.28300 ·10−3 —
2 4.76589 ·10−1 5.00000 ·10−1 −5.28300 ·10−3 7.43610 ·10−2 4.78142 ·10−1 −1.02000 ·10−4 1.55292 ·10−3
3 4.78142 ·10−1 5.00000 ·10−1 −1.02000 ·10−4 7.43610 ·10−2 4.78172 ·10−1 −2.00000 ·10−6 2.99415 ·10−5
Encontramos x = 0.478172.
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Questão 2.1.g - aplicar o M.I.L.f(x) = x ·ex +x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 ·x I = [0.4,0.5], |xi+1−xi | ≤ 10−3, imax = 3
Inicialmente precisamos determinar uma função geradora ϕ . Como x ·ex + x2−1 = 0,
podemos escolher ϕ1 (x) = x = 1−x2
ex . Sua derivada é: ϕ ′1 (x) =(x2−1)·ex−2x ·ex
e2x
Vamos verificar as condições de convergência:
1. As duas funções ϕ1 e ϕ ′1 são contínuas.
2. |ϕ ′1 (x) | ≤ k < 1,∀x ∈ I:x |ϕ ′1 (x) |
4.0000 ·10−1 1.09932 ·100
4.5000 ·10−1 1.08237 ·100
5.0000 ·10−1 1.06143 ·100
Logo ϕ ′1 não pode ser usada.Trivialmente não podemos escolher. Tente obter ϕ2 e ϕ3 isolando os outros termos daequação.
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Questão 2.1.g - aplicar o método new Newton-Raphsonf(x) = x ·ex +x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 ·x I = [0.4,0.5], |xi+1−xi | ≤ 10−3, imax = 3
A função geradora é definida por:
ϕ (xi) = xi+1 = xi −f(xi)
f′ (xi)
Logo, temos que:
ϕ (xi) = xi+1 = xi −xi ·ex
i + x2i −1
(xi +1)exi +2 · xi
Aplicando o método obtemos:
x ϕ (x) |xi+1− xi |
0 4.50000 ·10−1 4.78909 ·10−1 —
1 4.78909 ·10−1 4.78173 ·10−1 7.36000 ·10−4
Encontramos x = 0.478173.
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Questão 2.1.g - aplicar o método das secantesf(x) = x ·ex +x2−1, f′ (x) = (x +1)ex +2 ·x I = [0.4,0.5], |xi+1−xi | ≤ 10−3, imax = 3
A função geradora é definida por:
ϕ (xi) = xi+1 =xi−1 · f(xi)− xi · f(xi−1)
f(xi)− f(xi−1)
Aplicando o método obtemos:
xi xi−1 f(xi ) f(xi−1) ϕ (xi ) |xi+1− xi |
0 4.00000 ·10−1 5.00000 ·10−1 −2.43270 ·10−1 7.43610 ·10−2 4.76589 ·10−1 —
1 4.76589 ·10−1 4.00000 ·10−1 −5.28000 ·10−3 −2.43270 ·10−1 4.78289 ·10−1 1.70000 ·10−3
2 4.78289 ·10−1 4.76589 ·10−1 3.90000 ·10−4 −5.28200 ·10−3 4.78172 ·10−1 1.17000 ·10−4
Encontramos x = 0.478172.
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