Zeros de polin^omios em espa˘cos de Banach - Biblioteca Digital … · 2010. 5. 25. · Zeros de...

Zeros de polinomiosem espacos de Banach

Leandro Candido Batista

Dissertacao apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Mestre em Ciencias

Programa: Matematica

Orientador: Profa. Dra. Mary Lilian Lourenco

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro

do CNPq e da FAPESP (processo 2008/01650-0).

Sao Paulo, marco de 2010

Polinomios n-Homogeneose Topicos Relacionados

Este exemplar corresponde a redacao

final da dissertacao devidamente corrigida

e defendida por Leandro Candido Batista

e aprovada pela Comissao Julgadora.

Banca Examinadora:

• Profa. Dra. Mary Lilian Lourenco - IME-USP.

• Prof. Dr. Daniel Pellegrino - UFPB.

• Prof. Dr. Leonardo Pellegrini - IME-USP.

Aos meu pais.

Agradecimentos

Agradeco a minha orientadora, Profa. Dra. Mary Lilian Lourenco, por sua orientacao,

sugestao dos temas, paciencia e amizade.

Agradeco a meus pais Vera e Joaquim e meu irmao Leonardo, pelo apoio e incentivo.

Agradeco a minha noiva, Rita Cavalcanti, pelo carinho, paciencia e apoio durante toda

a graduacao e o mestrado.

Agradeco a todos os professores que participaram da minha formacao, em especial a

Profa. Dra. Lucia Renato Junqueira, por sua orientacao, conselhos e amizade durante

minha graduacao.

Agradeco ao grande amigo Andre Pierro de Camargo que me ajudou de inumeras formas.

Agradeco aos amigos Barbara Sayuri Ashino e Cesar Adriano Batista pelo incentivo e

auxılio com o latex.

Agradeco aos membros da banca examinadora pelas sugestoes e correcoes.

Agradeco a FAPESP e ao CNPq pelo apoio financeiro.

iii

Resumo

Neste trabalho estudamos principalmente dois topicos em Analise Funcional. No primeiro

topico, estudamos zeros de polinomios em espacos de Banach reais. Apresentamos resulta-

dos devidos a J. Ferrer, publicados em [11], estabelecendo que todo polinomio fracamente

contınuo sobre os subconjuntos limitados de um espaco de Banach, de dual nao separavel

na topologia fraca estrela, admite um subespaco linear fechado de dual nao separavel na

topologia fraca estrela, no qual o polinomio se anula.

Apresentamos tambem uma demonstracao, devida a J. Ferrer e publicada em [12], de que

se K e um espaco topologico compacto nao satisfazendo a condicao de cadeia contavel, entao

todo polinomio definido em C (K) assumindo valores reais e se anulando na origem, se anula

em um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ), onde Γ e um conjunto nao enumeravel.

No segundo topico, exibimos uma versao multilinear para o Lema de Phelps, resultado

publicado em [3] e devido a R. Aron, A. Cardwell., D. Garcıa e I. Zalzuendo.

v

Abstract

We study two topics in Functional Analysis. In the first topic, we study zeros of polyno-

mials on real Banach spaces. We present results due to J. Ferrer published in [11], stating

that every polynomial weakly continuous on bounded subsets of a Banach space, whose dual

is not separable in the weak-star topology, admits a closed linear subspace whose dual is not

separable in the weak- star topology either, where the polynomial vanishes.

We also present a proof, given by J. Ferrer and published in [12], that if K is a com-

pact topological space not satisfying the countable chain condition, then every real-valued

polynomial defined in C (K) and vanishing at the origin, vanishes in a subspace isometric to

c0 (Γ), where Γ is a non-enumerable set.

In the second topic, we show a multilinear version for the Phelps’ Lemma, published in

[3] by R. Aron, A. Cardwell., D. Garcıa and I. Zalzuendo.

vii

Introducao

Neste trabalho estudamos principalmente dois topicos em Analise Funcional. O primeiro

e principal topico e dedicado ao estudo de zeros de polinomios. O estudo de zeros de

polinomios complexos possui uma longa historia, com resultados em analise complexa, geo-

metria algebrica e analise funcional. Um resultado devido a A. Plichko e A. Zagorodnyuk,

publicado em [22], afirma que sobre um espaco de Banach complexo de dimensao infinita,

todo polinomio n-homogeneo assumindo valores complexos se anula em um subespaco de di-

mensao infinita. Este resultado despertou grande interesse no estudo de zeros de polinomios

n-homogeneos, em diversas direcoes.

Em [11], J. Ferrer estabelece condicoes sob as quais um resultado similar ao teorema de

A. Plichko e A. Zagorodnyuk, descrito acima, seja valido para espacos de Banach reais de

dimensao infinita. Este e um problema ainda nao resolvido completamente. Neste artigo, o

autor desenvolve tecnicas que resolvem parcialmente este problema para um particular tipo

de polinomio em um particular tipo de espaco.

No segundo topico apresentaremos um resultado fora do contexto de zeros de polinomios,

mas que nos despertou interesse durante o desenvolvimento desse trabalho. Se trata de uma

versao multilinear para o Lema de Phelps, resultado publicado em [3] e devido a R. Aron,

A. Cardwell., D. Garcıa e I. Zalzuendo.

O Lema de Phelps e um resultado devido a R. R. Phelps, publicado em 1960, em [20].

Em uma versao atual afirma que dados um espaco de Banach X, funcionais f, g ∈ SX∗ e

0 < ε < 1, entao

SX ∩ ker f ⊂ SX ∩ g−1 (]−ε, ε[) =⇒ ‖g − αf‖ ≤ 2ε para algum |α| = 1.

No ano seguinte, este resultado foi utilizado em [6], por E. Bishop e R. R. Phelps, como

um passo crucial na demonstracao do teorema de Bishop-Phelps, que afirma que todo espaco

de Banach e subreflexivo, ou seja, em um espaco de Banach o conjunto dos funcionais lineares

contınuos que atingem sua norma e denso.

Em [3], os autores apresentam a seguinte versao multilinear para o Lema de Phelps.

Dados X1, . . . , Xn espacos de Banach, para todo n ∈ N existe Dn > 0 tal que para

ix

x INTRODUCAO

quaisquer A, B ∈ L(X1, . . . , Xn) com ‖A ‖=‖B‖ = 1 e ε > 0 suficientemente pequeno,

definindo-se Z(A) := u ∈ SX1 × . . . × SXn : A(u) = 0 e ε(B) := u ∈ SX1 × . . . × SXn :

|B(u)| ≤ εZ(A) ⊂ ε(B)⇒ ‖B − αA‖ ≤ Dnε para algum |α| = 1.

A seguir, descreveremos sucintamente os assuntos abordados em cada capıtulo.

No capıtulo 1 estabelecemos resultados preliminares em analise funcional e topologia.

Para um estudo detalhado sobre estes assuntos recomendamos [16].

No capıtulo 2 introduzimos conceitos iniciais de aplicacoes multilineares e polinomios

com base em [17]. Na secao 2.4 apresentamos, com base em [9], alguns tipos especiais de

polinomios, dentre eles, os polinomios fracamente contınuos sobre subconjuntos limitados de

um espaco de Banach, que terao um papel fundamental no capıtulo 3.

No capıtulo 3 estudamos zeros de polinomios em espacos de Banach reais. Apresentare-

mos, principalmente, resultados devidos a J. Ferrer publicados em [11] e [12]. Na secao

3.1 exibimos com todos os detalhes a demonstracao do teorema de A. Plichko e A. Zagorod-

nyuk mencionado acima. Na secao 3.2 apresentamos alguns resultados e caracterizacoes para

espacos de dual separavel na topologia fraca estrela. Na secao 3.3 apresentamos a demons-

tracao de que todo polinomio fracamente contınuo sobre os subconjuntos limitados de um

espaco de Banach, de dual nao separavel na topologia fraca estrela, admite um subespaco

linear fechado de dual nao separavel na topologia fraca estrela, no qual o polinomio se anula.

Na secao 3.4, estudamos a aplicacao de alguns resultados das secoes anteriores sobre espacos

com a propriedade de Dunford-Pettis. Apresentamos tambem a demonstracao de que se K e

um espaco topologico compacto nao satisfazendo a condicao de cadeia contavel, entao todo

polinomio definido em C (K) assumindo valores reais e se anulando na origem, se anula um

um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ), onde Γ e um conjunto nao enumeravel.

No capıtulo 4 nosso objetivo e exibir a versao multilinear do Lema de Phelps, elaborada

por R. Aron, A. Cardwell., D. Garcıa e I. Zalzuendo, o que fazemos na secao 4.4.

Para um completa compreensao deste resultado sao necessarios alguns resultados encon-

trados nos artigos [5] e [18].

As secoes 4.1 e 4.2 tratam de um pequeno estudo do atigo [18]. Estudamos tecnicas de

complexificacao, que consistem em procedimentos para se obter espacos de Banach complexos

a partir de espacos de Banach reais de forma que se possa estender aplicacoes multilineares

e polinomios contınuos reais de forma unica nesse espaco complexo, preservando-se a con-

tinuidade e controlando-se a norma. Na secao 4.3 estudamos, com base em [5], um metodo

para, supondo P1, . . . , Pn polinomios sobre um espaco de Banach X, se obter uma constante

M dependendo apenas dos graus de P1, . . . , Pn satisfazendo ‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤M ‖P1 . . . Pn‖.

Sumario

Introducao ix

Notacao xiii

1 Preliminares 1

1.1 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Topologias Induzidas por Famılias de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Espacos Vetoriais Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Espacos de Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Aplicacoes Multilineares e Polinomios 21

2.1 Aplicacoes Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Aplicacoes Multilineares Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Polinomios Fracamente Contınuos sobre Limitados . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Zeros de Polinomios 43

3.1 Zeros de Polinomios em Espacos de Banach Complexos . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Espacos de Dual w∗-Separavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Zeros de Polinomios Fracamente Contınuos sobre Limitados . . . . . . . . . 53

3.4 Zeros de Polinomios sobre Espacos com a Propriedade DP . . . . . . . . . . 58

4 Lema de Phelps Multilinear 67

4.1 Complexificacao de Espacos de Banach Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Extensoes Complexas de Multilineares e Polinomios Reais . . . . . . . . . . . 73

4.3 Produto de Polinomios em Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Lema de Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Referencias Bibliograficas 93

xi

xii SUMARIO

Notacao

N o conjunto dos numeros naturais

N0 o conjuntos dos numeros inteiros nao negativos

Q o corpo dos racionais

R o corpo dos numeros reais

C o corpo dos numeros complexos

K o corpo R ou CSn o conjunto de todas as permutacoes de 1, . . . , nBX a bola unitaria fechada de um espaco normado X

SX a esfera unitaria de um espaco normado X

Br(x) a bola aberta de centro x e raio r

L (X;Y ) o espaco das aplicacoes lineares contınuas de X em Y

X∗ o espaco das aplicacoes lineares contınuas de X em KL (nX;Y ) o espaco das aplicacoes n-lineares contınuas de Xn em Y

L (nX) o espaco das aplicacoes n-lineares contınuas de Xn em KP (nX;Y ) o espaco dos polinomios n-homogeneos contınuos de X em Y

P (nX) o espaco dos polinomios n-homogeneos contınuos de X em KC (K) o espaco das funcoes contınuas e limitadas de K em K[A]K o espaco vetorial gerado por A sobre o corpo K[A] quando nao ha duvidas sobre o corpo, e o espaco vetorial gerado por A

X ∼= Y X, Y sao espacos de Banach isometricamente isomorfos

∂kP e a aplicacao em P(n−kX;P(kX;Y )), definida por

∂kP (x)(y) := n!(n−k)!

P xn−kyk, x, y ∈ XA⊥ A e subconjunto de um espaco normado X, A⊥ e o subespaco de

todos os funcionais f ∈ X∗, satistazendo f(x) = 0

B⊥ B e subconjunto de X∗, B⊥ e o subespaco de todos os elementos x ∈ Xsatistazendo f(x) = 0, para todo f ∈ B

xiii

xiv NOTACAO

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo estudaremos conceitos basicos em topologia e analise funcional, necessarios

para o desenvolvimento deste trabalho. Para um estudo mais detalhado sobre esses topicos

recomendamos [16].

1.1 Redes

Em espacos metricos a continuidade de funcoes pode ser caracterizada atraves de sequen-

cias. Nesta secao introduziremos o conceito de rede, que generaliza o conceito de sequencia e

nos permite obter uma caracterizacao para a continuidade em espacos topologicos quaisquer.

Um estudo detalhado sobre redes bem como os resultados desta secao podem ser encon-

trados em [16].

Definicao 1.1.1. Um conjunto nao vazio Γ munido de uma ordem parcial ≤, tal que para

cada α, β ∈ Γ exista γ ∈ Γ satisfazendo, α ≤ γ e β ≤ γ, e chamado conjunto dirigido.

Uma rede em um conjunto X e uma aplicacao x : Γ → X, onde Γ e um conjunto dirigido.

Denotaremos uma rede x : Γ→ X por (xγ)γ∈Γ, onde xγ := x (γ).

Dizemos que uma rede (xγ)γ∈Γ em um espaco topologico X converge para x ∈ X, se para

qualquer vizinhanca U de x existir γ0 ∈ Γ tal que xγ ∈ U , sempre que γ ≥ γ0. Demonstra-se

que uma rede em um espaco de Hausdorff converge no maximo a um unico elemento.

Neste trabalho, lidaremos apenas com espacos de Hausdorff. Portanto, se uma rede

(xγ)γ∈Γ converge a algum x, diremos que x e o limite de (xγ)γ∈Γ e denotaremos xγ → x ou

limγ xγ = x.

Claramente, toda sequencia e uma rede.

A proposicao a seguir nos fornece uma caracterizacao de fecho topologico por redes.

1

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES

Proposicao 1.1.2. Seja Y um subconjunto de um espaco topologico X. Entao x ∈ Y se e

somente se existe uma rede em Y convergindo a x.

Demonstracao. Claramente, se existe uma rede em Y convergindo a x, entao toda vizinhanca

de x contem elementos desta rede e portanto x ∈ Y .

Por outro lado, seja x ∈ Y e seja Γ a colecao de todas as vizinhancas de x, dirigida sob

a relacao ≤, definida por

U1 ≤ U2 se e somente se U2 ⊆ U1.

Para cada U ∈ Γ, fixemos xU ∈ U∩Y . Claramente (xU)U∈Γ e uma rede em Y convergindo

a x.

O resultado a seguir nos fornece uma generalizacao, para espacos topologicos quaisquer,

da caracterizacao de continuidade por sequencias em espacos metricos.

Teorema 1.1.3. Sejam X e Y espacos topologicos. Uma funcao f : X → Y e contınua em

x0 ∈ X se e somente se a rede (f(xγ))γ∈Γ converge a f (x0), se (xγ)γ∈Γ converge a x0.

Demonstracao. Se f e contınua em x0 e (xγ)γ∈Γ e uma rede em X convergindo a x0, decorre

imediatamente das definicoes de convergencia e continuidade que f(xγ)→ f (x0).

Por outro lado, supondo por absurdo que f nao seja contınua em x0, existe uma vizin-

hanca V de f (x0) tal que nenhuma vizinhanca U de x0 satisfaca f (U) ⊆ V .

Seja Γ a colecao de todas as vizinhancas de x0, dirigida sob a relacao ≤, definida por

U1 ≤ U2 se e somente se U2 ⊆ U1.

Para cada U ∈ Γ, seja xU ∈ U tal que f (xU) /∈ V . Decorre que (xU)U∈Γ e uma rede em

X convergindo a x0 e, por construcao, (f (xU))U∈Γ nao converge a f (x0), uma contradicao.

De acordo com o teorema acima, uma funcao f : X → Y e contınua em X se e somente

se para cada x ∈ X, a rede (f(xγ))γ∈Γ converge a f (x) se (xγ)γ∈Γ converge a x.

Definicao 1.1.4. Um subconjunto Γ′ de um conjunto dirigido Γ e cofinal em Γ se para todo

α ∈ Γ existir βα em Γ′ tal que α ≤ βα.

Definicao 1.1.5. Sejam X um conjunto, Γ um conjunto dirigido e (xγ)γ∈Γ uma rede em X.

Sejam Γ′ um conjunto dirigido e g : Γ′ → Γ uma funcao satisfazendo:

1.2. TOPOLOGIAS INDUZIDAS POR FAMILIAS DE FUNCOES 3

(i) g (β1) ≤ g (β2) em Γ sempre que β1 ≤ β2 ∈ Γ′.

(ii) g (Γ′) e cofinal em Γ.

Entao, a rede(xg(β)

)β∈Γ′

e chamada subrede de (xγ)γ∈Γ.

Segue da definicao acima que se (xγ)γ∈Γ for uma rede em um conjunto X, entao qualquer

subrede de (xγ)γ∈Γ e uma rede em X, e se X for um espaco topologico e a rede (xγ)γ∈Γ

converge para algum x ∈ X, entao toda subrede converge a x.

1.2 Topologias Induzidas por Famılias de Funcoes

Nesta secao introduziremos alguns resultados basicos em topologia geral e em espacos

normados; introduziremos o conceito de topologias fraca e fraca∗.

Os resultados desta secao se encontram em [16].

Teorema 1.2.1. Sejam X um conjunto, F uma famılia de funcoes e (Xf ,Of ) : f ∈ Fuma famılia de espacos topologicos tal que cada f em F seja funcao de X em Xf . Entao

existe sobre X uma topologia O satisfazendo:

(i) f : (X,O)→ (Xf ,Of ) e contınua para cada f ∈ F ;

(ii) se O′ for uma topologia sobre X tal que f : (X;O′) → (Xf ;Of ) seja contınua para

cada f ∈ F , entao O ⊆ O′.

Denotaremos O := σ (X,F).

Demonstracao. Seja G = f−1 (U) : f ∈ F , U ∈ Of e O a topologia sobre X gerada por G.

Claramente f : (X,O)→ (Xf ,Of ) e contınua para cada f ∈ F .

Se O′ for uma outra topologia sobre X tal que f : (X,O′)→ (Xf ,Of ) seja contınua para

cada f ∈ F entao G ⊆ O′ e consequentemente O ⊆ O′.

Exemplo 1.2.2. (Topologia Produto) Dada uma colecao Xγ : γ ∈ Γ, definimos seu

produto cartesiano por

∏γ∈Γ

Xγ :=

f : Γ→

⋃γ∈Γ

Xγ : f(γ) ∈ Xγ para todo γ ∈ Γ

.

Denotaremos cada f ∈∏

γ∈Γ Xγ por (fγ)γ∈Γ onde fγ := f (γ).


Fixemos a colecao F =πα :

∏γ∈Γ Xγ → Xα : α ∈ Γ

onde cada πα e definido por,

πα

((fγ)γ∈Γ

):= fα.

A topologia em∏

γ∈ΓXγ, induzida pela colecao F e denominada topologia produto.

Neste trabalho, sobre um produto cartesiano de espacos topologicos, sempre consideraremos

a topologia produto.

Proposicao 1.2.3. Sejam X um conjunto, F uma colecao de funcoes satisfazendo as

hipoteses do teorema 1.2.1 e (xγ)γ∈Γ uma rede em X. Considerando sobre X a topologia

induzida pela colecao F , entao xγ → x se e somente se f (xγ)→ f(x) para todo f ∈ F .

Demonstracao. E evidente que se xγ → x, entao f (xγ)→ f(x) para todo f ∈ F .

Por outro lado, fixada uma vizinhanca arbitraria U de x, existem f1, . . . , fn ∈ F e

Vk ∈ Of , 1 ≤ k ≤ n, tais que

x ∈ f−11 (V1) ∩ . . . ∩ f−1

n (Vn) ⊆ U.

Por f (xγ) → f(x) para todo f ∈ F , para cada 1 ≤ k ≤ n, existe γk ∈ Γ, tal que

fk (xγ) ∈ Vk sempre que γ ≥ γk.

Por Γ ser um conjunto dirigido, existe γ0 ∈ Γ tal que γ0 ≥ γk, 1 ≤ k ≤ n. Decorre,

xγ ∈ f−11 (V1) ∩ . . . ∩ f−1

n (Vn) ⊆ U,

sempre que γ ≥ γ0. Portanto xγ → x.

Neste trabalho, se X e Y denotarem espacos vetoriais, La (X;Y ) denotara o espaco de

todas as aplicacoes lineares de X em Y . Em particular, se Y = K denotaremos X∗a :=

La (X; K). No caso em que X e Y forem espacos normados, denotaremos por L (X;Y ) o

subespaco de todas as aplicacoes lineares contınuas de X em Y . Em particular, se Y = K,

X∗ := L (X; K).

Definicao 1.2.4. (Topologia Fraca) Seja X um espaco normado. A topologia induzida

sobre X, pela colecao X∗ e denominada topologia fraca de X e denotada σ (X,X∗).

Por simplicidade, muitas vezes utilizaremos a letra w fazendo referencia a topologia fraca

de um espaco normado. Por exemplo, dizemos que uma rede e w-convergente em um espaco

normado X se e convergente sob a topologia fraca de X.


No que segue, apresentaremos alguns resultados relacionados a topologia fraca e que serao

uteis neste trabalho.

Proposicao 1.2.5. Se T ∈ L(X;Y ) entao T : (X, σ (X,X∗))→ (Y, σ (Y, Y ∗)) e contınua.

Demonstracao. Fixemos (xγ)γ∈Γ uma rede em X convergindo fracamente a algum x ∈ X.

Para cada ϕ ∈ Y ∗, temos ϕ T ∈ X∗ e consequentemente

ϕ (T (xγ)) = ϕ T (xγ)→ ϕ T (x) = ϕ (T (x)) .

Em virtude da proposicao 1.2.3, a rede (T (xγ))γ∈Γ converge fracamente a T (x).

Por (xγ)γ∈Γ ser uma rede w-convergente arbitraria, de acordo com a proposicao 1.1.3,

concluımos que T : (X, σ (X,X∗))→ (Y, σ (Y, Y ∗)) e contınua.

A proposicao a seguir nos permite simplificar algumas demonstracoes. Sua verificacao e

simples e sera omitida.

Proposicao 1.2.6. Se X e um espaco normado, entao os conjuntos da forma

W (x, ϕ1, . . . , ϕn, ε) := y ∈ X : |ϕk (y)− ϕk (y)| < ε, 1 ≤ k ≤ n ,

onde x ∈ X, ϕ1, . . . , ϕn ∈ X∗ e ε > 0, formam uma base de abertos para a topologia

σ (X,X∗).

Definicao 1.2.7. A aplicacao I : X → X∗∗ que associa a cada x ∈ X, o funcional Ix ∈ X∗∗

definido por

Ix (ϕ) := ϕ (x) , x ∈ X,ϕ ∈ X∗,

e chamada de aplicacao canonica de X em X∗∗.

Utilizando-se o teorema de Hahn-Banach, demonstra-se que I e uma isometria linear.

Definicao 1.2.8. Se X e um espaco normado, dizemos que um subconjunto A ⊆ X e

fracamente limitado se para cada ϕ ∈ X∗, existe Mϕ > 0 tal que supx∈A |ϕ (x)| < Mϕ.

Proposicao 1.2.9. Se X e um espaco normado, um subconjunto de X e limitado se e

somente se for fracamente limitado.

Demonstracao. Seja A um subconjunto de X. Se A for limitado, existe M > 0 satisfazendo

supx∈A‖x‖ < M.


Para cada ϕ ∈ X∗, fixando Mϕ := ‖ϕ‖M , decorre

supx∈A|ϕ(x)| ≤ sup

x∈A‖ϕ‖ ‖x‖ < ‖ϕ‖M = Mϕ.

Concluımos que A e fracamente limitado.

Por outro lado, se A e fracamente limitado e I : X → X∗∗ e a aplicacao canonica,

entao Ix : x ∈ A e uma colecao em X∗∗, pontualmente limitada. O Princıpio da Limitacao

Uniforme implica a existencia de M > 0 satisfazendo

supx∈A‖x‖ = sup

x∈A‖Ix‖ < M.

Portanto A e limitado.

Definicao 1.2.10. (Topologia Fraca∗) Sejam X um espaco normado e I : X → X∗∗ a

aplicacao canonica. A topologia induzida sobre X∗, pela colecao I (X) ⊆ X∗∗ e denominada

topologia fraca∗ de X∗ e denotada σ (X∗, X).

Analogamente a topologia fraca, muitas vezes utilizaremos w∗ fazendo referencia a topolo-

gia fraca∗ no dual de um espaco normado.

No que segue, apresentaremos alguns resultados relacionados a topologia fraca∗ e que

serao uteis neste trabalho.

A proposicao a seguir e uma aplicacao simples do teorema 1.1.3.

Proposicao 1.2.11. Se X e um espaco normado, entao a aplicacao canonica

I : (X, ‖.‖)→ (X∗∗, σ (X∗, X))

e contınua.

Analogamente a proposicao 1.2.6, a proposicao a seguir nos permite simplificar algumas

demonstracoes. A demonstracao e simples e sera omitida.

Proposicao 1.2.12. Se X e um espaco normado, entao os conjuntos da forma

W (ϕ, x1, . . . , xn, ε) := ϑ ∈ X∗ : |ϕ (xk)− ϑ (xk)| < ε, 1 ≤ k ≤ n ,

onde ϕ ∈ X∗, x1, . . . , xn ∈ X e ε > 0, formam uma base de abertos para a topologia

σ (X∗, X).


Dado um espaco topologico X, dizemos que um subconjunto Y ⊂ X e separavel se existir

um subconjunto D ⊂ Y enumeravel, satisfazendo Y ⊆ D.

Se X e um espaco normado e A e B forem subconjuntos de X e X∗ respectivamente,

denotaremos por Aw

o fecho de A sob a topologia fraca de X e por Bw∗

o fecho de B sob a

topologia fraca∗ de X∗.

Demonstra-se que se um subconjunto Y ⊆ X, onde X e um espaco normado, e separavel

entao [Y ] e separavel. Temos tambem o seguinte resultado.

Proposicao 1.2.13. Seja X um espaco normado. Se um subconjunto A de X∗ e w∗-

separavel, entao [A] e w∗-separavel.

Demonstracao. Se A e w∗-separavel, existe uma colecao enumeravel ϕn : n ∈ N ⊂ A sa-

tisfazendo

A ⊆ ϕn : n ∈ Nw∗

.

Seja KQ definido por

KQ :=

Q se K = RQ + iQ se K = C

.

Claramente KQ e um corpo denso em K e podemos definir D := [ϕn : n ∈ N]KQ, o

espaco vetorial gerado por ϕn : n ∈ N sobre o corpo KQ. Segue-se que D e enumeravel.

Demonstraremos que [A] ⊂ Dw∗

.

Fixado u ∈ [A], seja W (u, x1, . . . , xr, ε), onde x1, . . . , xr ∈ X, e ε > 0, uma vizinhanca

basica arbitraria de u na topologia fraca∗ de X∗.

Supondo u = a1ϑ1 + . . .+asϑs, com a1, . . . , as ∈ K e ϑ1, . . . , ϑs ∈ A, por ϕk : k ∈ N ser

w∗-denso em A, para cada 1 ≤ k ≤ s existe ϕnk ∈ W (ϑk, x1, . . . , xr, δ) ∩ ϕn : n ∈ N, onde

δ :=ε

2s (max1≤j≤s |aj|+ 1).

Entao, para cada 1 ≤ k ≤ s,

|ϑk(xj)− ϕnk(xj)| <ε

2s (max1≤j≤s |aj|+ 1), 1 ≤ j ≤ r.

Fixando-se v := a1ϕn1 + . . . + asϕns , a densidade de KQ em K implica a existencia de

b1, . . . , bs ∈ KQ, satisfazendo

|ak − bk| <ε

2s (max1≤j≤r |ϕnk (xj)|+ 1), 1 ≤ k ≤ s.


Segue-se que w := b1ϕn1 + . . .+ brϕnr ∈ D e para cada 1 ≤ j ≤ r,

|u (xj)− w (xj)| ≤ |u (xj)− v (xj)|+ |v (xj)− w (xj)|

=

∣∣∣∣∣s∑

k=1

ak (ϑk(xj)− ϕnk (xj))

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣s∑

k=1

(ak − bk)ϕnk (xj)

∣∣∣∣∣≤

s∑k=1

|ak| |ϑk (xj)− ϕnk (xj)|+s∑

k=1

|ak − bk| |ϕnk (xj)|

<

s∑k=1

ε

2s+

s∑k=1

ε

2s

=ε

2+ε

2= ε.

Entao w ∈ W (u, x1, . . . , xr, ε) ∩ D. Por W (u, x1, . . . , xr, ε) ser uma vizinhanca basica

arbitraria de u, concluımos que u ∈ Dw∗

.

Apresentaremos agora algumas definicoes e teoremas importantes que serao utilizados ao

longo deste trabalho. Estes resultados podem ser encontrados com todos os detalhes em [16].

Definicao 1.2.14. Sejam X um espaco normado e A e B subconjuntos de X e X∗ respec-

tivamente, definimos

A⊥ := f ∈ X∗ : f(x) = 0, x ∈ A , B⊥ := x ∈ X : f(x) = 0, f ∈ B .

A⊥ e o anulador de A em X∗ e B⊥ e o anulador de B em X.

Demonstra-se que A⊥ e B⊥ sao subespacos fechados de X∗ e X respectivamente.

Teorema 1.2.15. Sejam X um espaco normado e A e B subconjuntos de X e X∗ respecti-

vamente.

(i) O conjunto A⊥ e w∗-fechado em X;

(ii) (B⊥)⊥ = [B]w∗

;

(iii) Se B for subespaco de X∗, entao (B⊥)⊥ = Bw∗

.

Teorema 1.2.16. (Alaoglu) Se X e um espaco normado, entao a bola fechada BX∗ e um

espaco de Hausdorff compacto na topologia fraca∗.

Teorema 1.2.17. (Goldstine) Sejam X um espaco normado e I : X → X∗∗ a aplicacao

canonica. Entao I(X) e w∗-denso em X∗∗.


Teorema 1.2.18. Se X e um espaco normado separavel entao BX∗ e w∗-metrizavel.

Demonstracao. Seja xn : n ∈ N ⊂ X \ 0 um subconjunto enumeravel, denso em X.

Observamos que para quaisquer f, g ∈ BX∗

∞∑n=1

1

2n‖xn‖|(f − g) (xn)| ≤

∞∑n=1

1

2n‖xn‖‖f − g‖ ‖xn‖ = ‖f − g‖ <∞.

Podemos entao definir a aplicacao d : BX∗ ×BX∗ → R por

d(f, g) :=∞∑n=1

1

2n‖xn‖|(f − g) (xn)| , f, g ∈ BX∗ .

Verifica-se sem dificuldade que para quaisquer f, g, h ∈ BX∗

(i) d(f, g) ≥ 0;

(ii) d(f, g) = d(g, f);

(iii) d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g).

Se f, g ∈ BX∗ sao tais que d(f, g) = 0, entao f(xn) = g(xn) para todo n ∈ N. Por (xn)n∈N

ser denso em X, decorre f = g. Podemos entao concluir que d e uma metrica sobre BX∗ .

Para demonstrarmos que a topologia σ(X∗, X) sobre BX∗ e metrizavel, basta verificarmos

que a identidade id : (BX∗ , σ(X∗, X))→ (BX∗ , d) e um homeomorfismo.

Seja f ∈ BX∗ arbitrario. Dado ε > 0 arbitrario, existe n0 ∈ N tal que 12n0

< ε4

e existe

δ > 0 tal que

δ

(n0∑k=1

1

2n‖xn‖

)<ε

2.

Seja W := W (f, x1, . . . , xn0 , δ) ∩BX∗ . Se g ∈ W temos

d(f, g) =

n0∑k=1

1

2k‖xk‖|(f − g)(xk)|+

∞∑k=n0+1

1

2k‖xk‖|(f − g)(xk)|

≤ δ

(n0∑k=1

1

2k‖xk‖

)+ ‖f − g‖

(∞∑

k=n0+1

1

2k

)

≤ ε

2+ 2

(∞∑

k=n0+1

1

2k

)

≤ ε

2+

2

2n0< ε.


Isso demonstra que id (W ) ⊆ Bdε (f) := g ∈ BX∗ : d (f, g) < ε, e podemos concluir que

id e contınua. Por outro lado, de acordo com o teorema de Alaoglu 1.2.16, BX∗ e w∗-compacto

e por (BX∗ , d) ser espaco topologico de Hausdorff, id e uma aplicacao fechada. Segue-se que

id−1 e contınua e concluımos que id e um homeomorfismo.

1.3 Espacos Vetoriais Topologicos

Nesta secao introduziremos o conceito de espaco vetorial topologico que generaliza o de

espaco normado. Apresentaremos algumas definicoes e resultados que dependem apenas

da continuidade das operacoes de adicao de vetores e multiplicacao de vetor por escalar.

Estudaremos tambem o conceito de precompacidade.

Definicao 1.3.1. Um espaco vetorial topologico (EVT) e um par ordenado (X,O), onde

X e um espaco vetorial sobre o corpo K e O e uma topologia sobre X tal que a adicao de

vetores seja uma operacao contınua de X ×X em X e a multiplicacao de vetor por escalar

seja uma operacao contınua de K×X em X. Se O admitir uma base de abertos convexos,

dizemos que (X,O) e um espaco localmente convexo (ELC). Por questao de simplicidade,

quando nao houver duvidas sobre qual topologia se trata, denotaremos um espaco vetorial

topologico apenas por X.

Claramente, todo espaco normado X e um ELC. Verifica-se tambem que os espacos

(X, σ (X,X∗)) e (X∗, σ (X∗, X)) sao ELCs.

Definicao 1.3.2. Uma rede (xγ)γ∈Γ em um espaco vetorial topologico X e chamada de rede

de Cauchy se para toda vizinhanca U de zero existir γ ∈ Γ tal que xα − xβ ∈ U sempre que

α, β ≥ γ.

Definicao 1.3.3. Dados X, Y espacos vetoriais topologicos, dizemos que que uma aplicacao

f : A ⊂ X → Y e uniformemente contınua se para toda vizinhanca U de zero em Y existir

uma vizinhanca V de zero em X, tal que para quaisquer x, y ∈ A, f(x)− f(y) ∈ U sempre

que x− y ∈ V .

Definicao 1.3.4. Se X e um espaco vetorial topologico e Y e subconjunto de X, dizemos

que Y e precompacto se toda rede (xγ)γ∈Γ ⊂ Y admite subrede de Cauchy.

Sejam X, Y sao espacos vetoriais topologicos e A ⊂ X precompacto. Se f : A → Y

for uma aplicacao nao uniformemente contınua, de acordo com a definicao 1.3.3, existe uma

1.3. ESPACOS VETORIAIS TOPOLOGICOS 11

vizinhanca U de zero em Y tal que para cada vizinhanca V de zero em X, existem xV ,

yV ∈ A, satisfazendo

xV − yV ∈ V e f(xV )− f(yV ) /∈ U.

Seja Γ a colecao de todas as vizinhancas de zero, dirigida sob a relacao ≤, definida por

V0 ≤ V1 se e somente se se V1 ⊆ V0.

Segue-se que (xV )V ∈Γ e (yV )V ∈Γ sao redes em A satisfazendo, xV − yV → 0.

Por A ser precompacto, (xV )V ∈Γ e (yV )V ∈Γ admitem subredes de Cauchy que, por sim-

plicidade, denotaremos (xγ)γ∈Γ1e (yδ)δ∈Γ2

respectivamente.

Seja Γ0 := Γ1 × Γ2, dirigido sob a relacao ≤, definida por

(γ0, δ0) ≤ (γ1, δ1) se e somente se γ0 ≤ γ1 e δ0 ≤ δ1.

Fixando-se(x(γ,δ)

)(γ,δ)∈Γ0

e(y(γ,δ)

)(γ,δ)∈Γ0

onde

x(γ,δ) := xγ e y(γ,δ) := yδ,

obtemos redes de Cauchy em A, satisfazendo

x(γ,δ) − y(γ,δ) → 0 e f(x(γ,δ)

)− f

(y(γ,δ)

)/∈ U, (γ, δ) ∈ Γ0.

Proposicao 1.3.5. Se X e Y forem espacos localmente convexos e A ⊂ X for precompacto,

entao uma aplicacao f : A → Y e uniformemente contınua se e somente se aplica redes de

Cauchy em redes de Cauchy.

Demonstracao. Claramente se f e uniformemente contınua entao aplica redes de Cauchy em

redes de Cauchy.

Por outro lado, se f nao for uniformemente contınua, de acordo com o que foi discutido

acima, deve existir uma vizinhanca U de zero e redes de Cauchy (xγ)γ∈Γ e (yγ)γ∈Γ em A,

satisfazendo

xγ − yγ → 0 e f (xγ)− f (yγ) /∈ U, γ ∈ Γ.

Seja ΓN := Γ× N, dirigido sob a relacao ≤, definida por

(γ1, n1) ≤ (γ2, n2) se e somente se γ1 ≤ γ2 e n1 ≤ n2.


Fixemos(z(γ,n)

)(γ,n)∈ΓN

definida por

z(γ,n) =

xγ se n for par

yγ se n for ımpar.

Sem dificuldades verifica-se que(z(γ,n)

)(γ,n)∈ΓN

e rede de Cauchy em A. Entretanto, a

rede(f(z(γ,n)

))(γ,n)∈ΓN

nao e de Cauchy em Y , isso conclui a demonstracao.

Proposicao 1.3.6. Se X e um espaco de Banach, todo subconjunto precompacto de X e

separavel.

Demonstracao. Seja A um subconjunto precompacto de X. Verifica-se que toda sequencia

em A admite subsequencia convergindo a algum elemento de A, portanto A e compacto.

Por X ser um espaco de Banach e A ser compacto, A e separavel, e portanto existe um

subconjunto enumeravel D = an : n ∈ N satisfazendo

A = D.

Para cada m,n ∈ N, fixemos bmn ∈ B 1m

(an)∩A. Segue-se queH := bmn : m,n ∈ N ⊂ A

e uma colecao enumeravel, satisfazendo

A ⊆ H,

de onde concluımos que A e separavel.

A demonstracao da proposicao a seguir pode ser encontrada com todos os detalhes em

[16] ou [19].

Proposicao 1.3.7. Se X e um espaco de Banach entao BX e w-precompacto.

1.4 Espacos de Sequencias

Nesta secao introduziremos uma importante classe de espacos que sera utilizada durante

todo o trabalho. Para maiores detalhes sobre este topico, recomendamos [10].

1.4. ESPACOS DE SEQUENCIAS 13

Fixado um conjunto infinito Γ, c0 (Γ) denota o espaco de todas as funcoes ϕ : Γ → Ksatisfazendo

‖ϕ‖∞ := supλ∈Γ|ϕ(λ)| <∞.

e tais que para todo ε > 0 o conjunto λ ∈ Γ : |ϕ(λ)| ≥ ε e finito.

Observamos que sob esta definicao, qualquer ϕ ∈ c0 (Γ) se anula em todo Γ, com excecao

de um subconjunto enumeravel Γϕ.

Se 1 ≤ p < ∞, lp (Γ) denota o conjunto de todas as funcoes ϕ : Γ → K se anulando em

todo Γ com excecao de um subconjunto enumeravel Γϕ ⊆ λk : k ∈ N satisfazendo

‖ϕ‖p :=

(∞∑k=1

|ϕ(λk)|p) 1

p

<∞.

Por abuso de notacao muitas vezes escreveremos

‖ϕ‖p :=

(∑λ∈Γ

|ϕ(λ)|p) 1

p

.

Denotamos por l∞ (Γ) o espaco de todas as funcoes ϕ : Γ→ K com

‖ϕ‖∞ := supt∈Γ|ϕ(t)| .

Demonstra-se que c0 (Γ) e lp (Γ), 1 ≤ p ≤ ∞ sao espacos de Banach. Um elemento

arbitrario ϕ de algum desses espacos, sera denotado por (ϕλ)λ∈Γ onde ϕλ := ϕ (λ).

Por simplicidade, denotaremos c0 (N) := c0 e lp (N) := lp, 1 ≤ p ≤ ∞.

Seja B = eλ : λ ∈ Γ onde eλ = (eλγ)γ∈Γ e definido por

eλγ :=

1 se λ = γ

0 se λ 6= γ.

Claramente B e um conjunto linearmente independente. Fixado ϕ = (ϕλ)λ∈Γ em lp (Γ),

1 ≤ p <∞ ou c0 (Γ), o conjunto Γϕ := λ ∈ Γ : ϕλ 6= 0 e enumeravel.

Se Γϕ for finito, ϕ e combinacao linear de elementos de B. Supondo Γϕ = λk : k ∈ N,definimos a sequencia (ϑn)n∈N por

ϑn :=n∑k=1

ϕλkeλk .


Dado ε > 0, se ϕ ∈ lp (Γ), 1 ≤ p <∞, existe n0 tal que

‖ϕ− ϑn‖p ≤

(∞∑

k=n+1

|ϕλk |p

) 1p

< ε,

sempre que n ≥ n0.

Se ϕ ∈ c0 (Γ), existe n1 tal que

‖ϕ− ϑn‖∞ ≤ supk≥n+1

|ϕλk | ≤ ε,

sempre que n ≥ n1.

Em qualquer caso

ϕ = limn→∞

ϑn = limn→∞

n∑k=1

ϕλkeλk :=∞∑k=1

ϕλkeλk

Claramente, a serie converge incondicionalmente, ou seja

∞∑k=1

ϕλkeλk =∞∑k=1

ϕλσ(k)eλσ(k)

,

para toda permutacao σ : N→ N. Entao, por abuso de notacao escrevemos

ϕ =∑λ∈Γ

ϕλeλ.

O conjunto B sera chamado de base canonica de c0 (Γ) ou lp (Γ), 1 ≤ p <∞.

Proposicao 1.4.1. Se Γ e um conjunto infinito qualquer entao (c0 (Γ))∗ e isometricamente

isomorfo a l1 (Γ).

Demonstracao. Seja B = eλ : λ ∈ Γ a base canonica de c0 (Γ). Verificaremos primeira-

mente que para cada ϕ ∈ (c0 (Γ))∗ o conjunto Γ∗ϕ := λ ∈ Γ : ϕ(eλ) 6= 0 e enumeravel.

Com efeito, fixado ϕ ∈ (c0 (Γ))∗ para cada n ∈ N definimos

Fn :=

λ ∈ Γ : |ϕ(eλ)| ≥

1

n

.

Se para algum n0 o conjunto Fn0 fosse infinito, poderıamos fixar um subconjunto infinito


Podemos entao, definir uma aplicacao Φ : (c0 (Γ))∗ → l1 (Γ), por

Φ(ϕ) := (ϕ(eλ))λ∈Γ .

Verifica-se que Φ e uma aplicacao linear, e da relacao (1.1) segue-se imediatamente,

‖Φ(ϕ)‖1 ≤ ‖ϕ‖∞ para todo ϕ ∈ (c0 (Γ))∗.

Observemos agora que para cada ϕ ∈ (c0 (Γ))∗ e para cada x = (xλ)λ∈Γ =∑

λ∈Γ xλeλ ∈Bc0(Γ), vale a seguinte relacao

|ϕ(x)| =

∣∣∣∣∣∑λ∈Γ

xλϕ(eλ)

∣∣∣∣∣ ≤∑λ∈Γ

|xλ| |ϕ(eλ)|

≤

(∑λ∈Γ

|ϕ(eλ)|

)= ‖Φ(ϕ)‖1 ,

de onde concluımos, ‖ϕ‖∞ ≤ ‖Φ(ϕ)‖1 para todo ϕ ∈ (c0 (Γ))∗.

Entao Φ e uma isometria. Para verificarmos a sobrejetividade basta notar que para cada

(xλ)λ∈Γ ∈ l1 (Γ), a aplicacao φ : c0 (Γ)→ K definida por

φ (u) :=∑λ∈Γ

uλxλ, u = (uλ)λ∈Γ ∈ c0 (Γ) ,

e linear e contınua. Claramente Φ (φ) = (xλ)λ∈Γ.

De forma semelhante, demonstra-se que se 1p

+ 1q

= 1 entao (lp (Γ))∗ e isometricamente

isomorfo a lq (Γ) e que (l1 (Γ))∗ e isometricamente isomorfo a l∞ (Γ).

A demonstracao da proposicao a seguir pode ser encontrada em [10].

Proposicao 1.4.2.

(i) c0 e lp, 1 ≤ p <∞ sao separaveis.

(ii) l∞ nao e separavel.

(iii) Se Γ for um conjunto nao enumeravel, entao c0 (Γ) e lp (Γ), 1 ≤ p ≤ ∞, nao sao

separaveis.

Uma propriedade importante dos espacos l1 (Γ) e que, sobre esse espacos, uma sequencia

converge fracamente se e somente se converge em norma. Tal propriedade e denominada

propriedade de Schur.


Definicao 1.4.3. Dizemos que um espaco normado X tem a propriedade de Schur, se toda

sequencia (xn)n∈N em X convergindo fracamente a algum x ∈ X, converge em norma a x.

A proposicao a seguir pode ser encontrada em [8].

Proposicao 1.4.4. l1 tem a propriedade de Schur.

Demonstracao. Seja (xn)n∈N ⊂ l1 uma sequencia arbitraria convergindo fracamente a algum

x ∈ l1. Dado ε > 0 arbitrario, definimos para cada m ∈ N,

Bm :=φ ∈ Bl∞ : |φ(xn − x)| ≤ ε

3, n ≥ m

.

Notando-se que para cada n ∈ N, a aplicacao βn : l∞ → K, definida por

βn(φ) := φ(xn − x),

e contınua, com respeito a topologia fraca∗ de l∞ e a topologia usual de K, e

Bm =

(⋂n≥m

β−1n

(B ε

3(0)))∩Bl∞ ,

concluımos que Bm e w∗-fechado para cada m ∈ N. Por (xn)n∈N convergir fracamente a x,

segue-se

Bl∞ =⋃m∈N

Bm.

Por l∗1∼= l∞, o teorema de Alaoglu 1.2.16 implica que Bl∞ e w∗-compacto. Por l1 ser

separavel, decorre da proposicao 1.2.18, que Bl∞ e w∗-metrizavel. Portanto, sob a topologia

fraca∗, Bl∞ e um espaco metrico compacto e consequentemente, um espaco de Baire. Entao,

de acordo com o teorema de Baire, existe m0 ∈ N tal que o interior, com respeito a topologia

fraca∗, de Bm0 nao seja vazio. Segue-se que existem φ0 ∈ Bl∞ , y1, . . . , yr ∈ l1 e δ0 > 0, tais

que

W (φ0, y1, . . . , yr, δ0) ∩Bl∞ ⊂ Bm0 .

Supondo yi = (yik)k∈N, 1 ≤ i ≤ r, fixemos s ∈ N tal que

∞∑k=s+1

∣∣yik∣∣ < δ0

4, 1 ≤ i ≤ r.

Se ek : k ∈ N e a base canonica de l1, para cada φ ∈ Bl∞ satisfazendo

|φ(ei)− φ0(ei)| ≤ δ1 :=δ0

2(max1≤k≤r ‖yk‖1 + 1), 1 ≤ i ≤ s,


Por xnw→ x, segue-se χnk → χk, k ∈ N. Podemos fixar m1 ∈ N tal que

s∑k=1

|χnk − χk| <ε

3, n ≥ m1.

Entao para todo n > maxm0,m1

‖xn − x‖1 < 2ε

3+ε

3= ε

e isso demonstra que xn → x em l1.

Proposicao 1.4.5. Para qualquer conjunto Γ nao enumeravel, l1 (Γ) tem a propriedade de

Schur

Demonstracao. Seja (xn)n∈N uma sequencia em l1 (Γ), convergindo fracamente a algum x ∈l1 (Γ).

Para cada y = (yλ)λ∈Γ ∈ l1 (Γ), de acordo com a definicao de l1 (Γ), o conjunto Γy :=

λ ∈ Γ : yλ 6= 0 e enumeravel. Seja

Γ0 :=

(⋃n∈N

Γxn

)∪ Γx.

Claramente Γ0 e enumeravel e podemos, sem perda de generalidade, supor

Γ0 = λk : k ∈ N.

Observemos que para cada y = (yλ)λ∈Γ ∈ l1 (Γ), vale a seguinte relacao∑k∈N

|yλk | ≤∑λ∈Γ

|yλ| = ‖(yλ)λ∈Γ‖1. (1.3)

Podemos entao definir uma aplicacao Φ : l1 (Γ)→ l1 por

Φ((yλ)λ∈Γ

):= (yλk)k∈N .

Sem dificuldade, demonstra-se que Φ e linear, e da relacao (1.3), segue-se imediatamente

que Φ e contınua.

Em virtude da proposicao 1.2.5, a sequencia (Φ(xn))n∈N em l1 converge fracamente a

Φ(x).


Por l1 ter a propriedade de Schur, (Φ(xn))n∈N converge em norma para Φ(x) e de acordo

com a definicao de Φ, temos

‖Φ(xn)− Φ(x)‖1 = ‖Φ(xn − x)‖1 = ‖xn − x‖1, n ∈ N.

Concluımos que a sequencia (xn)n∈N converge para x em norma.

Capıtulo 2

Aplicacoes Multilineares e Polinomios

Este capıtulo e dedicado ao estudo de conceitos basicos sobre aplicacoes multilineares,

polinomios e topicos relacionados. Para um estudo mais detalhado, recomendamos [9] e [17].

2.1 Aplicacoes Multilineares

Definicao 2.1.1. Sejam X1, . . . , Xn e Y , espacos vetoriais sobre um corpo K. Dizemos que

uma aplicacao A : X1×. . .×Xn → Y e n-linear se for linear em cada variavel separadamente,

ou seja

A (x1, . . . , xi + λyi, . . . , xn) = A (x1 . . . , xi, . . . , xn) + λA (x1, . . . , yi, . . . , xn)

para quaisquer x1, . . . , xi, yi, . . . , xn ∈ Xi, 1 ≤ i ≤ n e λ ∈ K.

Verifica-se facilmente que o conjunto de todas as aplicacoes n-lineares de X1, . . . , Xn

em Y , sob as operacoes usuais de adicao e multiplicacao por escalar, e um espaco vetorial.

Este espaco sera denotado por La(X1, . . . , Xn;Y ). Em particular, se X1 = . . . = Xn =

X denotaremos La(X1, . . . , Xn;Y ) := La(nX;Y ), La(1X;Y ) = La(X;Y ) e por convencao

La(0X;Y ) = Y . Se Y = K, denotaremos La(X1, . . . , Xn; K) := La(X1, . . . , Xn).

A partir de agora, menos que sejam mencionadas outras hipoteses, X1, . . . , Xn, X, Y

denotarao espacos normados. Por questao de simplicidade e quando nao houver possibilidade

de confusao, qualquer norma sera denotada apenas por ‖.‖, ficando claro pelo contexto a

qual espaco se refere.

A topologia produto sobre X1 × . . .×Xn pode ser gerada pela norma

‖(x1, . . . , xn)‖ := max1≤k≤n

‖xk‖.

21

22 CAPITULO 2. APLICACOES MULTILINEARES E POLINOMIOS

Neste trabalho, sobre um produto de espacos normados, esta sera a norma utilizada.

Demonstra-se sem dificuladade que X1 × . . .×Xn e um espaco de Banach se e somente

se X1, . . . , Xn sao espacos de Banach.

Proposicao 2.1.2. Para cada A ∈ La (X1, . . . , Xn;Y ) sao equivalentes:

(i) A e contınua;

(ii) A e contınua na origem;

(iii) Existe M > 0 tal que ‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ M‖x1‖ . . . ‖xn‖ para todo (x1, . . . , xn) ∈X1 × . . .×Xn.

Demonstracao. (i)⇒ (ii) Evidente.

(ii) ⇒ (iii) Se A e contınua na origem, entao existe δ > 0 tal que ‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1

sempre que ‖(x1, . . . , xn)‖ ≤ δ.

Fixando-se M := 1δn

, seja (x1, . . . , xn) ∈ X1 × . . .×Xn arbitrario. Se xk = 0 para algum

1 ≤ k ≤ n entao

‖A(x1, . . . , xn)‖ = 0 = M‖x1‖ . . . ‖xn‖.

Se xk 6= 0, 1 ≤ k ≤ n, entao∥∥∥∥A( δx1

‖x1‖, . . . ,

δxn‖xn‖

)∥∥∥∥ ≤ 1,

pois claramente ∥∥∥∥( δx1

‖x1‖, . . . ,

δxn‖xn‖

)∥∥∥∥ ≤ δ.

Consequentemente

‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1

δn‖x1‖ . . . ‖xn‖ = M‖x1‖ . . . ‖xn‖.

(iii)⇒ (i) Fixado m ∈ N sejam y = (y1, . . . , yn) e x = (x1, . . . , xn) ∈ Bm(0), onde Bm(0) :=

x ∈ X : ‖x‖ ≤ m.

2.1. APLICACOES MULTILINEARES 23

Definindo-se z0 := x, z1 := (y1, x2 . . . , xn), z2 := (y1, y2, x3 . . . , xn),. . .,zn := y, temos

‖A(y)− A(x)‖ =

∥∥∥∥∥n∑k=1

(A(zk)− A(zk−1))

∥∥∥∥∥ ≤n∑k=1

‖A(zk)− A(zk−1)‖

=n∑k=1

‖A(y1, . . . , yk − xk, . . . , xn)‖

≤n∑k=1

M‖x1‖ . . . ‖yk − xk‖ . . . ‖xn‖

≤Mmn−1

(n∑k=1

‖yk − xk‖

).

A relacao acima implica claramente a continuidade de A.

Denotaremos por L(X1, . . . , Xn;Y ) o subespaco de La(X1, . . . , Xn;Y ) consistindo de to-

das as aplicacoes n-lineares contınuas. Em particular, se X1 = . . . = Xn = X denotaremos

L(nX;Y ) := L(X1, . . . , Xn;Y ). Denotaremos tambem L(X1, . . . , Xn) := L(X1, . . . , Xn; K) e

L(nX) := L(nX; K).

A seguir um exemplo de aplicacao multilinear nao contınua.

Exemplo 2.1.3. Seja X = (l1, ‖.‖∞) e A ∈ La(2X) definida por

A((αk)k∈N , (βk)k∈N

):=

∞∑k=1

αkβk, (αk)k∈N , (βk)k∈N ∈ l1.

Para cada n ∈ N, seja xn = (

n︷︸︸︷1, . . . , 1, 0, . . .). Claramente ‖(xn, xn)‖ = 1 para todo n ∈ N

e ‖A(xn, xn)‖ = n. De acordo com a proposicao 2.1.2, A nao e contınua.

Observamos no entanto que, para cada (αk)k∈N, (βk)k∈N ∈ l1, sao validas as seguintes

relacoes:

‖A((αk)k∈N , (βk)k∈N

)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑k

αkβk

∥∥∥∥∥ ≤ ‖ (αk)k∈N ‖1‖ (βk)k∈N ‖∞,

‖A((αk)k∈N , (βk)k∈N

)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑k

αkβk

∥∥∥∥∥ ≤ ‖ (βk)k∈N ‖1‖ (αk)k∈N ‖∞.

Essas relacoes implicam a continuidade de A em cada variavel separadamente, ou seja,

fixando-se qualquer uma das variaveis, obtem-se uma transformacao linear contınua.


Devemos observar tambem que o espaco (l1, ‖.‖∞) nao e de Banach. A proposicao a seguir

nos mostra que se os espacos forem de Banach, em uma aplicacao multilinear, a continuidade

em cada variavel separadamente implica a continuidade.

Proposicao 2.1.4. Sejam X1, . . . , Xn espacos de Banach e Y um espaco normado. Uma

aplicacao A ∈ La (X1, . . . , Xn;Y ) e contınua se e somente se e contınua em cada variavel

separadamente.

Demonstracao. Claramente, se A for contınua entao e contınua em cada variavel separada-

mente.

A demonstracao da afirmacao recıproca sera por inducao sobre n. Se n = 1, a tese segue

trivialmente. Supondo n > 1 e a tese valida em La (X1, . . . , Xn−1;Y ), fixemos uma sequencia

((xk, yk))k∈N em X1 × . . .×Xn, com xk ∈ X1 × . . .×Xn−1 e yk ∈ Xn, convergindo a zero.

Seja F = Ak : k ∈ N ⊂ La (Xn;Y ) onde

Ak(y) := A (xk, y) , k ∈ N.

Para cada y ∈ Xn a aplicacao Ay : X1 × . . .×Xn−1 → Y definida por

Ay(x) := A(x, y),

e n − 1-linear e contınua em cada variavel separadamente. De acordo com a hipotese de

inducao, Ay e contınua. Entao para cada k ∈ N e y ∈ Xn temos

limk→∞

Ak(y) = limk→∞

A(xk, y) = limk→∞

Ay(xk) = 0.

Consequentemente, F e uma colecao de aplicacoes lineares pontualmente limitada. Pelo

Princıpio da Limitacao Uniforme, existe M > 0 tal que supk∈N ‖Ak‖ ≤M . Entao

limk→∞‖A(xk, yk)‖ = lim

k→∞‖Akyk‖ ≤ lim

k→∞M ‖yk‖ = 0.

Concluımos que A e contınua na origem e portanto, em virtude da proposicao 2.1.2, A e

contınua.

Proposicao 2.1.5. A aplicacao ‖.‖ : L (X1, . . . , Xn;Y )→ R definida por

‖A‖ := sup ‖A(x)‖ : x ∈ X1 × . . .×Xn, ‖x‖ ≤ 1 ,

define uma norma sobre L (X1, . . . , Xn;Y ).

2.1. APLICACOES MULTILINEARES 25

Demonstracao. Segue da proposicao 2.1.2 que para todo A ∈ L(nX;Y ), ‖A‖ <∞ e

‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖A‖‖x1‖ . . . ‖xn‖. (2.1)

Claramente, para cada A ∈ L(nX;Y ), temos ‖A‖ ≥ 0. Se ‖A‖ = 0, da relacao (2.1),

temos para cada (x1, . . . , xn)

‖A(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖A‖‖x1‖ . . . ‖xn‖ = 0,

portanto A ≡ 0.

Fixado λ ∈ K e ‖(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1 temos

‖λA(x1, . . . , xn)‖ = |λ| ‖A (x1, . . . , xn)‖ ≤ |λ| ‖A‖ , (2.2)

consequentemente

‖λA‖ ≤ |λ| ‖A‖ .

Se λ = 0, claramente vale a igualdade na relacao (2.2). Se λ 6= 0 temos

‖A(x1, . . . , xn)‖ =

∥∥∥∥λ(1

λ

)A(x1, . . . , xn)

∥∥∥∥ =1

|λ|‖λA(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1

|λ|‖λA‖ ,

portanto

|λ| ‖A‖ ≤ ‖λA‖ . (2.3)

Das relacoes (2.2) e (2.3) decorre a igualdade para toda aplicacao A ∈ L (X1, . . . , Xn;Y ).

Se A, B ∈ L (X1, . . . , Xn;Y ), fixado ‖(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1 arbitrario temos

‖A(x1, . . . , xn) +B(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖A(x1, . . . , xn)‖+ ‖B(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖ ,

portanto

‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖ .

Proposicao 2.1.6. Se Y e um espaco de Banach entao, sob a norma A 7→ ‖A‖ , o espaco

L (X1, . . . , Xn;Y ) e de Banach.

Demonstracao. Seja (Ak)k∈N uma sequencia de Cauchy em L (X1, . . . , Xn;Y ). Para cada

(x1, . . . , xn) ∈ X1 × . . .×Xn e para cada k, r ∈ N,

‖Ak(x1, . . . , xn)− Ar(x1, . . . , xn)‖ ≤ ‖Ak − Ar‖ ‖x1‖ . . . ‖xn‖.


Entao, para cada u ∈ X1×. . .×Xn, a sequencia (Ak(u))k∈N e de Cauchy em Y e converge,

pois Y e completo.

Podemos entao, definir uma aplicacao A : X1 × . . .×Xn → Y por

A(u) := limk→∞

Ak(u).

A n-linearidade da aplicacao A segue das propriedades operatorias do limite de sequencias

e da n-linearidade de cada uma das aplicacoes Ak.

Para verificarmos a continuidade de A, fixemos u ∈ X1 × . . . ×Xn com ‖u‖ ≤ 1 arbitrario.

De acordo com a relacao (2.1), deve existir k0 ∈ N tal que

‖Ak(u)− Ar(u)‖ ≤ 1,

sempre que k, r ≥ k0. Entao, para todo k ≥ k0, a desigualdade triangular implica

‖Ak(u)‖ ≤ ‖Ak0(u)‖+ 1 ≤ ‖Ak0‖+ 1

e consequentemente

‖A‖ ≤ ‖Ak0‖+ 1.

Concluımos que ‖A‖ ≤ ∞, e em virtude da proposicao 2.1.2, A e contınua.

Finalmente, fixando-se ε > 0, existe k1 ∈ N tal que para quaisquer k, r ≥ k1

‖Ak − Ar‖ ≤ε

2.

Seja ‖u‖ ≤ 1 arbitrario. Para quaisquer k, r ≥ k1

‖Ak(u)− Ar(u)‖ ≤ ‖Ak − Ar‖ ≤ε

2

Fixando-se k ≥ k1 temos

limr→∞‖Ak(u)− Ar(u)‖ = ‖Ak(u)− A(u)‖ ≤ ε

2< ε.

Por ‖u‖ ≤ 1 ser arbitrario,

‖Ak − A‖ < ε,

sempre que k ≥ k0. Concluımos que (Ak)k∈N converge para A.

2.2. APLICACOES MULTILINEARES SIMETRICAS 27

2.2 Aplicacoes Multilineares Simetricas

As aplicacoes multilineares simetricas tem importancia fundamental no estudo de poli-

nomios, objetos que estudaremos a partir da proxima secao. Denotaremos por Sn o conjunto

de todas as permutacoes de 1, . . . , n, ou seja, o conjunto de todas as bijecoes de 1, . . . , nem 1, . . . , n.

Definicao 2.2.1. Dizemos que A ∈ La(nX;Y ) e simetrica se para quaisquer x1, . . . , xn ∈ Xe para todo σ ∈ Sn

A(x1, . . . , xn) = A(xσ(1), . . . , xσ(n)).

Verifica-se facilmente que o conjunto de todas as aplicacoes multilineares simetricas e

um subespaco de La(nX;Y ) e sera denotado por Lsa(nX;Y ). Em particular, denotaremos

Lsa(nX) := Lsa(nX; K).

Definicao 2.2.2. Para cada α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm0 :=

m︷︸︸︷N0 × . . .× N0, definimos

|α| := α1 + . . .+ αm e α! := α1! . . . αm!.

Em diversos momentos neste trabalho, tendo em vista simplificar algumas notacoes, dado

A ∈ La(nX;Y ), x1, . . . , xm ∈ X e α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm0 com |α| = n, denotaremos

Axα11 . . . xαmm := Ax1 . . . x1︸︷︷︸

α1

. . . xm . . . xm︸︷︷︸αm

.

Denotaremos por Ls(nX;Y ) o subespaco de Lsa(nX;Y ) de todas as aplicacoes n-lineares

simetricas contınuas. Em particular, denotaremos Ls(nX) := Ls(nX; K).

Corolario 2.2.3. Se Y e um espaco de Banach entao Ls (nX;Y ) e um espaco de Banach.

Demonstracao. Segue diretamente da proposicao 2.1.6 e da unicidade do limite de uma

sequencia em um espaco normado.

Proposicao 2.2.4. Para cada A ∈ L(nX;Y ) seja As definida por

As(x1, . . . , xn) :=1

n!

∑σ∈Sn

A(xσ(1), . . . , xσ(n)), x1, . . . , xn ∈ X.


Entao a aplicacao A 7→ As e uma projecao de L(nX;Y ) em Ls(nX;Y ), e para cada

A ∈ L(nX;Y ),

‖A‖ ≤ ‖As‖.

Denominaremos As, a aplicacao n-linear simetrica associada a A.

Demonstracao. Fixado A ∈ L(nX;Y ), claramente As e uma aplicacao multilinear contınua

e para cada γ ∈ Sn,

As(xγ(1), . . . , xγ(n)) =1

n!

∑σ∈Sn

A(xγ(σ(1)), . . . , xγ(σ(n))

)=

1

n!

∑β∈Sn

A(xβ(1), . . . , xβ(n)

)= As(x1, . . . , xn).

Entao, de fato As ∈ Ls(nX;Y ). Claramente A 7→ As e uma aplicacao linear e para cada

A ∈ L(nX;Y )

(As)s(x1, . . . , xn) =1

n!

∑σ∈Sn

As(xσ(1), . . . , xσ(n)

)=

1

n!

∑σ∈Sn

As (x1, . . . , xn) = As(x1, . . . , xn).

Concluımos que a aplicacao A 7→ As e uma projecao de L(nX;Y ) em Ls(nX;Y ).

Fixando-se ‖(x1, . . . , xn)‖ ≤ 1 arbitrario, temos

‖As(x1, . . . , xn)‖ =

∥∥∥∥∥ 1

n!

∑σ∈Sn

A (x1, . . . , xn)

∥∥∥∥∥ ≤ 1

n!‖A‖

∑σ∈Sn

1 = ‖A‖.

Consequentemente ‖As‖ ≤ ‖A‖.

Mais geralmente a aplicacao A 7→ As, associando cada A ∈ La(nX;Y ) a aplicacao As ∈Lsa (nX;Y ), definida por

As(x1, . . . , xn) :=1

n!

∑σ∈Sn

A(xσ(1), . . . , xσ(n)), x1, . . . , xn ∈ X,

e uma projecao de La(nX;Y ) em Lsa(nX;Y ).

Analogamente ao caso contınuo, denominaremos As, a aplicacao n-linear simetrica asso-

ciada a A.

2.2. APLICACOES MULTILINEARES SIMETRICAS 29

Proposicao 2.2.5. (Formula de Leibniz) Seja A ∈ Lsa(nX;Y ). Para x1, . . . , xm ∈ X,

A(x1 + . . .+ xm)n =∑|α|=n

n!

α!Axα1

1 . . . xαmm ,

onde α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm0 , tal que |α| = n.

Demonstracao. A demonstracao sera feita por inducao em n. E evidente que a proposicao

se verifica para n = 0 e n = 1. Se n > 1, supondo valida a tese em Lsa(n−1X;Y ) fixemos

x1, . . . , xm ∈ X. Aplicando-se a hipotese de inducao para a aplicacao B ∈ Lsa(n−1X;Y )

definida por

B (y1, . . . , yn−1) := A (x1 + . . .+ xm) (y1, . . . , yn−1) , y1, . . . , yn−1 ∈ X,

teremos

A(x1 + . . .+ xm)n = B(x1 + . . .+ xm)n−1

=∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!Bxα1

1 . . . xαmm

=∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!A(x1 + . . .+ xm)xα1

1 . . . xαmm

=∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!Axα1+1

1 . . . xαmm + . . .+∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!Axα1

1 . . . xαm+1m .

Para cada 1 ≤ k ≤ m, definimos β(k) =(β

(k)1 , ..., β

(k)m

)onde β

(k)1 := α1, . . . , β

(k)k :=

αk + 1, . . . , β(k)m := αm.


Podemos escrever∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!Axα1+1

1 . . . xαmm + . . .+∑|α|=n−1

(n− 1)!

α!Axα1

1 . . . xαm+1m

=∑|β(1)|=n

β(1)1 (n− 1)!

β(1)!Ax

β(1)1

1 . . . xβ(1)mm + . . .+

∑|β(m)|=n

β(m)m (n− 1)!

β(m)!Ax

β(m)1

1 . . . xβ(m)mm

=∑|β|=n

β1 (n− 1)!

β!Axβ1

1 . . . xβmm + . . .+∑|β|=n

βm (n− 1)!

β!Axβ1

1 . . . xβmm

=∑|β|=n

(β1 + . . .+ βm) (n− 1)!

β!Axβ1

1 . . . xβmm

=∑|β|=n

n!

β!Axβ1

1 . . . xβmm ,

como querıamos.

Corolario 2.2.6. (Formula do Binomio) Seja A ∈ Lsa(nX;Y ). Para x, y ∈ X,

A(x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)Axn−kyk.

O proximo resultado estabelece que uma aplicacao multilinear simetrica e determinada

pelos seus valores na diagonal de Xn.

Proposicao 2.2.7. (Formula de Polarizacao) Se A ∈ Lsa(nX;Y ), entao para todo

x0, . . . , xn ∈ X

A(x1, . . . , xn) =1

n!2n

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n.

A soma percorre todas as 2n sequencias (ε1, . . . , εn), onde εk = ±1 para cada 1 ≤ k ≤ n.

Demonstracao. De acordo com a Formula de Leibniz 2.2.5, fixando-se x0, . . . , xn ∈ X e uma

sequencia (ε1, . . . , εn), onde εk = ±1 para cada 1 ≤ k ≤ n, temos

A(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n =∑|α|=n

n!

α!εα1

1 . . . εαnn Axα00 . . . xαnn ,

2.3. POLINOMIOS 31

equivalentemente

ε1 . . . εnA(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n =∑|α|=n

εα1+11 . . . εαn+1

n

n!

α!Axα0

0 . . . xαnn .

Considerando-se a soma percorrendo todas as 2n sequencias (ε1, . . . , εn), onde εk = ±1

para cada 1 ≤ k ≤ n, teremos

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n =∑εk=±1

∑|α|=n

εα1+11 . . . εαn+1

n

n!

α!Axα0

0 . . . xαnn

=∑|α|=n

n!

α!Axα0

0 . . . xαnn

( ∑εk=±1

εα1+11 . . . εαn+1

n

).

Seja α = (α0, . . . , αn) ∈ Nn+1 com |α| = n. Se para algum 1 ≤ k ≤ n tivermos αk = 0, e

podemos supor sem perda de generalidade que k = 1, entao∑εk=±1

εα1+11 . . . εαn+1

n =∑εk=±1

ε1εα2+12 . . . εαn+1

n

=∑εk=±1

ε2 . . . εαn+1n −

∑εk=±1

ε2 . . . εαn+1n = 0.

Lembrando-se que |α| = n, podemos concluir que αk 6= 0 para todo 1 ≤ k ≤ n se e

somente se α0 = 0 e α1 = . . . = αn = 1. Entao,

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n =

( ∑εk=±1

ε21 . . . ε2n

)n!A(x1, . . . , xn)

= n!2nA(x1, . . . , xn),

ou seja,

A(x1, . . . , xn) =1

n!2n

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(x0 + ε1x1 + . . .+ εnxn)n.

2.3 Polinomios

Nesta secao estudaremos conceitos basicos sobre polinomios. Para um estudo mais de-

talhado sobre este topico, recomendamos [17].


Definicao 2.3.1. Dizemos que uma aplicacao P : X → Y e um polinomio homogeneo de

grau n, ou um polinomio n-homogeneo, se existir uma aplicacao A ∈ La(nX;Y ) satisfazendo

P (x) = Axn.

Denotaremos por A a aplicacao n-linear associada ao polinomio P .

Verifica-se facilmente que o conjunto dos polinomios n-homogeneos de X em Y , munido

das operacoes usuais de adicao e multiplicacao por escalar, e um espaco vetorial. Deno-

taremos esse espaco por Pa(nX;Y ). Em particular, se Y = K denotaremos Pa(nX) :=

Pa (nX; K). Por convencao, Pa(0X;Y ) := Y.

Proposicao 2.3.2. Sejam n ∈ N, P ∈ Pa(nX;Y ) e A ∈ Lsa(nX;Y ) a aplicacao n-linear

associada a P . Sao equivalentes:

(i) A e contınua;

(ii) P e contınua;

(iii) P e contınua na origem;

(iv) Existe M > 0 tal que ‖P (x)‖ ≤M‖x‖n para todo x ∈ X.

Demonstracao. (i)⇒ (ii) Seja I : X → Xn a inclusao definida por

I(x) = (n︷︸︸︷

x, . . . , x), x ∈ X.

Claramente, I e contınua. Se A for contınua entao a composicao P = A I e contınua.

(ii)⇒ (iii) Evidente.

(iii)⇒ (iv) Se P for contınua na origem, entao existe δ > 0 tal que ‖P (x)‖ ≤ 1 sempre

que ‖x‖ ≤ δ.

Se x 6= 0 entao∥∥∥δ x‖x‖

∥∥∥ ≤ δ e portanto

∥∥∥∥P (δ x

‖x‖

)∥∥∥∥ ≤ 1.

Consequentemente

‖P (x)‖ ≤ 1

δn‖x‖n. (2.4)

Claramente, a relacao (2.4) e verdadeira quando x = 0.

2.3. POLINOMIOS 33

(iv) ⇒ (i) Seja x = (x1, . . . , xn) com ‖x‖ ≤ 1 arbitrario. Utilizando-se a Formula de

Polarizacao 2.2.7,

‖A(x1, . . . , xn)‖ =

∥∥∥∥∥ 1

n!2n

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(ε1x1 + . . .+ εnxn)n

∥∥∥∥∥≤ 1

n!2n

∑εk=±1

‖P (ε1x1 + . . .+ εnxn)‖

≤ M

n!2n

∑εk=±1

‖ε1x1 + . . .+ εnxn‖n

≤ M

n!(‖x1‖+ . . .+ ‖xn‖)n

≤ Mnn

n!.

Portanto ‖A‖ <∞, e de acordo com a proposicao 2.1.2, A e contınua.

Denotaremos por P(nX;Y ) o subespaco de todos os polinomios n-homogeneos contınuos

de X em Y . Em particular, denotaremos P (nX) := P (nX; K).

Proposicao 2.3.3. A aplicacao ‖.‖ : P (nX;Y )→ R definida por

‖P‖ := sup ‖P (x)‖ : x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1 ,

define uma norma sobre P (nX;Y ).

Demonstracao. Segue de forma analoga a proposicao 2.1.5.

Proposicao 2.3.4. Para cada A ∈ L(nX;Y ) seja A ∈ P(nX;Y ) definido por

A(x) := Axn, x ∈ X.

Entao:

(i) A aplicacao A 7→ A e um isomorfismo entre Ls(nX;Y ) e P(nX;Y );

(ii) Para cada A ∈ Ls(nX;Y ) temos

‖A‖ ≤ ‖A‖ ≤ nn

n!‖A‖.


Demonstracao. (i) Claramente aplicacao A 7→ A e linear. Para demonstrarmos a sobre-

jetividade, fixemos P ∈ P(nX;Y ) arbitrario. De acordo com a definicao de polinomio

n-homogeneo, e em virtude da proposicao 2.3.2, existe A ∈ L(nX;Y ) satisfazendo

P (x) = Axn, x ∈ X.

Seja As a aplicacao simetrica associada a A, ou seja, a aplicacao

As(x1, . . . , xn) :=1

n!

∑σ∈Sn

A(xσ(1), . . . , xσ(n)

).

Entao, para todo x ∈ X

Asxn =1

n!

∑σ∈Sn

A(x, . . . , x) = Axn = P (x),

e portanto As ≡ P , demonstrando que a aplicacao e sobrejetora.

Para demonstrarmos a injetividade, seja A ∈ Ls(nX;Y ) tal que A ≡ 0. De acordo com

a Formula de Polarizacao 2.2.7, para todo (x1, . . . , xn) ∈ Xn temos

A(x1, . . . , xn) =1

n!2n

∑εk±1

ε1 . . . εnA (ε1x1 + . . .+ εnxn)n = 0,

e portanto A ≡ 0, demonstrando que a aplicacao e injetora.

(ii) Seja x = (x1, . . . , xn) tal que ‖x‖ ≤ 1 arbitrario. De acordo com a Formula de

Polarizacao 2.2.7,

‖A(x1, . . . , xn)‖ =

∥∥∥∥∥ 1

n!2n

∑εk=±1

ε1 . . . εnA(ε1x1 + . . .+ εnxn)n

∥∥∥∥∥≤ 1

n!2n

∑εk=±1

‖A(ε1x1 + . . .+ εnxn)‖

≤ nn‖A‖n!2n

∑εk=±1

(1

n‖ε1x1 + . . .+ εnxn‖

)n≤ nn‖A‖

n!

(∥∥∥x1

n

∥∥∥+ . . .+∥∥∥xnn

∥∥∥)n ≤ nn

n!‖A‖.

Podemos concluir ‖A‖ ≤ nn

n!‖A‖. A outra desigualdade e evidente.

Mais geralmente, a aplicacao A 7→ A, associando cada A ∈ La(nX;Y ) o polinomio

2.3. POLINOMIOS 35

A ∈ Pa(nX;Y ), definido por

A(x) := Axn, x ∈ X,

fornece um isomorfismo entre os espacos vetoriais Lsa(nX;Y ) e Pa(nX;Y ).

Em diversos momentos neste trabalho, utilizaremos tambem a aplicacao P → P que

associa cada polinomio P ∈ Pa(nX;Y ) a sua unica aplicacao n-linear simetrica associada,

P ∈ Lsa(nX;Y ). De acordo com o que estudamos ate agora, P e contınua se e somente se P

for contınua.

Corolario 2.3.5. Se Y e um espaco de Banach entao, P (nX;Y ) e um espaco de Banach.

Demonstracao. De acordo com a proposicao 2.3.4, os espacos Ls (nX;Y ) e P (nX;Y ) sao

isomomorfos e de acordo com o corolario 2.2.3, o espaco Ls (nX;Y ) e completo. Decorre que

P (nX;Y ) e completo.

Definicao 2.3.6. Dizemos que uma aplicacao P : X → Y e um polinomio de X em Y se

existir n ∈ N0 e Pk ∈ Pa(kX;Y ), 0 ≤ k ≤ n, tais que

P = P0 + P1 + . . .+ Pn.

Claramente o conjunto dos polinomios de X em Y , munido das operacoes usuais de adicao

e multiplicacao por escalar, e um espaco vetorial. Denotaremos esse espaco por Pa(X;Y ).

Em particular, denotaremos Pa(X) := Pa(X; K). Denotaremos por P(X;Y ) o subespaco de

Pa(X;Y ) de todas os polinomios contınuos de X em Y . Em particular, P(X) := P(X; K).

Proposicao 2.3.7.

(i) Pa(X;Y ) e a soma direta dos subespacos Pa(nX;Y ), n ∈ N.

(ii) P(X;Y ) e a soma direta dos subespacos P(nX;Y ), n ∈ N.

Demonstracao. Fixemos P = P0+P1+. . .+Pn ∈ P (X;Y ) onde Pk ∈ P(kX;Y

), 0 ≤ k ≤ n.

Para verificarmos (i), basta demonstrar que se P = 0 entao P0 = P1 = . . . = Pn = 0. De

fato, se P = 0 entao para cada x ∈ X e cada λ ∈ K

n∑k=0

λkPk(x) =n∑k=0

Pk (λx) = 0.


Fixando-se λ = 1, 2, . . . , n+ 1, podemos escrever para todo x ∈ X

1 1 1 . . . 1

1 2 22 . . . 2n

1 3 32 . . . 3n

......

.... . .

...

1 n+ 1 (n+ 1)2 . . . (n+ 1)n

P0(x)

P1(x)

P2(x)...

Pn(x)

=

0

0

0...

0

. (2.5)

A matriz quadrada no primeiro membro de 2.5 e claramente invertıvel (matriz de Van-

dermonde). Decorre

P0(x) = P1(x) = . . . Pn(x) = 0,

e isso verifica (i).

Para verificarmos (ii) precisamos apenas demonstrar que Pk e contınua para cada k, e

faremos isso por inducao em n.

Claramente a tese se verifica no caso em que n = 0. Se n ≥ 1 suponha a tese valida para

todo k ≤ n− 1. Para cada cada x ∈ X e para cada λ ∈ K temos

P (λx)− λnP (x) =n−1∑k=0

(λk − λn

)Pk(x).

Fixando-se λ ∈ K tal que(λk − λn

)6= 0 para todo 0 ≤ k ≤ n−1, a aplicacao Q : X → K

definida por

Q(x) := P (λx)− λnP (x) , x ∈ X,

e um polinomio contınuo de grau estritamente menor que n. De acordo com a hipotese de

inducao, Pk e contınuo para todo 0 ≤ k ≤ n−1, consequentemente Pn = P −P0− . . .−Pn−1

tambem e contınua. Isso verifica (ii).

Como no caso homogeneo, a aplicacao ‖.‖ : P (X;Y )→ R definida por

‖P‖ := sup ‖P (x)‖ : x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1 ,

define uma norma sobre P (X;Y ).

Demonstra-se que, sob a topologia induzida por essa norma, P (X;Y ) e espaco de Banach.

Definiremos agora a derivada de um polinomio homogeneo.

Definicao 2.3.8. Sejam P ∈ P(nX;Y ) e um natural 1 ≤ k ≤ n. A k-esima derivada de P

2.4. POLINOMIOS FRACAMENTE CONTINUOS SOBRE LIMITADOS 37

e a aplicacao ∂kP ∈ P(n−kX;P(kX;Y )) definida por

∂kP (x)(y) :=n!

(n− k)!P xn−kyk, x, y ∈ X.

A proposicao a seguir tera um papel importante no capıtulo 3.

Proposicao 2.3.9. Para todo P ∈ P (nX), ker ∂n−1P = ∂P (X)⊥.

Demonstracao. Notando-se que para quaisquer x, y ∈ X,

∂n−1P (x)(y) = n!P xyn−1 = (n− 1)!nPyn−1x = (n− 1)!∂P (y)(x),

temos x ∈ ker ∂n−1P se e somente se x ∈ ∂P (X)⊥.

2.4 Polinomios Fracamente Contınuos sobre Limitados

Nesta secao estudaremos alguns tipos especiais de polinomios. Exibiremos algumas defi-

nicoes e resultados importantes para o desenvolvimento do capıtulo 3. Esta secao e baseada

principalmente em [9].

Definicao 2.4.1. Dizemos que um polinomio P ∈ P (nX;Y ) e fracamente contınuo, ou w-

contınuo, sobre os subconjuntos limitados de X, se para cada subconjunto limitado A ⊂ X,

a restricao

P : (A;σ(X;X∗))→ (Y ; ‖.‖) .

for contınua.

Verifica-se que o conjunto dos polinomios fracamente contınuos sobre os limitados e

um subespaco de P (nX, Y ). Denotaremos esse subespaco por Pw (nX;Y ). Em particular

denotaremos Pw (nX) := Pw (nX,K).

Mais geralmente, uma funcao f : X → Y e fracamente contınua sobre os subconjuntos

limitados de X se para cada subconjunto limitado A ⊂ X, a restricao

f : (A;σ(X;X∗))→ (Y ; ‖.‖) .

for contınua.


Dizemos tambem que uma funcao f : X → Y e fracamente uniformemente contınua

sobre os subconjuntos limitados de X se para cada subconjunto limitado A ⊂ X, a restricao

f : (A;σ(X;X∗))→ (Y ; ‖.‖) .

for uniformemente contınua.

Definicao 2.4.2. Dizemos que um polinomio P ∈ P (nX;Y ) e fracamente sequencialmente

contınuo, ou wsc-contınuo, se a sequencia (P (xk))k∈N converge em norma a P (x) sempre

que a sequencia (xk)k∈N converge fracamente para x ∈ X.

Verifica-se que o conjunto dos polinomios fracamente sequencialmente contınuos e um

subespaco de P (nX, Y ). Este espaco sera denotado por Pwsc (nX;Y ). Em particular deno-

taremos Pwsc (nX) := Pwsc (nX,K).

Definicao 2.4.3. Dizemos que um polinomio P ∈ P (nX;Y ) e nuclear se existirem sequen-

cias limitadas (ϕk)k∈N ⊂ X∗, (yk)k∈N ⊂ Y e (λk)k∈N ∈ l1 tais que

P (x) =∞∑k=1

λkϕnk(x)yk, x ∈ X.

O conjunto dos polinomios nucleares e um subespaco de P (nX, Y ). Denotaremos este

subespaco por PN (nX, Y ). Em particular PN (nX) := PN (nX,K).

Proposicao 2.4.4. P ∈ Pw (nX;Y ) se e somente se P e w-contınuo sobre a bola unitaria

BX .

Demonstracao. Seja P ∈ P (nX;Y ) arbitrario. Claramente, se P for w-contınuo sobre os

subconjuntos limitados de X, sera w-contınuo sobre BX .

Por outro lado, dado um subconjunto limitado nao vazio K ⊂ X, existe δ > 0 tal que

δK ⊂ BX .

Seja (xγ)γ∈Γ for uma rede arbitraria em K convergindo fracamente a algum x ∈ K,

segue-se que (δxγ)γ∈Γ sera uma rede em BX convergindo fracamente a δx ∈ BX .

Se P for w-contınuo sobre BX , de acordo com o teorema 1.1.3, a rede (P (δxγ))γ∈Γ

converge em norma a P (δx). Por P (δxγ) = δnP (xγ), γ ∈ Γ, a rede (P (xγ))γ∈Γ converge

em norma a P (x). Por (xγ)γ∈Γ ser uma rede arbitraria em K, o teorema 1.1.3 implica que o

polinomio P e fracamente contınuo sobre K, e como K e um subconjunto limitado arbitrario

de X, concluımos que P ∈ Pw (nX;Y ).


Proposicao 2.4.5. PN (nX;Y ) ⊆ Pw (nX;Y ) ⊆ Pwsc (nX;Y ).

Demonstracao. Verificaremos primeiramente que PN (nX;Y ) ⊆ Pw (nX;Y ). Fixemos um

polinomio nuclear P (x) =∑∞

k=1 λkϕnk(x)yk, onde (ϕk)k∈N e (yk)k∈N sao sequencias limitadas

em X∗ e Y respectivamente, e (λk)k∈N ∈ l1. Seja M > 0, uma constante satisfazendo

max

supk∈N‖ϕk‖ , sup

k∈N‖yk‖

≤M.

Seja (xγ)γ∈Γ uma rede arbitraria em BX convergindo fracamente a algum x ∈ BX e

fixemos ε > 0 arbitrario. Por∑∞

r=1 |λk| := α <∞, existe k0 ∈ N tal que

∞∑r=k

|λr| <ε

4

1

Mn+1, sempre que k ≥ k0.

Por (xγ)γ∈Γ convergir fracamente a x, para cada 1 ≤ k ≤ k0 existe γk ∈ Γ tal que

|ϕk(xγ)− ϕk(x)| ≤ ε

n (‖ϕk‖+ 1)n−1

1

2(α + 1)Mk0

,

sempre que γ ≥ γk. Consequentemente

|ϕnk(xγ)− ϕnk(x)| =

∣∣∣∣∣n∑r=1

(ϕn−r+1k (xγ)ϕ

r−1k (x)− ϕn−rk (xγ)ϕ

rk(x)

)∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣n∑r=1

ϕn−rk (xγ)ϕr−1k (x) (ϕk(xγ)− ϕk(x))

∣∣∣∣∣≤

n∑r=1

∣∣ϕn−rk (xγ)ϕr−1k (x) (ϕk(xγ)− ϕk(x))

∣∣≤ n ‖ϕk‖n−1 |ϕk(xγ)− ϕk(x)|

<ε

2(α + 1)Mk0

.

Por Γ ser um conjunto dirigido, existe γ0 ∈ Γ tal que γ0 ≥ γk para todo 1 ≤ k ≤ k0.


Entao, sempre que γ ≥ γ0

‖P (xγ)− P (x)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑r=1

λrϕnk(xγ)yr −

∞∑r=1

λrϕnk(x)yr

∥∥∥∥∥≤

k0∑r=1

|λr| |ϕnk(xγ)− ϕnk(x)| ‖yr‖+∞∑

r=k0+1

|λr| |ϕnk(xγ)− ϕnk(x)| ‖yr‖

≤ αM

k0∑r=1

|ϕnk(xγ)− ϕnk(x)|+ 2Mn+1

∞∑r=k0+1

|λr|

< αMk0

(ε

2(α + 1)Mk0

)+ 2Mn+1

(ε

4

1

Mn+1

)≤ ε.

Consequentemente, a rede (P (xγ))γ∈Γ converge em norma a P (x). Em virtude do teorema

1.1.3, concluımos que P e w-contınua sobre BX , e em virtude da proposicao 2.4.4, decorre

P ∈ Pw (mX;Y ).

Fixemos agora P ∈ Pw (nX;Y ). Seja (xk)k∈N uma sequencia arbitraria em X convergindo

fracamente a algum x ∈ X. Claramente a sequencia e fracamente limitada, portanto, de

acordo com a proposicao 1.2.9, e limitada em norma. Por P ser fracamente contınuo sobre

os limitados de X, a sequencia (P (xk))k∈N converge em norma a P (x). Concluımos P ∈Pwsc (nX;Y ).

O teorema a seguir estabelece uma condicao necessaria e suficiente sobre um espaco X,

para que Pwsc(nX) ⊆ Pw(nX). A demonstracao deste resultado pode ser encontrada em

[9](pag. 116). Diremos que um espaco de Banach contem copia de l1 se contem subespaco

isomorfo a l1.

Proposicao 2.4.6. Se X e um espaco de Banach entao Pwsc(nX) ⊆ Pw(nX) se e somente

se X nao contem copia de l1.

Teorema 2.4.7. Seja A ∈ L (nX;Y ), onde X e Y sao espacos de Banach. As seguintes

afirmacoes sao equivalentes:

(i) A e fracamente contınua sobre os limitados.

(ii) Se(xkα)α∈Γ

, 1 ≤ k ≤ n forem redes w-Cauchy limitadas tais que ao menos uma convirja

fracamente a zero, entao (A(x1α, . . . , x

nα))α∈Γ converge a zero.

(iii) Se(xkα)α∈Γ

, 1 ≤ k ≤ n forem redes de w-Cauchy limitadas entao (A(x1α, . . . , x

nα))α∈Γ e

uma rede de Cauchy em Y .


(iv) A e fracamente uniformemente contınua sobre os limitados.

A demonstracao do teorema 2.4.7 pode ser encontrada em [9](pag. 87). Este teorema e

essencial para a verificacao da proposicao a seguir, que por sua vez tera um papel importante

no capıtulo 3.

Proposicao 2.4.8. Se P ∈ P(nX;Y ) onde X e Y sao espacos de Banach, entao as seguintes

afirmacoes sao equivalentes:

(i) P ∈ Pw(nX;Y );

(ii) P e fracamente uniformemente contınuo sobre os subconjuntos limitados de X;

(iii) Para cada 0 ≤ k ≤ n, a aplicacao ∂kP e fracamente uniformemente contınua sobre os

subconjuntos limitados de X.

Demonstracao. (i)⇒ (ii) Em virtude da Formula de Polarizacao 2.2.7, P ∈ P (nX;Y ) e fra-

camente uniformemente contınuo sobre os limitados se e somente se P ∈ Ls (nX;Y ) possuir

a mesma propriedade. A tese, por sua vez, decorre imediatamente do teorema 2.4.7.

(ii) ⇒ (iii) Suponha para algum 1 ≤ k ≤ n, ∂kP nao seja fracamente uniformemente

contınua sobre limitados de X. Entao ∂kP nao sera fracamente uniformemente contınua

sobre BX , de onde existem ε > 0 e redes w-Cauchy, (xγ)γ∈Γ e (yγ)γ∈Γ em BX satisfazendo

xγ − yγ → 0 e∥∥∂kP (xγ)− ∂kP (xγ)

∥∥ ≥ ε para todo γ ∈ Γ.

Para cada γ ∈ Γ seja zγ ∈ BX tal que

∥∥∂kP (xγ) (zγ)− ∂kP (yγ) (zγ)∥∥ ≥ ε

2(2.6)

e fixemos a rede (zγ)γ∈Γ em BX .

Segundo a proposicao 1.3.7, a rede (zγ)γ∈Γ admite uma subrede w-Cauchy que, por sim-

plicidade, denotaremos por (zγ)γ∈Γ′ . Para cada γ ∈ Γ′, a Formula do Binomio 2.2.6 nos

permite obter a seguinte identidade,

∂kP (xγ) (zγ)− ∂kP (yγ) (zγ) = k!

(n

k

)(P xn−kγ zkγ − P yn−kγ zkγ

)= k!

(n

k

) n−k−1∑r=0

(n− kr

)P(

(xγ − yγ)n−k−r , yrγ, zkγ).

Por P ser fracamente uniformemente contınuo sobre os limitados, a Formula de Polar-

izacao implica que P ∈ Ls (nX;Y ) possui a mesma propriedade.


Em virtude de (xγ − yγ)γ∈Γ′ , (yγ)γ∈Γ′ e (zγ)γ∈Γ′ serem redes w-Cauchy limitadas com

(xγ − yγ)γ∈Γ′ convergindo fracamente a 0, a proposicao 2.4.7 e a identidade acima implicam

∂kP (xγ) (zγ)− ∂kP (yγ) (zγ)→ 0,

contradizendo 2.6.

(iii)⇒ (i) Analogamente a primeira parte da demonstracao, em virtude da Formula de

Polarizacao 2.2.7, P ∈ P (nX;Y ) e fracamente uniformemente contınua sobre os limitados

se e somente se P ∈ Ls (nX;Y ) possuir a mesma propriedade. A tese, por sua vez, decorre

escolhendo-se k = 0 e aplicando-se novamente a proposicao 2.4.7.

O resultado a seguir sera importante no estudo de zeros de polinomios, no capıtulo 3.

Proposicao 2.4.9. Se P ∈ Pw(nX;Y ) onde onde X e Y sao espacos de Banach, entao para

cada 0 ≤ k ≤ n, o conjunto ∂kP (X) e separavel em P(kX;Y

).

Demonstracao. Seja (yα)α∈Γ uma rede em ∂kP (BX) arbitraria e (xα)α∈Γ uma rede em BX

tal que yα = ∂kP (xα) para todo α ∈ Γ.

De acordo com a proposicao 1.3.7, BX e w-precompacto. Entao (xα)α∈Γ admite uma

subrede w-Cauchy, que por simplicidade, denotaremos (xα)α∈Γ′ .

Em virtude das proposicoes 2.4.8 e 1.3.5, a subrede (yα)α∈Γ′ e de Cauchy. Concluımos

que toda rede em ∂kP (BX) admite subrede de Cauchy e consequentemente ∂kP (BX) e pre-

compacto em P(kX;Y

). Entao, pela proposicao 1.3.6, ∂kP (BX) e separavel em P

(kX;Y

).

Notando-se que

∂kP (X) =⋃n∈N

n∂kP (BX) ,

concluımos que ∂kP (X) e separavel em P(kX;Y

).

Capıtulo 3

Zeros de Polinomios

Em seu artigo [22], A. Plichko e A. Zagorodnyuk demonstraram que sobre um espaco

de Banach complexo de dimensao infinita, todo polinomio n-homogeneo assumindo valores

complexos se anula em um subespaco de dimensao infinita. Este artigo despertou grande

interesse no estudo de zeros de polinomios n-homogeneos, em diversas direcoes. Nosso foco

sera o estudo de condicoes sob as quais um resultado similar seja valido para espacos de

Banach reais de dimensao infinita. Diversos estudos ja foram feitos nessa direcao, mas este

problema nao esta completamente resolvido.

Nesse trabalho estudamos tecnicas desenvolvidas por J. Ferrer em [11] e algumas aplica-

coes que resolvem parcialmente este problema para um particular tipo de polinomio em um

particular tipo de espaco.

Neste capıtulo, X denotara sempre um espaco de Banach, embora alguns resultados, como

por exemplo o teorema 3.1.1, dependam apenas da estrutura algebrica de espaco vetorial.

3.1 Zeros de Polinomios em Espacos de Banach Complexos

Seja c0 o espaco das sequencias em K, convergindo a zero. Fixemos o polinomio P definido

por

P ((xn)n∈N) :=∞∑n=1

1

2nx2n.

Se K = R verifica-se facilmente que P ((xn)n∈N) = 0 se e somente se xn = 0 para

todo n. Por outro lado se K = C e en : n ∈ N for a base canonica de c0, claramentee2n +

√2ie2n+1 : n ∈ N

e um conjunto lineramente independente infinito e para cada u =

43

44 CAPITULO 3. ZEROS DE POLINOMIOS

a1

(e2n1 +

√2ie2n1+1

)+ . . .+ ar

(e2nr +

√2ie2nr+1

)com a1, . . . , ar ∈ C,

P (u) =r∑

k=1

(a2k

22nk+a2k(√

2i)2

22nk+1

)=

r∑k=1

(a2k

22nk− a2

k

22nk

)= 0.

Concluımos que[e2n +

√2ie2n+1 : n ∈ N

]e um espaco de dimensao infinita contido em

P−1(0). Mais geralmente vale o seguinte teorema, publicado em [22].

Teorema 3.1.1. (A. Plichko, A. Zagorodnyuk) Sejam X um espaco de Banach com-

plexo e P ∈ Pa (nX). Se X tem dimensao infinita entao P−1 (0) contem um subespaco de

dimensao infinita.

Demonstracao. Por inducao sobre n, construiremos um subespaco Z ⊂ P−1 (0) com di-

mensao infinita.

Se n = 1 entao P e um funcional linear e a tese e trivialmente verificada.

Supondo a tese verdadeira para todo k ≤ n, fixemos x1 ∈ X tal que P (x1) 6= 0 (se nao

existir x1 satisfazendo essa condicao, P ≡ 0 e a tese esta verificada).

Para cada 1 ≤ k ≤ n− 1 sejam Pxk1 ∈ P(n−kX

)os polinomios homogeneos definidos por

Pxk1 (x) := P (k︷︸︸︷

x1, . . . , x1, x, . . . , x), x ∈ X.

Segundo a hipotese de inducao existe um subespaco de dimensao infinita Y1 ⊂ P−1x11

(0).

Considerando-se Px21

Y1 , novamente pela hipotese de inducao, existe um subespaco de di-

mensao infinita Y2 ⊂ P−1x21

(0) ∩ Y1. Continuando esse processo obtemos um subespaco

Z1 := Yn−1 de dimensao infinita satisfazendo

Z1 ⊂ P−1

xn−11

(0) ∩ Yn−2 ⊂ P−1

xn−11

(0) ∩ P−1

xn−21

(0) ∩ Yn−3 ⊂ . . . ⊂ P−1

xn−11

(0) ∩ . . . ∩ P−1x11

(0) .

Fixemos x2 ∈ Z1 tal que P (x2) 6= 0 (se nao existir x2 satisfazendo essa condicao, teremos

Z1 ⊂ P−1 (0) e consequentemente a tese).

Para cada 1 ≤ k + l ≤ n − 1 sejam Pxk1xl2 ∈ P(n−k−lZ1

)os polinomios homogeneos

definidos por

Pxk1xl2 (x) := P (k︷︸︸︷

x1, . . . , x1,

l︷︸︸︷x2 . . . , x2, x, . . . , x).

Procedendo-se como acima obtemos um subespaco de dimensao infinita Z2 ⊂ Z1 tal que

Z2 ⊂⋂

1≤k+l≤n−1

P−1xk1x

l2

(0) .

3.1. ZEROS DE POLINOMIOS EM ESPACOS DE BANACH COMPLEXOS 45

Fixemos agora x3 ∈ Z2 tal que P (x3) 6= 0 (se nao existir x3 satisfazendo essa condicao,

teremos Z2 ⊂ P−1 (0) e consequentemente a tese).

Para cada 1 ≤ k+l+m ≤ n−1 sejam Pxk1xl2xm3 ∈ P(n−k−l−mZ2

)os polinomios homogeneos

definidos por

Pxk1xl2xm3 (x) := P (k︷︸︸︷

x1, . . . , x1,

l︷︸︸︷x2, . . . , x2,

m︷︸︸︷x3, . . . , x3, x, . . . , x).

Procedendo-se como anteriormente obtemos um subespaco de dimensao infinita Z3 ⊂ Z2

tal que

Z3 ⊂⋂

1≤k+l+m≤n−1

P−1xk1x

l2xm3

(0)

Continuando dessa maneira, se para algum r ∈ N, Zr ⊂ P−1 (0), o processo termina e o

teorema esta demonstrado. Por outro lado, se este processo nunca termina, denominando-se

Z0 := X, por construcao, para cada k ∈ N, Zk−1 ⊂ Zk e xk ∈ Zk−1 \ Zk e portanto a

sequencia (xk)k∈N forma um conjunto linearmente independente tal que P (xk) 6= 0 para todo

k e quaisquer que sejam r1, . . . , rs ∈ N,

P (

α1︷︸︸︷xr1 , . . . , xr1 ,

α2︷︸︸︷xr2 , . . . , xr2 , . . . ,

αs︷︸︸︷xrs , . . . , xrs) = 0,

se ao menos algum 1 ≤ αi ≤ n− 1.

De acordo com a Formula de Leibniz 2.2.5,

P

(r∑i=1

aixi

)= P

(r∑i=1

aixi

)n

=∑

α1+...+αr=n

n!

α1! . . . αr!aα1

1 . . . aαrr P xα11 . . . xαrr =

r∑i=1

ani P (xi).

Fixando-se ξ ∈ C tal que ξn + 1 = 0, seja (yk)k∈N a sequencia definida por

yk :=x2k−1

n√P (x2k−1)

+ ξx2k

n√P (x2k)

.

Segue-se que Z = [yk : k ∈ N] e um subespaco de dimensao infinita e em virtude da

relacao acima, para cada u = a1yk1 + . . .+ arykr ∈ Z,

P

(r∑i=1

aiyki

)= P

(r∑i=1

aix2ki−1

n√P (x2ki−1)

+r∑i=1

aiξx2ki

n√P (x2ki)

)

=r∑i=1

aniP (x2ki−1)

P (x2ki−1)−

r∑i=1

aniP (x2ki)

P (x2ki)= 0.


Corolario 3.1.2. Seja P ∈ P (X), onde X e um espaco de Banach complexo de dimensao

infinita. Se P (0) = 0 entao P−1 (0) contem um subespaco de dimensao infinita.

Demonstracao. Seja P =∑n

k=1 Pk onde Pk ∈ P(kX) para todo 1 ≤ k ≤ n.

De acordo com o teorema 3.1.1, deve existir um subespaco de dimensao infinita Y1 ⊂P−1

1 (0). Restringindo P2 ao subespaco Y1, novamente por 3.1.1, deve existir um subespaco

de dimensao infinita Y2 ⊂ P−12 (0) ∩ Y1. Continuando esse processo obtemos um subespaco

de dimensao infinita, Yn , satisfazendo

Yn ⊂ P−1n (0) ∩ Yn−1 ⊂ P−1

n (0) ∩ P−1n−1(0) ∩ Yn−2 ⊂ . . . ⊂ P−1

n (0) ∩ . . . ∩ P−11 (0).

Entao Z := Yn, e um subespaco de dimensao infinita contido em P−1(0).

Estudaremos agora zeros de polinomios sob o ponto de vista de J. Ferrer em [11].

Para cada polinomio P ∈ P (nX), demonstra-se facilmente que ker ∂n−1P e um subespaco

fechado contido em P−1(0). Vale tambem, o seguinte resultado.

Proposicao 3.1.3. Seja P ∈ P (nX). Para todo subespaco maximal Z ⊂ P−1(0) temos

ker ∂n−1P ⊆ Z.

Demonstracao. Seja Z ⊂ P−1(0) um subespaco maximal. De acordo com a Formula de

Polarizacao 2.2.7, se ∂n−1P (x) ≡ 0 entao ∂n−1P (x) ≡ 0. Entao, para cada x ∈ ker ∂n−1P e

y ∈ Z,

P (x+ y) = P (x) + P (y) +n−1∑k=1

(n

k

)P xn−kyk

=1

n!∂n−1P (x)(x) +

n−1∑k=1

1

k! (n− k)!∂n−1P (x)(

n−k−1︷︸︸︷x, . . . , x,

k︷︸︸︷y, . . . , y)

= 0.

Portanto Z + ker ∂n−1P e um subespaco contido em P−1(0). A maximalidade de Z

implica ker ∂n−1P ⊆ Z.

Em seu artigo [11], J. Ferrer procura inicialmente estabelecer condicoes sobre P e X de

forma que ker ∂n−1P seja de dimensao infinita.

3.2. ESPACOS DE DUAL W ∗-SEPARAVEL 47

Utilizando-se as proposicoes 2.3.9 e 1.2.15 demonstra-se a relacao

[∂P (X)]w∗

= (∂P (X)⊥)⊥ =(ker ∂n−1P

)⊥. (3.1)

De acordo com esta relacao e, grosso modo, razoavel esperar que quanto menor for ∂P (X)

maior sera ker ∂n−1P , em particular segue um interessante resultado.

Proposicao 3.1.4. Seja P ∈ P(nX) onde X e um espaco de Banach. Se ∂P (X) e separavel

entao (ker ∂n−1P )⊥ e w∗-separavel em X∗.

Demonstracao. Como ∂P (X) e separavel em X∗, o espaco [∂P (X)] e separavel em X∗ e

portanto existe D = ϕn : n ∈ N ⊂ [∂P (X)] satisfazendo [∂P (X)] ⊆ D. Como todo

aberto na topologia w∗ de X∗ e aberto na topologia da norma de X∗, temos [∂P (X)] ⊆D ⊆ Dw

∗

, e portanto [∂P (X)]w∗

⊆ Dw∗

.

Como claramente Dw∗

⊆ [∂P (X)]w∗

, concluımos

[∂P (X)]w∗

= Dw∗

.

De acordo com a relacao (3.1), podemos escrever

Dw∗

= [∂P (X)]w∗

= (∂P (X)⊥)⊥ = (ker ∂n−1P )⊥,

concluindo a demonstracao.

Demonstra-se tambem, que para cada P ∈ P (nX), (ker ∂n−1P )⊥ ∼= (X/ ker ∂n−1P )∗,

portanto, de acordo com a proposicao acima, se para algum P ∈ P(nX) o conjunto ∂P (X)

for separavel entao (X/ ker ∂n−1P )∗

e w∗-separavel. Este fato motivou J. Ferrer a estudar os

espacos de dual w∗-separavel. Estudaremos tais espacos na proxima secao.

Nosso interesse agora passa a ser polinomios contınuos sobre espacos de Banach reais,

portanto, a partir de agora X denotara sempre um espaco de Banach real. Devemos ressaltar

que alguns resultados e definicoes podem ser estendidos e aplicados em espacos de Banach

complexos.

3.2 Espacos de Dual w∗-Separavel

Nesta secao, introduziremos uma classe de espacos de Banach reais, que nos permitira

encontrar condicoes, sob as quais, um determinado tipo de polinomio se anulara em um


subespaco de dimensao infinita.

Definicao 3.2.1. Dizemos que um espaco de Banach X e de classe W , ou simplesmente

X ∈ W se X∗ for w∗-separavel.

A proposicao a seguir nos permite obter alguns exemplos de espacos de classe W .

Proposicao 3.2.2. Se X e separavel entao X e X∗ sao de classe W.

Demonstracao. Verificaremos que X∗ e X∗∗ sao w∗-separaveis. Para demonstrarmos que

X∗ e w∗-separavel, observemos que de acordo com proposicao 1.2.18, a separabilidade de

X implica BX∗ w∗-metrizavel. De acordo com o teorema de Alaoglu 1.2.16, a bola unitaria

BX∗ e tambem w∗-compacta. Portanto, sob a topologia fraca∗, o conjunto BX∗ e um espaco

metrico compacto, consequentemente separavel. Como claramente

X∗ =⋃k∈N

kBX∗ ,

temos X∗ w∗-separavel. Portanto X ∈ W .

Fixemos agora D, um subconjunto denso e enumeravel de X. Se I : X → X∗∗ for

aplicacao canonica, em virtude da proposicao 1.2.11,

I(X) = I(D)⊆ I (D)

w∗

.

De acordo com o teorema de Goldstine 1.2.17, o conjunto I(X) e w∗-denso em X∗∗.

Entao

X∗∗ = I(X)w∗

⊆ I (D)w∗

,

e consequentemente I (D) e um subconjunto w∗-denso e enumeravel de X∗∗. Concluımos

que X∗ ∈ W .

Recordando-se que l∗1∼= l∞, aplicando-se a proposicao 3.2.2 em l1, obtemos o seguinte

exemplo.

Exemplo 3.2.3. l∞ ∈ W .

A proposicao a seguir nos fornece uma caracterizacao muito util para os espacos de classe

W .

Proposicao 3.2.4. As seguintes condicoes sao equivalentes:

(i) existe uma aplicacao injetora T ∈ L (X; l∞);


(ii) para todo 1 ≤ p ≤ ∞, existe uma aplicacao injetora Tp ∈ L (X; lp);

(iii) X ∈ W.

Demonstracao. (i) ⇒ (ii) Seja T ∈ L(X; l∞) injetora. Fixemos πn T : n ∈ N ⊂ X∗,

onde para cada n ∈ N, πn ∈ l∗∞ e a projecao definida por

πn((xk)k∈N

):= xn.

Claramente, a colecao πn T : n ∈ N e pontualmente limitada. Pelo Princıpio da

Limitacao Uniforme, existe M > 0 tal que supn∈N ‖πn T‖ < M . Fixado 1 ≤ p < ∞,

para cada x ∈ X e para cada n ∈ N, temos

n∑k=1

∣∣∣∣πk (T (x))

2kM

∣∣∣∣p ≤ n∑k=1

∣∣∣∣‖x‖M2kM

∣∣∣∣p ≤ ‖x‖p(

n∑k=1

(1

2k

)p).

Decorre que para cada x ∈ X,

∞∑k=1

∣∣∣∣πk (T (x))

2kM

∣∣∣∣p ≤ ( 1

2p − 1

)‖x‖p . (3.2)

Podemos entao, definir uma aplicacao Tp : X → lp por

Tp(x) :=

(πn T (x)

2nM

)n∈N

.

A injetividade de Tp segue imediatamente da injetividade de T e a continuidade imedi-

atamente da relacao (3.2).

(ii)⇒ (i) Evidente.

(i) ⇒ (iii) De acordo com o exemplo 3.2.3, l∞ ∈ W . Entao existe uma colecao

ψn : n ∈ N ⊂ l∗∞, satisfazendo

ψn : n ∈ Nw∗

= l∗∞.

Seja T ∈ L(X; l∞) injetora e fixemos a colecao ψn T : n ∈ N ⊂ X∗. Claramente

ψn T : n ∈ N⊥ =⋂n∈N

kerψn T. (3.3)

Seja x ∈⋂n∈N kerψn T . Se T (x) 6= 0, existe, pelo teorema de Hahn-Banach, um

funcional φ ∈ l∗∞ tal que φ(T (x)) 6= 0. Por ψn : n ∈ N ser w∗-denso em l∗∞, para cada


k ∈ N, temos:

W

(φ, T (x),

1

k

)∩ ψn : n ∈ N 6= ∅.

Isso implica |φ(T (x))| < 1k

para todo k ∈ N e consequentemente φ(T (x)) = 0, uma

contradicao.

Entao T (x) = 0 e, por T ser injetora, x = 0. Podemos concluir⋂n∈N

kerψn T = 0.

Em virtude do teorema 1.2.15 e da relacao (3.3),

[ψn T : n ∈ N]w∗

= (ψn T : n ∈ N⊥)⊥ = (⋂n∈N

kerψn T )⊥ = 0⊥ = X∗.

Por ψn T : n ∈ N ser enumeravel, a proposicao 1.2.13 implica que [ψn T : n ∈ N]e w∗-separavel. Decorre que X∗ e w∗-separavel, ou seja, X ∈ W .

(iii)⇒ (i) Seja ψn : n ∈ N ∈ X∗ \ 0 uma colecao enumeravel satisfazendo

ψn : n ∈ Nw∗

= X∗.

Para cada x ∈ X,(ψn(x)‖ψn‖

)n∈N∈ l∞. Podemos definir uma aplicacao T : X → l∞ por

T (x) :=

(ψn(x)

‖ψn‖

)n∈N

.

Verifica-se sem dificuldade que T e linear e contınua. Para verificar a injetividade, seja

x ∈ X tal que T (x) = 0. Entao x ∈⋂n∈N kerψn. Se fosse x 6= 0, de acordo com o teorema

de Hahn-Banach, existiria um funcional φ ∈ X∗ tal que φ(x) 6= 0. Por ψn : n ∈ N ser

w∗-denso em X∗, para cada k ∈ N, temos

W

(φ, x,

1

k

)∩ ψn : n ∈ N 6= ∅.

Entao |φ(x)| < 1k

para todo k ∈ N e consequentemente φ(x) = 0, uma contradicao. Isso

demonstra que x = 0, e portanto T e injetora.

Exemplo 3.2.5. Se K e um espaco topologico de Hausdorff, compacto e separavel, seja

(xn)n∈N uma sequencia densa em K. Para cada f ∈ C(K), (f (xn))n∈N ∈ l∞. Podemos


definir T : C(K)→ l∞ por

T (f) := (f(xn))n∈N .

Claramente T e linear e contınua.

Se T (g) = 0 entao g(xn) = 0 para todo n ∈ N. Por (xn)n∈N ser um conjunto denso em

K, decorre g ≡ 0, e concluımos que T e injetora.

De acordo com a proposicao 3.2.4, C (K) ∈ W .

Corolario 3.2.6. Sejam X, Y espacos de Banach tais que X ∈ W e exista uma aplicacao

S ∈ L (Y ;X) injetora. Entao Y pertence W. Em particular todo subespaco de X pertence a

W.

Proposicao 3.2.7. Seja Y um subespaco fechado de X. Se Y , X/Y ∈ W entao X ∈ W.

Demonstracao. Em virtude da proposicao 3.2.4, existem aplicacoes T1 ∈ L(Y ; l∞) e T2 ∈L(X/Y ; l∞) injetoras. Para cada n ∈ N, consideremos a projecao πn : l∞ → R, definida por

πn((xk)k∈N) := xn.

Fixemos a colecao πn T1 : n ∈ N ⊂ Y ∗ e para cada n ∈ N fixemos Tn ∈ X∗ uma

extensao de Hahn-Banach para πn T1.

Definimos uma aplicacao T : X → l∞ por

T (x) := (λn(x))n∈N,

onde

λn(x) =

Tn+1

2(x) se n for ımpar;

πn2(T2(x+ Y )) se n for par.

Demonstra-se que, de fato, T (x) ∈ l∞ para cada x ∈ X e que T e linear. Demonstra-se

tambem que, para cada x ∈ X,

‖T (x)‖ ≤ ‖x‖max ‖T1‖ , ‖T2‖ ,

assegurando a continuidade de T .

Se x ∈ X e tal que T (x) = 0, entao pela definicao de T , temos T2 (x+ Y ) = 0 e Tn(x) = 0

para todo n ∈ N. Por T2 ser injetora, temos x ∈ Y e entao, para cada n ∈ N,

πn(T1(x)) = πn T1(x) = Tn(x) = 0,


portanto

T1(x) = 0.

Da injetividade de T1 decorre x = 0, e concluımos que T e injetora. Concluımos que

existe uma aplicacao T ∈ L (X; l∞) injetora, o que, em virtude de 3.2.4, implica X ∈ W .

Lema 3.2.8. Se Y e um subespaco fechado de um espaco de Banach X entao Y ⊥ e w∗-

separavel se, e somente se, existe uma colecao ψn : n ∈ N ⊂ X∗ satisfazendo

Y =⋂n∈N

kerψn.

Demonstracao. Fixemos uma colecao enumeravel ψn : n ∈ N ⊂ Y ⊥ satisfazendo

Y ⊥ = [ψn : n ∈ N]w∗

.

Em virtude da proposicao 1.2.15 temos

[ψn : n ∈ N]w∗

= (ψn : n ∈ N⊥)⊥ =

(⋂n∈N

kerψn

)⊥.

Provaremos que Y =⋂n∈N kerψn.

Para cada x ∈ Y , por ψn : n ∈ N ⊂ Y ⊥, decorre x ∈⋂n∈N kerψn e concluımos, Y ⊆⋂

n∈N kerψn.

Se existisse x ∈⋂n∈N kerψn\Y , por Y ser fechado, o teorema de Hahn-Banach implicaria

a existencia de φ ∈ BX∗ satisfazendo φ(x) 6= 0 e φ (Y ) ⊆ 0. Entao

φ ∈ Y ⊥ = [ψn : n ∈ N]w∗

= (ψn : n ∈ N⊥)⊥ =

(⋂n∈N

kerψn

)⊥,

e consequentemente φ(x) = 0, uma contradicao. Concluımos,⋂n∈N kerψn ⊆ Y , estabelecen-

do a igualdade.

Por outro lado, se Y =⋂n∈N kerψn para alguma colecao ψn : n ∈ N ⊂ X∗, em virtude

da propoposicao 1.2.15,

Y ⊥ =

(⋂n∈N

kerψn

)⊥= (ψn : n ∈ N⊥)⊥ = [ψn : n ∈ N]

w∗

,

demonstrando que Y ⊥ e w∗-separavel.

3.3. ZEROS DE POLINOMIOS FRACAMENTE CONTINUOS SOBRE LIMITADOS 53

Proposicao 3.2.9. Se Yn : n ∈ N e uma colecao de subespacos fechados de X tal que para

cada n ∈ N o espaco Y ⊥n seja w∗-separavel, entao o subespaco Y :=⋂n∈N Yn satisfaz as

seguintes condicoes:

(i) Y ⊥ e w∗-separavel;

(ii) se X /∈ W entao Y /∈ W.

Demonstracao. Em virtude do lema 3.2.8, para cada m ∈ N, existe ψmn : n ∈ N ⊂ X∗,

satisfazendo

Ym =⋂n∈N

kerψmn.

De acordo com a proposicao 1.2.15, temos(⋂m∈N

Ym

)⊥=

( ⋂m,n∈N

kerψmn

)⊥= (ψmn : m,n ∈ N⊥)⊥ = [ψmn : m,n ∈ N]

w∗

,

o que verifica (i).

Por Y ser fechado, temos Y ⊥ ∼= (X/Y )∗ e pelo item (i), X/Y ∈ W . Se Y ∈ W , pela

proposicao 3.2.7 terıamos X ∈ W e isso verifica (ii).

3.3 Zeros de Polinomios Fracamente Contınuos sobre Limitados

Os resultados desta secao determinam construtivamente subespacos de dimensao infinita

contidos em zeros de polinomios fracamente contınuos sobre os subconjuntos limitados de

um espaco de Banach nao pertencendo a W .

Proposicao 3.3.1. Sejam X um espaco de Banach e P ∈ Pw(nX). Se X /∈ W entao

ker ∂n−1P /∈ W.

Demonstracao. De acordo com a proposicao 2.4.9, o conjunto ∂P (X) e separavel em X∗ e

em virtude da proposicao 3.1.4, o conjunto (ker ∂n−1P )⊥

e w∗-separavel. Temos

(ker ∂n−1P

)⊥ ∼= (X/ ker ∂n−1P)∗,


e portanto X/ ker ∂n−1P ∈ W . Se ker ∂n−1P ∈ W terıamos, de acordo com a proposicao

3.2.7, X ∈ W , uma contradicao.

Corolario 3.3.2. Se X /∈ W entao para cada P ∈ Pw(nX), qualquer espaco maximal

Z ⊂ P−1(0) nao pertence a W.

Demonstracao. De acordo com a proposicao 3.1.3, dado um polinomio P ∈ Pw(nX) e um

subespaco maximal Z ∈ P−1(0) temos ker ∂n−1P ⊆ Z. De acordo com a proposicao 3.3.1 o

espaco ker ∂n−1P /∈ W e pelo corolario 3.2.6, Z /∈ W .

O resultado a seguir e uma outra caracterizacao para os espacos de classeW . Recordemos

que um polinomio P ∈ P (nX) e positivo definido se e somente se P (x) ≥ 0 para cada x ∈ Xe se P (x) = 0 entao x = 0.

Corolario 3.3.3. Se X e um espaco de Banach, as seguintes condicoes sao equivalentes:

(i) X ∈ W.

(ii) Para todo n par, X admite um polinomio positivo definido P ∈ PN(nX).

(iii) Para todo n par, X admite um polinomio positivo definido P ∈ Pw(nX).

(iv) Existe um inteiro par n, tal que X admite um polinomio positivo definido P ∈ Pw(nX).

(v) Existe um inteiro par n, tal que X admite um polinomio positivo definido P ∈ PN(nX).

Demonstracao. (i) ⇒ (ii) Se X ∈ W , pela proposicao 3.2.4, existe uma aplicacao T ∈L(X; l2) injetora. Se ek : k ∈ N for a base canonica de l2, para cada n par, definimos

P (x) :=∞∑k=1

2−k 〈ek, Tx〉n .

Claramente P ∈ PN(nX) e P (x) ≥ 0 para todo x ∈ X. Se P (x) = 0 entao 〈ek, Tx〉 = 0

para todo k ∈ N e consequentemente Tx = 0. Por T ser injetora, x = 0.

(ii)⇒ (iii) De acordo com a proposicao 2.4.5 temos PN (nX) ⊆ Pw (nX). A conclusao e

evidente.

(iii)⇒ (iv) Evidente.

(iv) ⇒ (v) Sob a condicao (iv), devemos ter X ∈ W , pois do contrario, de acordo com

o corolario 3.3.2, nenhum polinomio em Pw (mX) pode ser positivo definido. A tese decorre

de (i)⇒ (ii).


(v)⇒ (i) Analogamente ao caso (iv)⇒ (v), o corolario 3.3.2 implica X ∈ W .

Corolario 3.3.4. Se X e um espaco de Banach real de dimensao infinita, ou X admite

um polinomio 2-homogeneo nuclear positivo definido ou para todo P ∈ Pw(nX) existe um

subespaco fechado Z ⊂ P−1(0) tal que Z /∈ W.

Demonstracao. Se X nao adimitir um polinomio 2-homogeneo nuclear positivo definido,

entao pelo corolario 3.3.3 temos X /∈ W .

De acordo com a proposicao 3.3.1, para todo P ∈ Pw(nX) temos ker ∂n−1P /∈ W que e

um subespaco fechado contido P−1(0).

Proposicao 3.3.5. Seja Pk : k ∈ N uma colecao de polinomios homogeneos tais que para

cada k, Pk ∈ Pw(nkX). Se X /∈ W entao X admite um subespaco fechado Z ⊂⋂k∈N P

−1k (0)

e tal que Z /∈ W.

Demonstracao. De acordo com a proposicao 2.4.9, para cada k ∈ N, o conjunto ∂Pk(X) e

separavel em X∗. Entao, de acordo com a proposicao 3.1.4, para cada k ∈ N, o conjunto

(ker ∂nk−1Pk)⊥

e w∗-separavel. Seja Z ⊂ X definido por

Z :=⋂k∈N

ker ∂nk−1Pk.

De acordo com a proposicao 3.2.9, o conjunto Z⊥ tambem e w∗-separavel, e por X /∈ W ,

temos Z /∈ W . Em virtude de ker ∂nk−1Pk ⊆ P−1k (0), para cada k ∈ N, temos

Z ⊂⋂k∈N

P−1k (0).

Proposicao 3.3.6. Sejam X, Y espacos de Banach com X /∈ W. Seja Pk : k ∈ N uma

colecao de polinomios tais que para cada k ∈ N, Pk ∈ Pw (nkX;Y ). Entao existe um sube-

spaco fechado Z ⊂⋂k∈N P

−1k (0) e tal que Z /∈ W.

Demonstracao. De acordo com com a proposicao 2.4.9, para cada k ∈ N, o conjunto Pk(X)

e separavel em Y . Definimos

Y0 =

[⋃k∈N

Pk(X)

].

Claramente Y0 e um espaco de Banach separavel.


De acordo com 3.2.2, Y0 ∈ W , e em virtude do corolario 3.3.3, Y0 admite um polinomio

2-homogeneo nuclear positivo definido

P :=∞∑k=1

anφ2k,

onde φn : n ∈ N e uma colecao limitada em Y ∗0 e (an)n∈N ∈ l1.

Para cada n ∈ N seja Φk ∈ Y ∗ uma extensao de Hahn-Banach de φk.

Claramente (⋂k∈N

ker Φk

)∩ Y0 = 0. (3.4)

Para cada k, r ∈ N definimos Qkr ∈ Pw(nkX) por

Qkr(x) := Φr (Pk(x)) .

Analogamente a demonstracao da proposicao 3.3.5, para todo k, r ∈ N o conjunto

(ker ∂nk−1Qkr)⊥

e w∗-separavel. Definindo-se Z :=⋂r,k∈N ker ∂nk−1Qkr, o item (i) da propo-

sicao 3.2.9, implica Z⊥ w∗-separavel e por X /∈ W , o item (ii) da mesma proposicao implica

Z /∈ W .

Em virtude de ker ∂nk−1Qkr ⊆ Q−1kr (0), k, r ∈ N, para cada x ∈ Z,

Φr (Pk(x)) = Qkr(x) = 0, k, r ∈ N.

Decorre que, para cada k ∈ N,

Pk(x) ∈

(⋂r∈N

ker Φr

)∩ Y0

e entao, pela relacao (3.4), Pk(x) = 0 para todo k ∈ N.

Como assinalado por J. Ferrer em [11], notando-se que vizinhancas fracas de zero contem

subespacos de codimensao finita, e possıvel obter um grande generalizacao para o resultado

anterior.

Lema 3.3.7. Em um espaco de Banach X, toda vizinhanca fraca de zero contem algum

subespaco fechado Z tal que Z⊥ e w∗-separavel.

Demonstracao. Se U e uma vizinhanca fraca de 0 entao existem φ1, . . . , φn ∈ X∗ e ε > 0 tais


quen⋂k=1

kerφk ⊂ W (0, φ1, . . . , φn, ε) ⊂ U.

Definindo Z :=⋂nk=1 kerφk, o lema 3.2.8 implica Z⊥ w∗-separavel.

Teorema 3.3.8. Sejam X, Y espacos de Banach e f : X → Y uma aplicacao fracamente

contınua sobre os subconjuntos limitados de X. Se X /∈ W entao existe um subespaco fechado

Z ⊂ f−1(0), tal que Z /∈ W.

Demonstracao. Sejam BX e BY respectivamente as bolas unitarias fechadas de X e Y . Para

cada m,n ∈ N, em virtude das hipoteses sobre f , o conjunto f−1(

1mBY

)∩ nBX e uma

vizinhanca fraca de zero em nBX , e portanto, de acordo com o lema anterior, existe um

subespaco fechado Zmn tal que Z⊥mn e w∗-separavel e

Zmn ∩ nBX ⊆ f−1

(1

mBY

)∩ nBX .

De acordo com o item (i) da proposicao 3.2.9, definindo-se Z :=⋂m,n∈N Zmn, temos Z⊥

w∗-separavel. Como X /∈ W , o item (ii) da mesma proposicao implica Z /∈ W . Claramente,

se x ∈ Z entao f(x) ∈⋂m∈N

1mBY , ou seja, f(x) = 0.

Corolario 3.3.9. Dados espacos de Banach X, Y com X /∈ W, seja uma sequencia (fk)k∈N

de funcoes de X em Y , fracamente contınuas sobre os limitados de X. Se fn(0) = 0 para

todo n ∈ N e para todo x ∈ X existir o limite

f(x) := limn→∞

fn(x),

entao existe um subespaco fechado Z ⊂ f−1(0) tal que Z /∈ W.

Demonstracao. Em virtude do teorema 3.3.8, para cada n ∈ N existe um subespaco fechado

Zn ⊂ f−1n (0), tal que Z⊥n seja w∗-separavel.

De acordo com o item (i) da proposicao 3.2.9, definindo-se Z :=⋂n∈N Zn, temos Z⊥

w∗-separavel. Por X /∈ W , o item (ii) da mesma proposicao implica Z /∈ W . Claramente,

se x ∈ Z entao fn(x) = 0 para todo n ∈ N e portanto f(x) = limn→∞ fn(x) = 0.


3.4 Zeros de Polinomios sobre Espacos com a Propriedade DP

Com base nos resultados de J. Ferrer apresentados nas secoes anteriores, estudaremos

algumas condicoes, sob as quais todo polinomio n-homogeneo contınuo se anule em um

subespaco de dimensao infinita. Estudaremos tais resultados sobre a classe dos espacos com

a propriedade Dunford-Pettis. Para um estudo detalhado sobre espacos com a propriedade

de Dunford-Pettis, recomendamos [9] e [14].

Definicao 3.4.1. Dizemos que um espaco de Banach X tem a propriedade de Dunford-

Pettis, ou propriedade DP, se para quaisquer sequencias (xn)n∈N em X e (ϕn)n∈N em X∗,

convergindo fracamente a zero, a sequencia (ϕn (xn))n∈N converge a zero.

A demonstracao da proposicao a seguir pode ser encontrada com todos os detalhes em

[9](pag. 115).

Proposicao 3.4.2. Se X tem a propriedade de Dunford-Pettis entao P(nX) = Pwsc(nX).

Corolario 3.4.3. Seja X um espaco com a propriedade de Dunford-Pettis nao contendo

copia de l1, entao Pw(nX) = P(nX).

Demonstracao. De acordo com a proposicao 3.4.2, se X tem a propriedade de Dunford-

Pettis, entao P(nX) = Pwsc(nX). De acordo com a proposicao 2.4.6, se X nao contem copia

de l1, entao Pwsc(nX) = Pw(nX).

Utilizando-se o corolario 3.4.3 acima, e os resultados estudados nas secoes 3.2 e 3.3,

obtemos um interessante corolario.

Corolario 3.4.4. Seja X um espaco com a propriedade de Dunford-Pettis, com X /∈ W e

nao contendo copia de l1. Entao todo polinomio em P(nX) se anula em um subespaco de

dimensao infinita.

Nosso proximo objetivo e exibir um espaco de Banach real X satisfazendo as hipoteses

deste corolario, ou seja

• X /∈ W ;

• X nao contem copia de l1;

• X tem a propriedade de Dunford-Pettis.

3.4. ZEROS DE POLINOMIOS SOBRE ESPACOS COM A PROPRIEDADE DP 59

O proximo teorema sera util na procura por espacos satisfazendo essas condicoes. Esse

resultado foi publicado originalmente em [21] e sua demonstracao pode ser encontrada com

todos os detalhes em [21] ou [14].

Teorema 3.4.5. (Pethe e Thakare) Seja X um espaco de Banach. Entao X∗ tem a

propriedade Schur se e somente se X tem a propriedade de Dunford-Pettis e nao contem

copia de l1.

Vimos no capıtulo 1, secao 1.4, que para qualquer Γ infinito, l1 (Γ) tem a propriedade de

Schur. De acordo com o teorema 3.4.5 acima, lembrando-se que (c0 (Γ))∗ ∼= l1 (Γ), concluımos

que c0 (Γ) tem a propriedade de Dunford-Pettis e nao contem copia de l1. Temos tambem o

seguinte resultado.

Proposicao 3.4.6. Se Γ e um conjunto nao enumeravel entao c0 (Γ) /∈ W.

Demonstracao. Sejam B = eλ : λ ∈ Γ a base canonica de c0 (Γ) e T ∈ L (c0 (Γ) ; l2) uma

aplicacao linear arbitraria. Para cada n ∈ N definimos

Γn :=

λ ∈ Γ : ‖Teλ‖ ≥

1

n

.

Se para algum n0 o conjunto Γn0 for infinito, podemos fixar um conjunto infinito enu-

meravel λk : k ∈ N ⊂ Γn0 e consequentemente (eλk)k∈N e uma sequencia convergindo fra-

camente a zero.

Se 〈., .〉 : l2× l2 → R e o produto interno usual de l2, fixemos o polinomio P , definido por

P (x) := 〈T (x), T (x)〉 , x ∈ c0 (Γ) .

Claramente P ∈ P (2c0 (Γ)).

Por c0 (Γ) ter a propriedade de Dunford-Pettis, o teorema 3.4.2 implica

P(

2c0 (Γ))

= Pwsc(

2c0 (Γ)),

portanto

limk→∞

P (eλk) = 0.

Consequentemente existe k0 ∈ N tal que

P (eλk)12 = ‖Teλk‖ <

1

n0

,

sempre que k ≥ k0, uma contradicao.


Podemos entao concluir que Γn e finito para todo n ∈ N, e portanto

λ ∈ Γ : Teλ 6= 0 =⋃n∈N

Γn

e enumeravel.

Por B = eλ : λ ∈ Γ nao ser enumeravel, deve existir λ ∈ Γ tal que Teλ = 0 e portanto

a aplicacao T nao pode ser injetora.

Concluımos que nao existe aplicacao linear injetora T ∈ L (c0 (Γ) ; l2). Segundo a propo-

sicao 3.2.4, c0 (Γ) /∈ W .

Concluımos que se Γ for um conjunto nao enumeravel, entao c0 (Γ) e um espaco de Banach

com a propriedade de Dunford-Pettis, nao contendo copia de l1 e nao pertencendo a W . De

acordo com nosso estudo, fica estabelecido que P(nc0 (Γ)) = Pw (nc0 (Γ)). Concluımos que

todo polinomio n-homogeneo contınuo definido sobre c0 (Γ), se anula em um subespaco de

dimensao infinita. Este fato foi verificado por J. Ferrer em [12], e neste mesmo artigo obteve

o seguinte resultado.

Proposicao 3.4.7. Seja P ∈ P (nc0 (Γ)), onde Γ e um conjunto nao enumeravel. Entao

ker ∂n−1P contem um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ).

Demonstracao. Se eλ : λ ∈ Γ e a base canonica de c0 (Γ), para cada n ∈ N definimos

Γn :=

λ ∈ Γ :

∥∥∂n−1P (eλ)∥∥ ≥ 1

n

.

Se para algum n0 o conjunto Γn0 for infinito, podemos fixar um conjunto infinito enu-

meravel λk : k ∈ N ⊂ Γn0 e consequentemente (eλk)k∈N e uma sequencia convergindo fra-

camente a zero.

De acordo com o que discutimos acima P(nc0 (Γ)) = Pw (nc0 (Γ)), e em virtude da

proposicao 2.4.8, a aplicacao ∂n−1P e fracamente contınua sobre os subconjuntos limita-

dos de c0 (Γ). Consequentemente

limk→∞

∥∥∂n−1P (ek)∥∥ = 0,

uma contradicao.

Entao, para cada n ∈ N, Γn e finito. Concluımos que

Γ0 :=λ ∈ Γ : ∂P n−1(eλ) 6= 0

=⋃n∈N

Γn,


e um conjunto enumeravel, e portanto existe uma bijecao entre Γ e Γ \ Γ0.

Definindo-se

Y := [eλ : λ ∈ Γ \ Γ0],

verifica-se que Y ⊂ ker ∂n−1P e Y ∼= c0 (Γ).

Em virtude de ker ∂n−1P ⊆ P−1(0) para todo P ∈ P (nc0 (Γ)), concluımos que, se Γ for

um conjunto nao enumeravel, todo polinomio n-homogeneo definido sobre c0 (Γ) se anula em

um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ).

Corolario 3.4.8. Seja Pk : k ∈ N uma colecao de polinomios homogeneos tais que P ∈P (nkc0 (Γ)), onde Γ e um conjunto nao enumeravel. Entao existe um subsepaco Z, tal que

Z ⊂⋂k∈N P

−1k (0) e Z ∼= c0 (Γ).

Demonstracao. Procedendo-se como na proposicao 3.4.7, para cada k ∈ N o conjunto

Γk := λ ∈ Γ : ∂nk−1Pk(eλ) 6= 0 e enumeravel, consequentemente o conjunto Γ0 :=⋃k∈N Γk

e enumeravel. Definindo-se

Z := [eλ : λ ∈ Γ/Γ0],

demonstra-se sem dificuldade que Z ⊂⋂k∈N P

−1k (0) e Z ∼= c0 (Γ).

Os resultados a seguir estabelecem que se K e um espaco compacto nao satisfazendo

a condicao de cadeia contavel ou CCC, entao todo polinomio n-homogeneo definido sobre

C (K), se anula em um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ), para algum Γ nao

enumeravel. Estes resultados podem ser encontrados com todos os detalhes em [12].

Definicao 3.4.9. Dizemos que um espaco topologico satisfaz a condicao de cadeia contavel

ou CCC se qualquer colecao de abertos dois a dois disjuntos for enumeravel.

Seja Ω e um espaco topologico completamente regular, ou seja, um espaco onde os sub-

conjuntos unitarios sao fechados e para cada x ∈ Ω e cada fechado F nao contendo x existe

uma funcao real f , contınua, tal que f(x) = 1 e f (F ) ⊆ 0. Se C (Ω) e o conjunto das

aplicacoes contınuas limitadas reais definidas em Ω , seja φ : Ω→ BC(Ω)∗ definida por

φ(t) (f) := φt (f) = f(t), t ∈ Ω, f ∈ C (Ω) .

Considerando-se sobre φ (Ω) a topologia fraca∗ induzida de C(Ω)∗, verifica-se facilmente

que φ : Ω → φ (Ω) e contınua, e por Ω ser completamente regular, φ e injetora. Se V ⊆ Ω


e um aberto arbitrario, para cada t ∈ V , por Ω ser completamente regular, existe g ∈ C (Ω)

satisfazendo

g (Ω \ V ) ⊆ 0 e g(t) = 1.

Entao W(φ(t), g, 1

2

)∩ φ (Ω) e uma vizinhanca aberta de φ(t), contida em φ (V ) e con-

cluımos que φ (V ) e aberto em φ (Ω). Por V ser um aberto arbitrario de Ω, concluımos que

φ e uma aplicacao aberta.

Segue-se que, sob a topologia fraca∗, φ : Ω → φ (Ω) e um homeomorfismo e portanto

BC(Ω)∗ contem um subespaco homeomorfo a Ω. Por simplicidade identificaremos Ω com

φ (Ω) de modo a omitir referencias a funcao φ. Diremos entao que BC(Ω)∗ contem Ω.

Definimos βΩ, a compactificacao de Stone-Cech de Ω, por

βΩ := Ωw∗

.

Em virtude do teorema de Alaoglu 1.2.16, o conjunto BC(Ω)∗ e w∗-compacto. Conse-

quentemente βΩ e w∗-compacto. Demonstra-se que para cada f ∈ C(Ω) existe uma unica

F ∈ C(βΩ) satisfazendo

F Ω≡ f e ‖F‖ = ‖f‖.

Para mais detalhes sobre compactificacao de Stone-Cech, recomendamos [13] e [24].

Exemplo 3.4.10. Verificaremos que o espaco compacto βN \ N nao satisfaz a CCC.

Seja qn : n ∈ N uma enumeracao dos racionais em R e para cada x ∈ R \ Q fixemos

uma sequencia de racionais (qnk)k∈N convergindo a x. Seja Nx := nk : k ∈ N o conjunto

dos ındices dessa sequencia. Observemos que se x, y ∈ R \ Q sao distintos, entao Nx ∩ Ny

e finito, pois duas sequencias convergindo para reais distintos coincidem no maximo em um

numero finito de termos.

Para cada x ∈ R \Q definimos a aplicacao fx : N→ R por

fx(t) :=

1 se t ∈ Nx

0 se t /∈ Nx

.

Seja Fx a extensao de fx a βN. Em virtude da continuidade de Fx, o conjunto F−1x

(]12, 3

2

[)e aberto. A densidade de N em βN implica F−1

x

(]12, 1[)

= F−1x

(]1, 3

2

[)= ∅, portanto

F−1x (1) = F−1

x

(]12, 1[)∪ F−1

x (1) ∪ F−1x

(]1, 3

2

[)= F−1

x

(]12, 3

2

[)e aberto.

Decorre que F−1x (1) \Nx

βNe aberto. Se existisse n ∈

(F−1x (1) \Nx

)∩ N, entao Fx(n) =

fx(n) = 1 e consequentemente n ∈ Nx ⊂ NxβN

, uma contradicao. Entao(F−1x (1) \Nx

)∩N =

∅ e por N ser denso em βN, temos F−1x (1) \ Nx

βN= ∅, ou seja, F−1

x (1) ⊆ NxβN

. Como


claramente vale NxβN ⊆ F−1

x (1), podemos concluir F−1x (1) = Nx

βN. Segue-se que Nx

βNe

aberto em βN.

Se x 6= y, fixemos u ∈ NxβN ∩ Ny

βN. De acordo com a proposicao 1.1.2, existem redes

(xγ)γ∈Γ e (yλ)λ∈Λ em Nx e Ny respectivamente, convergindo a u. Se u /∈ N, da continuidade

de Fx e por Nx ∩Ny ser finito, temos

1 = limγFx (xγ) = Fx(u) = lim

βFx (yβ) = 0,

uma contradicao. Concluımos que NxβN ∩Ny

βN ⊆ N.

Para cada x ∈ R \Q definimos

Wx := (βN \ N) ∩NxβN.

De acordo com o que discutimos acima, Wx : x ∈ R \Q e uma colecao, com a cardi-

nalidade do continuum, de abertos de βN \ N satisfazendo

Wx ∩Wy = (βN \ N) ∩NxβN ∩Ny

βN= ∅,

sempre que x 6= y.

Teorema 3.4.11. Se K e um espaco topologico de Hausdorff compacto nao satisfazendo a

CCC entao C (K) contem um subespaco Y , tal que para algum Γ nao enumeravel, c0 (Γ) ∼= Y .

Demonstracao. Se K nao satisfaz a condicao CCC entao existe uma colecao Vλ : λ ∈ Γde abertos dois a dois disjuntos de K, onde Γ e um conjunto nao enumeravel.

Por K ser um espaco topologico de Hausdorff e compacto, K e um espaco topologico

normal. Entao para cada λ ∈ Γ, o Lema de Urysohn implica a existencia de fλ ∈ C (K)

satisfazendo

fλ (K \ Vλ) ⊂ 0 e ‖fλ‖ = 1.

Seja Y := [fλ : λ ∈ Γ] e para cada λ ∈ Γ, seja ‖.‖λ : C (K)→ R definida por

‖ϕ‖λ := supt∈Vλ|ϕ(t)| .

Demonstra-se que se ϕ ∈ Y , entao ‖ϕ‖ = supλ∈Γ ‖ϕ‖λ. Em particular, se ϕ = b1fλ1 +

. . .+ brfλr entao ‖ϕ‖ = max1≤k≤r |bk|.Fixado ϕ ∈ Y seja (ϕn)n∈N ⊂ [fλ : λ ∈ Γ] uma sequencia convergindo a ϕ. Existe

λk : k ∈ N ⊂ Γ tal que ϕn ∈ [fλk : k ∈ N] para todo n ∈ N.


Se M := supn∈N ‖ϕn‖, para cada k ∈ N existe aλk ∈ R satisfazendo

‖ϕ− aλkfλk‖λk = inf−M≤x≤M ‖ϕ− xfλk‖λk .

Definimos a sequencia (φn)n∈N por

φn :=n∑k=1

aλkfλk .

Vamos demonstrar que φn → ϕ. Com efeito, fixando-se ε > 0, por ϕn → ϕ, existe k0 ∈ Ntal que ‖ϕ− ϕk‖ < ε sempre que k ≥ k0. Seja n0 ∈ N, tal que ϕk0 = b1fλ1 + . . . + bn0fλn0

.

Temos

‖ϕ− ϕk0‖λ =

‖ϕ− brfλr‖λr < ε se λ = λr, r ∈ 1, . . . , n0 ,‖ϕ‖λ < ε se λ /∈ λ1, . . . , λn0 .

Entao, se n > n0, de acordo com a definicao dos aλk

‖ϕ− φn‖λ =

‖ϕ− aλkfλk‖λk ≤ ‖ϕ− bkfλk‖λk < ε se λ = λr, r ∈ 1, . . . , n0 ,‖ϕ− aλkfλk‖λk ≤ ‖ϕ− 0fλk‖λk < ε se λ = λr, r ∈ n0 + 1, . . . , n ,‖ϕ‖λ < ε se λ /∈ λ1, . . . , λn .

Consequentemente, para todo n ≥ n0

‖ϕ− φn‖ = supλ∈Γ‖ϕ− φn‖λ ≤ ε.

Portanto φ = limn→∞ φn =∑∞

k=1 aλkfλk e verifica-se facilmente que a serie converge

incondicionalmente. Podemos definir para cada λ ∈ Γ

aλ :=

aλk se λ ∈ λk : k ∈ N0 se λ /∈ λk : k ∈ N

,

e por abuso de notacao, escrever ϕ =∑

λ∈Γ aλfλ. Conluımos que cada ϕ ∈ Y pode ser

escrito dessa forma e neste caso temos tambem, ‖ϕ‖ = supλ∈Γ |aλ|.Se eλ : λ ∈ Γ e a base canonica de c0 (Γ), definimos a aplicacao Ψ : Y → c0 (Γ), por

Ψ (ϕ) = Ψ

(∑λ∈Γ

aλfλ

):=∑λ∈Γ

aλeλ.

Sem dificuldade demonstra-se que Ψ e um isomorfismo isometrico.


Corolario 3.4.12. Seja K um espaco compacto de Hausdorff nao satisfazendo a CCC. Para

qualquer inteiro positivo n, todo polinomio n-homogeneo definido sobre C (K) e assumindo

valores reais, se anula em um subespaco isometricamente isomorfo a c0 (Γ), onde Γ e um

conjunto nao enumeravel.

Demonstracao. De acordo com o teorema 3.4.11 acima, existe um conjunto nao enumeravel

Γ e uma isometria linear T : c0 (Γ)→ C (K). Para todo polinomio P ∈ C (K), Q := P T e

um polinomio em P (nc0 (Γ)).

De acordo com a proposicao 3.4.7, Q se anula em um subespaco fechado Y ⊆ c0 (Γ), iso-

metricamente isomorfo a c0 (Γ). Consequentemente, Z := T (Y ) e um subespaco de C (K),

isometricamente isomorfo a c0 (Γ) e tal que Z ⊂ P−1 (0).

Procedendo-se como na demonstracao acima e utilizando-se o corolario 3.4.8 demonstra-

se o seguinte corolario.

Corolario 3.4.13. Seja Pk : k ∈ N uma colecao de polinomios homogeneos em C (K)

onde K e um espaco topologico de Hausdorff nao satisfazendo a CCC. Entao existe um

subespaco Y ⊆⋂k∈N P

−1k (0), tal que Y ∼= c0 (Γ) onde Γ e um conjunto nao enumeravel.

A proposicao a seguir pode ser encontrada em [15].

Proposicao 3.4.14. l∞/c0∼= C (βN \ N)

Corolario 3.4.15. Seja Pk : k ∈ N uma colecao de polinomios homogeneos definidos

em l∞/c0. Entao existe um subespaco Y ⊂⋂k∈N P

−1k (0), tal que Y ∼= c0 (Γ) onde Γ e um

conjunto com a cardinalidade do continuum.

Demonstracao. De acordo com o exemplo 3.4.10, existe uma colecao de abertos dois a dois

disjuntos em βN \ N com a cardinalidade do continuum. Procedendo-se como na demon-

stracao da proposicao 3.4.11, se obtem um subespaco Y ⊂ C (βN \ N), tal que Y ∼= c0 (Γ),

onde Γ e um conjunto com a cardinalidade do continuum. A tese decorre do corolario 3.4.8

e da proposicao 3.4.14.

Corolario 3.4.16. Para cada n ∈ N, se P ∈ P (nl∞) e tal que ker ∂n−1P contem c0, entao

l∞ admite um subespaco fechado Z tal que c0 ⊂ Z ⊂ P−1(0) e Z/c0∼= c0 (Γ) onde Γ e um

conjunto com a cardinalidade do continuum.


Demonstracao. Seja P ∈ P (nl∞) tal que c0 ⊂ ker ∂n−1P . Definimos P : l∞/c0 → R por

P (x+ c0) := P (x), x ∈ l∞.

Verifica-se que P define um polinomio homogeneo contınuo sobre l∞/c0. De acordo com

o corolario 3.4.15, l∞/c0 admite um subespaco Y , tal que Y ⊆ P−1 (0) e Y ∼= c0 (Γ), onde Γ

tem a cardinalidade do continuum.

Se π : l∞ → l∞/c0 e a projecao definida por

π (x) := x+ c0, x ∈ l∞,

fixamos Z := π−1 (Y ). Claramente Z ⊂ P−1(0) e Z/c0∼= c0 (Γ).

Capıtulo 4

Lema de Phelps Multilinear

Nosso principal objetivo neste capıtulo e exibir uma versao multilinear para o lema de

Phelps, resultado publicado em [3] devido a R. Aron, A. Cardwell, D. Garcıa e I. Zalzuendo.

Essencialmente, esse capıtulo e baseado nos artigos [3], [5] e [18].

4.1 Complexificacao de Espacos de Banach Reais

Nesta secao trataremos alguns procedimentos de complexificacao de espacos de Banach

reais. Se trata de um pequeno estudo do artigo [18], e dara sustentacao a alguns resultados

que serao estudados na proxima secao.

Para uma abordagem completa sobre o assunto recomendamos [18].

Definicao 4.1.1. Um espaco vetorial complexo X e uma complexificacao de um espaco

vetorial real X se satisfaz as seguintes condicoes:

(i) existe uma aplicacao R-linear injetora c : X → X;

(ii) [c (X)]C = X.

Exemplo 4.1.2. Se X e um espaco vetorial real, podemos definir sobre X × X operacoes

de adicao e multiplicacao por escalar como abaixo:

(x, y) + (u, v) := (x+ u, y + v) ,

(a+ ib) (x, y) := (ax− by, bx+ ay) ,

onde x, y, u, v ∈ X e a, b ∈ R.

67

68 CAPITULO 4. LEMA DE PHELPS MULTILINEAR

Verifica-se sem dificuldade que sob as operacoes acima, X×X se torna um espaco vetorial

complexo e que a aplicacao c : X → X ×X definida por

c(x) := (x, 0) ,

satisfaz as condicoes (i) e (ii) na definicao 4.1.1. Decorre portanto que X × X e uma

complexificacao de X.

Observemos que a condicao (i) na definicao 4.1.1 implica X isomorfo a um espaco vetorial

real contido em X. Por simplicidade e conveniente identificarmos X com c (X) de modo a

omitir referencias a aplicacao c. Dessa forma uma complexificacao de um espaco vetorial real

X sera um espaco vetorial complexo X contendo o espaco vetorial real X e tal que [X]C = X

e esta e a identificacao que utilizaremos a partir de agora.

Sob esta nova identificacao, na complexificacao do exemplo 4.1.2, podemos escrever u =

x+iy para cada elemento u = (x, y) = c(x)+ic(y). Mais geralmente, um elemento arbitrario

de uma complexificacao X pode ser escrito como u = x+ iy, com x, y ∈ X.

Devemos observar que na complexificacao do exemplo 4.1.2, se x + iy = 0, com x, y ∈X, entao x = y = 0. Em uma complexificacao com essa propriedade podemos definir,

inequivocamente, para cada u = x + iy, com x, y ∈ X, < (u) := x e = (u) := y que serao

respectivamente a parte real e a parte imaginaria de u. Podemos tambem definir o conjugado

de u, por u := x− iy.

A partir de agora, X denotara uma complexificacao de um espaco de Banach real X tal

que se x+ iy = 0, com x, y ∈ X, entao x = y = 0.

Estudaremos formas de se definir normas sobre complexificacoes de espacos de Banach

reais, satisfazendo certas condicoes desejaveis.

Definicao 4.1.3. Seja X um espaco de Banach real. Dizemos que uma norma ‖.‖X sobre

X e razoavel se para quaiquer x, y ∈ X

(iii) ‖x‖X = ‖x‖X ;

(iv) ‖x+ iy‖X = ‖x− iy‖X .

O espaco X munido de uma norma ‖.‖X satisfazendo as condicoes (iii) e (iv) sera

chamado de complexificacao razoavel de X. Uma norma ‖.‖X nessas condicoes, sera chamada

norma razoavel sobre X.

As condicoes (iii) e (iv) na definicao 4.1.3 sao baseadas nas seguintes propriedades basicas

dos numeros complexos. Para todo x ∈ C temos |x| = |x+ i0| e se z e um complexo seu

4.1. COMPLEXIFICACAO DE ESPACOS DE BANACH REAIS 69

conjugado z satisfaz |z| = |z|. Claramente se X for um espaco de Banach real, sob uma

norma razoavel ‖.‖X , o espaco X e um espaco de Banach complexo.

O proximo resultado nos permitira sempre definir uma norma razoavel sobre a comple-

xificacao de um espaco de Banach real. Ficara estabelecido tambem que quaisquer normas

razoaveis sao equivalentes.

Proposicao 4.1.4. Seja X uma complexificacao de um espaco de Banach real X. Entao a

aplicacao ‖.‖T : X → R definida por

‖x+ iy‖T := sup0≤t≤2π

‖x cos t− y sin t‖ ,

e uma norma razoavel sobre X. Alem disso se ‖.‖X for alguma outra norma razoavel sobre

X entao

‖x+ iy‖T ≤ ‖x+ iy‖X ≤ 2 ‖x+ iy‖T .

Demonstracao. A verificacao de que ‖.‖T define uma norma sobre X e direta. Para verifi-

carmos a validade dos items (iii) e (iv) na definicao 4.1.3, fixemos x, y ∈ X. Claramente

‖x‖T = sup0≤t≤2π

‖x cos t− 0 sin t‖ = ‖x‖,

o que verifica (iii). Temos tambem

‖x+ iy‖T = sup0≤t≤2π

‖x cos t− y sin t‖ = sup0≤t≤2π

‖x cos (π − t) + y sin (π − t)‖

= supπ≤r≤3π

‖x cos r + y sin r‖ = sup0≤r≤2π

‖x cos r − (−y) sin r‖ = ‖x− iy‖T ,

o que verifica (iv). Fica estabelecido portanto que ‖.‖T e uma norma razoavel sobre X.

Verificaremos agora que qualquer outra norma razoavel e equivalente a esta.

Com efeito, se ‖.‖X for uma outra norma razoavel, de acordo com a propriedade (iii),

para quaisquer x, y ∈ X, teremos

2 ‖x‖ = 2 ‖x‖X = ‖x+ iy + x− iy‖X ≤ ‖x+ iy‖X + ‖x− iy‖X .

Entao, em virtude da condicao (iv),

‖x‖ ≤ ‖x+ iy‖X , x, y ∈ X.


Consequentemente, para todo 0 ≤ t ≤ 2π,

‖x+ iy‖X =∥∥eit (x+ iy)

∥∥X

= ‖(x cos t− y sin t) + i (x sin t+ y cos t)‖X≥‖x cos t− y sin t‖ .

Portanto ‖x+ iy‖X ≥ ‖x+ iy‖T . Por outro lado, a desigualdade triangular e a condicao

(iii) implicam

‖x+ iy‖X =∥∥eit (x+ iy)

∥∥X

= ‖(x cos t− y sin t) + i (x sin t+ y cos t)‖X≤ ‖x cos t− y sin t‖X + ‖x sin t+ y cos t‖X= ‖x cos t− y sin t‖+ ‖x sin t+ y cos t‖

≤ 2 ‖x+ iy‖T ,

como querıamos.

Em [18] e exibido um exemplo de norma razoavel onde ocorre ‖x+ iy‖X = 2 ‖x+ iy‖T .

A norma ‖.‖T foi utilizada primeiramente por A. E. Taylor em [23], reaparecendo poste-

riormente em diversos trabalhos. Em [18], os autores se referem a(X, ‖.‖T

)como comple-

xificacao de Taylor de X.

Utilizando-se o teorema de Hahn-Banach, podemos obter uma descricao alternativa de

‖x+ iy‖T :

‖x+ iy‖T = sup0≤t≤2π

‖x cos t− y sin t‖

= sup0≤t≤2π

supϕ∈BX∗

|ϕ(x) cos t− ϕ(y) sin t|

= supϕ∈BX∗

√ϕ(x)2 + ϕ(y)2.

Uma caracterıstica importante da complexificacao de Taylor e ser um procedimento de

complexificacao que independe de quaisquer caracterısticas especıficas de um espaco de Ba-

nach real X, ou seja, a definicao independe do espaco do espaco de Banach real a ser

complexificado. Veremos na proposicao 4.1.5 que esse procedimento nos permite estender

aplicacoes R-lineares contınuas entre espacos de Banach reais X, Y para aplicacoes C-lineares

entre suas respectivas complexificacoes X, Y sem alterarmos a norma.

Do ponto de vista algebrico, se X e Y sao espacos vetoriais reais, dada uma aplicacao

4.1. COMPLEXIFICACAO DE ESPACOS DE BANACH REAIS 71

R-linear A : X → Y , verifica-se facilmente que a aplicacao A : X → Y definida de maneira

natural

A(x+ iy) := A(x) + iA(y), (4.1)

e a unica extensao C-linear possıvel entre X e Y .

Proposicao 4.1.5. Sejam X e Y espacos de Banach reais. Se A ∈ L (X, Y ) entao a

aplicacao A definida como em (4.1) satisfaz

A ∈ L((X, ‖.‖T

),(Y , ‖.‖T

))e ‖A‖T = ‖A‖ .

Demonstracao. Para cada x, y ∈ X temos

‖A (x+ iy) ‖T = ‖A (x) + iA (y)‖T = sup0≤t≤2π

‖A (x) cos t− A (y) sin t‖

= sup0≤t≤2π

‖A (x cos t− y sin t)‖ ≤ ‖A‖ sup0≤t≤2π

‖x cos t− y sin t‖

= ‖A‖ ‖x+ iy‖T .

Portanto A ∈ L((X, ‖.‖T

),(Y , ‖.‖T

))e ‖A‖T ≤ ‖A‖. Como A e extensao de A, temos

‖A‖ ≤ ‖A‖T .

Existem diversos outros procedimentos de complexificacao com propriedades similares ao

procedimento de complexificacao de Taylor.

Definicao 4.1.6. Um procedimento de complexificacao natural e uma maneira de se definir

uma norma razoavel ‖.‖γ, sobre uma complexificacao de qualquer espaco de Banach real,

satisfazendo a seguinte propriedade:

(v) se X, Y forem espacos de Banach reais, para toda aplicacao linear A ∈ L (X, Y ), a

extensao linear complexa, A :(X, ‖.‖γ

)→(Y , ‖.‖γ

), satisfaz ‖A‖γ = ‖A‖.

Nessas condicoes, o espaco X munido da norma ‖.‖γ sera chamado de complexificacao

natural de X. A norma ‖.‖γ sera chamada de norma natural complexa sobre X.

O exemplo a seguir fornece uma colecao de procedimentos de complexificacao natural.

Exemplo 4.1.7. Seja X uma complexificacao de um espaco de Banach real X. Para cada

x,y ∈ X definimos

np (x+ iy) := (‖x‖p + ‖y‖p)1p se 1 ≤ p <∞,

n∞ (x+ iy) := max ‖x‖, ‖y‖ .


Verifica-se facilmente que para cada 1 ≤ p ≤ ∞, em geral nao vale a relacao

np (λ (x+ iy)) = |λ|np (x+ iy) para todo λ ∈ C

e portanto np nao define norma sobre X. No entanto, para cada 1 ≤ p ≤ ∞ podemos, a

partir de np, obter uma norma Np sobre X, definindo-se

Np (x+ iy) := sup0≤t≤2π

np(eti (x+ iy)

).

De fato, para cada λ ∈ C existe 0 ≤ r ≤ 2π tal que λ = |λ| eri. Entao

Np (λ (x+ iy)) = sup0≤t≤2π

np(λeit (x+ iy)

)= sup

0≤t≤2πnp(|λ| e(r+t)i (x+ iy)

)= |λ| sup

0≤s≤2πnp(esi (x+ iy)

)= |λ|Np (x+ iy) .

As demais propriedades de norma podem ser facilmente verificadas, portanto serao omi-

tidas.

Fixando-se 1 ≤ p ≤ ∞, x, y ∈ X temos

Np (x− iy) = sup0≤t≤2π

np(eti (x− iy)

)= sup

0≤t≤2πnp(e−ti (x+ iy)

)= Np (x+ iy) .

Isso demonstra que para cada 1 ≤ p ≤ ∞, a norma Np satisfaz a propriedade (iv) da

definicao 4.1.3. Diretamente da definicao de NP , para cada x ∈ X,

Np (x) = ‖x‖ sup0≤t≤2π

(|cos t|p + |sin t|p)1p se 1 ≤ p <∞,

N∞ (x) = ‖x‖.

Utilizando-se resultados elementares de Calculo obtemos

sup0≤t≤2π

(|cos t|p + |sin t|p)1p =

1 se 2 ≤ p <∞21/p−1/2 se 1 ≤ p < 2

.

Concluımos que se 2 ≤ p ≤ ∞ entao Np tambem satisfaz a propriedade (iii) da definicao

4.1.3, e portanto define uma norma razoavel sobre X. Se 1 ≤ p ≤ 2 nos resta um fator

constante 2(1/p−1/2). Realizando-se entao um pequeno ajuste, podemos para cada 1 ≤ p ≤ ∞

4.2. EXTENSOES COMPLEXAS DE MULTILINEARES E POLINOMIOS REAIS 73

definir uma norma razoavel sobre X

‖x+ iy‖(p) : = Np (x+ iy) se 2 ≤ p <∞,

‖x+ iy‖(p) : = 2(1/2−1/p)Np (x+ iy) se 1 ≤ p < 2.

Obtemos, portanto, uma maneira de se definir, para cada 1 ≤ p ≤ ∞, uma norma

razoavel ‖.‖(p) sobre uma complexificacao de qualquer espaco de Banach real. Diretamente

da definicao de ‖.‖(p), verifica-se que este procedimento satisfaz a condicao (v) da definicao

4.1.6, se tratando portanto de um procedimento de complexificacao natural.

4.2 Extensoes Complexas de Multilineares e Polinomios Reais

A partir de agora nosso foco sera o estudo de extensoes complexas de aplicacoes multili-

neares e polinomios reais. O principal resultado exibido nesta secao nos permitira estender

algumas proposicoes para polinomios reais a partir de proposicoes previamente obtidas para

polinomios complexos.

Sejam X e Y espacos de Banach sobre R e X e Y complexificacoes de X e Y respectiva-

mente. Os matematicos J. Bochnak e J. Siciak observaram (ver Teorema 3 em [7]), que toda

aplicacao A ∈ L (nX, Y ) admite uma unica extensao complexa A ∈ L(nX, Y

)definida por

por

A (x10 + ix11, . . . , xn0 + ixn1) =∑εi=0,1

i∑nk=1 εkA (x1ε1 , . . . , xnεn) ,

onde xk0, xk1 ∈ X e a soma percorre todas as 2n sequencias (ε1, . . . , εn), com εk ∈ 0, 1,1 ≤ k ≤ n. A norma de A, depende das normas utilizadas em X e Y mas a continuidade e

assegurada.

No contexto dos polinomios (ver [23](p. 313)), qualquer P ∈ Pa (nX;Y ) admite uma

unica extensao complexa P ∈ Pa(nX; Y

)definida por

P (x+ iy) =

bn2 c∑k=0

(−1)k(n

2k

)P xn−2ky2k + i

bn−12 c∑

k=0

(−1)k(

n

2k + 1

)P xn−(2k+1)y2k+1, x, y ∈ X,

onde para cada t ∈ R, btc := max n ∈ N : n ≤ t.Em geral, qualquer polinomio contınuo P =

∑nk=0 Pk com Pk ∈ L

(kX;Y

), 0 ≤ k ≤ n,

admite uma unica extensao complexa P =∑n

k=0 Pk.

Em contraste com a proposicao 4.1.5, no caso polinomial raramente ocorre ‖P‖ = ‖P‖.


Para mais detalhes ver [18].

O resultado principal desta secao e um teorema devido a G. A. Munoz, Y. Sarantopoulos

e A. Tonge, publicado em [18]. Para demonstra-lo, precisamos de um pequeno lema.

Lema 4.2.1. Para quaisquer n, k ∈ N

1

2n

2n−1∑r=0

(−1)r eikrπn =

1 se k ≡ n (mod 2n)

0 caso contrario.

Demonstracao. Se k ≡ n (mod 2n) entao eikπn = −1, logo

1

2n

2n−1∑r=0

(−1)r eikrπn =

1

2n

2n−1∑r=0

(−1)r (−1)r = 1.

Caso contrario temos eikπn 6= −1 e utilizando a conhecida identidade polinomial

(x2n−1 + x2n−2 + . . .+ x2 + x+ 1

)(x− 1) = x2n − 1,

obtemos (2n−1∑r=0

(−1)r eikrπn

)(−eik

πn − 1

)=(−eik

πn

)2n − 1 = 0,

concluindo a demonstracao.

Teorema 4.2.2. Sejam X um espaco de Banach real e(X, ‖.‖γ

)uma complexificacao

natural de X. Se P ∈ P (nX) e P ∈ P(n(X, ‖.‖γ

))e a extensao complexa de P sobre X

entao

‖P‖γ ≤ 2n−1 ‖P‖ .

Demonstracao. Fixado u = x+ iy ∈ X com ‖u‖γ ≤ 1, seja f : R→ R definida por

f (t) := P

(ueit + ue−it

2

).

Claramente f (t) = P (x cos t− y sin t) e em virtude de ‖.‖γ ser uma norma natural,

decorre, pela proposicao 4.1.4,

|f (t)| = |P (x cos t− y sin t)| ≤ ‖P‖‖x cos t− y sin t‖

≤ ‖P‖‖x+ iy‖T ≤ ‖P‖‖x+ iy‖γ = ‖P‖,

4.2. EXTENSOES COMPLEXAS DE MULTILINEARES E POLINOMIOS REAIS 75

ou seja,

|f (t)| ≤ ‖P‖. (4.2)

Consideremos agora A ∈ Ls(nX)

tal que P = A. A Formula do Binomio 2.2.6 implica

f (t) = P

(ueit + ue−it

2

)=

n∑k=0

ei(n−2k)t

2n

(n

k

)Aun−kuk.

Podemos escrever

f (t) =n∑

k=−n

akeikt, (4.3)

onde ak ∈ C para todo −n ≤ k ≤ n. Em particular,

an =eint

2nP (u) , a−n =

e−int

2nP (u) . (4.4)

Utilizando (4.3), (4.4) e o lema 4.2.1, decorre

1

2n

2n−1∑k=0

(−1)k f(t+ k

π

n

)=

1

2n

2n−1∑k=0

(−1)kn∑

r=−n

areir(t+k πn)

=n∑

r=−n

areirt

1

2n

2n−1∑k=0

(−1)k eirkπn

= ane

int + a−ne−int

=eint

2nP (u) +

e−int

2nP (u) ,

e pela relacao (4.2)

sup0≤t≤2π

∣∣∣eintP (u) + e−intP (u)∣∣∣ ≤ 2n‖P‖. (4.5)

Em virtude de P (u) = P (u) e pelo fato de existir 0 ≤ θ ≤ 2π tal que∣∣∣P (u)

∣∣∣ = P (u)eiθ,

podemos escrever

sup0≤t≤2π

∣∣∣eintP (u) + e−intP (u)∣∣∣ = sup

0≤t≤2π

∣∣∣eintP (u) + eintP (u)∣∣∣

= 2 sup0≤t≤2π

∣∣∣<(P (u) eint)∣∣∣

= 2∣∣∣P (u)

∣∣∣ sup0≤t≤2π

∣∣ei(n−θ)t∣∣ = 2∣∣∣P (u)

∣∣∣ ,


consequentemente ∣∣∣P (u)∣∣∣ ≤ 2n−1‖P‖.

Como u e arbitrario e ‖u‖ ≤ 1, concluımos

‖P‖γ ≤ 2n−1‖P‖.

Em [18], os autores estabeleceram que esta estimativa e a melhor possıvel.

4.3 Produto de Polinomios em Espacos de Banach

Seja X um espaco de Banach sobre um corpo K. Se P1, . . . , Pn : X → K sao polinomios

contınuos, o produto P1 . . . Pn e um polinomio contınuo e claramente∥∥∥∥∥n∏k=1

Pk

∥∥∥∥∥ ≤n∏k=1

‖Pk‖ .

Nesta secao discutiremos um metodo para obter constantes M dependendo apenas dos

graus de P1, . . . , Pn, satisfazendo

n∏k=1

‖Pk‖ ≤M

∥∥∥∥∥n∏k=1

Pk

∥∥∥∥∥ .Os resultados desta secao foram publicados em [5], sao devidos a C. Benıtez, Y. Saran-

toupoulos e A. Tonge.

No caso em que K e o corpo dos numeros complexos o metodo fornecera a melhor cons-

tante possıvel, entretanto, quando aplicado ao corpo dos numeros reais uma constante pode

ser obtida mas nao a melhor em geral.

O lema a seguir pode ser verificado desenvolvendo-se os polinomios em termos de suas

respectivas aplicacoes multilineares simetricas associadas.

Lema 4.3.1. Para cada 1 ≤ k ≤ n, seja Pk ∈ P (mkX), onde X e um espaco de Banach

complexo. Fixado 1 ≤ l ≤ n sejam m = m1 + . . . + mn e s = m1 + .. + ml. Para quaisquer

x, y ∈ X temos,

l∏k=1

Pk (x)n∏

j=l+1

Pj (y) =1

2π

∫ 2π

0

ei(m−s)tl∏

k=1

Pk(x+ eity

) n∏j=l+1

Pj (x+ eity)dt,

4.3. PRODUTO DE POLINOMIOS EM ESPACOS DE BANACH 77

onde a barra denota a conjugacao complexa.

O lema a seguir sera essencial na demonstracao do principal resultado desta secao, o

teorema 4.3.5.

Lema 4.3.2. Para cada 1 ≤ k ≤ n, seja Pk ∈ P (mkX), onde X e um espaco de Banach

complexo. Fixado 1 ≤ l ≤ n sejam m = m1 + . . .+mn e s = m1 + ..+ml. Se 1 ≤ p <∞ e

x, y sao vetores unitarios em X satisfazendo,

‖z1x+ z2y‖ ≤ (|z1|p + |z2|p)1p , z1, z2 ∈ C,

entaol∏

j=1

Pj (x)n∏

i=l+1

Pi (y) ≤ mmp

ssp (m− s)

m−sp

‖P1 . . . Pn‖ .

Demonstracao. Em virtude do lema 4.3.1, para todo z1, z2 ∈ C, temos

l∏k=1

|Pk (z1x)|n∏

j=l+1

|Pj (z2y)| =

∣∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0

ei(m−s)tl∏

k=1

Pk(z1x+ eitz2y

) n∏j=l+1

Pj (z1x+ eitz2y)dt

∣∣∣∣∣≤ 1

2π

∫ 2π

0

n∏k=1

∣∣Pk (z1x+ eitz2y)∣∣ dt

≤ ‖P1 . . . Pn‖1

2π

∫ 2π

0

‖z1x+ z2eity‖mdt

≤ ‖P1 . . . Pn‖ (|z1|p + |z2|p)mp .

Consequentemente

l∏k=1

|Pk (x)|n∏

j=l+1

|Pj (y)| ≤ (|z1|p + |z2|p)mp

|z1|s |z2|m−s‖P1 . . . Pn‖.

A tese e obtida fixando-se z1 = s1p e z2 = (m− s)

1p .

O exemplo a seguir nos mostra que a constante do lema anterior nao pode ser melhorada

em geral.

Exemplo 4.3.3. Fixado 1 ≤ p <∞, para cada 1 ≤ i ≤ n seja Pi ∈ P (milp) definido por

Pi((xk)k∈N

)= x(m1+...+mi−1+1) . . . x(m1+...+mi),


onde m0 := 0.

Fixado 1 ≤ l ≤ n , sejam m = m1 + . . . + mn e s = m1 + . . . + ml. Se ek : k ∈ N e a

base canonica de lp, fixamos x := s−1p (e1 + . . .+ es) e y := (m− s)

−1p (es+1 + . . .+ em).

Demonstra-se facilmente que para cada z1, z2 ∈ C,

‖z1x+ z2y‖ ≤ (|z1|p + |z2|p)1p .

Se 1 ≤ i ≤ l,

P1(x) = x1x2 . . . xm1 = s−m1p ;

P2(x) = x(m1+1) . . . x(m1+m2) = s−m2p ;

...

Pl(x) = x(m1+...+ml−1+1) . . . x(m1+...+ml) = s−mlp .

Se l + 1 ≤ k ≤ n,

Pl+1(y) = y(m1+...+ml+1) . . . y(m1+...+ml+1) = (m− s)−ml+1p ;

Pl+2(y) = y(m1+...+ml+1+1) . . . y(m1+...+ml+2) = (m− s)−ml+2p ;

...

Pn(y) = y(m1+...+mn−1) . . . y(m1+...+mn) = (m− s)−mnp .

Decorre

l∏k=1

|Pi(x)|n∏

k=l+1

|Pk(y)| = s−(m1+...+ml)

p (m− s)−(ml+1+...+mn)

p

= s−sp (m− s)

−(m−s)p .

Para cada u = (un)n∈N ∈ Blp , em virtude da desigualdade entre as medias aritmetica e

geometrica,

|P1(u) . . . Pn(u)| = |u1 . . . um| = (|u1|p . . . |um|p)1p

≤(|u1|p + . . .+ |um|p

m

)mp

≤ 1

mmp

= m−mp .

Consequentemente

‖P1 . . . Pn‖ ≤1

mmp

.


Por outro lado, fixando-se u = 1

m1p

(e1 + . . .+ em), claramente ‖u‖ = 1 e

|P1(u) . . . Pn(u)| = 1

mmp

.

Entao

‖P1 . . . Pn‖ =1

mmp

,

e portanto,l∏

k=1

|Pi(x)|n∏

k=l+1

|Pk(y)| = mmp

ssp (m− s)

(m−s)p

‖P1 . . . Pn‖ .

Com o objetivo de simplificar a demonstracao do teorema 4.3.5 mais a diante, estu-

daremos uma forma de, a partir de um polinomio P definido em algum espaco de Banach

complexo, se obter um polinomio P c homogeneo de mesmo grau definido em algum outro

espaco de Banach complexo e satisfazendo

‖P‖ = ‖P c‖.

Dado X, um espaco vetorial sobre C, verifica-se que o conjunto X×C, com as operacoes

de adicao de vetores e multiplicacao de vetor por escalar, definidas de maneira usual, e um

espaco vetorial sobre C. Este espaco sera denotado por Xc e um elemento arbitrario deste

espaco sera denotado por (x, z) onde x ∈ X e z ∈ C.

Tambem, verifica-se que se X e um espaco de Banach complexo, entao, sob a norma

‖.‖∗ : Xc → R definida por

‖(x, z)‖∗ := max‖x‖, |z|,

Xc e um espaco de Banach complexo.

Por questao de simplicidade, denotaremos ‖.‖∗ apenas por ‖.‖ ficando claro pelo contexto

de qual norma se trata.

Se X e um espaco de Banach complexo e P(X) e P(Xc) denotam respectivamente o

espaco dos polinomios sobre X e Xc assumindo valores em C, para cada P =∑m

k=0Qk, onde

Qk ∈ P(kX), seja P c ∈ P(Xc), o polinomio m-homogeneo definido por

P c(x, z) :=m∑k=0

Qk (x) zm−k.

Claramente, P 7→ P c e uma aplicacao linear de P(X) e P(Xc). Temos tambem o seguinte

resultado.


Como |z1| = 1 e ‖x0‖ ≤ 1, segue-se ‖(x0, z1)‖ = ‖(x0

z1, z1)‖ = 1 e consequentemente

sup‖(x,z)‖≤1

|P c (zx, z)| < |P c (x0, z0)| ≤ |P c (x0, z1)|

=

∣∣∣∣P c(z1(x0

z1

), z1)

∣∣∣∣ ≤ sup‖(x,z)‖≤1

|P c (zx, z)| ,

uma contradicao. Portanto

‖P c‖ = sup‖(x,z)‖≤1

|P c (x, z)| = sup‖(x,z)‖≤1

|P c (zx, z)| .

Notando-se que |P c(zx, z)| = |zmP c(x, 1)| = |zmP (x)| para todo z ∈ C, x ∈ X,

podemos escrever

‖P c‖ = sup‖(x,z)‖≤1

|P c(zx, z)| = sup‖(x,z)‖≤1

|zmP (x)| = sup‖x‖≤1

|P (x)| = ‖P‖.

Portanto ‖P c‖ = ‖P‖, como querıamos.

Teorema 4.3.5. Sejam P1, . . . , Pn polinomios sobre um espaco de Banach complexo X de

graus m1, . . .mn respectivamente. Entao

‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤(m1 + . . .+mn)m1+...+mn

mm11 . . .mmn

n

‖P1 . . . Pn‖ .

Demonstracao. Em virtude da proposicao 4.3.4, a verificacao pode ser feita supondo todos

os polinomios homogeneos. A demonstracao sera feita por inducao em n.

Se n = 1 a conclusao e obvia. Supondo a tese valida para n = k > 1, sejam P1, . . . , Pk+1

com Pi ∈ P(miX), 1 ≤ i ≤ k.

Aplicando o lema 4.3.2 com p = 1 e l = k obtemos

‖P1 . . . Pk‖‖Pk+1‖ ≤(m1 + . . .+mk+1)(m1+...+mk+1)

(m1 + . . .+mk)(m1+...+mk)mmk+1

k+1

‖P1 . . . Pk+1‖.

De acordo com a hipotese de inducao,

‖P1‖ . . . ‖Pk‖ ≤(m1 + . . .+mk)

(m1+...+mk)

mm11 . . .mmk

k

‖P1 . . . Pk‖.


Consequentemente

‖P1‖ . . . ‖Pk+1‖ ≤(m1 + . . .+mk)

(m1+...+mk)

mm11 . . .mmk

k

‖P1 . . . Pk‖‖Pk+1‖

≤ (m1 + . . .+mk+1)(m1+...+mk+1)

mm11 . . .m

mk+1

k+1

‖P1 . . . Pk+1‖.

Exemplo 4.3.6. Se X = l1 e P1, . . . , Pn sao como no exemplo 4.3.3 ocorre a igualdade.

Concluımos que a constante obtida no teorema 4.3.5 nao pode ser melhorada em geral.

Corolario 4.3.7. Seja A1, . . . , An ⊂ L (mX) onde X um espaco de Banach sobre C.

Entao

‖A1‖ . . . ‖An‖ ≤ nnm sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| .

Demonstracao. Para cada 1 ≤ r ≤ m, seja πr : Xm → X definida por

πr (x1, . . . , xm) := xr, x1, . . . , xm ∈ X.

Para cada 1 ≤ k ≤ n definimos a aplicacao Λk :

m︷︸︸︷Xm × . . .×Xm → C, por

Λk (u1, . . . , um) := Ak (π1 (u1) , . . . , πm (um)) , u1, . . . , um ∈ Xn.

Claramente Λ1, . . . ,Λn ⊂ L (mXm), e para cada 1 ≤ k ≤ n,

Λk (u, . . . , u) = Ak (π1 (u) , . . . , πm (u)) = Ak(u), u ∈ Xm.

Entao, fixando-se a colecao P1, . . . , Pn ⊂ P (mXm), onde para cada 1 ≤ k ≤ n, Pk(u) :=

Λkum = Ak(u), u ∈ Xn, teremos

‖P1 . . . Pn‖ = sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| e ‖Pk‖ = ‖Ak‖, 1 ≤ k ≤ n.

Aplicando-se o teorema anterior, obtemos

‖A1‖ . . . ‖An‖ = ‖P1‖ . . . ‖Pn‖

≤ nnm ‖P1 . . . Pn‖ = nnm sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| ,

como querıamos.


Corolario 4.3.8. Sejam X e Yi (1 ≤ i ≤ n) espacos de Banach complexos. Para operadores

lineares limitados Ti : X → Yi, (1 ≤ i ≤ n) temos

‖T1‖ . . . ‖Tn‖ ≤ nn sup‖u‖≤1

‖T1(u)‖ . . . ‖Tn(u)‖ .

Demonstracao. Fixemos uma colecao f1, . . . , fn em BY ∗i, arbitraria. Segue-se que a colecao

f1 T1, . . . , fn Tn ⊂ X∗ e aplicando-se o o corolario 4.3.7,

‖f1 T1‖ . . . ‖fn Tn‖ ≤ nn sup‖u‖≤1

|f1 (T1(u)) . . . fn (Tn(u))|

≤ nn sup‖u‖≤1

‖T1(u)‖ . . . ‖Tn(u)‖ .

De acordo com o teorema de Hahn-Banach, para cada 1 ≤ k ≤ n,

‖Tk‖ = supg∈BY ∗

k

‖g Tk‖.

Como a colecao f1, . . . , fn ⊂ BY ∗ie arbitraria, concluımos

‖T1‖ . . . ‖Tn‖ ≤ nn sup‖u‖≤1

‖T1(u)‖ . . . ‖Tn(u)‖

No caso de um espaco de Banach real podemos obter uma versao do teorema 4.3.5.

Teorema 4.3.9. Sejam P1, . . . , Pn polinomios sobre um espaco de Banach real X de graus

m1, . . .mn respectivamente. Entao

‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤ 2m−1 mm

mm11 . . .mmn

n

‖P1 . . . Pn‖ ,

onde m = m1 + . . .+mn.

Demonstracao. Seja X uma complexificacao natural de X e para cada 1 ≤ i ≤ n seja Pi a

unica extensao complexa de Pi sobre X. Temos por 4.3.5

‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤ ‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤mm

mm11 . . .mmn

n

∥∥∥P1 . . . Pn

∥∥∥ . (4.7)


Claramente P1 . . . Pn e um polinomio homogeneo de grau m sobre X. Da unicidade da

extensao complexa, temos

˜P1 . . . Pn = P1 . . . Pn.

Entao, de acordo com o teorema 4.2.2

‖P1 . . . Pn‖ = ‖ ˜P1 . . . Pn‖ ≤ 2m−1‖P1 . . . Pn‖. (4.8)

De 4.7 e 4.8, decorre

‖P1‖ . . . ‖Pn‖ ≤mm

mm11 . . .mmn

n

∥∥∥ ˜P1 . . . Pn

∥∥∥≤ 2m−1 mm

mm11 . . .mmn

n

‖P1 . . . Pn‖ .

Notando-se que o exemplo 4.3.6 e valido para l1 real ou complexo, concluımos que a

constante obtida no teorema 4.3.9 nao e a melhor em geral. No caso complexo, o lema 4.3.2

e fundamental para que a constante obtida seja a melhor possıvel e nao e conhecida relacao

semelhante para o caso real. Para mais detalhes sugerimos [5].

Corolario 4.3.10. Seja A1, . . . , An ⊂ L (mX) onde X um espaco de Banach sobre R.

Entao

‖A1‖ . . . ‖An‖ ≤ 2nm−1nnm sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| .

Demonstracao. Procedendo-se como na demonstracao de 4.3.7, e possıvel se obter uma a

colecao P1, . . . , Pn ⊂ P (mXm) satisfazendo

‖P1 . . . Pn‖ = sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| e ‖Pk‖ = ‖Ak‖, 1 ≤ k ≤ n.

Entao, aplicando-se o teorema anterior, obtemos

‖A1‖ . . . ‖An‖ = ‖P1‖ . . . ‖Pn‖

≤ 2nm−1nnm ‖P1 . . . Pn‖ = 2nm−1nnm sup‖u‖≤1

|A1(u) . . . An(u)| ,

como querıamos.

4.4. LEMA DE PHELPS 85

4.4 Lema de Phelps

O principal resultado deste capıtulo e uma versao multilinear do seguinte teorema devido

a R.Phelps.

Teorema 4.4.1. (Lema de Phelps) Dado um espaco de Banach X, sejam f, g ∈ SX∗ e

0 < ε < 1. Se SX ∩ ker f ⊂ SX ∩ g−1 (]−ε, ε[) entao ‖g − αf‖ ≤ 2ε para algum |α| = 1.

Demonstracao. Se SX ∩ ker f ⊂ SX ∩ g−1 (]−ε, ε[) entao ‖g ker f ‖ ≤ ε e de acordo com o

teorema de Hahn-Banach, existe h ∈ X∗ tal que

‖h‖ = ‖g ker f ‖ ≤ ε e h(x) = g(x) para todo x ∈ ker f.

Entao ker f ⊂ ker(g − h) e portanto existe a ∈ K tal que g − h = af . Segue-se

|1− |a|| = |‖g‖ − ‖af‖| ≤ ‖g − af‖ = ‖h‖ ≤ ε.

Fixando-se α = a|a| decorre,

‖g − αf‖ = ‖g − af + (a− α)f‖

≤ ‖g − af‖+ |a− α| ‖f‖ ≤ ε+ |1− |a|| ≤ 2ε,

como querıamos.

A partir de agora X1, . . . , Xn denotarao espacos de Banach sobre um corpo K com respec-

tivas esferas unitarias SX1 , . . . , SXn . Denotaremos um elemento arbitrario de X1 × . . .×Xn

como (x, y) onde x = (x1, . . . , xn−1) ∈ X1 × . . .×Xn−1 e y ∈ Xn.

Se A ∈ L(X1, . . . , Xn), para cada x ∈ X1 × . . . × Xn−1, denotaremos por Ax ∈ X∗n o

funcional definido por

Ax(y) := A(x, y), y ∈ Xn.

Para cada y ∈ Xn denotaremos por Ay ∈ L(X1, . . . , Xn−1) a aplicacao multilinear definida

por

Ay(x) := A(x, y), x ∈ X1 × . . .×Xn−1.

Precisamos de mais uma definicao para auxiliar nossa terminologia.


Definicao 4.4.2. Sejam A,B ∈ L(X1, . . . , Xn), ε > 0 e V ⊂ SX1 × ...× SXn . Definimos

Z(A) := (x, y) ∈ SX1 × . . .× SXn : A(x, y) = 0;

ε(A) := (x, y) ∈ SX1 × . . .× SXn : |A(x, y)| ≤ ε;

Vx := y ∈ SXn : (x, y) ∈ V ;

Vy :=x ∈ SX1 × . . .× SXn−1 : (x, y) ∈ V

;

Λx(B,A, ε) := β ∈ K : ‖Bx − βAx‖ ≤ ε ;

Λy(B,A, ε) := α ∈ K : ‖By − αAy‖ ≤ ε .

Lema 4.4.3. Sejam A,B ∈ L(X1, . . . , Xn) e ε > 0. Se Z(A) ⊂ ε(B) entao Λx(B,A, ε) 6= ∅para todo x ∈ SX1 × . . .× SXn−1.

Demonstracao. Se Z(A) ⊂ ε(B) entao para cada x ∈ SX1 × . . .× SXn−1 , vale

kerAx ∩ SXn ⊂ y ∈ SXn : |B(x, y)| ≤ ε .

Segue-se que ‖Bx kerAx‖ ≤ ε e de acordo com o teorema de Hahn-Banach, existe H ∈ X∗ntal que ‖H‖ = ‖Bx kerAx‖ ≤ ε e H(y) = Bx(y), y ∈ kerAx.

Entao kerAx ⊆ ker(Bx −H) e portanto existe β ∈ K tal que Bx −H = βAx. Decorre

‖Bx − βAx‖ = ‖H‖ ≤ ε,

e consequentemente β ∈ Λx (B,A, ε).

Lema 4.4.4. Sejam A,B ∈ L(X1, . . . , Xn) e ε, ε0 > 0. Se Z(A) ⊂ ε(B) entao, para cada

x ∈ SX1 × . . .× SXn−1 e y ∈ SXn:

(i) Se ε < ε0 entao Λy(B,A, ε) ⊂ Λy(B,A, ε0).

(ii) Se α ∈ Λy(B,A, ε) e β ∈ Λx(B,A, ε) entao

|α− β| |A(x, y)| ≤ 2ε.

(iii) Se α ∈ Λy(B,A, ε) e r > 0 entao Br(α) ⊂ Λy(B,A, ε+ r‖Ay‖).

(iv) Λx(B,A, ε) e Λy(B,A, ε) sao conjuntos fechados.

Demonstracao. (i) Evidente.


(ii) Se α ∈ Λy(B,A, ε) e β ∈ Λx(B,A, ε) entao

|α− β| |A(x, y)| = |αA(x, y)−B(x, y) +B(x, y)− βA(x, y)|

≤ |αA(x, y)−B(x, y)|+ |B(x, y)− βA(x, y)|

≤ ‖By − αAy‖+ ‖Bx − βAx‖ ≤ 2ε.

(iii) Se α ∈ Λy(B,A, ε) e |η| ≤ r entao

‖By − (α + η)Ay‖ ≤ ‖By − αAy‖+ |η| ‖Ay‖ ≤ ε+ r ‖Ay‖ .

Isso demonstra que (α + η) ∈ Λy(B,A, ε+ r ‖Ay‖) e concluımos

Br(α) ⊂ Λy(B,A, ε+ r‖Ay‖).

(iv) Para cada x ∈ SX1 × . . .× SXn−1 , a funcao fx : K→ R definida por

fx(α) := ‖Bx − αAx‖, α ∈ K,

e claramente contınua. Entao f−1([0, ε]) = Λx(B,A, ε) e fechado.

Analogamente se verifica que Λy(B,A, ε) e fechado.

Lema 4.4.5. Para todo n ∈ N existe dn ≥ 1 tal que para quaisquer A,B ∈ L(X1, . . . , Xn)

com ‖A ‖=‖B‖ = 1 e ε > 0, se Z(A) ⊂ ε(B) entao ‖B − γA‖ ≤ dnε para algum γ ∈ K.

Demonstracao. A demonstracao sera feita por inducao sobre n. Sejam A, B ∈ L(X1, . . . , Xn)

com ‖A‖ = ‖B‖ = 1 e ε > 0 tais que Z(A) ⊂ ε(B).

Se n = 1, procedendo-se como na demonstracao do lema de Phelps 4.4.1, obtemos d1 = 1.

Se n > 1 suponha a tese verdadeira para n − 1. Primeiramente demonstraremos que

Λy(B,A, dn−1ε) 6= ∅ qualquer que seja y ∈ SXn .

Com efeito, dado y ∈ SXn , por Z(A) ⊂ ε(B) obtemos

Z(Ay) = (Z(A))y ⊂ (ε(B))y = ε(By).

Se Ay ≡ 0 entao Z(Ay) = SX1 × . . . × SXn−1 ⊂ ε(By). Consequentemente, para cada

α ∈ K,

‖By − αAy‖ = ‖By‖ ≤ ε ≤ dn−1ε


e portanto Λy(B,A, dn−1ε) = K.

Se By ≡ 0 entao para todo x ∈ SX1 × . . .× SXn−1

|By(x)− (dn−1ε)Ay(x)| = |dn−1ε| |A(x, y)| ≤ dn−1ε

e portanto dn−1ε ∈ Λy(B,A, dn−1ε).

Se Ay e By nao forem identicamente nulas entao

Z

(Ay‖Ay‖

)= Z (Ay) ⊂ ε(By) =

ε

‖By‖

(By

‖By‖

).

De acordo com a hipotese de inducao, existe a ∈ K tal que∥∥∥∥ By

‖By‖− a Ay‖Ay‖

∥∥∥∥ ≤ dn−1ε

‖By‖.

De forma equivalente, ∥∥∥∥By −(a‖By‖‖Ay‖

)Ay

∥∥∥∥ ≤ dn−1ε,

e portanto a‖By‖‖Ay‖ ∈ Λy(A,B, dn−1ε). Entao, em qualquer caso, Λy(A,B, dn−1ε) 6= ∅, para

todo y ∈ SXn e este fato tera uma importante aplicacao a seguir.

De acordo com os corolarios 4.3.7 e 4.3.10, existe uma constante 0 < an−1 < 1 tal que

que para quaiquer y1, y2 ∈ SXn

an−1‖Ay1‖‖Ay2‖ ≤ sup‖x‖≤1

|Ay1(x)Ay2(x)| . (4.9)

Dado 0 < δ < an−1, pela hipotese de ‖A‖ = 1, existe yδ ∈ SXn tal que 1− δ < ‖Ayδ‖ ≤ 1.

Fixando-se y ∈ SXn , de acordo com a relacao (4.9) acima, temos

an−1‖Ayδ‖‖Ay‖ ≤ sup‖x‖≤1

|Ayδ(x)Ay(x)| .

Supondo primeiramente Ay nao identicamente nula, deve existir x ∈ SX1 × . . . × SXn−1

satisfazendo

(an−1 − δ)‖Ayδ‖‖Ay‖ < |A(x, yδ)A(x, y)| . (4.10)

Evidentemente A(x, yδ) e A(x, y) sao diferentes de zero. De acordo com o que foi discutido

acima e em virtude do lema 4.4.3, podemos fixar αδ ∈ Λyδ(B,A, dn−1ε), α ∈ Λy(B,A, dn−1ε)


e β ∈ Λx(B,A, dn−1ε). Pelo lema 4.4.4, item (ii), e pela relacao (4.10) acima, temos

|α− αδ| ≤ |α− β|+ |β − αδ|

≤ 2dn−1ε

|A(x, y)|+

2dn−1ε

|A(x, yδ)|

= 2dn−1ε

(|A(x, y)|+ |A(x, yδ)||A(x, y)A(x, yδ)|

)<

4dn−1ε

(an−1 − δ)‖Ay‖‖Ayδ‖:= r.

Entao αδ ∈ Br(α) e por α ∈ Λy (B,A, dn−1ε), o lema 4.4.4, item (iii), implica

Br(α) ⊂ Λy (B,A, dn−1ε+ r‖Ay‖)

= Λy

(B,A, dn−1ε+

4dn−1ε

(an−1 − δ)‖Ayδ‖

).

Por 1− δ < ‖Ayδ‖ ≤ 1, o lema 4.4.4, item (i) implica

αδ ∈ Λy

(B,A, dn−1ε+

4dn−1ε

(an−1 − δ)‖Ayδ‖

)⊂ Λy

(B,A, dn−1ε+

4dn−1ε

(an−1 − δ)(1− δ)

)= Λy

(B,A,

[1 +

4

(an−1 − δ)(1− δ)

]dn−1ε

).

Se por outro lado, Ay ≡ 0 entao, o lema 4.4.4, item (i), implica

K = Λy (B,A, dn−1ε) ⊂ Λy

(B,A,

[1 +

4

(an−1 − δ)(1− δ)

]dn−1ε

).

Portanto

αδ ∈⋂

y∈SXn

Λy

(B,A,

[1 +

4

(an−1 − δ)(1− δ)

]dn−1ε

):= Kδ.

Em virtude do lema 4.4.4, item (iv), Kδ e intersecao de conjuntos fechados, portanto

fechado. Para verificarmos que Kδ e limitado, fixemos um elemento arbitrario α ∈ Kδ. Para


todo y ∈ SXn temos

|α| ‖Ay‖ − ‖By‖ ≤ ‖By − αAy‖

≤[1 +

4

(an−1 − δ)(1− δ)

]dn−1ε.

Em particular, se y = yδ entao ‖Ayδ‖ > 0 e

|α| ≤ 1

‖Ayδ‖

(‖Byδ‖+

[1 +

4

(an−1 − δ)(1− δ)

]dn−1ε

).

Isso demonstra que Kδ e limitado. Entao para todo 0 < δ < an−1, Kδ e fechado e limitado,

portanto compacto. Utilizando-se o lema 4.4.4, item (i), demonstra-se que Kδ ⊂ Kδ∗ sempre

que δ ≤ δ∗. Consequentemente

K :=⋂

0<δ<an−1

Kδ 6= ∅.

Fixando-se γ ∈ K, temos

‖B − γA‖ = sup‖y‖≤1

sup‖x‖≤1

|B(x, y)− γA(x, y)|

= sup‖y‖≤1

‖By − γAy‖

≤(

1 +4

an−1

)dn−1ε.

A tese e obtida definindo-se

dn :=

(1 +

4

an−1

)dn−1.

De acordo com o lema acima, para cada n ∈ N a constante obtida e

dn =

(1 +

4

a1

). . .

(1 +

4

an−1

).


Usando as constantes ak obtidas nos corolarios 4.3.7 e 4.3.10 temos

dn =n−1∏k=1

(1 + 22(k+1)

)no caso complexo,

dn =n−1∏k=1

(1 + 24k+1

)no caso real.

Teorema 4.4.6. Para todo n ∈ N existe Dn > 0 tal que para quaisquer A,B ∈ L(X1, . . . , Xn)

com ‖A ‖=‖B‖ = 1 e 0 < ε < 1/dn, onde dn ≥ 1 e a constante obtida no lema anterior, se

Z(A) ⊂ ε(B) entao ‖B − αA‖ ≤ Dnε para algum |α| = 1.

Demonstracao. Sejam A, B ∈ L(X1, . . . , Xn) com ‖A ‖=‖B‖ = 1 e ε > 0 satisfazendo

Z(A) ⊂ ε(B). Pelo lema 4.4.5 existe γ ∈ K tal que

|1− |γ|| = |‖B‖ − |γ| ‖A‖|

≤ ‖B − γA‖ ≤ dn−1ε.

De acordo com as hipoteses, γ 6= 0. Fixando-se α := γ|γ| temos

‖B − αA‖ ≤ ‖B − γA+ (γ − α)A‖

≤ ‖B − γA‖+ |γ − α| ‖A‖

≤ dnε+ |1− |γ|| ≤ 2dnε.

A tese e obtida definindo-se

Dn := 2dn.

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