Post on 12-Jul-2022
Método do Elementos Finitos na Análise e Projeto de
Dispositivos Eletromagnéticos
Prof. Luís Alberto Pereira, Dr.-Ing. - DELET
Organização da Palestra
1. Generalidades sobre o M. E. F.
2. Problemas de Valor de Contorno
3. Solução pelo Método dos Elementos Finitos
3.1 Método de Galerkin
3.2 Discretização do Domínio
3.3 Obtenção das Equações Discretas
4. Software por Elementos Finitos e Estudo
de Casos Práticos
1. Generalidades sobre o M. E. F.
Histórico : 1941 - Hrenikov : problemas da Elastomecânica
a partir de 1950 : aplicações na indústria aéro-
espacial
Aplicação na Eletrotécnica :
1967 - Winslow : Diferenças Finitas para Elementos Triangulares
a partir de 1970 - Popularização do Método
Definição :
Método numérico para a solução de equações
diferenciais parciais, as quais surgem, por exemplo,
na descrição de problemas de valor de contorno.
Vantagens e Características :
formulação simples
aplicável a problemas complexos
possibilita a consideração de não-linearidades
pode ser implementado em computador
Aplicações Típicas em Engenharia Elétrica
Determinação de campos elétricos e magnéticos
Análise de Dispositivos :
máquinas, relés, bobinas, transformadores
atuadores
biomédica: modelagem de campos em seres vivos
análise e modelagem de dispositivos semicondutores
Otimização de Dispositivos :
melhoria de desempenho
redução de peso ou volume
redução de custos
otimização da forma geométrica
2. Problemas de Valor de Contorno
Contorno do Domínio
Eisen
Ar
A
n
ferro
H 0
0A = 0
ferro
A= 02
A= S2
H S
(1)SH
)2(0B
)3(HB
)4(BA
Equações do Domínio (Magnestostática) :
Potencial Vetor
)5(SHBA
)6(SAA 2
Equações de Maxwell
)7(0A
)8(SA2 Equação de Poisson em 3D
)9(eSS z
)10(eAA z
y
xe x
e y
e z
Caso Especial de Domínio 2D
)a11(SA2
Explicitamente:
)b11(Sy
A
x
A2
2
2
2
Equação de Poisson em 2D
Condições de Contorno :
Condição de Dirichlet
0A
constanteA B
A 0
n
Condição de Neumann
0An
A
nB
A
nA 0
Descrição do Problema de Valor de Contorno 2D
SA2
0A
sobre0An
A
sobre
no domínio
1
2
21
3. Solução por Elementos Finitos
2A S
Problema Discretizado
Métodos
Variacionais
Método de Ritz
Métodos
Residuais
Método de Galerkin
Problema Contínuo
Solução Discreta
3.1 Método de Galerkin
)12(gSgA2 g - função de teste
)13(dgSdgA2
Emprego do Teorema de Green em 2D, resulta:
)14(dgSdgAdgA
dgSdgAdgAdgA
21
Considerando-se a condição de contorno em
0An
A
2
dgSdgAdgA
1
Impondo-se a condição g=0 em
)15(dgSdgA
Forma fraca da Equação de Poisson
1
3.2 Discretização do Domínio
)16(dgSdgAM
1e
e
M
1e
e
ee
g - será definido para um triângulo padrão
A - será aproximado para cada triângulo
Nós
1
2 3
5
6
1
2
3
4 5
67
M Elementos
N Nós
3.3 Obtenção das Equações Discretas
)17(y,xRy,xAy,xAA j
N
1j
j
Funções de aproximação : y,xj
Exemplos :
polinômios
funções trigonométricas
funçoes lineares
etc...
1
1
23
A3
A2
A1
jAM. E. F. : jj AR Potenciais nos nós
Elementos Triangulares :
)18(yCxCC)y,x(A 210
111 A)y,x(A
222 A)y,x(A 333 A)y,x(A
)19(y,xA)y,x(A j
3
1j
j
Interpolação de Lagrange
Método de Galerkin funções de teste g idênticas às de aproximação
y,x)y,x(g 11
y,x)y,x(g 22
y,x)y,x(g 33
eieij
3
1j
j dSdA
ee
)20(dSdA eieij
3
1j
j
ee
3,2,1i
)21(dK eijj,i
e
)22(dSb eii
e
)23(bKA ij,i
3
1j
j
3,2,1i
)24(
b
b
b
A
A
A
KKK
KKK
KKK
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
Considerando-se todos os elementos do domínio e passando-se para uma numeração global:
103517251
coluna 5 coluna 7 coluna 10
K
K K
G
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 013 33
K K K
K K
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
11 12 13
12 22
GKMatriz global de coeficientes:
esparsa
simétrica
)24(bAK G Sistema de Equações Lineares:
bKA1
G Solução:
BAA Determinação do campo:
Entrada de Dados
Gerador de Malha
Solução das Equações
Exploração dos
Resultados
4. Software por Elementos Finitos eEstudo de Casos Práticos
Malha gerada (1550 elementos)
Caso da Magnetostática Analisado
Distribuição do Campo (S=5 A/mm )2