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7/23/2019 Fisica Problemas Resueltos - Vectores
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Semana 01Darwin Nestor Arapa Quispe
Coleccin G y D
VECTORES
PROBLEMA : 01
Empleando los ejes mostrados, halle el
vector unitario del vector A .
a)(4/3;5/3) b)(4/5;3/5) c)(2/5;1/5)
d)(1;5) e)(5;10)
Resolucin:
Recordando la definicin de vector unitario,
diremos que:
A
AU
A .(1)
Clculo de A PQ .
PQ Q P PQ (10;5) (2; 1) (8;6) .(2)
Clculo de PQ . Recordemos que:
2 2PQ 8 6 PQ 10 .(3)
Reemplazamos (2) y (3) en (1)
A
4 3U ;
5 5
Rpta.
PROBLEMA : 02
Dado los vectores P ,Q y R mP nQ tal
como se indica en la figura: si P=3, Q=5 y
R=10. Hallar la relacinm
n.
a) 1/2
b) 3/5
c) 5/3
d) 1/5
e) 5
Resolucin:
Expresando cada vector en funcin de los
vectores unitarios i y j .
P 3 i , Q 5 j
R 10cos 45 i 10sen45 j
Segn el enunciado tenemos:
10cos 45 i 10sen45 j m(3i) n(5 j)
Igualando tenemos:
5 2 3m ; 5 2 5n
5 2m
3 ; n 2
Piden:
5 2
m 3
n 2
m 5
n 3
Rpta.
5 2 i 5 2 j 3mi 5n j
5
O
1
2
10
A
5
O
1
2
10
A
P(2; 1)
Q(10;5)
P
QR
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Semana 01Darwin Nestor Arapa Quispe
Coleccin G y D
PROBLEMA : 03
Si en los vectores que se hallan contenidos
en el rectngulo se cumple que:
x na mb . Halle m+n.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolucin:
Sea c un vector auxiliar:
Usando el mtodo del tringulo se tiene:
x a c
c x a .(1)
b a 4c .(2)
Reemplazando (1) en (2):
b a 4(x a)
b a 4x 4a
3 1x a b
4 4 na mb
De donde:
3n
4 y
1m
4
m n 1 Rpta.
PROBLEMA : 04
La suma de dos vectores mide 4 y su
diferencia 3. Halle el mdulo de los vectores
sabiendo que son iguales.
Resolucin:
Graficando segn el enunciado:
Adems se sabe que:
A B x ; R=4 y D=3.
Usamos la ley de cosenos:
2 2R A B 2ABCos
4 x 2 2Cos ..(1)
2 2D A B 2ABCos
3 x 2 2Cos ..(2)
Dividiendo (1) entre (2) se tiene:
7cos
25
Reemplazando en (1)
74 x 2 2
25
644 x
25 x 2, 5
A B 2,5 Rpta.
xa
b
x
ab
c c c c
A
B
RD
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PROBLEMA : 05
Indicar x en funcin de los vectores A , B
y C .
a) A B C b) A B C
c) A B 2C d) A B C
e)A B C
Resolucin:
Usamos el mtodo del polgono.
B C x A x B C A
x A B C Rpta.
PROBLEMA : 06
En una circunferencia de radio r y decentro en O contiene tres vectores, el
modulo del vector resultante es:
a) 4r
b) 2r
c) r
d) 3r
e) 5r
Resolucin:
Mtodo del paralelogramo
R 4r Rpta.
PROBLEMA : 07
En la figura determinar el mdulo del vector
resultante.
a) 13 b) 2 3 c) 2 5 d) 15 e) 5
Resolucin:
Clculo de coordenadas:
Piden: R AB PQ
AB B A ( 2; 3; 1)
PQ Q P (2;0; 1)
R (0;3; 2)
Adems: 2 2 2x y zR R R R
2 2 2R 0 3 2
R 13
Rpta.
A
B
C
x
O
O
r
r
R 4r
x
y
z
2
3
1
x
y
z
Q(2;0;0)
B(0;3;0)
P(0;0;1)
A(2;0;1)
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PROBLEMA : 08
Halle el ngulo conocindose que la
resultante debe tener valor mnimo.
a) 37
b) 45
c) 60
d) 53
e) 15
Resolucin:
Para que la resultante sea mnima, el vector
A deber ser contrario a la suma de los
otros dos.
Notamos un tringulo notable:
37 Rpta.
PROBLEMA : 09
Dados 3 vectores en el plano, halle el ngulo
de manera que la suma de estos sea
cero.
a) 37
b) 45
c) 33
d) 25
e) 22
Resolucin:
Para que la resultante sea cero, la resultante
de dos de ellos debe ser el opuesto del tercer
vector.
Segn el grafico es fcil notar que:
c=6
Adems:
15 53 90
De donde:
22
Rpta.
PROBLEMA : 10
Calcular el ngulo y el mdulo de la
fuerza resultante sabiendo que tiene la
misma direccin que el vector de 40
unidades.
a) 37; 22
b) 10; 25
c) 33; 33
d) 15; 24
e) 17; 22
4
3
A
y
x
4
3
A
y
x
3
4
10
15
c
y
x
75
8
10
15c 6
y
x75
8
10
53
40
2024
y
x
20
30
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Semana 01Darwin Nestor Arapa Quispe
Coleccin G y D
Resolucin:
Haciendo rotar los ejes convenientemente, y
descomponiendo rectangularmente.
Como la resultante tiene la misma direccin
que el vector de 40 unidades, la resultante
en y debe ser nula.
24 30 cos( 20 )
4cos( 20 )
5
20 37 17
Clculo de la resultante:
R 40 30sen(37 ) R 22
17 y R 22 Rpta.
PROBLEMA : 11
En un rombo cuyo lado mide 2 unidades se
ha colocado dos vectores. Hale el mdulo
del vector resultante, M es punto medio.
a) 2 5
b) 23
c) 21
d) 15
e) 5
Resolucin:
Descomponiendo poligonalmente cada
vector
Reduciendo se tiene:
Ley de cosenos:
2 2R 4 1 2(4)(1) cos 60
R 21
Rpta.
PROBLEMA : 12
Tres vectores han sido colocados sobre un
tringulo, como se puede ver en la figura,
determine el mdulo de la suma de vectores.
a) 2 15 b) 17 c) 19
d) 21 e) 13
Resolucin:
Descomponiendo los vectorespoligonalmente.
20
40
24
x
30
y
30cos( 20 )
30sen( 20 )
120
M
120
M2
1
60
2
2
4
1
60
R
1
1 2
120
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Ley de cosenos:
2 2R 3 1 2(3)(1) cos 60
R 13
Rpta.
PROBLEMA : 13
La figura mostrada es un cuadrado.
Determinar el vector X , expresado en
funcin de los vectores A y B .
a) (2 2 1)(A B)
b) ( 2 2)(A B)
c) ( 2 1)(A B)
d) ( 2 1)(A B)
e) ( 2 3)(A B)
Resolucin:
Comparando los grficos. El vector X es
colineal con el vector suma (A B) .
PROPIEDAD:
A B X
tamao(A B) tamao(X)
A B X
L 2 L(2 2)
X ( 2 1)(A B) Rpta.
PROBLEMA : 14
Determinar X en funcin de A y B ,
sabiendo que PM = 5MQ y G es el
baricentro del tringulo PQR.
a)B A
3
b)
B 2A
6
c)
3B A
6
d)B A
6
e)A 2B
6
1
1 2
120
60
3
1
R
XA
B
A
B
L
L
A B
L 2
X
A
B
P
R
QMW
G
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Resolucin:
De la figura notamos que W es punto medio
de PQ.
Del mtodo del polgono.
B 6m A B A
m6
.(1)
A B
3n2
A Bn
6
(2)
Adems
X 2m n ..(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3)
B A A BX 2
6 6
3B A
X6
Rpta.
PROBLEMA : 15
Si la arista del cubo mide a, determinar el
mdulo de la resultante.
a) 2a
b) 3a
c) 4a
d) 5a
e) a
Resolucin:
Se descomponen los vectores
convenientemente. En la cara superior del
cubo los vectores componentes se cancelan
par a par, por ser de igual mdulo y sentidos
opuestos.
El problema se reduce a sumar cuatro
vectores verticales.
R 4a Rpta.
MRU
PROBLEMA : 01
Dos mviles estn separados por 1200 m y
se dirigen en sentido contrario con
velocidades de 40 m/s y 20 m/s. Dentro de
cunto tiempo estarn separados 30 m.
a) 19;5 s b) 20 s c) 10 s
d) 3;5 s e) 4 s
Resolucin:
1200 60t 30
117
t 6 t 19, 5 s
Rpta.
X
A B
P
R
QMW
G
m2m3m
2n
n
a
aa
a
4 0 m s 20 m s
t t
40t 30m 20t
1200m
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20m s
20m
PROBLEMA : 02
En cuanto tiempo, un tren que marcha a
36Km/h atravesara un tnel de 100 m, si el
largo del tren es de 90m.
a) 18 s b) 19 s c) 20 s
d) 15 s e) 10 s
Resolucin:
Expresamos la velocidad en (m/s);
multiplicar por:5
18
5V 36 10 m s
18
e vt
190 10t t 19 s Rpta.
PROBLEMA : 03
Un bus, cuya longitud es de 20 m tiene una
velocidad de 72 km/h. En cunto tiempo
pasara por delante de un semforo?
a) 3 s b) 2 s c) 1 s
d) 4 s e) 5 s
Resolucin:
5V 72 20 m s
18
e vt
20 20t t 1s
Rpta.
PROBLEMA : 04
Carlos con velocidad de 6 m/s y Martha con
4 m/s parten simultneamente de sus casas
distantes 500m, Carlos lleva una paloma
que va de l a ella sucesivamente convelocidad de 35 m/s. Cul es el espacio
total recorrido por la paloma hasta que se
produce el encuentro?
a) 1750 m b) 1800 m c) 2000 m
d) 1005 m e) 1000 m
Resolucin:
El tiempo que emplea la paloma, es el
tiempo de encuentro entre Carlos y Martha,y su espacio recorrido ser:
P E Ee V t 35t (I)
Siendo E el punto de encuentro:
Para Martha:
M Ex V t .(II)
Para Carlos:
C E500 x V t .(III)
Sumando (II)+(III):
M C E500 (V V )t
E500 (4 6)t
Et 50 s
Reemplazando en (I):
e 35(50)
e 1750m
Rpta.
1 0 m s
90m 100mMV
CV
E
x 500 x
500 m
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PROBLEMA : 05
Un tren para atravesar un tnel de 800 m de
longitud demora 25s a la velocidad de
55m/s. Calcular la longitud del tren
a) 575 m b) 500 m c) 450 m
d) 525 m e) 400 m
Resolucin:
Grafiando se tiene:
e vt
L 800 55(25) L 575 m Rpta.
PROBLEMA : 06
Un hombre rema ro abajo a 10km/h, y ro
arriba a 4km/h. Hallar la velocidad del bote.
a) 7 km/h b) 8 km/h c) 9 km/hd) 10 km/h e) 15 km/h
Resolucin:
Ro abajo:
bote ro10 km h V V .(I)
Ro arriba:
bote ro4 km h V V .(II)
Sumando (I)+(II):
bote14 km h 2V
boteV 7 km h Rpta.
PROBLEMA : 07
La figura muestra la grfica posicin contra
tiempo de una partcula que se mueve en el
eje X. Halle la posicin de la partcula en el
instante t = 5s:
a) 1 m
b) +2 m
c) +4 m
d) +6 m
e) -8 m
Resolucin:
Recordando las ecuaciones del MRU:
Para el problema se tiene:
Para t=5 se tendr: x 4 2(5)
x 6 m Rpta.
PROBLEMA : 08
Dos coches partieron al mismo tiempo: Uno
de A en direccin a B, y el otro de B en
direccin a A. Cuando se encontraron, el
primero haba recorrido 36 km ms que el
segundo. A partir de este momento (en que
se encontraron) el primero tardo una hora
en llegar a B, y el segundo 4h en llegar a A.
Hallar la distancia entre A y B.
5 5 m s
L 800m
t(s)
X(m)
4
O 2
x
tt
X
0x
0x x Vt
V tan
V tan 2 m s
0x 4
x 4 2t
5
x
t(s)
X(m)
4
O 2
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a) 90 km b) 110 km c) 105 km
d) 100 km e) 108 km
Resolucin:
Graficando segn el enunciado:
Hasta el encuentro.
Despus del encuentro
De los diagramas debemos calcular D,
donde:
D (x 36) x D 2x 36 ..(I)
Ahora se requiere x y la calcularemosanalizando a los coches, para ellos se
cumple que:
dV
t
Para el coche A:E
x 36 x
t 1
Ext x 36 .(II)
Para el coche B:E
x 36 x
4 t
E(x 36) t 4x .(III)
Dividimos (II) entre (III)
E
E
xt x 36
(x 36) t 4x
Resolviendo: x=36 km
En (I): D=2(36)+36
D 108km
Rpta.
PROBLEMA : 09
Un automvil se acerca hacia una tapia a
una velocidad constante 10m/s. Si en
determinado instante el chofer del automvil
hace sonar la bocina, y al cabo de 10sescucha el eco, calcular a que distancia se
encontraba el mvil cuando el chofer hizo
sonar la bocina (considerar la velocidad del
sonido 340m/s)
a) 1000 m b) 500 m c) 1650 m
d) 1500 m e) 1750 m
Resolucin:
Graficando:
Para el sonido: sonidod V .t
100 2x 340(10) x 1650
Piden: D=100+x
D 1750 m Rpta.
PROBLEMA : 10
Dos mviles que se desplazan por el eje X
con M.R.U. y sus graficas posicin- tiempo
son como se indica en el grfico adjunto. Sepide determinar la velocidad del mvil A.
a) 30m/s
b) 20m/s
c) 10m/s
d) 14m/s
e) 9m/s
x 36 x
A B
D
EtEt
E
AB
4h
x 36 x
D
E
1h
tapia
1 0 m s
100m x
100 x
8t(s)
X(m)
48
O 3
B
A
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Coleccin G y D
Resolucin:
Se sabe que la velocidad del mvil A est dado
por:
AV tan
Completamos la grfica.De la figura:
30tan 10
3
AV 10 m s
Rpta.
MRUV
PROBLEMA : 01
Un coche parte del reposo acelerando uniformemente con 1m/s2
, a los 16 segundos. A qudistancia del punto de partida se hallara?
a) 118 m b) 128 m c) 138 m d) 148 m e) 100 m
Resolucin:Graficamos:
2
0
1d V t at
2
21D (0)(16) (1)(16)2
D 128 m
Rpta.
PROBLEMA : 02
Un ciclista se mueve con una rapidez de 6m/s, de pronto llega a una pendiente suave en
donde acelera a razn de 0;4 m/s2 terminando de recorrer la pendiente en 10 s, halle la
longitud de la pendiente.
a) 60 m b) 65 m c) 70 m d) 75 m e) 80 m
Resolucin:
2
0
1d V t at
2 ;
2a 0, 4 m s
21D (6)(10) (0,4)(10)2
D 80 m
Rpta.
8t(s)
X(m)
48
O 3
B
A
30
2a 1m s0V 0
t 16 s
D
D
a
6 m s
t 10s
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12
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Coleccin G y D
PROBLEMA : 03
Un atleta corre con una velocidad constante de 7m/s y puede percatarse que a 180m detrs
de l viene un coche con una velocidad de 4m/s y 2 de aceleracin, en cunto tiempo ms
el coche estar pasando al atleta?
a) 13 s b) 12 s c) 14 s d) 16 s e) 15 s
Resolucin:
Graficamos segn el enunciado
Para el coche: 20
1d V t at
2 2
1180 7t 4t (2)t
2
2t 3t 180 0
Resolviendo se obtiene: t 15 s Rpta.
PROBLEMA : 04 Un cuerpo viaja a una velocidad constante de 10 m/s durante 20s, luego acelera a 4m/s2,
durante 8 s. Determinar la distancia total recorrida.
a) 408 m b) 428 m c) 438 m d) 448 m e) 400 m
Resolucin:
Tramo (AB):
d Vt
d 10(20) 200m
Tramo (BC):
2
0
1d V t at
2
21D 10(8) (4)(8) 208 m2
Piden: e=d+D
e 408 m
Rpta.
2a 2 m s
0V 4 m s
t
180m
7 m s
t
7t
2a 2 m s
1 0 m s
MRU
d
8 s
D
1 0 m s
20 s
MRUVV
A B C
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13
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Coleccin G y D
PROBLEMA : 05
Para que un auto duplique su velocidad requiere de 10s y una distancia de 240 m. Halle la
aceleracin del auto en m/s2.
a) 1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,6 e) 1,5
Resolucin:
Graficamos
f 0V V
e t2
2V V240 (10)
2
V 16 m s
f 0V V
at
32 16a
10
2a 1, 6 m s
Rpta.
PROBLEMA : 06
En t0= 0 una partcula parte de la posicin 2i 4j m ; con una velocidad V y aceleracin
2a 4i 3j m / s la cual permanece constante. Se sabe que en t = 1 s la partcula se
encuentra en la posicin 7i 4jm , halle V en m/s.
a)3
i 3j2
b) 3
3i+ j2
c) 3
3i j2
d) 3i 3j e)5
i 3j2
Resolucin:
Usamos la ecuacin vectorial del MRUV
2
f 0 0
1r r V t at
2
fr 7i 4 j ; 0r 2i 4j ; 0r 2i 4j y2a 4i 3j m / s
Para t=1 s.
217i 4 j 2i 4 j V(1) (4i 3j)(1)2
De donde:
3V 3i j
2
3V 3i j
2
Rpta.
a
t 10 s
240m
2VV
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14
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Coleccin G y D
PROBLEMA : 07
En el instante mostrado, el auto inicia su movimiento con una aceleracin constante a.
Determine el mnimo valor de apara que el auto no sea adelantado por el camin que
realiza MRU.
a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2
Resolucin:
Para que el camin no adelante al auto, este deber alcanzarlo en el instante en que el auto
tenga la misma velocidad que el camin.
Para el camin (MRU)
e vt 50 x 10t .(I)
Para el auto: (MRUV)
0 fV V
e t2
x 5t
Reemplazando en (I) se tiene que: t 10
Adems: f 0V V
at
10 0a
10
2
a 1m s
Rpta.
PROBLEMA : 08
Un mvil triplica su rapidez luego de recorrer 300 m empleando 10 s. Calcular el mdulo de
su aceleracin.
a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2
Resolucin:Seguimos el mismo procedimiento que el problema 05:
a
10m s
50m
0V 0V
a
1 0 m s
50m
0V 0V
x
10m s
1 0 m s
t
t
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15
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Coleccin G y D
f 0V V
e t2
3V V300 (10)
2
V 15 m s
f 0V Vat
45 15a
10
2a 3 m s
Rpta.
PROBLEMA : 09
Un mvil que tiene M.R.U.V. parte del reposo con aceleracin de mdulo 2m/s2. Cuantos
metros recorre en el n-simo segundo de su movimiento?
a) 2n 1 b) 4n 1
c) 2n 1
d) 2n 3 e) 2n 1
Resolucin:
Graficamos
La distancia X que recorre el mvil en el ensimo segundo (n) se calcula con la siguienteformula:
0
1X V a(2n 1)
2
0
1X V ( 2)(2n 1)
2 X 2n 1 Rpta.
PROBLEMA : 10
En funcin del tiempo se muestra la aceleracin y velocidad de una partcula. Si en el
instante t = 0 se encuentra en la posicin0
x 39 i m . En qu posicin estar en el
instante t = 7 s?
a) 2 i m
b) 2im
c) 3 i m
d) 3 i m
e) 0 m
a
t 10 s
300m
3VV
2a 2 m s
x
01 seg 02 seg
03 seg
0n seg
2a(m s )
t(s)
2
3
t(s)
V (m s)
3
4
7
7/23/2019 Fisica Problemas Resueltos - Vectores
16/16
16
Semana 01Darwin Nestor Arapa Quispe
Coleccin G y D
Resolucin:
Como la velocidad tiene signo positivo, el
cuerpo se mueve hacia la derecha.
Para 0 t 3 : a1=2 m/s2
2
1 0
2
1
1e V t at
2
1e 4(3) (a)(3) 21
2
Calculamos la aceleracin para 3 t 7 segn la grfica.
2
2 0
2
2
1e V t at
2
1 5e 10(4) ( )(4) 20
2 2
Piden:f 0 1 2
x x e e 39 41
fx 2 m
Rpta.
PROBLEMA : 11
El tiempo de reaccin de un conductor de un automvil es, aproximadamente 0,7s (el
tiempo de reaccin es el tiempo de percepcin de una seal para parar y luego aplicar los
frenos). Si un automvil puede experimentar una desaceleracin de 4,8 m/s2, calcular la
distancia total recorrida antes de detenerse, una vez perdida la seal cuando la velocidad es
de 30Km/h.
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
PROBLEMA : 12
Dos mviles A y B separados 32m parten en el mismo instante y en el mismo sentido, A lo
hace con una rapidez constante de 8m/s y B desde el reposo con aceleracin constante,
halle la mxima aceleracin de este para que el mvil A pueda alcanzarlo.
a) 1;5m/s2 b) 2m/s2 c) 3m/s2 d) 4m/s2 e) 1m/s2
A
t 0
39m
x
y
0V 4 m s
t(s)
V (m s)
3
4
7
10
1a tan 2
2
2
a tan
a tan 5 2