Funções

Não fujas da Matemática!

Um pouco de história...

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função.

No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática.

Leibniz

Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por Euler, que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas.

Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu:

““O ser matemático, numa palavra, já não é o O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.”transformada no seu objecto.”

Hadamard

A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES...

As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas.

Exemplos: o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em funçãofunção (depende) (depende) do consumo;

o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso.

o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é função (depende) função (depende) da velocidade média com que nada.

Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão “é “é função” no sentido de dependefunção” no sentido de depende.

O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.

Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções.

Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil.

Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática.

Função Função máquina máquina transformadoratransformadora

Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y).

Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.

Exemplo:

Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondênciacorrespondência o jogo com a aposta.

Jogos Apostas

Gil Vicente-Porto

Beira-mar-Nacional x

Aves-Benfica x

Olhanense-Marítimo x x x

Arouca-Braga x

Estoril-Sporting x

Jogos Apostas

Gil Vicente- Porto x

Beira-mar- Nacional x

Aves-Benfica x

Olhanense-Marítimo

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting x

Boletim do TiagoBoletim do Tiago Boletim do ToméBoletim do Tomé

Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta.

Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma apostaTiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta; no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma apostaaposta. Dizemos que, no 1.º caso, existe uma correspondência uma correspondência unívoca unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca.

Assim podemos concluir que podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma funçãoo boletim do Tiago representa uma função, , enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.

Jogos Apostas

Gil Vicente-Porto

Aves-Benfica x

Arouca-Braga x

Estoril-Sporting x

Jogos Apostas

Aves-Benfica x

Olhanense-Marítimo

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting x

Boletim do TiagoBoletim do Tiago Boletim do ToméBoletim do Tomé

Boletim do TiagoBoletim do Tiago

Correspondência unívoca

Nº 2 • 1

Jogos Apostas

Aves-Benfica x

Olhanense-Marítimo

Arouca-Braga x

Estoril- Sporting x

Boletim do ToméBoletim do Tomé

A correspondência neste boletim não é

unívoca

Nº 2 • 1

Nem todas as correspondências são funções.

Jogos Apostas

Gil Vicente-Porto

Aves-Benfica x

Arouca-Braga x

Estoril-Sporting x

Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca, quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.

Por exemplo, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula, pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira.

Função Função é toda a correspondência unívoca, isto é toda a correspondência unívoca, isto é, é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.

Variáveis dependentes e Variáveis dependentes e independentesindependentes

Localidade

xTemperatura

máximas em ºC

yBragança 28

Porto 30Penhas Douradas 29

Coimbra 35Lisboa 37Évora 41Beja 42Faro 35

Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010 Neste exemplo

relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y).A cada localidade corresponde uma temperatura máxima.A temperatura máxima A temperatura máxima é função da localidade. é função da localidade. Neste exemplo a Neste exemplo a variável dependente é variável dependente é numérica. numérica.

X- variável X- variável independente (objectos)independente (objectos)

Y- variável dependente Y- variável dependente (imagens)(imagens)

Assim, podemos definir função definir função de outra forma:

Uma correspondência entre duas variáveis é funçãofunção, se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.

LINGUAGEM DAS FUNÇÕESLINGUAGEM DAS FUNÇÕES

Exemplo:

O diagrama seguinte estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países.

Podemos , assim, estabelecer uma correspondência à qual chamamos f.

Roma Lisboa Brasília Londres

Brasil

Holanda

Portugal

Itália

Inglaterra

Esta correspondência representa uma função?

Brasil

Holanda

Portugal

Ao conjunto A, chamamos conjunto de partida ou domínio da função e representa-se por Df;

Df = { Roma, Lisboa, Brasília, Londres}

Ao conjunto B chamamos conjunto de chegada da função; Conjunto de chegada = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil, Holanda}

Inglaterra

Itália

Brasil

Holanda

Portugal

Inglaterra

Itália

Ao conjunto C chamamos contradomínio da função;

C’f = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil}

Aos elementos do domínio chamamos objectos, x (variável independente);

Aos elementos do contradomínio, chamamos imagens, y (variável dependente);

Concluímos, neste exemplo, que o contradomínio não coincide com o conjunto de chegada.

Nem sempre o Nem sempre o contradomínio contradomínio coincide com o coincide com o

conjunto de conjunto de chegada.chegada.

Então, o domínio de uma função é o conjunto dos objectos .

Então, o contradomínio de uma função é o conjunto das imagens.

Polícia Marítima 3908101

Polícia de segurança pública 3466141 3474730

Polícia judiciária 3574566 3535380

Polícia municipal 7268022

Exercícios:

1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações:

A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica.

Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).

2. Observa cada das seguintes correspondências.

Indica justificando:2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função?2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio, O contradomínio e o conjunto de chegada.

3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta.

3.1 A correspondência entre cada pessoa e o número de seu cartão de cidadão.

quadriláteros

triângulo

círculo

3.2 Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores:

Graus Celsius (ºC) 0 28 30 100

Graus Fahrenheit (ºF) 32 82.4 86 212

Observemos novamente a função, h, ao lado.

Em linguagem correntelinguagem corrente, é possível dizer, por exemplo:

Ao número 2 corresponde a letra b.Ao número 3 corresponde a letra b;Ao nº 4 corresponde a letra c.

Em linguagem matemática (SIMBÓLICA)linguagem matemática (SIMBÓLICA), escrevemos:

bh )2( que se lê: “h de 2 é igual a b”

Ou,Ou, a imagem do objecto 2, pela função h, é b.

Ou,Ou, ao objecto 2, corresponde a imagem b, pela função h.

axh )(Significa :

Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)?

ah )1(

cxh )( ch )4(

yh )3(Significa :

Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)? bh )3(

Assim,

Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x).

yxf )(

yxh )(

Sendo x a variável independente e y a variável

dependente.

Exercícios das páginas 145 e 147.

Modos de representar uma função.

As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.

Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas

Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos, A= {0, 1, 2, 3} e B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função g: A B, que a cada elemento de A faz corresponder o dobro de B.

Represente a função dada através de um diagrama.

Funções representadas por tabelas

A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes:

Dg x 0 1 2 3

D’g y 0 2 4 6

Dg D’g

Tabela Tabela horizontalhorizontal

Tabela Tabela verticalvertical

Funções representadas graficamente

Por exemplo, representemos graficamente a seguinte função:

O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))

Será que todos os gráficos representam funções?

Observemos os gráficos cartesianos seguintes:

(A) (B)

só im

Exemplo:

Nas férias a Marta foi alugar uma bicicleta.

ALUGAM-SE BICICLETASMáximo… 5 5 diasdiasDepósito… €2,5€7,5…por dia

O aluguer para:

- 1 dia - 1 dia custa 2,5 + 7,5.-2 dias custam 2,5+2x7,5.

Vamos completar o pensamento da Marta.

1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10

2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5

3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25

4 dias custam 2,5+7,5 x 4=32,5

5 dias 5 dias custam 2,5+7,5 x 5=40

Representação de uma função por meio de uma

expressão algébricaexpressão algébrica

1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10

2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5

3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25

n, representar, o nº de dias de aluguerc, representar o custo, em euros

É possível escrever uma expressão, Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente?

n é a variável independente e c é a variável dependente.

nc 5,75,2

nc 5,75,2 ou

Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa.

n5,75,2 n

Conclusão:As formas mais frequentes de represenatr uma função, são:

Diagrama sagital ou de setas;

Tabelas;

Representação gráfica;

Expressão algébrica.

Logicamente, também se pode definir uma função através de uma Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.”número natural faz corresponder o seu quadrado.”

Dg x 0 1 2 3

D’g y 0 6 12 18

xxf 2)(

22xy 3

5)( xxh

Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções:

A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações.

Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto.

Uma desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas).

Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.

As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função.

Electrocardiograma

Exercícios da página 149.

A A proporcionaliproporcionalidade directa dade directa como funçãocomo função

O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora. Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho?

Problema:Problema:

Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas)

3,5 x25,55,15,3 x

R.: R.: Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros.

Resolução:Resolução:

E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho?quanto teria ganho?

2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas!

2 h:12 min corresponde 2,2 horas

3,35,12,2 x

R.: R.: Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos).

E se demorasse apenas 1 hora e meia?E se demorasse apenas 1 hora e meia?

25,25,15,1 x R.: R.: Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.

Observemos então a tabela com toda a informação anterior.

Tempo (horas)- xTempo (horas)- x 11 1,51,5 2,22,2 3,53,5

Quantia recebida (euros) - yQuantia recebida (euros) - y 1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25

1.ª questão: A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê?

O quociente entre as duas variáveis é sempre constante.

2.ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa?

5,1kA constante de proporcionalidade é 1,5.

Significa o preço de uma hora de trabalho.

Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade directa.uma situação de proporcionalidade directa.

4.ª questão: Qual a expressão analítica desta função?

Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca.

Quantia recebida (euros) - yQuantia recebida (euros) - y 1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25

xy 5,1 x x5,1

3.ª questão: Será que a correspondência estabelecida, representa uma função?

Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma função de proporcionalidade directa.

5.ª questão: Representa graficamente esta função?

Tempo (em horas)

Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho.

Por exemplo: Por exemplo: Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia?

Quantia recebida Quantia recebida (euros) - y(euros) - y

1,51,5 2,252,25 3,33,3 5,255,25

Qual será a representação gráfica de uma função de Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa?proporcionalidade directa?

O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial.

Conclusão:Conclusão:

Toda a função f, que se pode representar por:

0, kcomkxy 0,: kcomkxxf0,)( kcomkxxfou ou

Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade.

O gráfico deste tipo de funçõesgráfico deste tipo de funções é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial.

Função de proporcionalidade directa ou função Função de proporcionalidade directa ou função linearlinear

Exercício:Exercício:

Em muitos supermercados e talhos há balanças quemarcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias.Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carnea 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo.

A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo:

Peso (em gramas) xPeso (em gramas) x 100 200 250 300 600 1000 …

Custo (em euros) yCusto (em euros) y 11 22 2,502,50 33 66 1010 ……

a) Observa a tabela e completa:

...1000

b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê?c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa?

d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa?

Exercícios da página

FUNÇÕES FUNÇÕES Lineares e Lineares e constantesconstantes

Gráficos das funções do tipo x y=kx

Exemplos:Representa graficamente a função Representa graficamente a função f(x)=2x.f(x)=2x.Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________.

Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos.

A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores que atribuíres que atribuíres a x. Repara:

x y=2x

002 y212 y

35,12 y

Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.

Y=2xY=2x

Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta.

A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta.

O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?

Representa a função .0,2)( xcomxxf

EXEMPLO:EXEMPLO:

Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos).

x y=2x

Y=2xY=2x

EXEMPLO:EXEMPLO:

Representa a função . 0,2)( Nxcomxxf

x y=2x

212 y 2,1

Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de pontos pontos isolados.isolados.

ExercícioExercício: Representa graficamente a função .2

1)( xxg

Repara que não há qualquer restrição a impor a xhá qualquer restrição a impor a x, logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial.

Geogebra

Graphmatica

DECLIVE DA RECTA DECLIVE DA RECTA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL.RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL.

Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades.

A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K.

Como determinar o declive de uma recta?

Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar no caso das funções lineares. no caso das funções lineares. x

Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2.

Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?

O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta.

Exemplos:

Representa o gráfico das funções f e g. xxf2

Geogebra

Desafio…Desafio…Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas?

Determinar a equação da recta a partir da representação Determinar a equação da recta a partir da representação gráficagráfica

Repara agora nas representações gráficas de algumas funções.

Qual a expressão analítica de cada uma das funções?

Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?

xxf 5,0)( xxg )( xxh 3)(

xxj 5,3)( xxk 4)(

Conclusões: • As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1,k).coordenadas (1,k).

•Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal.inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal.

A este tipo de funções dá-se também o A este tipo de funções dá-se também o

nome de nome de funções lineares funções lineares ou como ou como já vimos, funções de já vimos, funções de proporcionalidade proporcionalidade

directadirecta..

•Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja constante de proporcionalidade é k (diferente de zero).constante de proporcionalidade é k (diferente de zero).

Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a decrescer). JLealdecrescer). JLeal

Quanto maior é o valor de k, maior é a inclinação da recta (aproxima-se mais do eixo dos yy).

Gráficos das funções do tipo x y=b

Grafmatica

Exemplos de funções constantes:

5,3y2y

Representação gráfica:

Conclusões:Conclusões:

Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante. O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas).

E quanto ao declive! O que pensas?

Obviamente o declive de uma função constante é zero.

Faz a associação correcta

Função linear

Função constante

4)( xg

xxh 3)(

Exercícios da página 155.

Hora de praticar…Hora de praticar…

xxf 5,0)( xxg )( xxh 3)(

xxj 5,3)( xxk 4)(

Função Função identidadeidentidade

y=xy=x

Funções

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