FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA

Jorge Luis Jaramillo

PIET EET UTPL marzo 2011

Fundamentos matemáticos de la TCA

•Linealización de sistemas

•Transformada y antitransformada de la Laplace

•Integración de una ecuación diferencial

•Convolución de dos funciones

Fundamentos matemáticos de la TCA

•Linealización de sistemas

Linealización de sistemas

La teoría desarrollada para eldiseño de sistemas de control, ensu mayor parte, se basa en elempleo de modelos matemáticoslineales del proceso que se deseacontrolar

Sin embargo, son muchos lossistemas reales que exhiben unaconducta no lineal, por lo que esnecesario la linealización desistemas.

Con esta modificación, el diseñodel sistema de control seaproxima al flujograma:

Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealización de sistemas

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través dealguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y x es lineal si lafunción f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple conla condición anterior, entonces la ecuación es no lineal.

La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y elconcepto de estados estacionarios.

La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en lasproximidades del punto a se define como :

donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quierecalcular la serie.

Linealización de sistemas

Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealizar unaecuación no linealimplica“reemplazarla”por una ecuaciónlineal. Estereemplazo es local,es decir válido enuna región próximaa un punto llamado

de equilibrio.

Linealización de sistemas

Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características delmismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estadoestacionario cuando sus variables descriptivas no cambien.

Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estadoestacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.

Linealización de sistemas

PROBLEMA PROPUESTO

Fundamentos matemáticos de la TCA

•Transformada y antitransformada de la Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos los números reales, es la función F(s) definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, la transformada de f(t)=e-t será:

L e e e dt e dts

es

t t st s t s t

0

1

0

1

0

1

1

1

1

L f t F s f t e dtst

0

Transformada y antitransformada de Laplace

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en elanálisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que laintegración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división.Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuacionespolinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa deLaplace o antitransformada de F(s), se calcula como:

Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizandotablas y el método de las fracciones parciales.

L F s f tj

F s e dsc j

c jst1 1

2

Transformada y antitransformada de Laplace

PROBLEMA PROPUESTO

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•Integración de una ecuación diferencial

Integración de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodos numéricoshabituales, o, aplicando la transformada de Laplace.

El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace consiste en:

• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial, teniendoen cuenta los valores de las condiciones iniciales.

•Despejar la transformada de la solución, y(s) .

•Calcular la transformada inversa de Laplace

Integración de ecuaciones diferenciales

PROBLEMA PROPUESTO

Fundamentos matemáticos de la TCA

•Convolución de dos funciones

Convolución de dos funciones

En matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dosfunciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud enla que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.

Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general de promedio móvil.

La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral del producto deambas funciones después desplazada una distancia τ.

Convolución de dos funciones

Gifs tomados de wikipedia

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN