Post on 21-Mar-2021
Ensino Superior
Matemática Básica
Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso
Logaritmos
Logaritmos
Leonhard EulerJohn Napier
Logaritmos
Logaritmos
yxb logBase do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
0x 01 b
Condição de Existência
yxb log xb y
Logaritmos
yxb logBase do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
Logaritmos
y8log2 82 y
3y
8log2
38log2
yxb logBase do logaritmo
Logaritmando Logaritmo
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Consequência da definição
01log1 bP
1log2 bP b
nbP n
b log3
cacaP bb loglog4
abPab
log
5
Logaritmos
Propriedades Operátórias
babaP ccc logloglog1
bab
aP ccc logloglog2
anaP b
n
b loglog3
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Mudança de Base
b
aa
c
cb
log
loglog
bab
aa cc
c
cb loglog
log
loglog
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
Logaritmos
(UDESC 2006-1) Se , e ,
pode-se afirmar que:
3log ba 4log cax
c
ba log
xc
ba log cb
c
baaa logloglog
43log c
ba
1log c
ba
c
ba 1
b
ca
Logaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
solução da equação 11x – 130 = 0 é:
13011x log
11130x log
130
11
logx
130
11x log
11 130x log
a)
b)
c)
d)
e)
b
clog a c b a
11 130x
130
11
a
b
c x
11130log x
11130x log
Função Logarítmica
Definição
RRf
*: xxf blog
*
RDomínio
Rf Im
Imagem R
*
RfD
Função Logarítmica
Representação Gráfica
xxf 2log
1 x
y
1
2
1
2
1
0
Função Logarítmica
xxg2
1log
1
2
x
y
1
1
0
Representação Gráfica
Função Logarítmica
xxg2
1log
1
2
x
y
1
1
1 x
y
1
2
1
2
1
0 0
xxf 2log
1bCrescente
10 beDecrescent
Representação Gráfica
Função Exponencial
x
y
1
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a 1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x
Função Logarítmica
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a 1
y = log2 x
y = log1/2 x
Função Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
a > 1
Crescente
1
Função Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
0 < a 1
Decrescente
Exercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
inversa da função 3
1f x log x é:
1 3 1xf x
1 3 1xf x
1 3 1f x x
1 3 1x
f x
1
1 3x
f x log
a)
b)
c)
d)
e)
3
1y log x
3 1
3 1
3 1
y
x
x
x
y
y
1 3 1xf x
Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
53log2 x
325 x
x332
35x
03x
3x
35 S
Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
295log 1 xx
9512
xx
95122 xxx
095 x5
9 x
01x 1 x
11x 2 x
01072 xx
21 x 51 x
5S
Equação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
8log4log3log 555 xx
03x 3 x
04 x 4 x
41 x
3 x
4S
8log43log 55 xx
8122 xx
0202 xx 52 x0202 xx
Exercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
25log2
4
1 x
22
54
1
x
05 x
9x
verdadeira é:
25log2
4
1 x
251016 2 xx
9102 xx
11 x 92 x5x
C.E
Exercício
(UDESC 2006-1) Se , então o valor de
x é: 3
52loglog 88 xx
23
5
28 x
3
52loglog 88 xx
3
52log8 xx
23
53 22 x
25 22 x
216 x
2232 x
4x
0x
C.E
4x
Inequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b
xgxf
10 b
xgxf
5log3log 22 x
53x
8x
03x
C.E
3x
3/ xRxS
,3S
Inequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b
xgxf
10 b
xgxf
2log82log3
2
3
2 xx
282 xx
6x
082 xC.E
4x
02 x
2x
I II
4 xIII
Inequação Logarítmica
34log3log 22 xx
8122 xx
3
22 2log43log xx
3
22 2log43log xx
0202 xx
51 x42 x
x5– – – – – –
+ + +
4
+ + +
45 x
Inequação Logarítmica
34log3log 22 xx
x5– – – – – –
+ + +
4
+ + +
45 x
03xC.E
3x
04 x
4x
3x
43/ xRxS
0202 xx
Inversa
Funções inversas
De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,
veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.
A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é
a reflexão de y = ax com relação a reta y = x.
Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é
uma função de crescimento muito lento.
Exemplo
Uma aplicação da função logarítmica
A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas
que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o
logaritmo decimal;
Os valores desta escala são chamados de magnitudes;
Durante um terremoto um sismógrafo registra essa
magnitude durante um certo intervalo de tempo;
Exemplo
Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
Onde:
Ms: magnitude na escala Richter;
A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);
f: freqüência da onda (medida em hertz).
30,3).(log10 fAM s
Exemplo
Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude
A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse
terremoto é:
Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a
destruição total das construções de uma grande cidade.
Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10
vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a
cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
O valor acima é considerado moderado.
33,5
30,32
30,3100log
30,3)1,0.1000(log
30,3).(log
10
10
10
s
s
s
s
s
M
M
M
M
fAM
Exemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, noséculo XX.
Exemplo
Funções inversas
A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que
a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25
anos.
Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg.
Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos,
então:
)24.(2)24.(
2
1....)(
)24(2
1)24(
2
1.
2
1)50(
2
1)75(
)24(2
1)24(
2
1.
2
1)25(
2
1)50(
)24(2
1)0(
2
1)25(
24)0(
25
25
32
2
t
ttm
mm
mm
mm
m
Exemplo
Funções inversas
Portanto, a função para este caso é:
Como a função logarítmica inversa dessa função é:
Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5
mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:
252.24)(t
tm
)ln24(ln2ln
25)(1 mmf
anosf
f
mmf
6,56693,0
225,39
693,0
)609,1178,3.(25)5(
)5ln24(ln2ln
25)5(
)ln24(ln2ln
25)(
1
1
1
Funções Logaritmos Neperianos
Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o
logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo
o eixo y como assíntota vertical.
1) Construir o gráfico de y = lnx;
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
Funções Logaritmos Neperianos
2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico
y = ln(x-2);
Funções Logaritmos Neperianos
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter
y = ln(x - 2) -1;
Métodos de Cálculo I
Assíntotas
Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
Métodos de Cálculo I
Exemplos
)(lim xfax
x
yx=a
Métodos de Cálculo I
Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical
é a função logaritmo natural y=lnx.
O eixo y funciona como uma assíntota.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
)(lim0
xfx
Métodos de Cálculo I Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como
assíntota horizontal.
Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando
x 0-, t - , portanto:
0lim
x
xe
0lim
x
xe
0limlim1
0
t
t
x
xee
Exercícios
Responda
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? Edecrescente?
b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?
c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma funçãologarítmica?
d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?
Respostas
Decrescente se Crescente se
2y - 1
Exercícios
O número de bactérias de uma cultura, t horas
após o início de certo experimento, é dado pela
expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições,
quanto tempo após o início do experimento a
cultura terá 38400 bactérias?
Exercícios
Numa certa cultura, há 1000 bactérias num
determinado instante. Após 10 min, existem 4000.
Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que
elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em
que P é o número de bactérias, t é o tempo em
horas e k é a taxa de crescimento?
Exercícios
Estima-se que a população de uma certa cidade
cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento
estimado para um período de 24 anos?
Exercícios
Resolva a equação 3x = 5.
Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva
a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
Exercícios
Sabemos que o número de bactérias numa cultura,
depois de um tempo t, é dado por
N = N0 . er.t,
em que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r a
taxa de crescimento relativo.
Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se
a taxa decrescimento é de 5% ao minuto?
Exercícios
Em quantos anos 500g de uma substância
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao
ano, se reduzirão a 100g?
Use Q = Q0 . e-r.t, em que Q é a massa da substância,
r é a taxa e t é o tempo em anos.
Exercícios
Segundo o Banco Mundial, a previsão do
crescimento demográfico na América Latina, no
período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano,
aproximadamente. Em quantos anos a população
da América Latina vai dobrar se a taxa de
crescimento continuar a mesma?
Exercícios
Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de
aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$
1.300,00? Use uma calculadora para fazer os
cálculos.
Exercícios
O dono de uma concessionária de veículos usa a
expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em
reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t
anos de uso. Para o cálculo do valor de um
automóvel de outra marca, é usada a expressão
V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine
após quanto tempo os veículos terão o mesmo
valor de mercado.