Ensino Superior Cálculo 1 3- Derivada das Funções Inversas Amintas Paiva Afonso.

Ensino Superior

Cálculo 1

3- Derivada das Funções Inversas

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 1 - Derivadas

Uma função é inversível se seu gráfico é interceptado por qualquer reta horizontal somente em um ponto. Assim f(x) = x3 é inversível, mas f(x) = x2 não é.


Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).

Simetria das funções inversas


Se f é inversível, para cada y do conjunto Imagem de f existe somente um número x no Domínio de f tal que f(x) = y. Assim, se f é inversível, existe uma nova função chamada a inversa de f tal que (x) = y se f(y) = x.


Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) = 0.

Interpretação geométrica das raízes de uma função

raiz

raiz


Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.

Teste da reta vertical


4.1. Derivada da função inversa f-1(x)

Seja f inversível e sua inversa dada por f-1.

Se f tem uma tangente de inclinação m 0 em (y, x), então a inclinação de f-1 em (x, y) é m-1.Como m = f´(y) e y = f-1(x), então m = f´(f-1(x)).

Daí m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)).

A inversa da função y(x) é a função x(y):


4.1. Derivada da função inversa f-1(x)Exemplo: f(x) = y = x + 1 m = 1 y’ = 1

m = f´(y) = 1 e y = f-1(x) = x - 1 m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)) = 1


• Derivada da função inversa– Se uma função derivável f tem inversa g, então g é também

derivável e vale a seguinte igualdade:

• Exemplo– Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança do ponto x = 2.

Calcule a derivada da função inversa de f no ponto b = f(2) = 13.– Derivando f(x), temos:

)('

1))(('

xfxfg

16)(' xxf


• Se g indica a função inversa de f, então, pela regra da derivada da inversa, temos:

• A derivada de g no ponto f(2)=13 é:

)('

1))(('

xfxfg

16

1))(('

x

xfg

13

1

12.6

1)13('

g


• Derivada de ordem superior– No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas

da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas(das derivadas das derivadas).

– A derivada de uma função f é às vezes chamada de primeira derivada de f e é denotada por f ’. A derivada de f ‘ é chamada de segunda derivada de f e é denotada por f ’’. A derivada de f ‘ ‘ é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f ’’’; e assim sucessivamente.


• Notação de Leibniz– Leibniz denotava a derivada da função f por .

– Se a função f é inversível, num dado intervalo, utilizamos a

notação para designar a derivada da função inversa.

– Assim:

dx

dy

dx

dy

dxdydy

dx 1


• Exemplo– Calcule a derivada da função inversa de f(x) = x3 + 4x2 – x no

ponto f(1)=4.

– Seja y= x3 + 4x2 – x , então,

– Logo, a inversa de y é:

– Como f(1)=4, então:

183 2 xxdx

dy

183

112

xx

dxdydy

dx

10

1

11.81.3

1

)1(

1)4(

2

dxdydy

dx


Gottfried Wilhelm LeibinizGottfried Wilhelm Leibiniz

(u + v) = +

+

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

= 0 dk = 0 (k)´= 0

d(ku) = 0 (ku)´= 0

d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´

d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u

d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2

d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´

d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’

d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’

d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’

d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’

d(arctgu) = du/(1+u2)

(arctgu)’ = u’/(1+u2)

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