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Ga - Retas no espaco euclidiano tridimensional 1
GA - Retas no espaco euclidiano tridimensionalProf. Fernando Carneiro, IME-UERJ
Rio de Janeiro, Marco de 2014
Conteudo
1 O que e reta
Do ponto de vista da geometria analıtica, ao usar vetores para estudarobjetos como retas e planos, dados um ponto A e um vetor ~u, uma reta eo conjunto de pontos que alcancamos partindo do ponto A e percorrendoum multiplo do vetor ~u. Este vetor ~u sera chamado de vetor diretor dareta.
Oberve que o vetor diretor nao e unico, poderıamos percorrer a retausando qualquer vetor multiplo de ~u e terıamos a mesma reta.
Dados dois pontos A e B diferentes, existe portanto uma reta quecontem esses dois pontos. Para chegar de A a B basta percorrer o ve-tor ~AB. Portanto a reta que contem A e B e a que passa por A e temvetor diretor ~AB.
2 Equacao parametrica de uma reta
Se para uma reta r qualquer conhecemos um ponto A(x0, y0, z0) ∈ r e ovetor diretor da reta r, ~u = (a, b, c) entao para todo t numero real:
B(x, y, z) ∈ r ⇔ B = A+ t~u⇔ (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)
⇔ (x, y, z) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct)⇔
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Ga - Retas no espaco euclidiano tridimensional 2
Portanto a equacao da reta r na forma parametrica e:
r :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Se, ao contrario, partimos da equacao da reta na forma parametrica amaneira de recuperar o vetor diretor e olhar os valores que multiplicam oparametro t, pois eles sao as coordenadas do vetor diretor.
2.1 Exemplos
Exemplo 2.1. Dado o ponto A(1, 0, 2) e o vetor ~u = (1,−1, 2) a formaparametrica da reta r que passa por A e tem vetor diretor ~u e:
r :
x = 1 + t
y = −tz = 2 + 2t
Exemplo 2.2. O vetor diretor da reta
r :
x = 1 + 3t
y = 2− tz = 2 + t
e ~u = (3,−1, 1), ja que 3 multiplica o parametro na equacao que envolve aprimeira coordenada, −1 multiplica o parametro na equacao que envolvea segunda coordenada, 1 multiplica o parametro na equacao que envolvea terceira coordenada.
3 Equacao simetrica de uma reta
Dada uma reta r que passa por A(x0, y0, z0) e tem vetor diretor ~u = (a, b, c),ja sabemos que a equacao na forma parametrica e:
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x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Se a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, podemos eliminar o parametro t notando oseguinte:
t =x− x0a
t =y − y0b
t =z − z0c
Igualando as tres linhas acima, temos entao a equacao da reta r naforma simetrica:
r :x− x0a
=y − y0b
=z − z0c
.
Note que e necessario que as coordenadas do vetor diretor da reta sejamtodas nao-nulas.
Agora, se partimos da equacao na forma simetrica, a maneira de recu-perar o vetor diretor da reta r e atraves dos denominadores das fracoesque aparecem na forma simetrica da equacao de r.
3.1 Exemplos
Exemplo 3.1. A equacao na forma simetrica da reta que passa porA(1, 0,−1)e tem vetor diretor ~u = (2, 3, 4) e
r :x− 1
2=y
3=z + 1
4.
Exemplo 3.2. O vetor diretor da reta
r :x+ 1
3=y + 2
2=z + 1
−4
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e ~u = (3, 2,−4). Os pontos B(1, 3, 5) e C(5, 2,−9) pertecem a reta r?Para B temos
x+ 1
3=
2
3,y + 2
2=
5
2,z + 1
−4=−3
2,
e estes numeros nao sao iguais, logo B /∈ r. Para C temos
x+ 1
3=
6
3= 2,
y + 2
2=
4
2= 2,
z + 1
−4=−8
−4= 2,
e estes numeros sao iguais, logo C ∈ r.
4 Equacao reduzida de uma reta
A forma reduzida da equacao da reta e tambem uma maneira de eliminaro parametro t da equacao da reta, de forma que tenhamos somente asrelacoes entre as coordenadas dos pontos pertencentes a reta.
Na forma reduzida usamos uma das coordenadas no espaco - x, y ou z- como parametro. Se a equacao da reta r na forma parametrica e
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
e se a primeira coordenada do vetor diretor e diferente de zero, isto e,a 6= 0, entao
t =x− x0a
y = y0 + b
(x− x0a
)z = z0 + c
(x− x0a
)Portanto os pontos da reta sao definidos pela equacao
r :
y = y0 + b
(x− x0a
)z = z0 + c
(x− x0a
)
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ou
r :
y =
(y0 −
bx0a
)+b
ax
z =(z0 −
cx0a
)+c
ax
Portanto a forma reduzida da equacao de uma reta cujo vetor diretortem primeira coordenada nao-nula e
r :
{y = m+ nx
z = p+ qx
Esta forma acima e chamada de forma reduzida da equacao da retacom relacao a primeira coordenada. A maneira de recuperar o vetor dire-tor a partir da equacao reduzida c.r.a.p.c e notar que para x = 0 temosA(0,m, p) ∈ r e para x = 1 temos B(1,m + n, p + q) ∈ r. Portando, A eB pertencem a r e o vetor
~AB = B − A = (1, n, q)
e vetor diretor da reta.Se a segunda coordenada do vetor diretor e nao-nula, entao a forma
reduzida da equacao da reta com relacao a segunda coordenada e
r :
{x = m+ ny
z = p+ qy
A maneira de recuperar o vetor diretor a partir da equacao reduzidac.r.a.s.c e notar que para y = 0 temos A(m, 0, p) ∈ r e para y = 1 temosB(m+ n, 1, p+ q) ∈ r. Portando, A e B pertencem a r e o vetor
~AB = B − A = (n, 1, q)
e vetor diretor da reta.Se a terceira coordenada do vetor diretor e nao-nula, entao a forma
reduzida da equacao da reta com relacao a terceira coordenada e
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r :
{x = m+ nz
y = p+ qz
A maneira de recuperar o vetor diretor a partir da equacao reduzidac.r.a.t.c e notar que para z = 0 temos A(m, p, 0) ∈ r e para z = 1 temosB(m+ n, p+ q, 1) ∈ r. Portando, A e B pertencem a r e o vetor
~AB = B − A = (n, q, 1)
e vetor diretor da reta.
4.1 Exemplos
Exemplo 4.1. A equacao na forma reduzida c.r.a.p.c. da reta que passapelo ponto A(1, 0, 2) e tem vetor diretor ~u = (−1, 2, 3) pode ser obtida apartir da forma parametrica:
r :
x = 1− t,y = 2t,
z = 2 + 3t,
que implica que
r :
t = 1− x,y = 2(1− x),
z = 2 + 3(1− x),
e portanto
r :
{y = 2− 2x,
z = 5− 3x.
O ponto B(2, 3, 4) pertence a reta? Para saber precisamos somente subs-tituir x pelo valor da primeira coordenada de B na equacao da reta naforma reduzida
r :
{y = 2− 2x = 2− 4 = −2 6= 3,
z = 5− 3x = 5− 12 = −7 6= 4.
Portanto, B /∈ r.
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Exemplo 4.2. Para recuperar o vetor diretor da reta
r :
{x = 2− 2y,
z = 4− y.
primeiro notamos que a equacao e reduzida c.r.a.s.c., e portanto podemosescolher o vetor com segunda coordenada 1 e primeira coordenada −2,pois este numero multiplica o parametro y na equacao de x e terceiracoordenada −1 pois este numero multiplica o parametro y na equacao dez. Logo, o vetor diretor e ~u = (−2, 1,−1).
5 Relacoes entre duas retas
Falaremos agora da posicao relativa entre duas retas no espaco tridimensi-onal. Mais especificamente, se temos as equacoes de duas retas, queremosser capazes de dizer a posicao relativa de uma em relacao a outra.
A posicao relativa sempre envolve as tres relacoes seguintes:
1. angulo,
2. distancia,
3. intersecao.
No caso de duas reta r1 e r2 temos tres posicoes relativas:
1. paralelas, formando angulo de 0o,
2. concorrentes, formando angulo diferente de 0o e com um ponto deintersecao,
3. reversas, formando angulo diferente de 0o e com intersecao o conjuntovazio - sem intersecao.
6 Angulo entre duas retas
Se temos as retas r1 e r2 entao o angulo entre as duas retas e o menorangulo entre vetores diretores de r1 e r2. Logo, o angulo esta entre 0o e
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90o. Tambem se r1 e r2 tem ~u e ~v como vetores diretores, o angulo θ entreas duas retas e aquele cujo cosseno satisfaz a seguinte formula:
cos θ =|~u · ~v||~u||~v|
.
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Exemplo 6.1. Se temos as retas
r1 :
{y = −2x+ 2,
z = 2x− 3,r2 :
x = −3t+ 2,
y = −4t+ 4,
z = 5t+ 1,
os vetores diretores sao
~u = (1,−2, 2), ~v = (−3,−4, 5)
e portanto o angulo entre elas e
cos θ =|(1,−2, 2) · (−3,−4, 5)|√1 + 4 + 4
√9 + 16 + 25
=| − 3 + 8 + 10|
3 · 5√
2=
√2
2.
6.1 Paralelismo entre duas retas
Se r1 e r2 sao retas paralelas entao o angulo entre elas e 0o. Mas ha umamaneira melhor de testar o paralelismo. Se ~u e ~v sao respectivamente osvetores diretores de r1 e r2 entao as retas sao paralelas se
1. ou ~u ‖ ~v,
2. ou ~u e multiplo de ~v,
3. ou ~u× ~v = ~0.
Se as coordenadas dos dois vetores sao ~u = (a, b, c) e ~v = (a′, b′, c′) ea 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0, entao ~u ‖ ~v se
a′
a=b′
b=c′
c.
Exemplo 6.2.
r1 :x+ 1
2=y − 1
4=z
4, r2 :
{y = 2x+ 3,
z = 2x+ 4.
Neste caso o vetor diretor de r1 e ~v1 = (2, 4, 4) e o de r2 e ~v2 = (1, 2, 2)e ambos tem coordenadas proporcionais:
2
1=
2
4=
2
4.
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6.2 Retas ortogonais
Duas retas r1 e r2 sao ortogonais se o angulo entre elas e de 90o. Se ~u e ~vsao os vetores diretores de r1 e r2 entao sao ortogonais se
~u · ~v = 0.
Exemplo 6.3. Sejam as retas r1 e r2 dadas pelas equacoes
r1 :
x = t+ 1
y = 2t+ 1,
z = t− 1,
, r2 :
x = 2t− 1
y = −2t+ 3,
z = 2t+ 2,
Seus respectivos vetores diretores sao, portanto
~v1 = (1, 2, 1), ~v2 = (2,−2, 2)
e como o produto escalar entre eles e zero
~v1 · ~v2 = (1, 2, 1) · (2,−2, 2) = 2− 4 + 2 = 0
entao as retas r1 e r2 sao ortogonais.
7 Intersecao entre duas retas
Se conhecemos as equacoes das retas r1 e r2 conseguimos achar a intersecaoentre as duas: sao os pontos cujas coordenadas satisfazem as equacoes deambas as retas.
A intersecao pode ser de tres tipos:
1. uma reta, no caso em que as duas retas sao iguais;
2. um ponto;
3. o conjunto vazio, quando nao se intersectam.
Exemplo 7.1. No primeiro exemplo temos
r1 :x− 1
2=y + 1
−1=z
4, r2 :
{y = 2x+ 1,
z = 2x− 2.
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A intersecao entre r1 e r2 consiste nos pontos cujas coordenadas satisfazemas equacoes de ambas as retas:
x− 1
2=
(2x+ 1) + 1
−1⇒ x− 1 = 2(−2x− 2)⇒ 5x = −3⇒ x = −3
5,
x− 1
2=
(2x− 2)
4=x− 1
2⇒ 0 = 0.
Logo, as retas sao concorrentes e o ponto de intersecao e
P = (−3
5,−1
5,−16
5).
Exemplo 7.2.
r1 :x− 1
2=y + 1
1=z
2, r2 :
x = 2t+ 1,
y = t+ 1,
z = 3t− 1.
Para acharmos a intersecao neste caso substituımos as equacoes de r2nas de r1:
(2t+ 1)− 1
2=
(t+ 1) + 1
1=
3t− 1
2⇒ t = t+ 2 =
3t− 1
2⇒ 0 = 2,
o que e uma contradicao, logo as retas nao tem intersecao.
8 Posicao relativa entre duas retas
A posicao relativa entre duas retas pode ser uma das tres opcoes a seguir:
1. paralelas, quando tem a mesma direcao, caso do exemplo ??;
2. concorrentes, quando nao tem a mesma direcao e a intersecao e umponto, caso do exemplo ??;
3. reversas, quando nao tem a mesma direcao e a intersecao e vazia, ouseja, quando nao tem a mesma direcao e nao se intersectam, caso doexemplo ??.
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9 Retas coplanares
Duas retas r1 e r2 podem ser coplanares, isto e, existe um plano no espacotridimensional que as contem, ou nao-coplanares:
1. sao coplanares se forem concorrentes ou paralelas;
2. sao nao-coplanares se forem reversas.
Se r1 passa por A e tem vetor diretor ~u e r2 passa por B e tem vetordiretor ~v entao o seguinte criterio de coplanaridade vale:
1. se( ~AB, ~u,~v) = 0
entao sao coplanares;
2. se( ~AB, ~u,~v) 6= 0
entao sao nao-coplanares ou reversas;
Exemplo 9.1. Se voltamos ao exemplo ?? temos ~v1 = (2,−1, 4), ~v2 =(1, 2, 2), o ponto A(1,−1, 0) pertence a r1 e B(0, 1,−2) pertence a r2.Logo
( ~AB,~v1.~v2) =
−1 2 −22 −1 41 2 2
= −1(−2−8)−2(4−4)−2(4+1) = 10−10 = 0.
Logo as retas sao coplanares. Ja sabıamos disso porque eram concorrentes.
Exemplo 9.2. Se voltamos ao exemplo ?? temos ~v1 = (2, 1, 2), ~v2 = (2, 1, 3),o ponto A(1,−1, 0) pertence a r1 e B(1, 1,−1) pertence a r2. Logo
( ~AB,~v1.~v2) =
0 2 −12 1 22 1 3
= 0(3− 2)− 2(6− 4)− 1(2− 2) = −4 6= 0.
Logo, as retas nao sao coplanares. Ja sabıamos disso porque eram reversas.
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9.1 Reta ortogonal e concorrente a outra reta
Dada uma reta r que passa por A e tem vetor diretor ~u e dado um pontoB que nao pertence a reta r existe somente uma reta que passa por B, eortogonal a r e e tambem concorrente a r.
Se sabemos que B passa por essa reta ortogonal e concorrente a r, entaofalta somente saber o vetor diretor desta reta, que chamamos de ~v.
Uma maneira de achar e pegar um ponto C que pertence a r e e diferentede A: poderia ser C = A + ~u; e achar o vetor altura do triangulo ABCrelativo ao vertice B:
~v = ~AB − proj ~AC( ~AB) = ~AB − proj~u( ~AB).
Ou poderıamos notar que o vetor diretor da reta ortogonal e concorrentea r e ortogonal a ~u e a ~AB × ~u. Logo, ele deve ser:
~v = ~u× ( ~AB × ~u).
As duas maneiras sao validas pela seguinte razao:
~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w,
e portanto, se ~v = ~AB e ~w = ~u temos
~u× ( ~AB × ~u) = (~u · ~u) ~AB − (~u · ~AB)~u = (~u · ~u)( ~AB − (~u · ~AB~u · ~u
)~u) =
= (~u · ~u)( ~AB − proj~u ~AB).
Logo, ambas as formulas nos devolvem vetores multiplos um do outro, ouseja, com a mesma direcao.
Exemplo 9.3. Escreva na forma parametrica a equacao da reta r2 que passapor B(0,0,4) e e ortogonal a
r1 :
x = t+ 1,
y = t− 1,
z = 2t+ 3
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Neste caso temos
~AB = B − A = (0, 0, 4)− (−1, 1, 3) = (1,−1, 1), ~u = (1, 1, 2),
e portanto
~AB × ~u =
i j k1 −1 11 1 2
= (−3,−1, 2),
~u× ( ~AB × ~u) =
i j k1 1 2−3 −1 2
= (4,−8, 2).
Logo, a equacao de r2 na forma parametrica e:
r2 :
x = 4t,
y = −8t,
z = 2t+ 4.
Poderıamos encontrar o vetor diretor de r2 usando o metodo que envolvea projecao:
~v = ~AB − proj~u( ~AB) = (1,−1, 1)− ((1,−1, 1) · (1, 1, 2)
(1, 1, 2) · (1, 1, 2))(1, 1, 2) =
= (1,−1, 1)− 2
6(1, 1, 2) = (
2
3,−4
3,1
3) =
1
6(4,−8, 2).
10 Produto misto, distancia e posicao relativa
Definicao 10.1. A distancia entre duas retas e a menor distancia entre umponto pertencente a uma e outro ponto pertencente a outra.
Com esta definicao podemos dizer que
1. se as retas sao concorrentes a distancia e zero;
2. se as retas sao reversas a distancia e diferente de zero;
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3. se as retas sao paralelas e iguais a distancia e zero;
4. se as retas sao paralelas distintas a distancia e diferente de zero.
Podemos dividir o calculo da distancia em dois casos: retas paralelas eretas nao-paralelas.
10.1 Distancia entre retas paralelas
Se r1 passa por A e tem vetor diretor ~u e r2 passa por B e tem vetor diretor~v, as duas sao paralelas se e so se ~u e multiplo de ~v. Podemos separar osdois vetores ~AB e ~u e construir o paralelogramo gerado por eles. E facilver que a distancia entre r1 e r2 e a altura desse paralelogramo relativa abase dada por ~u. Logo,
d(r1, r2) =Area
base=| ~AB × ~u||~u|
.
Poderıamos usar tambem o vetor diretor de r2, pois ele e multiplo de ~u:
d(r1, r2) =| ~AB × ~u||~u|
=| ~AB × ~v||~v|
.
Observacao 10.2. Note que a formula vale para o caso de retas paralelasiguais pois o produto vetorial vira o vetor nulo, ja que se A e B pertencema r1 entao ~AB e multiplo de ~u, e a distancia e zero.
10.2 Distancia entre retas nao-paralelas
Se r1 passa por A e tem vetor diretor ~u e r2 passa por B e tem vetordiretor ~v e se as retas sao nao-paralelas entao os representantes de ~u e ~vque comecam no ponto A geram um paralelogramo. Podemos usar o vetor~AB para gerar um paralelepıpedo gerado por ~AB, ~u e ~v, caso o pontoB nao esteja no plano que contem o paralelogramo gerado por ~u e ~v. Adistancia entre as duas retas sera a altura do paralelepıpedo relativa a basegerado por ~u e ~v. Logo:
d(r1, r2) =Volume
Area da base=|( ~AB, ~u,~v)||~u× ~v|
=| ~AB · (~u× ~v)||~u× ~v|
.
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Observacao 10.3. Note que a formula vale para o caso de retas concorrentesja que a distancia e zero e o produto misto idem.
10.3 Esquema
Se r1 passa por A e tem vetor diretor ~u e r2 passa por B e tem vetordiretor ~v podemos montar o seguinte esquema para analisar a distancia ea posicao relativa:
1. Primeiro calculamos ~u× ~v;
2. se ~u× ~v = ~0 entao as retas sao paralelas e a distancia e
d(r1, r2) =| ~AB × ~u||~u|
=| ~AB × ~v||~v|
.
3. se ~u× ~v 6= ~0 entao as retas sao nao-paralelas e a distancia e
| ~AB · (~u× ~v)||~u× ~v|
.
4. se a distancia do item anterior for zero, entao sao concorrentes;
5. se a distancia for diferente de zero, entao sao reversas.
Colocando os dois metodos em uma tabela so fica:
Posicao Teste Intersecao Distancia
Reversas ~AB · (~u× ~v) 6= 0 ∅ | ~AB·(~u×~v)||~u×~v|
Paralelas ~u× ~v = ~0 ∅ ou uma reta | ~AB×~u||~u|
Concorrentes ~AB · (~u× ~v) = 0 e ~u× ~v 6= ~0 um ponto nula
Esse quadro indica a relacao entre posicao relativa e produto misto, oumelhor, entre posicao relativa e o criterio de coplanaridade que dependedo produto misto. E so nos lembrarmos que o produto escalar da tabela eo seguinte produto misto
~AB · (~u× ~v) = ( ~AB, ~u,~v).
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Exemplo 10.4. Ja calculamos no exemplo ?? o produto misto que aparecena formula da distancia das retas do exemplo ??. E zero, logo, a distanciae zero.
Exemplo 10.5. Ja calculamos no exemplo ?? o produto misto que aparecena formula da distancia das retas do exemplo ??:
( ~AB,~v1.~v2) =
0 2 −12 1 22 1 3
= −4.
Falta calcular
~v1 × ~v2 =
i j k
2 1 22 1 3
= i(3− 2)− j(6− 4) + k(2− 2) = (1,−2, 0).
Logo, a distancia e:
d(r1, r2) =|( ~AB,~v1, ~v2)||~v1 × ~v2|
=4√
1 + 4=
4√
5
5.
Exemplo 10.6. No exemplo ?? a formula da distancia e diferente:
d(r1, r2) =| ~AB × ~u||~u|
,
e no caso do exemplo exemplo ?? temos ~u = (2, 4, 4) e ~AB = B − A =(0, 3, 4)− (−1, 1, 0) = (1, 2, 4). Logo,
~AB × ~u =
i j k
1 2 42 4 4
= i(8− 16)− j(4− 8) + k(4− 4) = (−8, 4, 0).
Logo, a distancia e:
d(r1, r2) =| ~AB × ~u||~u|
=
√64 + 16√
4 + 16 + 16=
4√
5
6=
2√
5
3.
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11 Relacoes entre um ponto e uma reta
A posicao relativa sempre envolve as tres relacoes seguintes:
1. angulo,
2. distancia,
3. intersecao.
No caso de um pontos A e uma reta r temos somente uma relacao:
1. A pertence a r, e a distancia entre um e outro e nula,
2. A nao pertence a r, e a distancia entre A e B e diferente de zero.
11.1 Distancia entre um ponto e uma reta
A distancia entre um ponto A(x0, y0, z0) e r : P = B + t~u e
d(A,B) =| ~AB × ~u||~u|
.
Portanto, {A ∈ r ⇒ d(A, r) = 0,
A /∈ r ⇒ d(A, r) 6= 0.
Exemplo 11.1. Se A(0, 0, 0) e
r :
{y = 2x+ 1,
z = −2x+ 3,
entao
~AB × ~u =
i j k0 1 31 2 −2
= (−8, 3,−1)
⇒ d(A, r) =
√64 + 9 + 1√1 + 4 + 4
=
√74
3.
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Se temos a mesma reta acima e C(1, 3, 1) entao
~CB × ~u =
i j k−1 −2 21 2 −2
= (0, 0, 0)
⇒ d(C, r) = 0⇒ C ∈ r.Logo, C pertence a r. Se procuramos saber se e verdade, verificamos
x = 1⇒
{y = 2x+ 1 = 2 · 1 + 1 = 3,
z = −2x+ 3 = 3− 2 · 1 = 1,⇒ (1, 3, 1) ∈ r.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 1
Planos no espaco euclidiano tridimensionalProf. Fernando Carneiro, IME-UERJ
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Conteudo
1 Como obter um plano
1.1 A ∈ π, ~u,~v vetores diretores de π:
Sabemos a equacao de um plano π quando sabemos um ponto que pertencea ele, A ∈ π e conhecemos dois vetores ~u e ~v que nao sao paralelos e quegeram, a partir de A, os outros pontos do plano π. Isto e:
P ∈ π ⇔ ~AP = t~u+ s~v.
Logo, temosP = A+ t~u+ s~v.
Se, em coordenadas, A(x0, y0, z0), ~u = (a′, b′, c′), ~v = (a′′, b′′, c′′), entaoP (x, y, z) ∈ π se e somente se:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a′, b′, c′) + s(a′′, b′′, c′′)⇒
(x, y, z) = (x0 + a′t+ a′′s, y0 + b′t+ b′′s, z0 + c′t+ c′′s).
Daı temos a forma parametrica da equacao do plano:
π :
x = x0 + a′t+ a′′s,
y = y0 + b′t+ b′′s,
z = z0 + c′t+ c′′s
.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 2
Exemplo 1.1. Se temos A(0,−1, 1) e ~u = (1,−2, 2), ~v = (1, 0, 1), primeironotamos que os dois vetores nao sao paralelos, e por isso eles geram umplano a partir do ponto A, cuja equacao na forma parametrica e:
π :
x = −t+ s,
y = −1− 2t,
z = 1 + 2t+ s
.
1.2 A ∈ π, ~n ortogonal a π:
No caso anterior temos dois vetores ~u e ~v gerando π, a partir do ponto A:
~AP = t~u+ s~v.
Isto equivale a coplanaridade dos tres vetores ~AP , ~u e ~v. Pelo criterio decoplanaridade, temos que o produto misto abaixo e nulo:
( ~AP , ~u,~v) = 0.
Mas0 = ( ~AP , ~u,~v) = ~AP · (~u× ~v),
o que implica que se definimos ~n := ~u×~v, entao basta conhecer um pontoA no plano e um vetor ~n ortogonal ao plano para conhecermos todos osoutros pontos P do plano π. Eles satisfazem a equacao:
~AP · ~n = 0.
Se, em coordenadas, P (x, y, z), A(x0, y0, z0) e ~n = (a, b, c), entao:
0 = (x− x0, y − y0, z − z0) · (a, b, c) = a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)
= ax+ by + cz − (ax0 + by0 + cz0).
Se definimos d := −(ax0 + by0 + cz0), temos a equacao geral do plano:
π : ax+ by + cz + d = 0.
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Exemplo 1.2. No exemplo do caso anterior temosA(0,−1, 1), ~u = (1,−2, 2),~v = (1, 0, 1). Calculamos o vetor normal de π:
~n = ~u× ~v =
i j k1 −2 21 0 1
= (−2, 1, 2).
Entao a equacao geral deste plano e:
0 = −2x+ y + 2z + d,
e como A ∈ π, calculamos d:
0 = −2 · 0 + (−1) + 2 · 1 + d⇒ d = −1⇒ π : 0 = −2z + y + 2z − 1.
1.3 A,B ∈ π, ~u vetor diretor de π:
Se A e B pertencem ao plano π e o vetor ~u nao e paralelo ao vetor ~AB po-demos gerar um plano a partir da reta que liga A e B atraves de multiplosdo vetor ~u. Isto e:
~CP = t~u para algum ponto C na reta que liga os pontos A e B.
Como C esta na reta que liga A a B,
~AC = s ~AB ⇒ ~AP = t~u+ s ~AB.
Entao caımos no primeiro caso. Neste terceiro caso ~u e ~AB servem comovetores diretores do plano π e o vetor normal neste caso e
~n = ~u× ~AB.
Exemplo 1.3. Se A(0, 1, 0) e B(−1, 2, 3) pertencem ao plano π e ~u =(2,−1, 4) e vetor diretor de π, temos ~AB = (−1, 1, 3) tambem vetor diretorde π e nao-paralelo a ~u. Portanto, na forma parametrica:
π :
x = −t+ 2s,
y = 1 + t− s,z = 3t+ 4s
.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 4
Para escrever na forma geral, calculamos o vetor normal:
~n = ~AB × ~u =
i j k−1 1 32 −1 4
= (7, 10,−1)⇒
π : 7x+ 10y − z + d = 0.
A(0, 1, 0) ∈ π ⇒ 10 + d = 0⇒ d = −10⇒π : 7x+ 10y − z − 10 = 0.
Podemos testar o ponto B(−1, 2, 3):
7 · (−1) + 10 · 2− 3− 10 = −7 + 20− 3− 10 = 0.
1.4 A,B,C ∈ π:
Se temos tres pontos nao-colineares no espaco, eles definem um plano.Cada ponto P deste plano pode ser obtido a partir de A usando com-binacoes lineares dos vetores ~AB e ~AC:
~AP = t ~AB + s ~AC.
Entao, caımos no primeiro caso, sendo que os vetores diretores sao dadospor ~AB e ~AC.
Para reduzir este caso ao segundo, usamos o produto misto
( ~AP , ~AB, ~AC),
que deve ser nulo se P ∈ π. Logo, o vetor normal e o seguinte:
~n = ~AB × ~AC.
Para conseguirmos a equacao geral diretamente dos tres pontos devemoscalcular o produto misto, dado que A(x0, y0, z0), B(x1, y1, z1), C(x2, y2, z2)e P (x, y, z):
0 = ( ~AP , ~AB, ~AC) =
(x− x0) (y − y0) (z − z0)(x1 − x0) (y1 − y0) (z1 − z0)(x2 − x0) (y2 − y0) (z2 − z0)
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 5
Exemplo 1.4. Se A(1, 0, 0), B(0,−2, 0) e C(0, 0, 4) pertencem a π:
0 =
(x− 1) y z−1 −2 0−1 0 4
= (x− 1) · (−8) + y · 4 + z · (−2)
⇒ −8x+ 4y − 2z + 8 = 0.
Este exemplo acima e um caso particular do caso A(a, 0, 0), B(0, b, 0) eC(0, 0, c) ∈ π, cuja equacao geral e:
π :x
a+y
b+z
c− 1 = 0.
Se a = 1, b = −2 e c = 4 entao
π : x− y
2+z
4− 1 = 0 ou, se multiplico por -8: − 8x+ 4y − 2z + 8 = 0.
1.5 A ∈ π, r ⊂ π:
Se conhecemos uma reta r : P = A + t~u e um ponto B fora da reta r,temos um unico plano que contem esta reta e o ponto B. Os pontos doplano sao obtidos da seguinte forma:
P = C + s ~AB, para algum ponto C ∈ r.Como
C = A+ t~u, para algum numero real t,
concluımos queP = A+ t~u+ s ~AB.
Os vetores ~AB e ~u sao entao vetores diretores do plano π. O vetor normale portanto:
~n = ~u× ~AB.
Exemplo 1.5. Se temos a reta r : x−12 = y
1 = z+1−1 e B(2, 0, 3), entao para
vetores diretores do plano π que contem r e B temos o vetor diretor da
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 6
reta ~u = (2, 1,−1) e o vetor ~AB = B−A = (2, 0, 3)− (1, 0,−1) = (1, 0, 4),A ∈ r. Portanto o vetor normal e:
~n = ~u× ~AB =
i j k2 1 −11 0 4
= (4,−9,−1).
Logo a equacao do plano e
π : 4x− 9y − z + d = 0,
A ∈ π ⇒ 4 + 1 + d = 0⇒ d = −5⇒ π : 4x− 9y − z − 5 = 0.
B ∈ π : 4 · 2− 3− 5 = 8− 8 = 0.
1.6 r1, r2 ⊂ π retas paralelas:
Duas retas paralelas e distintas geram um plano. Se ~u e vetor diretor de r1e r2 - elas compartilham o vetor diretor porque sao paralelas - e se A ∈ r1e B ∈ r2, cada ponto P do plano gerado e obtido da seguinte maneira:
P = C + s ~AB, onde C e algum ponto da reta r1
e portantoP = (A+ t~u) + s ~AB = A+ t~u+ s ~AB.
Observe que se s = 1 temos a reta r2:
P = A+ t~u+ ~AB = (A+ ~AB) + t~u = B + t~u.
Os vetores diretores do plano π sao ~AB e ~u neste caso, o que nos levaao primeiro caso: um ponto A e dois vetores diretores. O vetor normal e,portanto:
~n = ~u× ~AB.
Exemplo 1.6. Se r1 : x−12 = y
6 = z+14 e r2 : y = 3x+1, z = 2x+2 temos duas
retas paralelas distintas, tais que ~u = (1, 3, 2) e vetor diretor de ambas.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 7
Se procuramos um ponto de um e outro da outra temos A(1, 0,−1) ∈ r1 eB(0, 1, 2) ∈ r2. Portanto dois vetores diretores sao:
~AB = (−1, 1, 3), ~u = (1, 3, 2).
Na forma parametrica o plano formado por estas retas e:
π :
x = 1− t+ s
y = t+ 3s
z = −1 + 3t+ 2s
.
Para a equacao geral precisamos do vetor normal:
~n = ~AB × ~u =
i j k−1 1 31 3 2
= (−7, 5,−4)
⇒ π : −7x+ 5y − 4z + d = 0,
A ∈ π ⇒ −7 + 4 + d = 0⇒ d = 3⇒ π : −7x+ 5y − 4z + 3 = 0.
B ∈ π : −7 · 0 + 5 · 1− 4 · 2 + 3 = 5− 8 + 3 = 0.
1.7 r1, r2 ⊂ π retas concorrentes:
Duas retas concorrentes r1 : P = A + t~u e r2 : Q = B + s~v geram umplano. Um ponto X pertence ao plano π se
X = C + s~v, C e algum ponto da reta r1.
Como C = A+ t~u, temos
X = A+ t~u+ s~v.
Os vetores diretores de r1 e de r2, ~u e ~v respectivamente sao vetoresdiretores do plano π. O vetor normal e:
~n = ~u× ~v.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 8
Exemplo 1.7. Se r1 : y = 3x + 1, z = 2x + 2, e r2 : y = 2x + 3, z = 3x,podemos verificar que sao concorrentes. Seus vetores diretores sao ~u =(1, 3, 2) e ~v = (1, 2, 3) e o ponto da primeira reta A(0, 1, 2) pertence aoplano π assim como o ponto da segunda reta B(0, 3, 0) pertence ao plano.Na forma parametrica:
π :
x = t+ s,
y = 1 + 3t+ 2s,
z = 2 + 2t+ 3s
.
O vetor normal e:
~n =
i j k
1 3 21 2 3
= (5,−1,−1).
Portanto a equacao geral do plano e:
5x− y − z + d = 0,
A ∈ π : −3 + d = 0⇒ d = 3⇒ π : 5x− y − z + 3 = 0.
1.8 r ⊂ π, ~u vetor diretor de π
Se temos uma reta r contida no plano π, e ~u vetor diretor de π com direcaodiferente da direcao da reta r, ambos geram um plano da seguinte forma:dado um ponto P qualquer da reta r chegamos a um ponto Q de π qualquerfazendo
Q = P + s~u ou ~PQ = s~u.
Este caso e igual ao caso anterior. Se ~v for vetor diretor de r e se A
pertence a r entao os pontos do plano sao dados pela equacao
Q = A+ s~u+ t~v, t ∈ R, s ∈ R.
O vetor normal a π e
~n = ~u× ~v.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 9
Exemplo 1.8. Se sabemos que r : x−12 = y
3 = z+12 esta contida no plano π e
que ~u = (1, 2, 2) e vetor diretor de π, o vetor normal a π e:
(2, 3, 2)× (1, 2, 2) =
i j k2 3 21 2 2
= i(6−4)− j(4−2) +k(4−3) = (2,−2, 1).
Logo, a equacao geral de π e
2x− 2y + z + d = 0,
sendo que
A(1, 0,−1) ∈ π ⇒ 2− 0 + (−1) + d = 0⇒ d = −1.
Logo, a equacao geral de π e
2x− 2y + z − 1 = 0,
2 Plano x plano
Falaremos agora da posicao relativa entre dois planos no espaco tridimen-sional. Mais especificamente, se temos a equacao geral dos dois planos,queremos ser capazes de dizer a posicao relativa de um em relacao aooutro.
A posicao relativa sempre envolve as tres relacoes seguintes:
1. angulo,
2. distancia,
3. intersecao.
No caso de dois planos π1 e π2 temos duas posicoes relativas:
1. paralelos, formando angulo de 0o,
2. concorrentes, formando angulo diferente de 0o.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 10
2.1 Angulo entre dois planos
O angulo entre π1 e π2 e o menor angulo entre um vetor normal a π1 e umvetor normal a π2. Portanto, se ~n1 e o vetor normal a π1 e se ~n2 e o vetornormal a π2, podemos pegar o menor dos dois angulos: o angulo entre ~n1e ~n2 ou −~n1 e ~n2. Logo, sera um angulo entre 0o e 90o, isto e, de cossenopositivo. Logo, vale a formula:
cos θ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|
,
onde θ e o angulo entre π1 e π2 e ~n1 e vetor normal a π1 e ~n2 e vetor normala π2.
2.2 Planos paralelos
Neste caso:
1. o angulo entre π1 e π2 e de 0o: ~n1 ‖ ~n2;
2. se π1 : ax + by + cz + d1 = 0 entao ~n = (a, b, c) e vetor normal aπ1 e a π2, e portanto a equacao geral de π2 pode ser escrita comoπ2 : ax+ by + cz + d2 = 0;
3. a distancia entre π1 e π2 e:
|d2 − d1|√a2 + b2 + c2
;
4. a intersecao e vazia e sao planos distintos se d2 6= d1;
5. sao o mesmo plano se d2 = d1.
ExemploSe temos os planos π1 : x−2y+ 2z+ 3 = 0 e π2 : −2x+ 4y−4z+ 1 = 0,
a distancia entre os dois e de quantas unidades? Primeiro notamos que~n1 = (1,−2, 2) e ~n2 = (−2, 4,−4) = −2~n1 e portanto os planos sao parale-los. Podemos escrever π2 com os mesmos coeficientes que multiplicam as
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 11
incognitas de π1:
π2 : −2x+4y−4z+1 = −2·(x−2y+2z−1
2) = 0⇒ π2 : x−2y+2z−1
2= 0.
Logo, a distancia entre os planos e
d(π1, π2) =|3− (−1
2)|√
1 + 4 + 4=
72
3=
7
2 · 3=
7
6.
Poderıamos ter escolhido um ponto de π2 e aplicar a formula da distanciaao plano π1:
x = 0, y = 0⇒ π2 : −2 · 0 + 4 · 0− 4z + 1 = 0⇒ z =1
4⇒ (0, 0,
1
4) ∈ π2,
d((0, 0,1
4), π1) =
|0− 2 · 0 + 2 · 14 + 3|√
1 + 4 + 4=
72
3=
7
6.
2.3 Planos concorrentes
Neste caso:
1. o angulo entre π1 e π2 e diferente de 0o: ~n1 × ~n2 6= ~0;
2. a distancia entre π1 e π2 e zero pois ha pontos em comum;
3. a intersecao e uma reta e~n1 × ~n2
e o vetor diretor da reta intersecao;
ExemploSe temos os planos
π1 : x− y + z − 1 = 0, π2 : 2x+ y − z + 1 = 0
podemos calcular a posicao relativa entre eles, atraves do calculo do angulo
cos θ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|
=|(1,−1, 1) · (2, 1,−1)|√
1 + 1 + 1√
4 + 1 + 1= 0,
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 12
logo o angulo entre eles e 90o e concluımos que sao concorrentes. Por issoa intersecao entre eles e uma reta cujo vetor diretor e
~n1 × ~n2 =
i j k1 −1 12 1 −1
= (0, 3, 3).
Para sabermos a equacao da reta falta um ponto por onde ela passa. En-contramos o ponto resolvendo o sistema escolhendo um valor para z. Seescolhemos z = 1 o sistema nos da x = 0 e y = 0. Portanto a retaintersecao na forma parametrica tem a seguinte equacao
r :
x = 0,
y = 3t,
z = 1 + 3t.
Outra maneira e resolver o sistema{x− y + z − 1 = 0,
2x+ y − z + 1 = 0,
cuja solucao e
r :
{x = 0,
z = y + 1,
que corresponde a forma reduzida em relacao a segunda coordenada. Poresta forma reduzida o vetor diretor de r e (0, 1, 1), que e multiplo de(0, 3, 3).
3 Plano x reta
Falaremos agora da posicao relativa entre uma reta e um plano no espacotridimensional. Mais especificamente, se temos a equacao de uma reta e aequacao de um plano, queremos ser capazes de dizer a posicao relativa deum em relacao ao outro.
A posicao relativa sempre envolve as tres relacoes seguintes:
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 13
1. angulo,
2. distancia,
3. intersecao.
No caso de uma reta r e um plano π temos duas posicoes relativas:
1. paralelos, formando angulo de 0o,
2. concorrentes, formando angulo diferente de 0o.
3.1 Angulo entre reta e plano
Se a reta passa pelo ponto A e tem vetor diretor ~u, isto e, se a reta e dadapelos pontos r : P = A + t~u e se o plano π tem vetor normal ~n, entao oangulo θ entre r e π e dado pela formula:
sin θ =|~u · ~n||~u| · |~n|
.
Isto ocorre porque o angulo entre a reta e o plano somado ao angulo entrea direcao normal ao plano (direcao de ~n) e a direcao da reta r (direcao de~u) da um angulo de 90o.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 14
Exemplo:Se r : y = 2x− 1, z = −2x+ 1 e π : −4x+ 7y − 4z + 1 = 0 entao
~u = (1, 2,−2), ~n = (−4, 7,−4),
e portanto o angulo entre eles e
sin θ =|(1, 2,−2) · (−4, 7,−4)|
3 · 9=
18
27=
2
3⇒ θ = arcsin
2
3.
3.2 Reta paralela a um plano
Neste caso, se a reta passa pelo ponto A e tem vetor diretor ~u, isto e, se areta e dada pelos pontos r : P = A + t~u e se o plano π tem vetor normal~n, entao:
1. o angulo e igual 0o: ~u · ~n = 0;
2. a intersecao e vazia ou a propria reta;
3. a distancia e igual a d(B, π), sendo B qualquer ponto que pertence areta r.
3.3 Reta concorrente a um plano
Neste caso, se a reta passa pelo ponto A e tem vetor diretor ~u, isto e, se areta e dada pelos pontos r : P = A + t~u e se o plano π tem vetor normal~n, entao:
1. o angulo e diferente de 0o: ~u · ~n 6= 0;
2. a intersecao e um ponto;
3. a distancia e igual a zero porque ha ponto em comum, a intersecao enao-nula.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 15
3.4 Casos particulares
3.4.1 Reta contida em um plano
Um caso particular da reta paralela a um plano e o da reta contida em umplano. Para saber se uma reta r esta contida em um plano π, precisamosverificar:
1. se a reta r e paralela ao plano π: se ~u · ~n = 0, sendo ~u vetor diretorde r e ~n vetor normal de π;
2. se algum ponto A que pertence a r pertence a π, isto e, se as coorde-nadas de A satisfazem a equacao geral do plano π;
3. se A pertence a π entao a reta r toda esta contida em π e neste caso aintersecao entre r e π e a propria reta r; se A nao pertence a π entaoa intersecao entre r e π e vazia.
Exemplo:
3.4.2 Reta ortogonal a um plano
A reta r : P = A+ t~u e o plano π : ~BQ · ~n = 0 sao ortogonais se o anguloentre eles e de 90o, isto e, quando
~u ‖ ~n ou ~u e multiplo de ~n.
Se ~u = (a, b, c) e ~n = (a′, b′, c′) podemos testar fazendo
a
a′=b
b′=c
c′se a′ 6= 0, b′ 6= 0, c′ 6= 0,
ou verificamos se ~u× ~n = 0.
Exemplo:A reta r : x−1
2 = y+13 = z
−2 e o plano π : 2x + 3y − 2z + 1 = 0 saoortogonais, pois (2, 3,−2) sao coordenadas do vetor diretor de r e do vetornormal a π, entao
~u = ~n⇒ ~u ‖ ~n⇒ r⊥π.
Ga - Planos no espaco euclidiano tridimensional 16
3.5 Exercıcios
1) Escreva na forma parametrica a equacao da reta r ortogonal a π :x− y + z − 1 = 0 que passa por A(0, 2,−1).
Solucao:Podemos tomar o vetor normal a π, ~n = (1,−1, 1) como o vetor diretor
de r:
r :
x = t,
y = 2− t,z = −1 + t.
4 Relacoes entre um plano e um ponto
A posicao relativa sempre envolve as tres relacoes seguintes:
1. angulo,
2. distancia,
3. intersecao.
No caso de um pontos A e um plano π temos somente uma relacao:
1. A pertence a π, e a distancia entre um e outro e nula,
2. A nao pertence a π, e a distancia entre A e B e diferente de zero.
4.1 Distancia entre um ponto e um plano
A distancia entre um ponto A(x0, y0, z0) e π : ax+ by + cz + d = 0 e
d(A,B) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2.
Portanto, {A ∈ π ⇒ d(A, π) = 0,
A /∈ π ⇒ d(A, π) 6= 0.