AULA GA RETAS
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A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano
A Reta no Plano Cartesiano1
Enquanto as retas r e u cortam os dois eixos em pontos distintos, as retas s e t
cortam apenas um deles. Isso é decorrente do fato de as retas apresentarem
diferentes inclinações em relação ao eixo x. Notamos que t é uma reta vertical
e s é horizontal.
A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano
Inclinação de uma Reta
A Reta no Plano Cartesiano2
A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano
A Reta no Plano Cartesiano3
A inclinação de uma reta r em um plano cartesiano é a
medida do ângulo medido a partir do eixo x até a reta r,
com 0º 180º, conforme a figura a seguir:
A inclinação de uma reta r em um plano cartesiano é a
medida do ângulo medido a partir do eixo x até a reta r,
com 0º 180º, conforme a figura a seguir:
Inclinação de uma Reta
O Coeficiente Angular de uma Reta
A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano
A Reta no Plano Cartesiano4
Dada uma reta r, não vertical, seu coeficiente angular,
que indicaremos por m, é a tangente da inclinação
dessa reta, em relação ao eixo x.
Dada uma reta r, não vertical, seu coeficiente angular,
que indicaremos por m, é a tangente da inclinação
dessa reta, em relação ao eixo x.
Simétrico de um Ponto em Relação à Origem do Eixo Real
A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano
A Reta no Plano Cartesiano5
Dados A(xA, yA) e B(xB, yB)
dois pontos distintos de uma
reta r que não é vertical,
seu coeficiente angular é:
Dados A(xA, yA) e B(xB, yB)
dois pontos distintos de uma
reta r que não é vertical,
seu coeficiente angular é:
AB
AB
xxyy
m
6 EXEMPLOS COEFICIENTE ANGULAR
7 EXEMPLOS COEFICIENTE ANGULAR
Equações de uma Reta
Equação Fundamental de uma Reta
A Reta no Plano Cartesiano8
Dados um ponto (x0, y0) e o coeficiente angular m de uma reta r,
chamamos de equação fundamental de r à equação da forma:
y – y0 = m(x – x0)
Dados um ponto (x0, y0) e o coeficiente angular m de uma reta r,
chamamos de equação fundamental de r à equação da forma:
y – y0 = m(x – x0)
Exemplos Equação Fundamental da Reta9
A Reta no Plano Cartesiano10Equações de uma Reta
Equação Reduzida de uma Reta
Qualquer reta r, não paralela ao eixo das ordenadas,
pode ser representada por uma equação da forma y mx n
que é chamada de equação reduzida de r.
Qualquer reta r, não paralela ao eixo das ordenadas,
pode ser representada por uma equação da forma y mx n
que é chamada de equação reduzida de r.
Equações de uma Reta
A Reta no Plano Cartesiano11
Coeficiente Linear de uma Reta
Consideremos uma reta r dada pela sua equação reduzida y = mx + n e
façamos sua representação no plano cartesiano.
À ordenada n do ponto B, em que a reta intercepta o
eixo y, damos o nome de coeficiente linear da reta r.
A Reta no Plano Cartesiano12Equações de uma Reta
Equação Reduzida de uma Reta e Função Afim
Você já estudou que uma função afim definida por
tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo das ordenadas.
Reciprocamente, podemos dizer que uma reta (não vertical) é o gráfico de
uma função afim.
Além disso, vimos que a equação reduzida de uma reta nessas condições é
dada por:
Comparando e , podemos notar que a equação reduzida de uma
reta define uma função afim.
A Reta no Plano Cartesiano13
Equações de uma Reta
Equação Reduzida de uma Reta e Função Afim
Um fato importante é que não existe uma única equação geral para a reta,
pois caso a equação ax + by + c = 0 represente uma reta, tomando um k real
não nulo, a equação (ka)x + (kb)y + kc = 0 (que também é uma equação
geral) representa essa mesma reta.
A Reta no Plano Cartesiano14Equações de uma Reta
Determinação da Equação Reduzida da Reta Conhecendo a Equação Geral
Vejamos agora como obter a partir da equação geral ax + by + c = 0, de
uma reta s, com b não nulo, a sua equação reduzida. Isolando y no primeiro
membro da equação, temos:
ax + by + c = 0 ⇒ by = ax c ⇒
Chamando de m e de n, temos y = mx + n, que é a equação
reduzida da reta considerada.
b
cx
b
ay
b
a
b
c
A Reta no Plano Cartesiano15Equações de uma Reta
Determinação da Equação Reduzida da Reta Conhecendo a Equação Geral
Dada uma equação geral ax + by + c = 0 de uma reta r
não vertical, os coeficientes angular e linear dessa reta
são dados por:
Dada uma equação geral ax + by + c = 0 de uma reta r
não vertical, os coeficientes angular e linear dessa reta
são dados por:
b
cn
b
am rr e
Exemplos Equação Reduzida da reta16
Exemplos Equação Reduzida da reta17
Exemplos Equação Reduzida da reta18
Exemplos Equação Reduzida da reta19
A Reta no Plano Cartesiano20Posições Relativas entre Duas Retas no Plano
Retas Paralelas
Duas retas distintas r e s,
não verticais, com coeficientes
angulares mr e ms,
respectivamente,
são paralelas se, e somente se,
mr = ms e seus coeficientes
lineares nr e ns são diferentes.
Duas retas distintas r e s,
não verticais, com coeficientes
angulares mr e ms,
respectivamente,
são paralelas se, e somente se,
mr = ms e seus coeficientes
lineares nr e ns são diferentes.
A Reta no Plano Cartesiano21Posições Relativas entre Duas Retas no Plano
Retas Paralelas
Observações:
1. Duas retas verticais distintas sempre são paralelas entre si.
2. Caso duas retas, r e s, sejam coincidentes, temos:
• mr = ms (coeficientes angulares iguais entre si)
• nr = ns (coeficientes lineares também iguais entre si)
Ou seja, duas retas coincidentes têm a mesma equação reduzida.
A Reta no Plano Cartesiano22
Posições Relativas entre Duas Retas no Plano
Retas Concorrentes
Duas retas, r e s, não verticais, com coeficientes angulares,
respectivamente, mr e ms, são concorrentes entre si se, e
somente se, mr ms.
Duas retas, r e s, não verticais, com coeficientes angulares,
respectivamente, mr e ms, são concorrentes entre si se, e
somente se, mr ms.
Exemplos Posições Relativa de Retas23
Exemplos Posições Relativa de Retas24
Exemplos Posições Relativa de Retas25
A Reta no Plano Cartesiano26Posições Relativas entre Duas Retas no Plano
Retas Perpendiculares
Duas retas r e s com coeficientes angulares
mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se,
e somente se, mr ms = –1.
Duas retas r e s com coeficientes angulares
mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se,
e somente se, mr ms = –1.
Observação
Uma reta r paralela ao eixo y e outra reta s paralela ao eixo x são
perpendiculares entre si mesmo não sendo válida a relação
acima, pois nesse caso r não possui coeficiente angular.
Exemplos – Retas Perpendiculares27
Exemplos – Retas Perpendiculares28
A Reta no Plano Cartesiano29Posições Relativas entre Duas Retas no Plano
Ângulos Entre Retas Concorrentes
Temos tg = mr e tg = ms.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º.
Logo, + (180º – ) + = 180º. Assim, = –
e tg = tg ( – ) .
Como é a medida de um ângulo agudo, a
tangente de é positiva.
Daí, vem:
Exemplos – Ângulos entre Retas30
Exemplos – Ângulos entre Retas31
Cont. do Exemplo Anterior32
A Reta no Plano Cartesiano33Distâncias e Áreas
Distância Entre um Ponto e uma Reta
Se as coordenadas do ponto Q são xQ e yQ, e a equação da reta s na forma geral é ax + by + c = 0, a distância de Q a s é dada por:
22
,
||,d
ba
cbyaxdsQ QQ
sQ
A Reta no Plano Cartesiano34Distâncias e Áreas
Distância Entre Duas Retas Paralelas
Sabemos que a distância entre as retas paralelas é igual à distância de um
ponto A qualquer de uma delas, por exemplo, da reta r, à outra reta. Assim,
para calcular a distância entre duas retas paralelas, basta escolher um ponto
de uma delas e fazer a distância desse ponto à outra reta.
Exemplo – Distância entre Ponto e Reta35
Exemplo – Distância entre Ponto e Reta36
Exemplo – Distância entre Ponto e Reta37
A Reta no Plano Cartesiano38Distâncias e Áreas
Área de uma Região Triangular
Consideremos um triângulo cujos vértices são
P = (xP, yP ), Q = (xQ, yQ) e R = (xR, yR).
A área do triângulo PQR é dada por:
1
1
1
sendo,21
RR
PP
PQR
yx
yx
yx
DDA
Exemplo-Área de uma Região Triangular39
Exemplo-Área de uma Região Triangular40
Cont. Exemplo Anterior41