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Universidade Federal de Campina GrandeUniversidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e TecnologiaCentro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Eng. de ProduçãoUnidade Acadêmica de Eng. de Produção
Autor: Windsor Ramos da SilvaAutor: Windsor Ramos da Silva
Geometria Descritiva Geometria Descritiva Passo-a-PassoPasso-a-Passo
Índice Índice Geral
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Os Slides possuem links entre si: o primeiro refere-se a apresentação do trabalho (Slide 1) o segundo refere-se ao modo de navegar pelo trabalho (Slide 2), a partir deste slide o usuário pode voltar ao slide anterior, ou seja, o slide inicial (Slide 1) ou ir para os slides seguintes, como índice com os tópicos referentes a cada assunto (Slide 3 e 4). A partir daí, clicando no campo específico, o usuário poderá escolher o tópico o qual vai estudar, por exemplo, clicando no tópico Sistemas de Projeções vai para o slide referente a este assunto, daí, pode voltar para o índice geral ou ir para slide com outro assunto, por exemplo Distância Perpendicular entre duas Retas Reversas, dessa forma o usuário pode navegar sem problemas verificando todo assunto referente a Geometria Descritiva .
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Volta ao Índice do TópicoÍndice
Volta ao Índice GeralÍndice Geral
Sistemas de Projeções
Estudo do Ponto
Estudo da Reta
Métodos Descritivos
Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta
Direção de uma Reta
Inclinação de uma Reta
Pontos Colineares
Pontos Coplanares
Posição Relativa das Retas
ÍNDICE
Verdadeira Grandeza da Reta
Tópico 02
Tópico 05
Tópico 04
Tópico 03
Tópico 01
Tópico 06
Tópico 07
Tópico 08
Tópico 09
Tópico 10
Tópico 11
Interseção entre Planos (Visibilidade)Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
ÍNDICE
Estudo do PlanoVerdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)
Posições Relativas das Retas no Espaço
Índice Geral
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 14
Tópico 12
Tópico 22
Tópico 20
Tópico 18
Tópico 19
Tópico 21
Índice Geral
SISTEMAS DE PROJEÇÕESSISTEMAS DE PROJEÇÕES
/OBLÍQUA
SISTEMAS DE PROJEÇÕESSISTEMAS DE PROJEÇÕES
a1
a2
a3
a4 a7
a8
A B
C
B1A1
C1
A B
C
B1A1
C1
A B
C
A1 B1
C1
CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL
Oa6
a5
A
A projeção de um ponto sobre um planoé a interseção de uma reta que passa
por um ponto (Reta Projetante) de um plano de projeção.
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
Estudo do Ponto
Estudo da Representação do Ponto
Desenvolvimento dos Diedros
Projeções Ortográficas nos Diedros
Representação do Ponto
Posicionamento de Elementos num Espaço
Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção
Posições do Ponto
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar
origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas
geométricos apenas com o ponto e sim quando
este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é
interessante a representação no 2o e 4o diedros tendo
em vista a superposição de imagens após o
rebatimento dos planos de projeções sobre o plano
vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado
nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro
pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice Índice Geral
No Brasil as representações podem ser feitas pelos dois sistemas, com preferência para a projeção ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois planos, um vertical e outro horizontal, a reta interseção entre os dois planos é chamada de Linha de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
PVS - Plano Vertical Superior
PVI - Plano Vertical Inferior
PHA Plano Horizontal Anterior
PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice Índice Geral
ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTOESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO
a'b'c'
ac b
a'b'c'
Índice Índice Geral
DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROSDESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS(Gaspard Monge)(Gaspard Monge)
11oo Diedro Diedro22oo Diedro Diedro
33oo DiedroDiedro 44oo DiedroDiedro
T
L
a'
a
Plano Vertical Plano Vertical SuperiorSuperior
Plano Horizontal Plano Horizontal AnteriorAnterior
Plano Horizontal Posterior
Pla
no
Ver
tica
l In
feri
or
A
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
PROJEÇÕES NOS DIEDROSPROJEÇÕES NOS DIEDROS
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO
PH
PV
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
No 2o Diedro acontece superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
PV
PH
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
PH
PV
Índice Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 4o Diedro acontece superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice Índice Geral
PH
PV
REPRESENTAÇÃO DO PONTOREPRESENTAÇÃO DO PONTO
PH
PV
L T
L
TPH
a
a'
a
A a'
a
Índice Índice Geral
Para posicionar os elementos num espaço tridimensional determina-se um ponto “O” chamado ponto de referência que é o ponto comum aos três planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os
elementos usa-se o sistema de coordenadas
cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa, Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e escritos em milímetro.
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:
Índice Índice Geral
PH
PH
PV
PV
Z
PP
Y
PH
X
Y
O
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
Abscissa
a
a''
Afa
stam
ento
Co
tas
a
a''
AbscissaCota
AfastamentoÉPURAÉPURA
A(30, 15, 20)A(30, 15, 20)
Abscissa Afastamento
Cota
a'
a
PP
PP
a''
a
a'
a''
A
a'
PH
PV PPX
Z
Y
Y
OAfastamento
Índice Índice Geral
1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
O ponto em relação aos planos de projeções, pode ocupar 8 (oito) pos ições distintas:
Índice Índice Geral
Quando um ponto pertence a um dos planos de projeção, é representado em Épura através de suas duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado por este e por mais duas projeções, se coincidir com o ponto “O” de origem a representação em Épura é o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita através das três projeções, nos planos: vertical, horizontal e de perfil.
POSIÇÕES DO PONTOPOSIÇÕES DO PONTO
Índice Índice Geral
z
x
PV
y
PP
PH
POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃOPOSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃOAOS PLANOS DE PROJEÇÃOAOS PLANOS DE PROJEÇÃO
d''
H,h,h',h''
b'
b
b''
f f''F
g'g''G
B
ee'E
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
d
d'
A
a"a'
a
c''
C
D
PH
PV PHX
Z
Y
Y
h h''h'H
ÉPURAÉPURA
b''
b
b'B
c''ee'Ec'
cC
d''D
a''
a'
a
g'g''G
Ff
F f''
d
d'
c
c'
Índice Índice Geral
Pontos ColinearesPontos Colineares
a'
b'
OPPPV
PH
Z
XY
Y
c'
a
b
c
a''
b''
c''Três ou mais pontos são Colineares se e se somente se, por estes pontos passar uma reta imaginária.
Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa mesma linha reta.
Índice Geral
Pontos CoplanaresPontos Coplanares
a'
b'
c'
a
b
c
a''
b''
c''
OPPPV
PH
Z
XY
Y
Pontos Coplanares são três ou mais pontos por onde se pode passar um plano imaginário. Se por dois pontos se pode passar infinitos planos, por um conjunto de pontos Coplanares composto de pelo menos três pontos pode-se passar apenas um e um único plano.
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
Estudo da Reta
Posições Relativas das Retas
Identificação das Retas
Propriedades: Retas do Primeiro Grupo
Propriedades: Retas do Segundo Grupo
Propriedades: Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,
é o lugar geométrico das projeções de todos os seus
pontos sobre este plano. De um modo geral a
posição de uma reta no espaço fica bem determinada
quando são conhecidas as posições dessa reta,
sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de
Projeção).
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas
podem ocupar várias posições em relação aos
planos de projeção, posições estas que
determinam propriedades e identidades. As retas
estão divididas em três grupos distintos, devido
o posicionamento destas com os planos de
projeção.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Retas do 1o GRUPO
1. Ao PH - Reta Vertical 2. Ao PV - Reta de Topo
3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal
Retas do 2o GRUPO
1. Ao PH - Reta Horizontal
2. Ao PV - Reta Frontal
3. Ao PP - Reta Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Reta QualquerRetas do 3o GRUPOÍndice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um
dos planos principais de projeção. Neste plano
principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o
qual chamamos de projeção pontual da reta.
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos
outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas
se apresentam em suas dimensões reais, que
chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da
reta.
Índice Índice Geral
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VGd''
c'd'
c''
C
d
D
cVG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTALRETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICALRETA VERTICAL RETA DE TOPORETA DE TOPORETA FRONTO-RETA FRONTO-HORIZONTALHORIZONTAL
A
a’’
a
Bb'
a'
b
b''
VG
VGc'd'
c'' d''
C
d
D
c
VG
VG
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
ba
a'
b'
VG VG
Z
YX
Y
PV
PH
PP
c'' d''c'd'
oc
d
VG
VG
e' f'
e f
e''f''
o
Z
YX
Y
PV
PH
PP
VG
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos
planos principais de projeção, neste plano principal
de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira
Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam
oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VGVG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL RETA FRONTALRETA FRONTAL RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
a' A
a’’
a
Bb'
b''
bVG
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
f''
f
E
F
e'
f'
e''
e
VG
e''
f''
e'
f'
e
f
XPP
Y
Y
Z
oPV
PH
VG
XPP
Y
Y
Z
oPV
PH
c
c''
d
d''d'
c'VGb''
PV
PHX
PP
Y
Y
Z
o
a
b
a''b'a'
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três
planos principais de projeção.
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira
Grandeza).
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PVb'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
Aa''
aB
a'b''
bY
YX
PVPH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
ZPV
PHX
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
ZPV
PHX
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSASDuas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
bp
p'
o
Y
ZPV
PHX
RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTESRETAS REVERSASRETAS REVERSAS
o
Y
ZPV
PHX
c
d'
c'
da
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS
Métodos Descritivos
Mudança de Plano de Projeção
Método de Rotação
Método de Rebatimento
Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Para resolvermos problemas espaciais, recorremos aos métodos descritivos, que são:
1. Mudanças de Planos de Projeção
2. Rotação
3. Rebatimento
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em
considerar a figura fixa e determinar uma nova
projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a
um plano de projeção. Este deve ser paralelo à
figura no espaço.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rotação: Consiste em fazer girar a
figura em torno de um eixo de rotação conveniente,
até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rebatimento: Este método conduz a
traçados simples, é utilizado em muitos problemas,
cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas
uma mudança de plano e uma única rotação.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
Verdadeira Grandeza da Reta
V. G. por Mudança de Plano de Projeção
V. G. por Rotação
Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
Determinar a V.G. de uma reta qualquer consiste
em colocar um plano auxiliar de projeção,
perpendicular a um dos planos principais de
projeção e paralelo a reta.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
PPPA1
PA1PH
PV
PA1
a'
b'
a1
b''
b
a
a1
b1
b1
b1
a1
a''
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
V.G.
V.G.
V.G.Mudança de Planos de Projeção
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETAPOR ROTAÇÃOPOR ROTAÇÃO
Consiste em fazer girar a reta em torno de um
eixo de rotação conveniente, até que ela venha
ocupar uma posição desejada.
Quando se tratar da V.G. de uma reta qualquer
sobre o PH deve-se transformar esta em uma
reta Horizontal, sobre o PV em uma reta Frontal e
sobre o PP em uma reta de Perfil.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETAPOR ROTAÇÃOPOR ROTAÇÃO
o
Y
ZPV
PHX
a'
b'
b
ao
Y
ZPV
PHX
a'
b'
b
a
a'
a
VG
a
VG
a'
Método de Rotação
Reta Frontal
Reta Horizontal
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais
Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1
Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2
Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
A projeção pontual de uma reta é determinada num plano de projeção perpendicular à reta no espaço. Por Exemplo: A reta de Topo tem projeção pontual no PV, a reta Vertical tem esta projeção no PH e a reta Fronto-Horizontal tem projeção pontual no PP. Para as retas Frontal, Horizontal e de Perfil fazemos uso de um Plano Auxiliar Primário (PA1) e que deve ser colocado perpendicularmente atrás ou à frente dessas retas. Em Épura isto significa colocar o eixo do plano auxiliar primário, perpendicular à projeção da reta em VG, e fazer a projeção neste plano auxiliar (PA1).
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
o
Y
ZPV
PHX
a
b
b'a'
PHPA1
a1b1
b’
PROJEÇÃO PONTUALPROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA VERTICAL - PHDA RETA VERTICAL - PH
o
Y
ZPV
PHX
PROJEÇÃO PONTUALPROJEÇÃO PONTUAL
DA RETA HORIZONTAL - PA1DA RETA HORIZONTAL - PA1
a,
VG
VG
a’
b
Índice Índice Geral
o
Y
ZPV
PHX
a
b
a'
b'
PA1PA2
PH
PA1
PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2
VG
a1 b1a2b2,
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DE RETA
Direção de Reta
Direção da Reta Horizontal
Direção das Retas do Primeiro Grupo
Direção das Retas do Segundo Grupo
Direção das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
DIREÇÃO DE RETADIREÇÃO DE RETA
A direção de uma reta é o ângulo formado entre o
NORTE (de frente para o P.V.) e a projeção Horizontal
da reta, sua determinação é feita a partir do ponto
que inicia a reta (Origem da Reta). A direção é
calculada através do AZIMUTE, e se faz no sentido
dos ponteiros do relógio, a partir do Norte e expresso
em graus. Esta conceituação é aplicável para os três
Grupos de Retas. A Reta Vertical é a única que não
possui direção, por se apresentar sobre o Plano
Horizontal em projeção pontual.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
DIREÇÃO DA RETA HORIZONTALDIREÇÃO DA RETA HORIZONTAL
b' a''
a
a' b''
b
o
Y
YX
PVPH
PP
Z
oo
A
B
a'
b'
b
a'' b''
aVG
VG
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
cd180o
dc0o ou 360o
dc0o ou 360o
cd180o
d''
c'd'
c''
C
d
D
cVG
VG
dc0o ou 360o
cd180o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTALRETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
ef90o
fe270o
fe270o
ef90o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VGab125o
ba305o
ba305o
ab125o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
cd90o
dc270o
dc270o
cd90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VGVG
ef180o
fe0o ou 360o
ef180o
fe0o ou 360o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PVb'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
Aa''
aB
a'b''
bY
YX
PVPH
PP
Z
o
ba45o
ab225o
ab225oba45o
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DE RETA
Inclinação de Reta
Inclinação de uma Reta Frontal
Inclinação das Retas do Primeiro Grupo
Inclinação das Retas do Segundo Grupo
Inclinação das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAÇÃO DE RETAINCLINAÇÃO DE RETA
A inclinação de uma reta é o ângulo formado entre a reta e o Plano Horizontal de Projeção.
A inclinação que a reta tem em relação ao Plano Horizontal de Projeção é determinada no plano de projeção onde a reta mostra a sua V.G. e este plano deve ser perpendicular ao plano horizontal. As retas do 1o Grupo tem inclinação máxima ou mínima. Já as retas do 2o Grupo têm a inclinação mostrada em um dos dois planos, P.V. ou P.P., por serem perpendiculares ao P.H.. Para as retas do 3o Grupo é necessário colocar um plano auxiliar de projeção perpendicular ao P.H. e paralelo a reta no espaço. Portanto a inclinação será expressa em graus e medida com o transferidor.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV a''
a
b'
a'
b''
b
o
INCLINAÇÃO DE RETAINCLINAÇÃO DE RETA
Y
YX
PVPH
PP
Z
o o
A b
a
a'
Bb'
a''
b''
VG
VG
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
b''
a''a'
b'
ba
VGVGa''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
ab90o
ab90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VGd''
c'd'
c''
C
d
D
cVG
VG
cd0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTALRETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
YX
Y
PVPH
PPo
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
ef0o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG ab= 0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
cd45o
ab45o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PVPH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VGVG
ef35o
ab35o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PVb'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
Aa''
aB
a'b''
bY
YX
PVPH
PP
Z
o
PHPA1 b1
a1
ab28o
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Retas Paralelas
Distâncias entre Retas Paralelas
Retas Concorrentes e Reversas
Retas Perpendiculares
Pertinência Ponto-Reta
Distância Perpendicular entre Ponto e Reta
Distância Perpendicular entre Retas Reversas
Retas Paralelas e Coincidentes
Índice Geral
Plano Auxiliar Secundário
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
ZPV
PHX
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
ZPV
PHX
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSASDuas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
bp
p'
o
Y
ZPV
PHX
RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTESRETAS REVERSASRETAS REVERSAS
o
Y
ZPV
PHX
c
d'
c'
da
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice Índice Geral
RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando num plano de projeção as duas retas aparecem perpendiculares entre si e pelo menos uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta perpendicularidade é vista em um dos planos principais. No caso de duas retas quaisquer, a perpendicularidade deverá ser determinada onde encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice Índice Geral
PA1
PHd1
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
ZPV
PHX
RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES
o
Y
ZPV
PHX
d
b'
b
d'
c
c'
a
a'
e'
e
b1
c1
a1
a
b'
b
c'
c d
a'
d'
e'
e
e1
VG
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Duas retas são paralelas quando suas projeções
de mesmo nome sobre pelo menos dois planos
são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que
necessita da projeção no plano de perfil.
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
A distância entre duas retas paralelas é determinada em um plano de projeção em que se encontram as projeções pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções são encontradas em um dos Planos Principais, podemos dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.
Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à projeção que está em V.G. encontrando, portanto as projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário, colocado também, perpendicular à projeção que esteja em V.G. e encontrando as projeções pontuais, consequentemente a distância entre as retas.
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELASDISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
D
D
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO GRUPO
RETAS VERTICAISRETAS VERTICAIS RETAS DE TOPORETAS DE TOPO
o
Y
ZPV
PHX
o
Y
ZPV
PHX
a,b
a’
b’
VG
c’
c,d
d’
VG
b’a’
a
b
VG
d’c’
c
d
VG
Índice Índice Geral
a”b”
d’
d
a’
a
c’
c
b’
b
c”d’’
DistânciaPerpendicular
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRERETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO GRUPO
RETAS FRONTO-HORIZONTAISRETAS FRONTO-HORIZONTAIS
VG
VG
VG
VG
o
Y
Z
PV
PHX
Y
PP
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2 RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO
d
d'
c
c'
a
a'
b
b'
o
Y
ZPV
PHX
DistânciaPerpendicular
o
Y
ZPV
PHX
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
DistânciaPerpendicular
PH
PA1
PVPA1
RETAS HORIZONTAISRETAS HORIZONTAIS RETAS FRONTAISRETAS FRONTAIS
VG VG
VG
VG
b1a1 d1c1
a1b1c1d1
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO
RETAS DE PERFILRETAS DE PERFIL
PP
Y
YX
PVPH
Z
DistânciaPerpendicular
c''
a''
c'
d'
c
d
a'
b'
a
b
b''
d''
c1d1
a1b1
PP
PA1
VG
VG
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR SECUNDÁRIOPLANO AUXILIAR SECUNDÁRIO
É qualquer plano de projeção perpendicular a um
plano auxiliar primário.
Para determinar a distância perpendicular entre as
retas paralelas do 3o Grupo, se faz necessário
determinar as V.Gs., destas num PA1. Para isto
coloca-se o eixo do PA2 perpendicular as V.Gs.
como se faz para as retas do 2o Grupo.
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 3RETAS DO 3OO GRUPO GRUPO
RETAS QUAISQUERRETAS QUAISQUER
o
Y
ZPV
PHX
c
c'
d
d'
a
a'
b
b'
DistânciaPerpendicular
PH
PA1
PA1PA2
a1
c1d1
b1
b1a1
d1c1
VG
VG
Índice Índice Geral
Um ponto pertence a uma reta, quando as
projeções desse ponto estão sobre as projeções de
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal
do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a
projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical
da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a
projeção de perfil da reta.
PERTINÊNCIA PONTO E RETAPERTINÊNCIA PONTO E RETA
Índice Índice Geral
Y
o
Z
YX
PV
PH
PPb''
a''a'
b'
c' c''
ba c
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETAPERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
o
Z
YX
PV
PH
PPb'
a' a''
b''
a
b
c
c''c'
Y
b''
o
Z
YX
PV
PH
PP
a
b
a''b'a'
c
c''c'
Y
Índice Índice Geral
A distância perpendicular entre um ponto e uma reta do 1o Grupo, é vista em um dos planos principais de projeção. No caso da Reta de Topo a distância é vista no PV, da Reta Vertical no PH e da Reta Fronto-horizontal no PP. Daí conclui-se que a distância é medida no plano de projeção onde se encontra a projeção pontual da reta e projeção do ponto.Para medir a distância entre um ponto e uma reta do 2o Grupo sua projeção pontual está no PA1, assim como a projeção do ponto, feita a partir de mudança de planos. É neste plano que se faz a medição. Já as retas do 3o Grupo, encontra-se a VG da reta no PA1 bem como a projeção do ponto, em seguida coloca-se um plano de projeção PA2 de frente para a VG da reta, ou seja perpendicular, projetando assim a projeção pontual da reta e a projeção do ponto, portanto, a medição é feita como nos demais casos.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETA
Índice Índice Geral
Y
PH
X
Z
PV
PP
A
a''
a
B
a'
b
b''
b'p
Pp'p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
RETA VERTICALRETA VERTICAL
b''
a''a'
b'
ab
p´ p´´
p
o
Z
YX
PV
PH
PP
Y
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
b''
a
b
a''b'a'
Y
YX
PVPH
PP
Z
PA1PH
DistânciaPerpendicular
a1b1
p
p' p''
p1a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
p
Pp'
p''
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
YX
PVPH
PP
Z
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
DistânciaPerpendicular
PA1PH
PA1PH2
p
p' p''
p1
a1
b1
a1b1
p2
b'
Aa''
aB
a'b''
b
p'
p''
p
P
VGq1
q
q' q''
Índice Índice Geral
A distância perpendicular entre retas reversas é determinada em um plano de projeção que mostra uma das retas em projeção pontual, daí traça-se uma perpendicular, da projeção pontual à projeção da outra reta, lugar onde pode ser medida a distância entre as retas
Uma vez determinado o ponto, perpendicular a projeção, faz o alçamento deste ponto até a outra projeção da reta, daí traça-se uma perpendicular até a projeção de mesmo nome da outra reta que se encontra em V.G. e continua determinando sobre as retas, as novas projeções.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSASRETAS REVERSAS
Índice Índice Geral
c'
d'
c
DistânciaPerpendicular
b'
a
a'
b
PA1PH
PA2PA1
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSASDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS
c1
d1
b1
a1
•c2d2
b2
a2
q2
q1
r1
r
q
r'
q'
dXPVPH
Z
Yo
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Estudo do Plano
Elementos que definem um Plano
Identificação dos Planos
Propriedades: Planos do Primeiro Grupo
Propriedades: Planos do Segundo Grupo
Propriedades: Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura.A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície.Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta. O plano pode ser: Ilimitado e Limitado O plano Ilimitado é imensurável O limite do plano é a linha, assim podemos distinguir linhas retas e curvas.Os planos limitados por linhas retas (lados), sãochamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOElementos que definem um plano:Elementos que definem um plano:
o
Y
ZPV
PHX
o
Y
ZPV
PHX
o
Y
ZPV
PHX
o
Y
ZPV
PHX
c
c'
a
a'
b
b'
d
d'
c
c'b
b'
a
a'
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
a'
a
b'
bc
c'
Três Pontos Três Pontos não Alinhadosnão Alinhados
Duas RetasDuas Retas ParalelasParalelas
Duas RetasDuas RetasConcorrentesConcorrentes
Uma Reta eUma Reta eUm PontoUm Ponto
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS
1. Ao PH - Plano Vertical
Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo
3. Ao PP - Plano de Rampa
Planos do 1o GRUPO
1. Ao PH - Plano Horizontal 2. Ao PV - Plano Frontal
3. Ao PP - Plano de Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Plano QualquerPlanos do 3o GRUPO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua V.G., as projeções nos outros planos são perpendiculares e são chamadas de projeções lineares.
• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal
• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical
• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTALPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
b''
c
Aa'
b'c'
a''c''
b
BC
a
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO FRONTALPLANO FRONTAL
e''
d''f''d'
d
e'
e
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICALPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL
d''f''
e'
f'
d'
de
E
f
F
D
e'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFILPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PVAa'
b'c'
a''c'' b''
bc
BC
a
VG
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL PLANO FRONTALPLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
Y
PH
PP
X
Z
PVd''
e'
f'
d'e
E
f
F
D
VGf''
d
XPV PP
Y
Y
Z
PH o
a'b'c' c'' b''
a
b
c
a''
VG
Y
Y
X
Z
PV
PH
PPo
g''
h'' i''
g'
h'i'
i
gh
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG
fY
Y
X
Z
PV
PHPP
o
e''
d''f''
e'
f'd'
d e
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua projeção linear, as projeções nos outros planos são oblíquas e são chamadas de projeções reduzidas.
• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal
• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical
• Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
Cc'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTALPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
c
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICALPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFILPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice Índice Geral
PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
Y
X
Z
PV
PH
PPo
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
Z
PV
PHPP
o
c'
a'
b'
ca
c''
a''
b''
b
XPV PP
Y
Y
Z
PH o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
bc
B
a''
b''
C aY
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três planos principais de projeção, nestes planos não apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e sim projeções reduzidas sobre os três planos.
• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos
Principais de projeção
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PVPH
PP
Za'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PPPLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
BC
c
Índice Índice Geral
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOOs planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.
Já, a V.G. dos planos do 2o Grupo como estão perpendiculares a um dos planos, neste, se mostra em projeção lineares e nos outros em projeção reduzidas, levando portanto a determinar sua VG no PA1, quando este é colocado paralelo a projeção linear.
O plano do 3o Grupo, se caracteriza por ser obliquo a todos os planos de projeção. Sendo assim, para determinar a sua VG, se faz necessário duas mudanças de plano, ou seja, a VG é determinada no PA2. Sendo assim, para determinar a VG, deve-se seguir os seguintes passos: Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOEscolhe-se uma das projeções em que uma das arestas esteja em V.G., determina-se a projeção pontual desta aresta e projetando também os outros pontos, determinado assim, a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais.
Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde que a projeção da aresta esteja paralela ao plano, daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este elemento procederá segundo a descrição anterior.
Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.
Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se quando se coloca um plano auxiliar paralelo a projeção linear do plano no espaço. E é notável as características do 1o Grupo com este.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
ZPV
PHX
b'
b
a'
a
VG
c'
c
PHPA1
c1
a2
b2PLANO VERTICALPLANO VERTICALÍndice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
ZPV
PHX
a'
c'
b'
b
a
c
a1b1
c1
c2
a2
b2
PHPA1
PA1
PA2
VG
A V.G. do plano do 3o Grupo é determinada como se segue: Escolhemos em um dos planos principais uma das projeções de uma aresta que esteja em V.G. determina-se a projeção pontual desta aresta (reta) projetando os outros pontos determinando assim a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
ZPV
PHX
a'
b'
c'b
a
c
c2
b2
a2
PHPA1
PA1PA2
c1a1
e'
e
VG
b1e1
Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais. Em seguida determina-se a projeção pontual desta reta e a projeção dos outros pontos, obtendo assim a sua projeção linear, daí determina-se a sua V.G. segundo a descrição anterior.
Índice Geral
INCLINAÇÃO DO PLANO
Inclinação de um Plano
Inclinação dos Planos do Primeiro Grupo
Inclinação dos Planos do Segundo Grupo
Inclinação dos Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAÇÃO DE UM PLANOINCLINAÇÃO DE UM PLANO
A inclinação de um plano é o ângulo formado entre um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção e é determinada em um plano de projeção perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja em projeção linear.
O plano, não tem direção, por não ser um elemento retilíneo que possa ser direcionado.
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DE UM PLANOINCLINAÇÃO DE UM PLANO
o
Y
ZPV
PHX
a'
b'
c'
ba
c
PH
PA1
c1a1
e'
e
o
Y
ZPV
PHX
O
a'
b'
c'
c
b
a
O
b1 e1
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO PLANO QUALQUERPLANO QUALQUERÍndice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
b''
c
Aa'
b'c'
a''c''
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BC
a
VG
VG abc0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO FRONTALPLANO FRONTAL
e''
d''f''d'
d
e'
e
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
d''f''
e'
f'
d'
de
E
f
F
D
e'
VG
VG
abc90o
abc90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
ab90o
ab90o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
c
abc90o
c'
a'b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
abc48o
abc48o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
abc48o
abc48o
Índice Índice Geral
Índice Geral
INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PVPH
PP
Za'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
BC
c
abc60o
abc60o
b1c1
a1
PA1
PH
Índice Índice Geral
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULARDISTÂNCIA PERPENDICULARENTRE PONTO E PLANOENTRE PONTO E PLANO
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E PLANOPONTO E PLANO
A distância entre um ponto e um plano é obtida da seguinte maneira:
1o Coloca-se o plano em projeção linear.
2o Baixa-se uma perpendicular do ponto até a
projeção linear do plano.
3o Neste plano de projeção pode ser medida a distância, visto que esta projeção está em V.G.
Índice Geral
PHY
PH
PP
X
Z
PV
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO HORIZONTALPONTO E UM PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
p''p'
p
b''
c
Aa'
b'c'
a''c''
b
BC
a
p''
p'
p
P
PH
DistânciaPerpendicular
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
cb
Y
YX
PVPH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
p
p' p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO VERTICALPONTO E UM PLANO VERTICAL
DistânciaPerpendicular
c'
a'b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Pp'
p''
p
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PVPH
PP
Za'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
p''p'
p1
p
PHPA1
a1b1c1
x'
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO QUALQUERPONTO E UM PLANO QUALQUER
c'
a'
b
c
a''
b''
a
b'
A
c''
BC
cPp'
p''
p
DistânciaPerpendicular
q1
q
q' q''
x
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANORETA E PLANO
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANOINTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
A interseção de uma reta com um plano é determinada em um plano de projeção que mostra a projeção linear do plano e a projeção da reta. O ponto comum entre a projeção linear do plano e a projeção da reta, é o ponto de interseção. Para determinar esse ponto de interseção, nos outros planos de projeção faz-se o alçamento, sabendo-se que o ponto de interseção é um ponto comum da reta e do plano.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre a reta e o plano, observando o que é visível antes e após o plano.
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANOINTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1PH
p'
p
p1
o
Y
ZPV
PHX
f'
f
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE RETA INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)E PLANO (VISIBILIDADE)
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1PH
p
p1
o
Y
ZPV
PHX
f'
f
p'
Índice Geral
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE ÂNGULO ENTRE RETA E PLANORETA E PLANO
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
O ângulo entre uma reta e um plano é determinado num plano de projeção que mostra o plano em projeção linear e a reta em V.G. Para medir o ângulo formado entre uma reta e um plano é necessário determinar a projeção linear do plano. Não estando em V.G. esta reta, coloca-se um plano de projeção auxiliar paralelo a projeção da reta, obviamente obtém-se a reta em V.G. e o plano em projeção linear.
Índice Geral
o
Y
ZPV
PHX
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
PA1PH PA2PA1
PA2
PA3
a1e1
a'
a
b'
b
b1
d1
e'
e
d'
d
a2
b2
c2
a3b3
c3
e2
d2
e3
d3
p'
p
p2
p3
VG
VG
c'
c
f'
f
c1
p1
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEÇÃO INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSENTRE PLANOS
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSINTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSINTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
f1
o
Y
ZPV
PHX
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1a1
c1
z
x
z'
x'
PHPA1
g'
g
x1
z2
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)PLANOS (VISIBILIDADE)
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSINTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
VISIBILIDADEVISIBILIDADE
Índice Geral
A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre os planos, observando o que é visível antes e após o plano que está em projeção linear.
f'
f
g'
g
f1
o
Y
ZPV
PHX
d'
d
c'
c
a'
a
d1
b1
e1a1
c1
z
x
PHPA1
x1
z2
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)
x'
e'
e
b'
b
z'
Índice Geral
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE PLANOSÂNGULO ENTRE PLANOS(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)
O ângulo entre dois planos (Ângulo Diedro) é determinado em um plano de projeção que mostra a projeção pontual da reta interseção entre estes planos, com isso, é determinado as duas projeções lineares dos planos, onde poderá ser medido o ângulo.
ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral
a2
d2
e2
f2
b2
c2
a2
d2c2
b2
f2
x2
z2
z3x3
PA1PA2
PA2PA3
f1
o
Y
ZPV
PHX
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1a1
c1
z
x
z'x'
PHPA1
g'
g
x1
z2e2
ÂNGULO ENTRE PLANOS ÂNGULO ENTRE PLANOS
(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral