Post on 18-Apr-2015
Introdução à Nanotecnologia
Dualidade onda-partícula
“Não leve essa aula muito a sério… apenas relaxe e desfrute dela. Vou contar para vocês como a natureza se comporta. Se você admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, você a considerará encantadora e cativante. Não fique dizendo para si próprio: “Mas como ela pode ser assim?” porque nesse caso você entrará em um beco sem saída do qual ninguém escapou ainda. Ninguém sabe como a natureza pode ser assim”.
Richard Feynman (1918-1988)
Prêmio Nobel de Física 1965
Introdução à Mecânica Quântica
Mecânica clássica - Mecânica dos objetos macroscópicos: Leis de Newton. Partículas ou corpúsculos. Física corriqueira, intuitiva.
Física das ondas: Ondas sonoras, eletromagnéticas. Difração e interferência.
Mecânica quântica: Mecânica dos objetos microscópicos (átomos e elétrons, por exemplo). Se comportam em muitas situações como partículas e em outras como ondas.
1.1 - A mecânica dos objetos microscópicos
Mecânica quântica: teoria abstrata ou aplicada? Invenções que só foram possíveis por causa da mecânica quântica: computador, laser, energia nuclear, imagens de ressonância magnética, etc. Em 2000, a revista Scientific American estimou que 1/3 do produto interno bruto dos EUA estava ligado à mecânica quântica!
1.2 - A experiência de fenda dupla com projéteishttp://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/Computer/Doppelspalt/dslit.html
• Descrição
• Simulação
• Projéteis chegam em pacotes idênticos
• Projéteis não apresentam interferência 2112 PPP
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html
P1
P2
P12
1.3 - A experiência de fenda dupla com ondas
Fonte
Anteparo
Detetor
móvel
x x
I1
I2
I12
• Ondas podem ter qualquer intensidade: contínua, não discreta.
• Ondas mostram interferência: 2112 III
cos2 212112 IIIII
Casos especiais:
Interferência construtiva (=0):
Interferência destrutiva (=):
x
1
2
d1
d2
ndd 21
ndd 21
2
1221
ndd
1.3 - A experiência de fenda dupla com elétrons
• Podemos medir a probabilidade ou taxa média de chegada do elétron em uma certa posição x.
• Simulação
Supondo que o impacto de um elétron no detetor produza um som de “clique”:
(a) Todos os “cliques” são idênticos.
(b) Os “cliques” acontecem de forma bastante errática. O instante de chegada dos elétrons parece ser imprevisível.
(c) Nunca escutamos dois “cliques” simultaneamente, ou seja, os elétrons chegam um de cada vez.
Elétrons chegam em pacotes idênticos: são como
“bolinhas”!
Elétrons apresentam interferência!!!
Fonte de
elétrons
Anteparo
Detetor
móvel
x x
P1
P2
P12
2112 PPP
Para elétrons: Decididamente, elétrons
NÃO são como “bolinhas”…
Resumo• Projéteis chegam em pacotes idênticos e não apresentam interferência:
• Ondas podem ter qualquer intensidade e apresentam interferência:
• Elétrons chegam em pacotes idênticos e apresentam interferência!
2112 PPP
2112 III
2112 PPP
Dualidade onda-partícula: Elétrons às vezes se comportam como ondas, outras vezes como
partículas
1.4 - A luz como partícula: O Efeito Fotoelétrico
Hertz (1886) Lenard Millikan
(1914) Nobel 1923
Corrente vs. voltagem para luz de mesma frequência mas intensidades diferentes
Elétrons são emitidos com energia cinética máxima: 0max eVT
Potencial de retardo ou potencial de corte
V0
0
V0 em função da frequência da luz
Tmax = 0 , elétrons não são mais arrancados do eletrodo
Problemas com a teoria clássica:
1. Intensidade: Energia máxima dos elétrons emitidos deveria depender da intensidade da onda eletromagnética.
2. Frequência: Efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência.
3. Tempo de atraso: Para luz suficientemente fraca, o elétron só poderia ser emitido quando acumulasse energia suficiente da onda, que deveria ser absorvida de forma contínua. Nenhum tempo de atraso jamais foi detectado.
Frequência de corte
A hipótese do fóton - Albert Einstein, 1905 (Nobel 1921)
• Energia da luz é quantizada em “pacotes” (fótons) de valor E = h, onde h = 6,63×10-34 J.s é a constante de
Planck
• O fóton carrega também momento linear:
h
c
h
c
Ep
• Energia é transferida de forma discreta, através de processos individuais de colisões entre 1 fóton e 1
elétronW
W
W : função trabalho (propriedade do
material)
• Fótons com energia h < W não vão conseguir arrancar elétrons do metal: h 0= W
V0
0
e
hV
h
WheVT
)(
)(
00
0
0max
Inclinação da reta fornece a constante de
Planck!
Millikan obteve h = 6,57×10-34 J.s
Aplicação: célula fotoelétrica
Como obter P12? Use a matemática das ondas!
Associar uma onda ao elétron: Louis de Broglie (Tese de Doutorado, 1924; Nobel
1929)
Mesmas relações sugeridas por Einstein para fótons:
1.4 – Ondas de matéria
h
p
hE
Exemplo: elétron com energia cinética de 100 eV, qual o comprimento de onda?
nm 12,02
;22
2
mT
h
p
h
mTpm
pT
Verificação experimental: difração de elétrons por cristais
(Davisson-Germer e Thomson, 1927; Nobel 1937)
Davisson Thomson
Nanopartícula de CdSe
Microscopia eletrônica de transmissão de alta
resolução
“J. J. Thomson (pai) mostrou que o elétron é uma
partícula, G. P. Thomson (filho) mostrou que o elétron
é uma onda”
Por que as propriedades ondulatórias da matéria não são notadas no dia-a-dia?
Problema: qual o comprimento de onda de um objeto de 1 kg movendo-se a 10 m/s?
m1063,6kg.m/s 10
J.s1063,6 3534
mv
h
p
h
Os Postulados da Mecânica Quântica
2.1 – A Função de Onda
Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:
• Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula
• É uma função complexa
• É unívoca, finita e contínua
• Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
(Na maior parte dos exemplos, vamos nos restringir a uma dimensão, por simplicidade)
Exemplo: partícula livre (não sofre a ação de forças).
• Momento linear é constante.
• Função de onda deve reproduzir os postulados de de Broglie:
2 ;
2
angular) a(frequenci 2
onda) de(vetor 2
plana) (onda ),(
;)(
hEkk
hp
k
Aetx
hEphtkxi
Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954)
Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
-
*
*
1),(),( :aoNormalizac
),(),(),( :adeprobabilid de Densidade
txtx
txtxtxP
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…
“Deus não joga dados
com o universo”
(Albert Einstein)
“Einstein, pare de dizer a Deus o que
fazer”
(Niels Bohr)
2.2 – A Equação de Schroedinger
(Schroedinger 1926, Nobel 1933)
t
txitxtxV
x
tx
m
),(
),(),(),(
2 2
22
V(x,t): energia potencial
2
2
2
2
2
22
22
:Laplaciano
;),(
),(),(),(2
:3D Em
zyx
t
tritrtrVtr
m
Exemplo: partícula livre (V=0)
)()(
222
2
2
22
2
2
22
2
22
2
22
2
22
),( :geral Solucao
2)( :Solucao
2
2
)( )(
1
2
1
)]()([)]()([
2
)()(),( : variaveisde Separacao
),(),(
2
tkxitkxi
ikx
tiiEt
BeAetx
m
kEk
dx
dex
mE
dx
dE
dx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
di
dx
d
m
t
txi
x
tx
m
txtxt
txi
x
tx
m
Relação de dispersão (k)
(eletrons)
2
2
m
k
(fotons)
ck
k
2.3 – Operadores Quânticos
A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
:linear momentoOperador
)()( txptxkekex
itxp
px
ip
p
tkxitkxiop
op
op
op
Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma
autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física
associada tem valor bem definido, com incerteza nula.
Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
: energiaOperador
)()( txEtxeet
itxE
Et
iE
E
tkxitkxiop
op
op
op
A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.
2
22
222
: cinetica energiaOperador
xmmx
ix
i
m
ppT
T
opopop
op
Cxex
xx
tkxi
op
)(
:posicao da autofuncao uma e' nao livre particula da a que Note
posicaoOperador
Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:
op
opop
opopop
EH
HVT
EVTt
txitxtxV
x
tx
m
no)Hamiltonia(operador
),(),(),(
),(
2 2
22
2.4 – Valores Esperados
• Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza.
• Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?
dxtxQtxQ
tQ
op
op
),(),(
:por dado e' instante no medida da esperado valor O
.operador ao associada fisica grandeza certa uma Seja
*
2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo
tempodo teindependener Schroeding de Equacao
)(2
)( )(
1)(
2
1
)]()([)()()(
)]()([
2
)()(),( : variaveisde separacao Novamente,
),(),()(
),(
2
)(),( : tempodo depende nao potencial o
quandoer Schroeding de equacao a Considere
2
22
2
22
2
22
2
22
ExVdx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
dixV
dx
d
m
t
txitxxV
x
tx
m
txtxt
txitxxV
x
tx
m
xVtxV
tiiEt
energia da
sautovalore osencontrar permite solucao Sua
sautovalore de Equacao
)(2
:noHamiltoniaoperador o se-Define
2
22
EH
xVdx
d
mVTH opop
Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D
3.1 – Partícula livre (revisão)
m
kE
BeAex
Edx
d
m
xV
ikxikx
2 :Energias
)( :Solucoes
2 :erSchroeding Eq.
0)( Potencial
22
2
22
2
22
m
kE
k
E
Qualquer energia positiva é permitida
(energia varia de forma contínua)
V
x0 L
0ou ,
0 ,0)(
:Potencial
xLx
LxxV
3.2 – Poço de potencial infinitoR
egiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
m
kEBeAex
Edx
d
m
xVLx
x
xLx
ikxikx
2 ;)( :Solucao
livre) particula a (como 2
:erSchroeding Eq.
:0)( temos,0 Em
0)(
:proibida) (regiao 0ou Em
22
2
22
xkAxmL
n
m
kE
L
nk
nnkLkLALLx
kxAeeAx
BABAx
L
Lxx
nnn
nnn
ikxikx
sen)( :onda de Funcoes
)quantizada (energia 22
...)3,2,1(0sen)( : Em
..)constante. uma de menos (a sen)(
0)0( :0 Em
0)()0(
:CONTORNO DE CONDICAO
e 0 em continuaser deve onda de Funcao
2
22222
n : número quântico
V
x0 L
Regiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
E1
E2
E3
0 L 0 L
0 L 0 L
n = 1 n = 2
n = 3 n = 4
(x)
Comentários de validade geral:
•Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas
• Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante)
• Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado
Exemplo em nanotecnologia: Poços
quânticos semicondutores
Efeito túnel: Atravessando barreiras
P < 100 %100% - P
P = 100 %Barreira
3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel
V
x0
V0
E < V0E
1 2
EVm
DeCex
EVEVm
dx
d
EVdx
d
m
xx
0
2
020
2
2
02
22
2 onde
,)( :Solucao
0 ,2
2
:erSchroeding Eq.- 2 Regiao
mE
km
kE
BeAex ikxikx
2
2
refletida) (incidente )(
:livreeletron - 1 Regiao
22
1
Potencial degrau
Encontrar B, C e D em termos de A
)1(
:0 em continuaser Deve
0
:divergir pode nao onda de Funcao
0,)(
0,)(
2
1
DBA
x
C
xDeCex
xBeAexxx
ikxikx
Aik
ikDDA
ik
ikA
Aik
ikBBABAik
DikBikA
dx
d
dx
d
x
xx
2
)()(
:obtemos (2), e (1) Combinando
)2(
:0 em continuas derivadas ter Deve
0
2
0
1
Barreira de potencial e Efeito TúnelV
x0
V0 (x)
xe
Existe uma probabilidade de
encontrar o elétron na região classicamente
proibida
V
x0
(x)
a
incidente
refletido
transmitido
Se a barreira for suficientemente
pequena (largura a) o elétron poderá ser
transmitido (tunelar) com uma certa
probabilidade: EFEITO TÚNEL
atrans eaP 22
2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html
“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes
Reflexão interna total
Acoplamento entre guias de onda
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html
Aplicação em nanotecnologia: STM(scanning tunneling microscope)
Visualização e manipulação de átomos
Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam
o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalhono desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.
STMVisualizando átomos
Superfície de Silício(Naval Research Lab, Wash DC, USA)
Superfície de Níquel(IBM Research Labs, California)
Referências:• “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M. Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4.
• “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9
• “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla)
Problemas:
Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula.
Apresentação de Rodrigo Capaz