Introdução à Nanotecnologia

Dualidade onda-partícula

“Não leve essa aula muito a sério… apenas relaxe e desfrute dela. Vou contar para vocês como a natureza se comporta. Se você admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, você a considerará encantadora e cativante. Não fique dizendo para si próprio: “Mas como ela pode ser assim?” porque nesse caso você entrará em um beco sem saída do qual ninguém escapou ainda. Ninguém sabe como a natureza pode ser assim”.

Richard Feynman (1918-1988)

Prêmio Nobel de Física 1965

Introdução à Mecânica Quântica

Mecânica clássica - Mecânica dos objetos macroscópicos: Leis de Newton. Partículas ou corpúsculos. Física corriqueira, intuitiva.

Física das ondas: Ondas sonoras, eletromagnéticas. Difração e interferência.

Mecânica quântica: Mecânica dos objetos microscópicos (átomos e elétrons, por exemplo). Se comportam em muitas situações como partículas e em outras como ondas.

1.1 - A mecânica dos objetos microscópicos

Mecânica quântica: teoria abstrata ou aplicada? Invenções que só foram possíveis por causa da mecânica quântica: computador, laser, energia nuclear, imagens de ressonância magnética, etc. Em 2000, a revista Scientific American estimou que 1/3 do produto interno bruto dos EUA estava ligado à mecânica quântica!

1.2 - A experiência de fenda dupla com projéteishttp://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/Computer/Doppelspalt/dslit.html

• Descrição

• Simulação

• Projéteis chegam em pacotes idênticos

• Projéteis não apresentam interferência 2112 PPP

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html

P1

P2

P12

1.3 - A experiência de fenda dupla com ondas

Fonte

Anteparo

Detetor

móvel

x x

I1

I2

I12

• Ondas podem ter qualquer intensidade: contínua, não discreta.

• Ondas mostram interferência: 2112 III

cos2 212112 IIIII

Casos especiais:

Interferência construtiva (=0):

Interferência destrutiva (=):

x

1

2

d1

d2

ndd 21

ndd 21

2

1221

ndd

1.3 - A experiência de fenda dupla com elétrons

• Podemos medir a probabilidade ou taxa média de chegada do elétron em uma certa posição x.

• Simulação

Supondo que o impacto de um elétron no detetor produza um som de “clique”:

(a) Todos os “cliques” são idênticos.

(b) Os “cliques” acontecem de forma bastante errática. O instante de chegada dos elétrons parece ser imprevisível.

(c) Nunca escutamos dois “cliques” simultaneamente, ou seja, os elétrons chegam um de cada vez.

Elétrons chegam em pacotes idênticos: são como

“bolinhas”!

Elétrons apresentam interferência!!!

Fonte de

elétrons

Anteparo

Detetor

móvel

x x

P1

P2

P12

2112 PPP

Para elétrons: Decididamente, elétrons

NÃO são como “bolinhas”…

Resumo• Projéteis chegam em pacotes idênticos e não apresentam interferência:

• Ondas podem ter qualquer intensidade e apresentam interferência:

• Elétrons chegam em pacotes idênticos e apresentam interferência!

2112 PPP

2112 III

2112 PPP

Dualidade onda-partícula: Elétrons às vezes se comportam como ondas, outras vezes como

partículas

1.4 - A luz como partícula: O Efeito Fotoelétrico

Hertz (1886) Lenard Millikan

(1914) Nobel 1923

Corrente vs. voltagem para luz de mesma frequência mas intensidades diferentes

Elétrons são emitidos com energia cinética máxima: 0max eVT

Potencial de retardo ou potencial de corte

V0

0

V0 em função da frequência da luz

Tmax = 0 , elétrons não são mais arrancados do eletrodo

Problemas com a teoria clássica:

1. Intensidade: Energia máxima dos elétrons emitidos deveria depender da intensidade da onda eletromagnética.

2. Frequência: Efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência.

3. Tempo de atraso: Para luz suficientemente fraca, o elétron só poderia ser emitido quando acumulasse energia suficiente da onda, que deveria ser absorvida de forma contínua. Nenhum tempo de atraso jamais foi detectado.

Frequência de corte

A hipótese do fóton - Albert Einstein, 1905 (Nobel 1921)

• Energia da luz é quantizada em “pacotes” (fótons) de valor E = h, onde h = 6,63×10-34 J.s é a constante de

Planck

• O fóton carrega também momento linear:

h

c

h

c

Ep

• Energia é transferida de forma discreta, através de processos individuais de colisões entre 1 fóton e 1

elétronW

W

W : função trabalho (propriedade do

material)

• Fótons com energia h < W não vão conseguir arrancar elétrons do metal: h 0= W

V0

0

e

hV

h

WheVT

)(

)(

00

0

0max

Inclinação da reta fornece a constante de

Planck!

Millikan obteve h = 6,57×10-34 J.s

Aplicação: célula fotoelétrica

Como obter P12? Use a matemática das ondas!

Associar uma onda ao elétron: Louis de Broglie (Tese de Doutorado, 1924; Nobel

1929)

Mesmas relações sugeridas por Einstein para fótons:

1.4 – Ondas de matéria

h

p

hE

Exemplo: elétron com energia cinética de 100 eV, qual o comprimento de onda?

nm 12,02

;22

2

mT

h

p

h

mTpm

pT

Verificação experimental: difração de elétrons por cristais

(Davisson-Germer e Thomson, 1927; Nobel 1937)

Davisson Thomson

Nanopartícula de CdSe

Microscopia eletrônica de transmissão de alta

resolução

“J. J. Thomson (pai) mostrou que o elétron é uma

partícula, G. P. Thomson (filho) mostrou que o elétron

é uma onda”

Por que as propriedades ondulatórias da matéria não são notadas no dia-a-dia?

Problema: qual o comprimento de onda de um objeto de 1 kg movendo-se a 10 m/s?

m1063,6kg.m/s 10

J.s1063,6 3534

mv

h

p

h

Os Postulados da Mecânica Quântica

2.1 – A Função de Onda

Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:

• Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula

• É uma função complexa

• É unívoca, finita e contínua

• Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

(Na maior parte dos exemplos, vamos nos restringir a uma dimensão, por simplicidade)

Exemplo: partícula livre (não sofre a ação de forças).

• Momento linear é constante.

• Função de onda deve reproduzir os postulados de de Broglie:

2 ;

2

angular) a(frequenci 2

onda) de(vetor 2

plana) (onda ),(

;)(

hEkk

hp

k

Aetx

hEphtkxi

Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954)

Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.

-

*

*

1),(),( :aoNormalizac

),(),(),( :adeprobabilid de Densidade

txtx

txtxtxP

Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…

“Deus não joga dados

com o universo”

(Albert Einstein)

“Einstein, pare de dizer a Deus o que

fazer”

(Niels Bohr)

2.2 – A Equação de Schroedinger

(Schroedinger 1926, Nobel 1933)

t

txitxtxV

x

tx

m

),(

),(),(),(

2 2

22

V(x,t): energia potencial

2

2

2

2

2

22

22

:Laplaciano

;),(

),(),(),(2

:3D Em

zyx

t

tritrtrVtr

m

Exemplo: partícula livre (V=0)

)()(

222

2

2

22

2

2

22

2

22

2

22

2

22

),( :geral Solucao

2)( :Solucao

2

2

)( )(

1

2

1

)]()([)]()([

2

)()(),( : variaveisde Separacao

),(),(

2

tkxitkxi

ikx

tiiEt

BeAetx

m

kEk

dx

dex

mE

dx

dE

dx

d

m

EeetiE

dt

dE

dt

di

Edt

di

dx

d

m

t

txi

x

tx

m

txtxt

txi

x

tx

m

Relação de dispersão (k)

(eletrons)

2

2

m

k

(fotons)

ck

k

2.3 – Operadores Quânticos

A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.

),(),(),(

livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O

:linear momentoOperador

)()( txptxkekex

itxp

px

ip

p

tkxitkxiop

op

op

op

Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma

autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física

associada tem valor bem definido, com incerteza nula.

Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.

),(),(),(

livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O

: energiaOperador

)()( txEtxeet

itxE

Et

iE

E

tkxitkxiop

op

op

op

A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.

2

22

222

: cinetica energiaOperador

xmmx

ix

i

m

ppT

T

opopop

op

Cxex

xx

tkxi

op

)(

:posicao da autofuncao uma e' nao livre particula da a que Note

posicaoOperador

Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:

op

opop

opopop

EH

HVT

EVTt

txitxtxV

x

tx

m

no)Hamiltonia(operador

),(),(),(

),(

2 2

22

2.4 – Valores Esperados

• Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza.

• Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?

dxtxQtxQ

tQ

QQ

op

op

),(),(

:por dado e' instante no medida da esperado valor O

.operador ao associada fisica grandeza certa uma Seja

*

2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo

tempodo teindependener Schroeding de Equacao

)(2

)( )(

1)(

2

1

)]()([)()()(

)]()([

2

)()(),( : variaveisde separacao Novamente,

),(),()(

),(

2

)(),( : tempodo depende nao potencial o

quandoer Schroeding de equacao a Considere

2

22

2

22

2

22

2

22

ExVdx

d

m

EeetiE

dt

dE

dt

di

Edt

dixV

dx

d

m

t

txitxxV

x

tx

m

txtxt

txitxxV

x

tx

m

xVtxV

tiiEt

energia da

sautovalore osencontrar permite solucao Sua

sautovalore de Equacao

)(2

:noHamiltoniaoperador o se-Define

2

22

EH

xVdx

d

mVTH opop

Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D

3.1 – Partícula livre (revisão)

m

kE

BeAex

Edx

d

m

xV

ikxikx

2 :Energias

)( :Solucoes

2 :erSchroeding Eq.

0)( Potencial

22

2

22

2

22

m

kE

k

E

Qualquer energia positiva é permitida

(energia varia de forma contínua)

V

x0 L

0ou ,

0 ,0)(

:Potencial

xLx

LxxV

3.2 – Poço de potencial infinitoR

egiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

m

kEBeAex

Edx

d

m

xVLx

x

xLx

ikxikx

2 ;)( :Solucao

livre) particula a (como 2

:erSchroeding Eq.

:0)( temos,0 Em

0)(

:proibida) (regiao 0ou Em

22

2

22

xkAxmL

n

m

kE

L

nk

nnkLkLALLx

kxAeeAx

BABAx

L

Lxx

nnn

nnn

ikxikx

sen)( :onda de Funcoes

)quantizada (energia 22

...)3,2,1(0sen)( : Em

..)constante. uma de menos (a sen)(

0)0( :0 Em

0)()0(

:CONTORNO DE CONDICAO

e 0 em continuaser deve onda de Funcao

2

22222

n : número quântico

V

x0 L

Regiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

E1

E2

E3

0 L 0 L

0 L 0 L

n = 1 n = 2

n = 3 n = 4

(x)

Comentários de validade geral:

•Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas

• Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante)

• Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado

Exemplo em nanotecnologia: Poços

quânticos semicondutores

Efeito túnel: Atravessando barreiras

P < 100 %100% - P

P = 100 %Barreira

3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel

V

x0

V0

E < V0E

1 2

EVm

DeCex

EVEVm

dx

d

EVdx

d

m

xx

0

2

020

2

2

02

22

2 onde

,)( :Solucao

0 ,2

2

:erSchroeding Eq.- 2 Regiao

mE

km

kE

BeAex ikxikx

2

2

refletida) (incidente )(

:livreeletron - 1 Regiao

22

1

Potencial degrau

Encontrar B, C e D em termos de A

)1(

:0 em continuaser Deve

0

:divergir pode nao onda de Funcao

0,)(

0,)(

2

1

DBA

x

C

xDeCex

xBeAexxx

ikxikx

Aik

ikDDA

ik

ikA

Aik

ikBBABAik

DikBikA

dx

d

dx

d

x

xx

2

)()(

:obtemos (2), e (1) Combinando

)2(

:0 em continuas derivadas ter Deve

0

2

0

1

Barreira de potencial e Efeito TúnelV

x0

V0 (x)

xe

Existe uma probabilidade de

encontrar o elétron na região classicamente

proibida

V

x0

(x)

a

incidente

refletido

transmitido

Se a barreira for suficientemente

pequena (largura a) o elétron poderá ser

transmitido (tunelar) com uma certa

probabilidade: EFEITO TÚNEL

atrans eaP 22

2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html

“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes

Reflexão interna total

Acoplamento entre guias de onda

http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html

Aplicação em nanotecnologia: STM(scanning tunneling microscope)

Visualização e manipulação de átomos

Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam

o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalhono desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.

STMVisualizando átomos

Superfície de Silício(Naval Research Lab, Wash DC, USA)

Superfície de Níquel(IBM Research Labs, California)

Referências:• “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M. Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4.

• “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9

• “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla)

Problemas:

Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula.

Apresentação de Rodrigo Capaz